Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Khối 9

B. CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP:
I. TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ:
* Định lí bổ sung:
+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất 
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1
+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì và đều là số nguyên. Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do
1. Ví dụ 1: 3x2 – 8x + 4
Cách 1: Tách hạng tử thứ 2
3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2)
Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất:
3x2 – 8x + 4 = (4x2 – 8x + 4) - x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – 2 + x)(2x – 2 – x) 
= (x – 2)(3x – 2)
2. Ví dụ 2: x3 – x2 - 4
Ta nhân thấy nghiệm của f(x) nếu có thì x = , chỉ có f(2) = 0 nên x = 2 là nghiệm của f(x) nên f(x) có một nhân tử là x – 2. Do đó ta tách f(x) thành các nhóm có xuất hiện một nhân tử là x – 2
Cách 1: x3 - x2 – 4 = 
 = 
Cách 2: 
= 
3. Ví dụ 3: f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5
Nhận xét: không là nghiệm của f(x), như vậy f(x) không có nghiệm nguyên. Nên f(x) nếu có nghiệm thì là nghiệm hữu tỉ
Ta nhận thấy x = là nghiệm của f(x) do đó f(x) có một nhân tử là 3x – 1. Nên
f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5 = 
 = 
Vì với mọi x nên không phân tích được thành nhân tử nữa
4. Ví dụ 4: x3 + 5x2 + 8x + 4 
Nhận xét: Tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ nên đa thức có một nhân tử là x + 1
x3 + 5x2 + 8x + 4 = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4) = x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1)
= (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2
5. Ví dụ 5: f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2
Tổng các hệ số bằng 0 thì nên đa thức có một nhân tử là x – 1, chia f(x) cho (x – 1) ta có:
x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2 = (x – 1)(x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2)
Vì x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2 không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỉ nên không phân tích được nữa
6.Ví dụ 6: x4 + 1997x2 + 1996x + 1997 = (x4 + x2 + 1) + (1996x2 + 1996x + 1996)
= (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) + 1996(x2 + x + 1)= (x2 + x + 1)(x2 - x + 1 + 1996) 
= (x2 + x + 1)(x2 - x + 1997)
7. Ví dụ 7: x2 - x - 2001.2002 = x2 - x - 2001.(2001 + 1)
 = x2 - x – 20012 - 2001 = (x2 – 20012) – (x + 2001) = (x + 2001)(x – 2002)
II. THÊM , BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ:
1. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện hiệu hai bình phương:
a) Ví dụ 1: 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 – 36x2 
= (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + 9 + 6x)(2x2 + 9 – 6x) 
= (2x2 + 6x + 9 )(2x2 – 6x + 9) 
b) Ví dụ 2: x8 + 98x4 + 1 = (x8 + 2x4 + 1 ) + 96x4 
= (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 - 16x2(x4 + 1) + 32x4
= (x4 + 1 + 8x2)2 – 16x2(x4 + 1 – 2x2) = (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2 – 1)2
= (x4 + 8x2 + 1)2 - (4x3 – 4x )2 
= (x4 + 4x3 + 8x2 – 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1)
2. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện nhân tử chung
a) Ví dụ 1: x7 + x2 + 1 = (x7 – x) + (x2 + x + 1 ) = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1 ) 
= x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1 ) = x(x – 1)(x2 + x + 1 ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1)
b) Ví dụ 2: x7 + x5 + 1 = (x7 – x ) + (x5 – x2 ) + (x2 + x + 1) 
= x(x3 – 1)(x3 + 1) + x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1) 
= (x2 + x + 1)(x – 1)(x4 + x) + x2 (x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) 
= (x2 + x + 1)[(x5 – x4 + x2 – x) + (x3 – x2 ) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x + 1) 
* Ghi nhớ: 
Các đa thức có dạng x3m + 1 + x3n + 2 + 1 như: x7 + x2 + 1 ; x7 + x5 + 1 ; x8 + x4 + 1 ;
x5 + x + 1 ; x8 + x + 1 ;  đều có nhân tử chung là x2 + x + 1
III. ĐẶT BIẾN PHỤ:
1. Ví dụ 1: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128
 = (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128
Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức có dạng
 (y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = (y + 4)(y – 4)
= ( x2 + 10x + 8 )(x2 + 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + 8 )
2. Ví dụ 2: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1
Giả sử x 0 ta viết 
x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x2 ( x2 + 6x + 7 – ) = x2 [(x2 + ) + 6(x - ) + 7 ]
Đặt x - = y thì x2 + = y2 + 2, do đó
A = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = [x(x - )2 + 3x]2 = (x2 + 3x – 1)2 
* Chú ý: Ví dụ trên có thể giải bằng cách áp dụng hằng đẳng thức như sau:
A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x4 + (6x3 – 2x2 ) + (9x2 – 6x + 1 )
 = x4 + 2x2(3x – 1) + (3x – 1)2 = (x2 + 3x – 1)2 
3. Ví dụ 3: A = 
= 
Đặt = a, xy + yz + zx = b ta có 
A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = ( + xy + yz + zx)2
4. Ví dụ 4: B = 
Đặt x4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta có:
B = 2a – b2 – 2bc2 + c4 = 2a – 2b2 + b2 - 2bc2 + c4 = 2(a – b2) + (b –c2)2
Ta lại có: a – b2 = - 2() và b –c2 = - 2(xy + yz + zx) Do đó:
B = - 4() + 4 (xy + yz + zx)2 
5. Ví dụ 5: 
Đặt a + b = m, a – b = n thì 4ab = m2 – n2
 a3 + b3 = (a + b)[(a – b)2 + ab] = m(n2 + ). Ta có:
C = (m + c)3 – 4. = 3( - c3 +mc2 – mn2 + cn2)
= 3[c2(m - c) - n2(m - c)] = 3(m - c)(c - n)(c + n) = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b)
IV. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH:
1. Ví dụ 1: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3
Nhận xét: các số 1, 3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên củng không có nghiệm hữu tỉ
Như vậy nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng 
(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta có: 
Xét bd = 3 với b, d Z, b với b = 3 thì d = 1 hệ điều kiện trên trở thành
Vậy: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) 
2. Ví dụ 2: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8
Nhận xét: đa thức có 1 nghiệm là x = 2 nên có thừa số là x - 2 do đó ta có:
 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + ax2 + bx + c) 
= 2x4 + (a - 4)x3 + (b - 2a)x2 + (c - 2b)x - 2c 
Suy ra: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + x2 - 5x - 4) 
