Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 8

 Chuyên đề 1: TÍNH CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN
/I/ Lý thuyết:
A/ Định nghĩa: Cho a, b Z (b ≠ 0):
Ta nói rằng a chia hết cho b kí hiệu a b khi và chỉ khi tồn tại một số k (k Z)
sao cho a = b.k
a b a = b.k
Ta còn nói a là bội của b hay b là ước của a
B/ Tính chất của quan hệ chia hêt:
1/ Phản xạ: a N và a o thì a a
2/ Phản xứng: a N và a O thì a a
3/ Bắt cầu: Nếu a b và b a thì a =b
C/ Một số định lý
1/ a m ka m
2/ a m và b m ( a b ) m
3/ (a b) m và a m b m
4/ a m và b n ab m n
5/ a m a m n N , n 0
6/ a m a m
7/ a m ; m là số nguyên tố a m (n N ; n 0)
8/ a m a m ; n N , n 0
9/ ab m và (a, m)=1 b m
10/ ab m và m P a m hoặc b m
11/ a m và a n và (m, n) =1 a m.n
12/ a m , a n , a r và ( m,n)=1, (n,r)= 1,(m,r) =1 a m.n.r
13/ Tích của n số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho tích .2.3...n
D/ Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Chứng minh:
a/ n- n 12 n N
b/ n (n + 2 ).( 25n+ 1) 24 n N
GIẢI
a/ n- n = ( n – 1).n.n(n+1)
Nhận xét: 12 = 3.4 và (3, 4) =1
- Trong tích hai số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 2
( n- 1).n 2
n(n+ 1) 2
 n- n 4 ( 1 )
Trong tích 3 số tự nhiên liên tiếp có một số là bội của 3
(n – 1).n.(n + 1) 3 (2 )
Từ (1) và (2) suy ra n - n 12 n N
b/ n.(n+2).[(n-1)+ 24n] = n.(n+2).(n-1) +24n.n.(n+2)
Ta có 24n.n.(n+2) 24 n N
Ta cần chứng minh A= n.(n+2).(n-1) 24 n N
A= (n-1).n.(n+1).(n+2)
Ta có A 3 n N
- Trong tích 4 số tự nhiên liên tiếp có 1 số là bội của 2, một số là bội của 4
- Vậy tích 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 8
- Mà (3, 8) = 1 nên A 24
- Do đó n.(n+2).(25n-1) 24 n N
- Nhận xét: Gọi A là biểu thức phụ thuộc vào n (n N hoặc n Z ).
- Để chứng minh một biểu thức A chia hết cho một số m ta thường phân tích biểu thức biểu thức 
A thành nhân tử trong đó có một thừa số m.N m là hợp số ta phân tích m thành tích các thừa số đôi một nguyên tố cùng nhau rồi chứng minh A chia hết cho tất cả các số đó .Nên lưu ý định lý trong
 k số nguyên liên tiếp bao giờ cũng tồn tại một bội sốcủa k.
-Bài tập áp dụng ví dụ 1: Chứng minh:
1/ n - 13n 6 2/ n(n- 7) - 36 5040 n N*
3/n -4n- 4n + 16n 384 với mọi n chẳn và n 4
4/ n+3n+ 2n 6 
5/ (n +n -1 ) -1 2 4
6/ n +6n +8n 48 với mọi n chẳn
7/ n -10n + 9 384 với mọi n lẻ
8/ n + n- 2n 72 n Z
9/ n +6n +11n +6n 24 n N
Ví dụ 2: Chứng minh a- a 5 a Z
Cách 1: A = a- a = a.(a-1).(a+1)
Nếu a= 5k ( k Z) thì a- a 5
Nếu a = 5k 1 thì a- 1 5
Nếu a = 5k 2 thì a +1 5
Trong trường hợp nào cũng có một thừa số chia hết cho 5
Nhận xét: Khi chứng minh A(n) m ta có thể xét mọi trường hợp về số dư khi chia A(n) cho m
Cách 2: a - a =a(a-1).(a+1)
= a.(a-1).(a-4+5)
= a.(a-1).(a+1).(a-2).(a+2) +5a.(a-1)
Vậy A chia hết cho 5
Bài tập ví dụ 2: Chứnh minh:
1/ a-a 7 
2/ Cho n> 2 và (n, 6) =1 chứng minh n -1 24
3/ Cho n lẻ và (n, 3) =1 chứnh minh : n-1 48
4/ Cho n lẻ và ( n, 5) =1 chứnh minh : n-1 80
5/ Cho a, b là số tự nhiên a > b. Chứng minh
a/ A= a.b ( a- b) 30
b/ A= a.b ( a- b) 60
6/Cho n chẳn chứng tỏ 2 số n - 4n và n + 4n đều chia hết cho 16
7/ Chứng tỏ: n- n 30 n N và n- n 240 n lẻ
8/ Chứng minh:
a/ n- n 240 n N
b/ n- n +4n 120 n N
 CHUYÊN ĐỀ 2: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 1/ Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm các hạng tử.
2/ Tách các hạng tử.
3/ Thêm bớt một hạng tử.
4/ Phương pháp hệ số bất định
5/ Phương pháp đổi biến.
6/ Phương pháp xét giá trị riêng
I/ Phương pháp đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a/ x + x + 2x + x +1
Giải 
x + x+ 2x + x + 1 = (x + 2 x + 1 ) + (x + x)
= (x +1) + x(x +1) = (x +1) (x + x + 1)
b/ x + 2x y + xy - 9x 
= x(x + 2x y + y - 9 )
= x(x + y - 3)( x + y + 3)
c/ a+ b+c- 3abc 
 = (a+b)- 3a b – 3ab + c- 3abc
= [(a+b)+ c ] - 3ab(a+b+c)
= (a+b+c)[( a+b) - c(a+b) + c - 3ab]
d/ (a+b+c) - a- b-c 
= [(a+b)+c] - a- b-c
= (a+b)+ c +3c(a+b)(a+b+c) - a- b-c
=a+ b+ 3ab(a+b)+ c+3c(a+b)(a+b+c) - a- b-c
= 3(a+b)(ab+ac+bc+c) 
= 3(a+b)(b+c)(c+a)
e/ x(y-z)+y(z-x)+z(x-y) 
 = x(y-z)+yz-xy +xz- yz
=x(y-z)+yz(y-z)-x(y- z) = (y-z)(x+yz-xy-xz)
=(y-z)[x(x-y)-z(x-y)] = (y-z)(x-y)(x-z)
II/ Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử(vói hệ số nguyên)
Nhận xét: Nếu đa thức không chứa nhân tử chung, không có dạng hằng đẳng thức, cũng không nhóm được hạng tử ta có thể biến đổi đa thức thành nhiều hạng tử hơn để nhóm các hạng tử.
Ví dụ: 3x-8x+4 = 3x-6x-2x+4= 3x(x-2)-2(x-2) = (x-2)(3x-2)
Hay tách 4x-8x+4 - x= (2x-2) - x = ...
Chú ý: Trong cách 1 ta tách hạng tử -8x thành 2 hạng tử -6x và -2x,các hệ số thứ 2 và thứ 4 đều gấp -2 lần hệ số liền trước nhờ đó xuất hiện nhân tử chung x-2
Một cách tổng quát để phân tích tam thức bậc 2 thành nhân tử ta tách hạng tử bx thành bx +bx sao cho b.b =a.c.
Trong thực hành ta thực hiện như sau:
1/ Tìm tích a.c
2/ phân tích a’c ra thừa số nguyên bằng mọi cách.
3/ Chọn hai thừa số có tổng bằng b.
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 4x-4x-3
Ta có a.c= 4(-3) = (-3)4 = 6(-2) =(-6)2 ta thấy -6 +2 = -4
do đó ta phân tích -4x thành -6x + 2x .
Đối với đa thức bậc ba trở lên người ta chứng minh được rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ước của hệ số tự do.
Ví dụ : Phân tích đa thức : x - x -4 đa thức này có nghiệm nguyên thì phải là ước của 4 lần lượt ta kiểm tra ±1 , ±2 , ±3 ,±4 ta thấy x =2 là nghiệm của đa thức do đó đa thức có chứa nhân tử x – 2 vậy ta tách đa thức trên thành :
x - x - 4 = x -2 x + x - 4 = x(x-2) +(x-2)(x+2) = ...