Ta lại có 2x3 + x2 - 5x - 4 là đa thức có tổng hệ số của các hạng tử bậc lẻ và bậc chẵn bằng nhau nên có 1 nhân tử là x + 1 nên 2x3 + x2 - 5x - 4 = (x + 1)(2x2 - x - 4)
Vậy: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(x + 1)(2x2 - x - 4)
3. Ví dụ 3: 
12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (a x + by + 3)(cx + dy - 1)
= acx2 + (3c - a)x + bdy2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy – 3 
 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1)
1) x3 - 7x + 6
2) x3 - 9x2 + 6x + 16
3) x3 - 6x2 - x + 30
4) 2x3 - x2 + 5x + 3
5) 27x3 - 27x2 + 18x - 4
6) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12
7) (x + 2)(x +3)(x + 4)(x + 5) - 24
8) 4x4 - 32x2 + 1
9) 3(x4 + x2 + 1) - (x2 + x + 1)2 
BÀI TẬP: 
10) 64x4 + y4
11) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6
12) x3 + 3xy + y3 - 1
13) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1
14) x8 + x + 1
15) x8 + 3x4 + 4 
16) 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 +10
17) x4 - 8x + 63
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
CHUYÊN ĐỀ 2 - LUỸ THỪA BẬC N CỦA MỘT NHỊ THỨC
B. KIẾN THỨC VÀ BÀI TẬP VẬN DỤNG:
I. Một số hằng đẳng thức tổng quát:
1. an - bn = (a - b)(an - 1 + an - 2 b + an - 3 b2 +  + abn - 2 + bn - 1 )
2. an + bn = (a + b) ( an - 1 - an - 2b + an - 3b2 -  - abn - 2 + bn - 1 )
3. Nhị thức Niutơn: (a + b)n = an + an - 1 b + an - 2 b2 + + ab n - 1 + bn
Trong đó: : Tổ hợp chập k của n phần tử
II. Cách xác định hệ số của khai triển Niutơn:
1. Cách 1: Dùng công thức 
Chẳng hạn hệ số của hạng tử a4b3 trong khai triển của (a + b)7 là 
Chú ý: a) với quy ước 0! = 1 
 b) Ta có: = nên 
2. Cách 2: Dùng tam giác Patxcan
Đỉnh
1
Dòng 1(n = 1)
1
1
Dòng 2(n = 1)
1
2
1
Dòng 3(n = 3)
1
3
3
1
Dòng 4(n = 4)
1
4
6
4
1
Dòng 5(n = 5)
1
5
10
10
5
1
Dòng 6(n = 6)
1
6
15
20
15
6
1
Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm các số 1; dòng k + 1 được thành lập từ dòng k
 (k 1), chẳng hạn ở dòng 2 (n = 2) ta có 2 = 1 + 1, dòng 3 (n = 3): 3 = 2 + 1, 3 = 1 + 2 
dòng 4 (n = 4): 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 = 3 + 1, 
Với n = 4 thì: (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
Với n = 5 thì: (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
Với n = 6 thì: (a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2 b4 + 6ab5 + b6
3. Cách 3:
Tìm hệ số của hạng tử đứng sau theo các hệ số của hạng tử đứng trước:
a) Hệ số của hạng tử thứ nhất bằng 1
b) Muốn có hệ số của của hạng tử thứ k + 1, ta lấy hệ số của hạng tử thứ k nhân với số mũ của biến trong hạng tử thứ k rồi chia cho k 
Chẳng hạn: (a + b)4 = a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b5
Chú ý rằng: các hệ số của khai triển Niutơn có tính đối xứng qua hạng tử đứng giữa, nghĩa 
là các hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối có hệ số bằng nhau
(a + b)n = an + nan -1b + an - 2b2 + + a2bn - 2 + nan - 1bn - 1 + bn
III. Ví dụ:
1. Ví dụ 1: phân tích đa thức sau thành nhân tử 
a) A = (x + y)5 - x5 - y5
Cách 1: khai triển (x + y)5 rồi rút gọn A
A = (x + y)5 - x5 - y5 = ( x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5) - x5 - y5
 = 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 = 5xy(x3 + 2x2y + 2xy2 + y3)