Chú ý: Khi xét nghiệm nguyên của đa thức ta chú ý 2 định lí sau :
1/ Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm của đa thức do đó đa thức cố chứa nhân tử x -1 .
Ví dụ: Phân tích đa thức x- 5x +8x -4 ta thấy 1 -5 +8 -4 = 0 nên đa thức có chứa nhân tử x – 1 vậy ta tách như sau: x - x- 4 x+8x -4 = x(x-1) – 4(x-1)
2/ Nếu đa thức có tổng các hệ số bậc chẳn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì -1 là nghiệm của đa thức do đó đa thức chứa nhân tử x +1.
Ví dụ: Phân tích đa thức x- 5x + 3x +9 ta thấy 1+3 = -5+9 nên - 1 là nghiệm của đa thức do đó đa thức chứa nhân tử x+1 ta phân tích như sau :
x- 5x +3x +9 = x+ x- 6x+3x +9 = x+ x- 6x-6+3x +3
=x(x+1) -6(x-1)(x+1)+3(x+1) = ...
Trong trường hợp đa thức không có nghiệm nguyên;đa thức cố thể có nghiệm hửu tỉ , người ta chứng minh được rắng đa thức có các hệ số nguyên nghiệm hửu tỉ nếu có phải có dạng trong đó p là ước của hệ số tự do và q là ước dương của hệ số cao nhất . 
Ví dụ: Phân tích đa thức 3x- 7x +17x -5 ta thấy các số ±1 ,±5 không phải là nghiệm của đa thức ,xét các số ± , ± ta có là nghiệm của đa thức do đó đa thức chứa thừa số 3x-1 ta tách hạng tử như sau :
3x- 7x +17x -5 = 3x- x -6 x+2x + 15x-5 = x(3x-1)- 2x( 3x-1)+ 5(3x-1) =.
3/ Phương pháp thêm bớt một hạng tử:
a/ Thêm bớt một hạng tử làm xuất hiện hiệu hai bình phương
Ví dụ: Phân tích da thức 4x +81 ta thêm bớt 36x ta có
4x +81 = 4x+36x +81 - 36x = (2x+9) – (6x) =...
Nhận xét: Trong trường hợp này dùng cho đa thức có hai hạng tử.
b/ Thêm bớt một hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung.
Ví dụ: Phân tích đa thức x +x -1 ta thêm bớt x, x, x như sau:
x +x -1 = x+x+x+x -x-x-x +x -1
= (x-x+x)+(x-x+x ) –(x -x +1 ) = ...
Chú ý : Các đa thức có dạng x+ x+1 đều chứa nhân tử x +x +1
Ví dụ: x+ x+1; : x+x+1 ; x+ x+1; x+ x+1 ...
III/ Phương pháp hệ số bất định:
Nếu đa thức f(x) không có nghiệm nguyên, cũng không co nghiệm hửu tỉ ta dùng phương pháp hệ số bất định.
Ví dụ: Phân tích đa thức x-6x+12x -14x +3. 
Nếu đa thức nàyphan tích thành nhâ tử thì có dạng (x +ax +b)(x + cx +d) phép nhân này cho ta kết quả x+(a+c)x+(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta điều kiện 
 a + c = -6
ac + b + d = 12
ad + bc = -14
bd = 3
Xét bd =3 với bd Z b {±1, ±3} với b =3 ; d =1thì hệ trên trở thành
a + c = -6
ac = 8
a + 3c = -14
2c = -14 – (-6) c = -4 a= -2 vậy đa thức trên được phân tích thành
(x - 2x +3 )(x - 4x + 1)
I V/ Phương pháp đổi biến
Ta đặt một đa thức bằng một biến khác để làm gọn đa thức hơn dễ giải hơn
Ví dụ: Phân tích đa thức 
x(x+4)(x+6)(x+10) + 128
 = (x +10x)(x +10x + 24)
đặt x +10x + 12 =y (y-12)(y+12) +128 = y -16 = (y-4)(y+4) =...
V/ Phương pháp giá trị riêng.
Trong phương pháp này các nhân tử chứa biến của đa thức rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định nhân tử.
Ví dụ: Phân tích đa thức P = x(y-z)+ y(z-x) + z (x-y)
Giả sử ta thay x = y 
P = y(y-z) + y(z-x) = 0
Tương tự ta thay y bởi z; z bởi x thì P không đổi (P = 0) vậy P chia hết cho x-y cũng chia hết cho y-z và cũng chia hết cho z – x vậy P có dạng k(x –y)(y-z)(z-x)
Ta thấy k là hằng số vì đẳng thức
P = x(y-z)+ y(z-x) + z (x-y) = k(x –y)(y-z)(z-x) đúng vứi mọi x, y, z nên ta gán cho x, y, z các giá trị chẳng hạn x=2, y=1 ,z=0 ta được
4.1 +1.(-2) +0 = k.1.1.(-2) k = -1 
vậy P = -(x –y)(y-z)(z-x)
Chú ý: Khi chọn giá trị riêng của x, y, z ta chọn tuỳ ý để đôi một khác nhau sao cho
(x –y)(y-z)(z-x) 0
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử 
	a. 
	b. .
Giải: 
a. Dùng phương pháp đặt nhân tử chung 
 = 
b. Dùng phương pháp đặt nhân tử chung rồi sử dụng hằng đẳng thức
.
Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử:
x8 + 3x4 + 4.
x6 - x4 - 2x3 + 2x2 .
Giải: 
a. Dùng phương pháp tách hạng tử rồi sử dụng hằng đẳng thức
x8 + 3x4 + 4 = (x8 + 4x4 + 4)- x4
	= (x4 + 2)2 - (x2)2 
= (x4 - x2 + 2)(x4 + x2 + 2)
b. Dùng phương pháp đặt nhân tử chung ,tách hạng tử ,nhóm thích hợp để sử dụng hằng đẳng thức
x6 - x4 - 2x3 + 2x2 = x2(x4 - x2 - 2x +2)
Ví dụ 3: 
Phân tích đa thức thành nhân tử:
	a. 
b.
Giải: 
a. Dùng phương pháp tách hạng tử rồi nhóm thích hợp:
b. Dùng phương pháp đặt nhân tử chung rồi sử dụng hằng đẳng thức
Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: 
a.
b. .
Giải: Sử dụng các hằng đẳng thức 
.Do đó: 
b. 
Ví dụ 5: Cho a + b + c = 0. 
Chứng minh rằng :a3 + b3 + c3 = 3abc.
Giải: Vì a + b + c = 0 
Ví dụ 6: Cho 4a2 + b2 = 5ab, và 2a > b > 0. Tính 
Giải: Biến đổi 4a2 + b2 = 5ab 4a2 + b2 - 5ab = 0
	( 4a - b)(a - b) = 0 a = b.
Do đó 
Ví dụ 7: Cho a,b,c và x,y,z khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng nếu: thì 
Giải: 
VI/ Bài tập áp dụng chuyên đề 2:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
2.1/ a/ x -2x -4y -4y 
b/ a(a +c+ bc) + b(c+a + ac) +c(a +b + ab)
c/ 6x -11x +3 
d/ 2x +3x -27 
e/ x+5x +8x +4 
f/ x -7x +6
g/ 2x-x +5x +3. 
h/ x-7x -3.
2.2/ a/ (x +x )- 2(x +x ) -15 
b/ x +2xy+y -x-y -12
c/ (x +x +1)(x +x +2) -12 
d/ (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) -24
e/ (x+a)(x+2a)(x+3a)(x+4a) +a 
f/ (x + y + z)(x+y+z)+(xy+yz+xz)
2.3 / Dùng phương pháp hê sô bất định:
 a/ 4x+4x+5x +2x +1 
 b/ x -7x+14x -7x +1 
 c/ (x+1) +(x +x +1) 
 e/x x-x +63
2.4 Dùng phương pháp xét giá trị riêng 
 M = a(a+b-c) +b(c+a-c) +c(b+c-a) + (a+b-c)(c+a-c)(b+c-a)
Bài tập vận dụng - Tự luyện
Phân tích đa thức thành nhân tử :
a. 
b. 
c. 
d. 