 = 5xy [(x + y)(x2 - xy + y2) + 2xy(x + y)] = 5xy(x + y)(x2 + xy + y2)
Cách 2: A = (x + y)5 - (x5 + y5)
x5 + y5 chia hết cho x + y nên chia x5 + y5 cho x + y ta có: 
x5 + y5 = (x + y)(x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4) nên A có nhân tử chung là (x + y), đặt (x + y) làm nhân tử chung, ta tìm được nhân tử còn lại
b) B = (x + y)7 - x7 - y7 = (x7+7x6y +21x5y2 + 35x4y3 +35x3y4 +21x2y5 7xy6 + y7) - x7 - y7 
 = 7x6y + 21x5y2 + 35x4y3 + 35x3y4 + 21x2y5 + 7xy6 
 = 7xy[(x5 + y5 ) + 3(x4y + xy4) + 5(x3y2 + x2y3 )]
 = 7xy {[(x + y)(x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4) ] + 3xy(x + y)(x2 - xy + y2) + 5x2y2(x + y)}
 = 7xy(x + y)[x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4 + 3xy(x2 + xy + y2) + 5x2y2 ]
 = 7xy(x + y)[x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4 + 3x3y - 3x2y2 + 3xy3 + 5x2y2 ]
 = 7xy(x + y)[(x4 + 2x2y2 + y4) + 2xy (x2 + y2) + x2y2 ] = 7xy(x + y)(x2 + xy + y2 )2
Ví dụ 2:Tìm tổng hệ số các đa thức có được sau khi khai triển
a) (4x - 3)4
Cách 1: Theo cônh thức Niu tơn ta có:
(4x - 3)4 = 4.(4x)3.3 + 6.(4x)2.32 - 4. 4x. 33 + 34 = 256x4 - 768x3 + 864x2 - 432x + 81
 Tổng các hệ số: 256 - 768 + 864 - 432 + 81 = 1
b) Cách 2: Xét đẳng thức (4x - 3)4 = c0x4 + c1x3 + c2x2 + c3x + c4
Tổng các hệ số: c0 + c1 + c2 + c3 + c4
Thay x = 1 vào đẳng thức trên ta có: (4.1 - 3)4 = c0 + c1 + c2 + c3 + c4
Vậy: c0 + c1 + c2 + c3 + c4 = 1
* Ghi chú: Tổng các hệ số khai triển của một nhị thức, một đa thức bằng giá trị của đa 
thức đó tại x = 1
C. BÀI TẬP:
Bài 1: Phân tích thành nhân tử
a) (a + b)3 - a3 - b3 b) (x + y)4 + x4 + y4
Bài 2: Tìm tổng các hệ số có được sau khi khai triển đa thức
a) (5x - 2)5 b) (x2 + x - 2)2010 + (x2 - x + 1)2011
CHUÊN ĐỀ 3 - CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN
B.KIẾN THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN:
I. Dạng 1: Chứng minh quan hệ chia hết
1. Kiến thức:
* Để chứng minh A(n) chia hết cho một số m ta phân tích A(n) thành nhân tử có một nhân tử làm hoặc bội của m, nếu m là hợp số thì ta lại phân tích nó thành nhân tử có các đoi một ... ng: S = + + +  + 
 C©u 4: Cho 3 sè x, y, z, tho¶ m·n ®iÒu kiÖn xyz = 2011. Chøng minh r»ng biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo c¸c biÕn x, y, z : 
C©u 5: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 
C©u 6: Cho ABC tam gi¸c ®Òu, gäi M lµ trung ®iÓm cña BC . Mét gãc = 600 quay quanh ®iÓm M sao cho 2 c¹nh Mx , My lu«n c¾t c¹nh AB vµ AC lÇn l­ît t¹i D vµ E . Chøng minh :
a) BD.CE=
b) DM, EM lÇn l­ît lµ tia ph©n gi¸c cñavµ .
c) Chu vi ADE kh«ng ®æi.
Gi¶i 
1) a, Thùc hiÖn chia = n + 
§Ó m nguyªn víi n nguyªn khi n + 1 lµ ­íc cña 1
Hay n + 1 Î{1; -1 }. Khi ®ã : n + 1 = 1 Þ n = 0 ÎZ ( t/m)
 n + 1 = -1 Þ n = -2 Î Z (t/m)
Víi n = 0 Þ m = 1 . Víi n = -2 Þ m = - 3 . VËy ...
b, A = n3 + 3n2 + 3n +1 + 2n +2 = (n+ 1) 3 +2(n+1) =  = n ( n +1) (n+ 2) + 3( n+1)
Khi ®ã : 3(n+1) 3 
 n( n +1) (n+ 2) lµ tÝch cña 3 sè nguyªn d­¬ng liªn tiÕp nªn tån t¹i mét sè lµ béi cña 3
c, a = 13k +2, b = 13q +3 
a2 + b2 = ( 13k +2 )2 + ( 13q + 3) 2 =....= 13( 13k2 +4k +13 q2 + 4q +1) 13
2) a) A= = . = = 1
b) Ta cã: = ; 
Tö thøc: = - 
= 
MÉu thøc: = 
Rót gän ta cã: B = 
3) S = 
4). = 
= + + = = 1 kh«ng ®æi
5) Û x = 2011.