Phân tích đa thức thành nhân tử :
.
P ...  1 thì: .
Chứng minh đẳng thức sau: 
Thực hiện phép tính: .
Tính tổng: S(n) = .
 Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức :
A = .
Biết a là nghiệm của Phương trình: .
 Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác biết rằng:
 Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều.
 Chứng minh rằng nếu a,b là 2 số dương thỏa điều kiện: a + b = 1 thì: 
Thực hiện phép tính: 
 A = 
 Rút gọn biểu thức: A = .
 Chứng minh rằng biểu thức sau luôn dương trong TXĐ: 
B = 
 Rút gọn rồi Tính giá trị biếu thức với x + y = 2007.
	A = .
 Cho 3 số a, b, c 0 thỏa mãn đẳng thức: .
Tính giá trị biểu thức P = .
Cho biểu thức:. Chứng minh rằng nếu :
 	x + y + z = 0 thì A = 1.
HƯỚNG DẪN:
 P =
 M = .
 =
= 
a. Rút gọn B = 
b. n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4 
a. A =.
b. A > 0
c. 
x = 11 
x = 3 A không xác định
a. A = .
b. Rút gọn C = .
 S = 
 Từ:(1) 
Biến đổi A = (2)
Thế (1) vào (2): A = - 3 
 Từ a + b + c = 1 và suy ra:
ab + bc + ca = 0 (1)
a. Nếu suy ra: 
Suy ra xy + yz + zx = 0.
b. Áp dụng
Từ a3 + b3 + c3 = 1. Suy ra: 
Từ đó tính được a, b, c.
Xem bài 21
 Từ xyz = 1 Biến đổi 
.
Chứng minh : 
.
 	.
 .
.
Rút gọn 
=
. Cộng từng vế được A = 0.
A = .
TXĐ: ; B = 
A = .
Từ: .
Suy ra: 
Suy ra: 
Suy ra: hoặc a + b + c = 0 hoặc a = b = c.
P = -1 hoặc P = 8
Từ: x + y + z = 0 suy ra: 
. 
=========o0o=========
CHUÊN ĐỀ 5: SỬ DỤNG CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH ĐỂ THIẾT LẬP VỀ QUAN HỆ ĐỘ DÀI CỦA CÁC ĐOẠN THẲNG
 Các công thức diện tích cho ta quan hệ về độ dài của các đoạn thẳng, chúng rất có ích để giải nhiều bài toán
Ví dụ 1: Cho tam giác đều ABC.
a/ Chứng minh rằng điểm M thuộc miền trong của tam giác ABC thì tổng khoảng cách từ M đến 3 cạnh bằng chiều cao của tam giác .
b/ Quan hệ thay đổi như thế nào nếu M thuộc miền ngoài của tam giác .
GIẢI
Gọi a và h là cạnh và chiều cao của tam giác ABC, MA’, MB’, MC’ là khoảng cách từ M đến BC,A ,AB.
a/ Nếu M thuộc miền trong tam giác thì :
 SMBC + SMAC + SMAB = SABC
 b/ Nếu M thuộc miền ngoài tam giác ABC và thuộc miền trong gócA(2)
 SMBC + SMAC - SMAB = SABC 
Tương tự cho các miền còn lại
Ví dụ 2: Các điểm E,F nằm trên các cạnh AB, BC của hình bình hành ABCD sao cho AF = CE .Gọi I là giao điểm của AF, CE .Chứng minh rằng ID là tia phân giác của góc AIC
Giải:
 Ta có và 
Kẻ DH vuông góc ÍA và DK vuông góc với IC ta suy ra DH = DK , Suy ra IH = IK . Vây, DI là tia phân giác góc AIC 
Ví dụ 3 : Cho tam giác ABC có ; D là diểm nằm giữa A và C. Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ A và từ C đến BD lớn hơn đường cao kẻ từ A và nhỏ hơn đường cao kẻ từ C của tam giác ABC.
 GIẢI:
Gọi AH và CK là các đường cao của tam giác ABC .Kẻ AE và CF vuông góc với BD . Đặt SABC = S
Ta có AE = , CF = .
Ta lại có . 