6) a,Chøng minh 
... V× BM = CM = BD.CE = 
 b, Chøng minh 	 
 Tõ ®ã suy ra , do ®ã DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BDE
Chøng minh t­¬ng tù ta cã EM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CED 
c, Gäi H, I, K lµ h×nh chiÕu cña M trªn AB, DE, AC
 Chøng minh DH = DI, EI = EK.
 Chu vi b»ng 2.AH . 
Bµi 1 (4.0 ®iÓm)
 Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö 
	a) x2 -7x + 12.
	b) x4 + 2011x2 + 2010x + 2011.
 c) (x2+ y2+1)4 - 17(x2+y2+1)2x2 + 16x4 
Bµi 2 (4.0 ®iÓm).
Cho biÓu thøc : A = 
a) Ruùt goïn A
b) tìm x ñeå A = 0
c) Tìm giaù trò cuûa A khi 
Bµi 3 (4.0®iÓm) : Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh :
	a) 
	b) 
Bµi 4 (2.®) Chøng minh : a5 - a chia hÕt cho 30 víi a Z
Bµi 5 (4.0®iÓm) : Cho h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh b»ng a. Gäi E; F lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB, BC. Gäi M ×a giao ®iÓm cña CE vµ DF.
a) Chøng minh CE vu«ng gãc víi DF
b) Chøng minh := SABCD
Bµi 6 2.0 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã chu vi b»ng 18 . Trong ®ã BC lµ c¹nh lín nh¸t . §­êng ph©n gi¸c gãc B c¾t AC ë M sao cho . §­êng ph©n gi¸c cña gãc C c¾t AB ë N sao cho . TÝnh c¸c c¹nh cña tam gi¸c ABC .
Đề thi HSG
Câu 1: Tìm x biết:
a) x2 – 4x + 4 = 25 
b) 
c) 4x – 12.2x + 32 = 0 
Câu 2: Cho x, y, z đôi một khác nhau và . 
Tính giá trị của biểu thức: 
Câu 3: Cho biểu thức : 
P = 
a) Rút gọn p .
b) Tính giá trị của biểu thức p khi  = 
c) Với giá trị nào của x thì P = 7
d) Tìm giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên .
Câu 4 : Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm. 
 a) Tính tổng 
b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM.
c) Chứng minh rằng: .
Câu 5: 
Qua trọng tâm G tam giác ABC , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt AB và BC lần lượt tại M và N . 
Tính độ dài MN , biết AM + NC = 16 (cm) ; Chu vi tam giác ABC bằng 75 (cm)
Giải
Câu 1
 a) Tính đúng x = 7; x = -3 
 b) Tính đúng x = 2007 
 c) 4x – 12.2x + 32 = 0 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 
 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0 (2x – 8)(2x – 4) = 0 
 (2x – 23)(2x –22) = 0 2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0 
 2x = 23 hoặc 2x = 22 x = 3; x = 2 
Câu 2:
yz = –xy–xz 
x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) 
Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) 
Do đó: 
Tính đúng A = 1 
Câu 3: 
a) p = = 
b) Với x ≠ 0 ; x ≠ ± 2 thì biểu thức p xác định 
/x/ = nên x = hoặc x = - 
+ Nếu x = thì p = 
+ Nếu x = - thì p = 
c) Với p = 7 thì Þ x = ( thỏa mãn điều kiện của x ) 
d) Để p có giá trị nguyên thì 2 - x phải là ước của 1 . 
Từ đó ta có : x = 1 ; x = 3 ; 
Vậy để p nguyên lúc đó x = 1 ; x = 3 ; 
Câu 4:
 a) ; 
 Tương tự: ; 
 b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC:
 c)Vẽ Cx CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx 
-Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ 
- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD 
-BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2 
 AB2 + AD2 (BC+CD)2 
 AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2
 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 
Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2
 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 
-Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 
(Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC
 ABC đều)
Câu 5: 
ta có : 
Do MN // AC nên 
Mà 
vì AM + NC = 16 (cm) và AB + BC = 75 – AC 
Do đó : Þ AC = 27 (cm)
Ta lại có : (cm) 
CHUYEÂN ÑEÀ 13 – BAÁT ÑAÚNG THÖÙC
PhÇn I : c¸c kiÕn thøc cÇn l­u ý
1-§inhnghÜa: 
2-tÝnh chÊt
+ A>B 
+ A>B vµ B >C A > C
+ A>B A + C >B + C
+ A>B vµ C > D A +C > B + D
+ A>B vµ C > 0 A.C > B.C
+ A>B vµ C < 0 A.C < B.C
+ 0 < A < B vµ 0 < C < D 0 < A.C < B.D
+ A > B > 0 An > Bn 
+ A > B An > Bn víi n lÎ
+ > An > Bn víi n ch½n
+ m > n > 0 vµ A > 1 A >A 
+ m > n > 0 vµ 0 <A < 1 A < A 
+A 0 
3 - mét sè h»ng bÊt ®¼ng thøc
+ A 0 víi A ( dÊu = x¶y ra khi A = 0 )
+ An 0 víiA ( dÊu = x¶y ra khi A = 0 )
+ víi (dÊu = x¶y ra khi A = 0 )
+ - < A = 
+ ( dÊu = x¶y ra khi A.B > 0)
+ ( dÊu = x¶y ra khi A.B < 0)
PhÇn II : mét sè ph­¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc
1) Ph­¬ng ph¸p 1: dïng ®Þnh nghÜa
KiÕn thøc : §Ó chøng minh A > B Ta chøng minh A – B > 0
L­u ý dïng h»ng bÊt ®¼ng thøc M 0 víi " M
VÝ dô 1 " x, y, z chøng minh r»ng :
 a) x + y + z xy+ yz + zx
 b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz
Gi¶i:
a) Ta xÐt hiÖu : x + y + z- xy – yz – zx = .2 .( x + y + z- xy – yz – zx)
= 0 ®óng víi mäi x;y;z
V× (x-y)2 0 víi"x ; y .DÊu b»ng x¶y ra khi x = y
(x- z)2 0 víi"x ; z . DÊu b»ng x¶y ra khi x = z
 (y- z)2 0 víi" z; y . DÊu b»ng x¶y ra khi z = y
 VËy x + y + z xy+ yz + zx . DÊu b»ng x¶y ra khi x = y =z
 b)Ta xÐt hiÖu: 
x + y + z- ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z- 2xy +2xz –2yz = ( x – y + z) 
®óng víi mäi x;y;z
VËy x + y + z 2xy – 2xz + 2yz ®óng víi mäi x;y;z
 DÊu b»ng x¶y ra khi x + y = z
VÝ dô 2: chøng minh r»ng :
a) ; b) c) H·y tæng qu¸t bµi to¸n
gi¶i
a) Ta xÐt hiÖu 
 = = = 
 VËy DÊu b»ng x¶y ra khi a = b
b)Ta xÐt hiÖu: = 
 VËy DÊu b»ng x¶y ra khi a = b =c
c)Tæng qu¸t: 
* Tãm l¹i c¸c b­íc ®Ó chøng minh AB theo ®Þnh nghÜa
 B­íc 1: Ta xÐt hiÖu H = A - B
 B­íc 2:BiÕn ®æi H = (C+D)hoÆc H=(C+D)+.+(E+F)
 B­íc 3: KÕt luËn A ³ B
2) ph­¬ng ph¸p 2 : Dïng phÐp biÕn ®æi t­¬ng ®­¬ng
L­u ý:
 Ta biÕn ®æi bÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh t­¬ng ®­¬ng víi bÊt ®¼ng thøc ®óng hoÆc bÊt ®¼ng thøc ®· ®­îc chøng minh lµ ®óng.