Do nên BA< BD<BC , do đó AH < AE + CF < CK
Bài tập áp dụng:
 1/ Độ dài 2 cạnh của tam giác bằng 6cm và 4cm. Nữa tổng các chiều cao ứng với 2 cạnh ấy bằng chiều cao ứng với cạnh thứ ba . Tính độ dài cạnh thứ ba.
2/ Chứng minh rằng một tam giác là tam giác vuông nếu các chiều cao ha, hb, hc thoả mãn điều kiện
HD: Sứ dụng diện tích để dưa về định lý Pytago
3/ Tính các cạnh của tam giác có ba đường cao bằng 12cm , 15cm , 20cm 
4/Cho điểm O thuộc miền trong tam giác ABC .Các tia AO , BO , CO cắt các cạnh tam giác ABC theo thứ tự ở A’, B’ , C’ . Chứng minh rằng :
 a/
 b/
5/ C là 1 điểm thuộc tia phân giác góc xOy có số đo bằng 600 M là điểm bất kì nằm trên đường vuông góc với OC tại C và thuộc miền ngoài góc xOy .Gọi MA , MB theo thứ tự là khoảng cách từ M đến Õ, Oy. Tinh độ dài OC theo MA, MB
Chuyên đề 6: BẤT ĐẲNG THỨC
I. Các tính chất của bất đẳng thức:
Ngoài các tính chất học ở SGK ta còn có tính chất sau:
a/ a > b, c >d a+c > b+d
b/ a > b , c b- d ( không được trừ từng vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều )
c/ a > b 0 , c > d 0 ac > bd
d/ a > b >0 an > bn
e/ a > b an > bn với n lẻ.
f/ an > bn với n chẳn
g/ Nếu m> n >0 thì : a > 1 . am > an
 a = 1 am = an
 0 < a < 1 am < an
h/ a > b , ab > 0 
II. Các hằng bất đẳng thức: 
 (a, b>0) . (BĐT Cô-si)
 ( Bu nhi a cop xki)
III. Các phương pháp chứng minh
 1. Dùng định nghĩa:
Ví dụ: 
a/ chứng minh rằng: ( x-1)(x – 2)( x – 3)( x – 4) -1
Giải: 
Xét hiệu ( x-1)(x – 2)( x – 3)( x – 4) +1 0
 (x2 – 5x + 4)(x2 – 5x +6) +1 0
Đặt y = x2 – 5x + 5 ta có (y – 1)(y +1) + 1 = y2 0
 b/ chứng minh a2 + b2 ab
Giải:
 a2 + b2 - ab 0 ( a - )2 + 0
 2. Dùng các phép biến đổi tương đương:
Ví dụ : 
a/ Với mọi x,y,z chứng minh : x2 + y2 + z2 +3 2(x + y +z ) 
Giải: x2 + y2 + z2 +3 - 2(x + y +z ) 0
 (x – 1)2 + (y – 1)2 +(z – 1)2 0
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1
 b/ Cho các số dương a,b thoả mãn ®iÒu kiện a + b = 1 .
Chứng minh rằng 
Giải: 
 ab + a + b + 1 9ab ( vì ab>0) 
a + b + 1 8ab 2 8ab (vì a+b=1) 1 4ab
 (a + b)2 4ab ( a – b )2 0
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b
3. Dùng phương pháp làm trội để chứng minh bất đẳng thức
Ví dụ: Cho n là số nguyên lớn hơn. 
Chứng minh bất đẳng thức sau:
 a/ 
 b/
Giải : 
a/ Ta có ( vì n + 1 < 2n )
Tương tự ; ;  ; 
Do đó 
 b/ Ta có với k = 2 ; 3 ;  ;n 
Lần lượt cho k = 2 ; 3 ;  ;n rồi cộng lại ta được 
Phương pháp này thường được xử dụng để chứng minh bất đăng thức có một vế là tổng hoặc tích hửu hạn.Áp dụng tính chất của thứ tự để biến đổi tổng hoạc tích hửu hạn về tổng hoặc tích khác mà việc tính toán đơn giản hơn.