VÝ dô 1: Cho a, b, c, d,e lµ c¸c sè thùc chøng minh r»ng
a) b) c)
Gi¶i:
a) (B®t nµy lu«n ®óng)
 Vëy (dÊu b»ng x¶y ra khi 2a = b)
b) 
 (lu«n ®óng) 
 VËy DÊu b»ng x¶y ra khi a = b = 1
c) 
VÝ dô 2: Chøng minh r»ng: 
Gi¶i: 
 a2b2(a2-b2)(a6-b6) 0 
 a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) 0
VÝ dô 4: cho ba sè thùc kh¸c kh«ng x, y, z tháa m·n: 
 Chøng minh r»ng : cã ®óng mét trong ba sè x,y,z lín h¬n 1
 Gi¶i: XÐt (x-1)(y-1)(z-1) = xyz + (xy + yz + zx) + x + y + z - 1
 = (xyz - 1) + (x + y + z) - xyz() = x + y + z - (
(v×< x+y+z theo gt) 2 trong 3 sè x-1 , y-1 , z-1 ©m hoÆc c¶ ba sç-1 , y-1, z-1 lµ d­¬ng.
NÕñ tr­êng hîp sau x¶y ra th× x, y, z >1 x.y.z>1 M©u thuÉn gt x.y.z =1 b¾t buéc ph¶i x¶y ra tr­êng hîp trªn tøc lµ cã ®óng 1 trong ba sè x ,y ,z lµ sè lín h¬n 1
3) Ph­¬ng ph¸p 3: dïng bÊt ®¼ng thøc quen thuéc
A) mét sè bÊt ®¼ng thøc hay dïng
1) C¸c bÊt ®¼ng thøc phô:
a) b) dÊu( = ) khi x = y = 0
c) d)
2)BÊt ®¼ng thøc C« sy: Víi 
3)BÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski
4) BÊt ®¼ng thøc Trª-b­ - sÐp:
 NÕu 
 NÕu 
DÊu b»ng x¶y ra khi 
B) c¸c vÝ dô
vÝ dô 1 
Cho a, b ,c lµ c¸c sè kh«ng ©m chøng minh r»ng (a+b) (b+c)(c+a) 8abc
Gi¶i: Dïng bÊt ®¼ng thøc phô: 
Tacã ; ; 
(a + b)(b + c)(c + a) 8abc 
 DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c
vÝ dô 2: Cho a > b > c > 0 vµ chøng minh r»ng 
Do a,b,c ®èi xøng , gi¶ sö a b c 
¸p dông B§T Trª- b­-sÐp ta cã
 ==
 VËy DÊu b»ng x¶y ra khi a = b = c = 
vÝ dô 3: Cho a,b,c,d > 0 vµ abcd =1 .Chøng minh r»ng :
Ta cã ; 
Do abcd =1 nªn cd = (dïng )
 Ta cã (1)	 
 MÆt kh¸c: 
 = (ab + cd) + (ac + bd) + (bc + ad)
= 
vÝ dô 4: Chøng minh r»ng : 
Gi¶i: Dïng bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski
XÐt cÆp sè (1,1,1) vµ (a,b,c) ta cã 
 3 (®pcm) 
DÊu b»ng x¶y ra khi a = b = c
4) Ph­¬ng ph¸p 4: dïng tÝnh chÊt cña tû sè
A. KiÕn thøc
1) Cho a, b ,c lµ c¸c sè d­¬ng th×
a ) NÕu th× b ) NÕu th× 
2) NÕu b, d > 0 th× tõ 
B. C¸c vÝ dô:
vÝ dô 1: Cho a, b, c, d > 0 
Chøng minh r»ng :
Theo tÝnh chÊt cña tØ lÖ thøc ta cã (1)
MÆt kh¸c : (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã (3)
T­¬ng tù ta cã : (4)
 (5); (6)
céng vÕ víi vÕ cña (3); (4); (5); (6) ta cã 
 (®pcm)
vÝ dô 2 : Cho: vµ b,d > 0 
Chøng minh r»ng 
Gi¶i: Tõ (®pcm)
vÝ dô 3 : Cho a;b;c;d lµ c¸c sè nguyªn d­¬ng tháa m·n : a + b = c+d =1000
t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña 
gi¶i : Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö : ; v× a + b = c + d 
a, NÕu: b th× 999
b, NÕu: b = 998 th× a =1 = §¹t gi¸ trÞ lín nhÊt khi d = 1; c = 999
VËy: gi¸ trÞ lín nhÊt cña = 999 + khi a = d = 1; c = b = 999
VÝ dô 4 : Víi mäi sè tù nhiªn n >1 chøng minh r»ng : 
Ta cã víi k = 1,2,3,,n-1
Do ®ã: 
VÝ dô 5: CMR: A = với n ≥ 2 kh«ng lµ sè tù nhiªn
 HD: 
VÝ dô 6: Cho a ,b ,c ,d > 0 .Chøng minh r»ng :
Gi¶i :
V× a ,b ,c ,d > 0 nªn ta cã: (1)
 (2)
 (3)
 Céng c¸c vÕ cña 4 bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã :
 (®pcm)
5. Ph­¬ng ph¸p 5:Dïng bÊt ®¼ng thøc trong tam gi¸c
L­u ý: NÕu a;b;clµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c th× : a; b; c > 0 
Vµ |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a 
VÝ dô1: 
Cho a; b; clµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c chøng minh r»ng 
a, a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac)
b, abc > (a+b-c).(b+c-a).(c+a-b)
Gi¶i
a)V× a,b,c lµ sè ®o 3 c¹nh cña mét tam gi¸c nªn ta cã 
 Céng tõng vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac)
b) Ta cã a > êb - c ï Þ > 0
 b > êa - c ï Þ > 0
 c > êa - b ï Þ 
Nh©n vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc ta ®­îc: 
VÝ dô2: (®æi biÕn sè)
Cho a,b,c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c. Chøng minh r»ng (1)
§Æt x= b + c ; y= c + a ;z = a + b ta cã a = ; b = ; c =
ta cã (1) 
 ( lµ B®t ®óng?
 VÝ dô 3: (®æi biÕn sè) 
Cho a, b, c > 0 vµ a + b + c <1. Chøng minh r»ng : (1)
Gi¶i: §Æt x = ; y = ; z = 
 Ta cã 
(1) Víi x + y + z 0
Theo bÊt ®¼ng thøc C«si ta cã: 
 3. vµ 3. . 
6) ph­¬ng ph¸p lµm tréi :
Chøng minh B§T sau :
 a) 
 b) 
 Gi¶i : 
 a) Ta cã : 
Cho n ch¹y tõ 1 ®Õn k .Sau ®ã céng l¹i ta cã
 (®pcm)
b) Ta cã : 
 < (®pcm)
Bµi tËp vÒ nhµ: 
1) Chøng minh r»ng: x + y + z+3 2 (x + y + z)
HD: Ta xÐt hiÖu: x + y + z+3 – 2( x+ y +z ) = x- 2x + 1 + y -2y +1 + z-2z +1
2) Cho a ,b,c lµ sè ®o ba c¹nh tam gi¸c. Chøng minh r»ng : 
(HD: vµ )
3) 1 < < 2
¸p dông ph­¬ng ph¸p lµm tréi
4) Cho a, b, c > 0. Chøng minh r»ng a + b + c
HD: = c 2c; ? ; ?