4. Dùng các tính chất của bất đẳng thức
Ví dụ: a/ Cho a + b > 1. chứng minh rằng a4 + b4 > 
Giải: 
 a + b > 1. Bình phương 2 vế ta có (a + b)2 > 1 (1) 
mặt khác ( a – b )2 0 (2) 
cộng từng vế của (1) và (2) a2 + b2 > 
làm tương tự như trên ta dược điều chứng minh .
 b/ Cho a, b , c là các số dương. Chứng minh 
 1*/ (a + b + c) 
 2*/ 
Giái: 
1*/ Nhân vào ta có 3 + () + ( ) +() 
mà 2 thay vào ta có diều phải chứng minh.
2*/ Áp dụng bất đẳng thức ở câu 1* ta có:
 (x + y+ z) với x = b + c ; y = a + c và z = a + b 
ta có 2 (a + b + c)( chia 2 rồi nhân vào ta có được điều chứng minh.
IV. Vài điểm chú ý khi chứng minh bất đẳng thức:
1/ Khi chứng minh bất đẳng thức, nhiều khi ta cần đổi biến
Ví dụ: Cho a + b + c = 1 . Chứng minh a2 + b2 + c2 
Giải :
Đăt a = + x , b = + y , c = + z , 
do a + b + c = 1 nên x + y + z = 0 ta có 
a2 + b2 + c2 = ( + x )2 + ( +y )2 + ( + z )2 
= + (x + y + z) + x2 + y2 + z2 
Xảy ra dấu bằng khi x = y = z = 0 a = b = c = 
2/ Ta có thể áp dụng bất đẳng thức để tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất củ biểu thức |
 A = (x- 1)(x +2)(x+3)(x+6)
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
 B = x6 + y6 biết x2 + y2 = 1
Giải: 
A = (x2 + 5x – 6)(x2 +5x +6) = (x2 +5x)2 -36
Vậy giá trị nhỏ nhất của A = -36 khi x2 +5x = 0 suy ra x = 0 hoặc x = -5
 B = ( x2)3 + ( y2)3 = (x2 + y2) ( x4 – x2y2 + y4) 
 = x4 – x2y2 + y4 vì x2 + y2 = 1
 = ( x2 + y2)2 – 3x2y2 = 1 - 3x2y2 1 
Vậy giá trị lớn nhất bằng 1 khi x =0 , y = 0 .
Ví dụ 2: Chứng minh (Với a,b,c > 0)
Giải: 
2A - 2B = 
= 
Áp dụng bất đẳng thức .
Ta có: 2A - 2B .
Vậy A B.
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c > 0
Ví dụ3: Cho các số dương x, y thoả mãn x + y = 1. 
Chứng minh rằng:.
Giải:
.
Đẳng thức xảy ra khi 
Ví dụ 4: Chứng minh bất đẳng thức: 
Giải: 
 ; 
 ; 
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c..
Bài tập:
Cho a,b,c là 3 số dương.Chứng minh rằng
Cho các số dương a, b, c biết a.b.c = 1. 
Chứng minh rằng: (a + 1)(b + 1)(c + 1)³ 8
Cho các số a, b biết a + b = 1. Chứng minh rằng
a) a + b ³ b) a + b ³ 
Cho 3 số dương a, b, c và a + b + c = 1. Chứng minh: + + ³ 9 
 Cho x, y, z ³ 0và x + y + z £ 3 . Chứng minh rằng:
 + + £ £ + + 
Cho 2 số dương a , b có tổng bằng 1 .Chứng minh rằng 
 a. + ³ 6
 b. + ³ 14
Cho 2 số dương a , b có tổng bằng 1 .Chứng minh rằng 
 (a + ) + (b + ) ³ 
Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi a,b,c>0
Cho a,b,c là 3 số dương. 
Chứng minh: .
Cho a, b, c là 3 số dương. 
Chứng minh rằng:.
 Chứng minh: a + b ³ với a + b ³ 1
Chứng minh: Với a,b,c > 0
Chứng minh: 
Bài 28: Cho 
Chứng minh rằng :(x + y).(y + z).(z + x) ³ 8xyz 
Cho A = 
Chứng minh rằng 
HƯỚNG DẪN:
A = 
Áp dụng (a + 1) ³ 2a
a) A - B = a + b - =2(a + b) - (a + b) ³ 0. b) Áp dụng câu a.
Xem bài 1
 + + £ + + = + + = .
 + + ³ ³ = 
 A = + = ( + ) + ³ + = 6 ( vì 2ab £ (a+b) )
 B = + = 3( +) + 
 (a + ) + + (b + ) + 
 = + ³ 5(a + ) + 5(b + ) 
 	= 5(a + b) + 5( + ) ³ 5( a + b) + 5. = 25
 Suy ra: (a + ) + (b + ) ³ 
 + ³ ; + ³ ; + ³ 
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta được Đpcm
Ta có: + = ( + ) ³ 2. 
Cộng từng vế 3 bất đẳng thức trên ta được đpcm. 
Đẳng thức xáy ra khi và chỉ khi a = b = c.(Hãy kiểm tra lại)
 Áp dụng BĐT 
 a + b ³ ( a + b ) ³ ³ 
 ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) = + + 
 = (a+b+c) ( + + ) ³ (a+b+c) . = 
Suy ra: 
 Áp dụng BĐT ở ví dụ 6 cho 3 số rồi tiếp tục áp dụng lần nửa cho 3 số a2b2 + b2c2 + c2a2 ta có đpcm.
 Áp dụng BĐT .
Nhân từng thừa số của 3 BĐT suy ra ĐPCM
 A có 2n + 1 số hạng
Áp dụng BĐT Với từng cặp số hạng thích hợp sẽ có đpcm
 CÁC ĐỀ ÔN TẬP CUỐI NĂM
ĐỀ 1
Bài 1: a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 – 7x + 6
 b/ Tính : 
Bài 2: Giải phương trình
 a/ 
 b/ (x – 3)(2x + 6) = (4 – 3x )(x + 3)
Bài 3: Một ô tô tải đi từ A đến B với vận tốc 30km/giờ. Một lúc sau một xe con rời A với vận tốc 40km/giờ và sẽ đuổi kịp xe tải tại B. Nhưng đi nữa quảng đường AB thì xe con tăng vận tốc thêm 5km/giờ nên sau 1 giờ đã đuổi kịp xe tải. Tính quảng đường AB?
Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD . Lấy E trên cạnh DC, F trên cạnh AD sao cho C và F đối xứng qua BE; EF cắt AB tại Q . Đạt AB = a; BC = b
 a/ Chứng minh rằng 
 b/ 
 Bài 5: Chứng minh rằng : 1 + 5 9009 không phải là số nguyên tố
 ************************************************
 ĐỀ 2
Bài 1: Tìm a để mọi nghiệm của bất phương trình ( a2 + 1 )x > 2a – 1 (1) đều là nghiệm của bất phương trình 2x > 5 (2)
Bài 2: Giải các phương trình sau :
 a/ b/ m(x – 1 ) = x + 2n – 7
Bài 3: Tìm số dư cuối cùng trong phép chia :
 1 + x + x19 + x20 + x2004 cho 1 – x2
Bài 4: Cho x + y + z = 0 và xyz 
Tính: 
Bài 5: Cho tam giác ABC, gọi H là trực tâm của tam giác các đường cao AA’ ,BB’, CC’;
O là giao điểm của 3 đường trung trực, hạ ,chứng minh:
 a/ AH = 2 OE b/ 
ĐỀ 3
Bài1/ Cho 3 số x,y,z thỏa mãn 
Chứng minh rằng mọi n lẻ đều có 
Bài2/ Rút gọn 
Bài 3 / Tìm x thỏa mãn (x – 1)( x – 2)( x – 3)(x – 4) = 120
Bài 4/ Cho a,b,c độ dài của 3 cạnh của tam giác 
 a/ Chứng minh bất đẳng thức : ab +bc +ca < a2 +b2 +c2 < 2( ab +bc +ca)
 b/ Chứng minh nếu ( a + b + c)2 = 3( ab + bc + ca) thì tam giác đó là tam giác đều
Bài 5 : Cho tam giác ABC . Một đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác cắt cạnh BC kéo dài về phía C và các cạnh CA, AB theo thứ tự A1, B1, C1. Chứng minh rằng: