Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 (Bản đẹp)

Chuyên đề 1:
	phép nhân và phép chia đa thức
Dạng tổng quát:
Phép nhân đơn thức với đa thức,đa thức với da thức:
	A(B+C) = A.B +A.C
	( A + B)( C+ D ) = A . C + A . D + B . C + B . D
Các bài toán vận dụng:
Bài toán 1:
	Cho biểu thức:
	M = -
Bằng cách đặt ,, hãy rút gọn biểu thức M theo và 
Tính giá trị của biểu thức M.
Giải:
	a) M = 
 b) M = 
Bài toán 2:
 Tính giá trị của biểu thức:
	A= với x= 4
 Giải:
	Cách 1. Thay , ta có
 A = 4-5.4+5.4-5.4+5.4-1
 = 4-(4+1).4+(4+1).4-(4+1)4+ (4+1).4-1
	= 4-1
	= 3
	 Cách 2: Thay 5 bởi , ta có:
 A = 
	= +
	= 
	= 3.
	Nhận xét: Khi tính giá trị của biểu thức, ta thường thay chữ bằng số.Nhưng ở ví dụ 1 và ở cách 2 của ví dụ 2, ta lại thay số bằng chữ.
Bài toán 3: 
	Chứng minh hằng đẳng thức
biết rằng 
Giải:
	Biến đổi vế trái ta được:
Thay bởi được vế trái bằng , bằng vế phải.
bài tập:
Bài tập 1: Rút gọn bểu thức
	Với .
Bài tập 2: 
	a)Chứng minh rằng chia hết cho 7
	b) Viết 7.32 thành tổng của ba luỹ thừa cơ số 2 với các số mũ là ba số tự nhiên liên tiếp
Bài tập 3:
	Tính 
Bài tập 4:
	Chứng minh hằng đẳng thức:
	(
Bài tập 5:
	Rút gọn biểu thức 
	biểu rằng 
Chuyên đề 2:
	các hằng đẳng thức đáng nhớ
Ngoài bảy hằng đẳng thức quen thộc,h/s cần biết đến các hằng đẳng thức mở rộng.
	từ đẳng thức (1) ta suy ra:
Mở rộng:
Tổng quát:
Các ví dụ :
Ví dụ 1:
	Cho x+y=9 ; xy=14. Tính giá trị của các biểu thức sau:
	a) x-y ; b) x+y; c)x+y.
Giải
	a)	(x-y)=x-2xy+y=x+2xy+y-4xy=(x+y)-4xy=9-4.14=25=5
	suy ra x-y = 5
 b) (x+y)=x+y+2xy
	suy ra x+y=(x+y)-2xy = 9-2.14 = 53
 c) (x+y)= x+y+3xy+3xy= x+y+3xy(x+y) 
	suy ra x+y=(x+y)-3xy(x+y) =9-3.14.9 = 351
Nhận xét:
Hai số có bình phương bằng nhau thì chúng dối nhau hoặc bằng nhau.Ngược lại , hai số đối nhau hoặc bằng nhau có bình phương bằng nhau.
	( A – B)= ( B – A )
Để tiện sử dụng ta còn viết: 
	( A + B) = A+ B+ 3AB(A+B)
	( A – B) = A- B - 3AB(A-B )
Ví dụ 3:
	Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
	A = (x + 3y – 5)- 6xy + 26
Giải :
 	A = x+ 9y+ 25 + 6xy – 10x -30y – 6xy + 26
	 = ( x- 10x + 25) + ( 9y - 30y + 25 ) + 1
	 = ( x -5)+ ( 3y-5)+ 1
	Vì (x-5) 0 (dấu “ =” xảy ra x=5 ); (3y-5) 0 (dấu “=” xảy ra y= ) nên A 1.Do đó GTNN của a =1 (khi và chỉ khi x=5 ; y).
Ta viết min A = 1.
 Nhận xét :
Các hằng đẳng thức được vận dụng theo hai chiều ngược nhau.
Chẳng hạn:
(A – B )= A - 2AB + B hoặc ngược lại
2. Bình phương của mọi số đều không âm :
( A – B )0 (dấu “ =” xảy ra A = B).
Ví dụ 4: 
	Cho đa thức 2x- 5x +3.Viết đa thức trên dưới dạng một đa thức của biến y trong đó y =x+ 1.
Giải: thay x bởi y-1, ta được :
	1x- 5x +3 = 2( y – 1)- 5( y-1 ) + 3
	 = 2 ( y- 2y + 1) – 5y + 3 + 5
	 = 2y- 9y + 10
Ví dụ 5:
	Số nào lớn hơn trong hai số A và B ?
	A = (2+1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)
	B = 2.
	Giải:
	Nhân hai vế của A với 2-1, ta được :
	A = (2-1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1).
	áp dụng hằng đẳng thức (a+b)(a-b) = a- b nhiều lần, ta được:
	A = 2-1. Vậy A < B.
Ví dụ 6:
	Rút gọn biểu thức :
	A = (a + b + c) + (a - b – c) -6a(b + c).
	Giải :
	A = [a + (b + c)] + [a – (b + c)]- 6a(b + c )
	 = a+ 3a(b + c) + 3a(b + c)+ (b + c) + a-3a(b + c) + + a- 3a(b + c) + 3a(b + c)- (b + c) - 6a(b + c)= 2a
Bài tập vận dụng:
A – Các hằng đẳng thức (1),(2),(3),(4)
Bài 6:
	Tính nhamh kết quả các biểu thức sau:
127+146.127 + 73 ;
9.2 - (18 - 1)(18+ 1) ;
100 - 99+ 98- ..... + 2- 1
(20+18+...+4+2) – (19+17+...+3+1) ;
Bài 7 :
Tính giá trị của biểu thức bằng cách hợp lí :
 a) A = ; b) B = 263+ 74.263 + 37 ; C = 136-92.136 + 46;
D = (50+ 48+..........+2) – (49+47+...........+3+ 1)
Bài 8 :
	Cho a+ b+ c= ab + bc + ca . Chưng minh rằng a = b = c .
Bài 9 :
	Tìm x và tìm n N biết
	x+ 2x + 4- 2+2 = 0.
B – Các hằng đẳng thức (5), (6), (7) :
Bài 10 :
	Rút gọn các biểu thức :
x(x-1)(x+1) – (x+1)(x2-x+1) ;
3x2(x+1)(x-1) – (x2-1)(x4+x2+1)+(x2-1)3;
(a+b+c)3+((a-b-c)3+(b-c-a)3+(c-a-b)3 ;
Bài 11 :
	Tìm x biết :
	6(x+1)2-2(x+1)3+2(x-1)(x2+x+1) = 0
Bài 12 :
	Chứng minh các hằng đẳng thức :
	(a+b+c)3 = a3+b3+c3+3(a+b)(b+c)(c+a).
Bài 13 :
	Cho a+b+c+d = 0 . Chứng minh rằng :
	a3+b3+c3+d3 = 3(ab – cd)(c +d) .
Bài 14 :
	Cho a+b = 1 .Tính giá trị của M = 2(a3+b3) – 3(a2 +b2) .
Chuyên đề 4:
phân tích đa thức thành nhân tử
*) Kiến thức cơ bản:
	1. Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức .
	2. Các phương pháp thông thường :
	+) Phương pháp đặt nhân tử chung
	AB + AC – AD = A(B+C-D).
	+) Phương pháp dùng hằng đẳng thức :
	A2 2AB + B2 = (AB)2
	A3 3A2B + 3AB2 B3= (A B)3
	A2 – B2 = (A-B)(A+B)
	A3- B3 = (A-B)( A2+ AB + B2)
	A3 + B3 = (A+ B)( A2 –AB + B2)
	+) Phương pháp nhóm các hạng tử :
	AC –AD + BC – BD = (C –D )(A + B)
	*) Nâng cao :
	1. Dạng tổng quát của các hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, hiệu hai lập phương là :
	An – Bn = (A – B)(An-1 + An-2B +....+ ABn-2 + Bn-1).
Dạng tổng quát của hằng đẳng thức tổng hai lập phương là :
An + Bn = (A + B)(An-1 – An-2B +An-3B2 - ..... – AB2 + Bn-1).
áp dụng vào tính chất chia hết :
An – Bn A – B	với n N và A B ;
An + Bn A + B	với n lẻ và A-B :
A2k – B2k A2 – B2	với kN và AB .
các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1:	Phân tích đa thức thành nhân tử :
x2 – 6x + 8 ;
9x2 + 6x -8 ;
Giải : Ba hạng tử của đa thức không có nhân tử chung , cũng không lập thành bình phương của một nhị thức. Do đó ta nghĩ đến việc tách một hạng tử thành hai hạng tử để tạo thành đa thức có bốn hoặc năm hạng tử.
Cách 1. x2 -6x + 8 = x2 – 2x – 4x + 8 = x(x – 2) – 4(x – 2) = (x – 2)(x- 4)
Cách 2. x2 – 6x + 8 = x2 – 6x + 9 – 1 = (x -3)2- 1 = (x – 2)(x – 4)
Cách 3. x2 – 6x +8 = x2 - 4 - 6x+12 = (x+ 2)(x – 2)–6(x-2) =(x- 2)(x- 4)
Cách 4. x2– 6x+8 = x2- 16 – 6x+24 = (x+4)(x– 4) -6 (x- 4) = (x – 4)(x – 2)
Có nhiều cách tách một hạng tử thành hai hạng tử khác, trong đó hai cách sau là thông dụng nhất :
Cách 1: Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử rồi dùng phương pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung mới.
9x2 +6x – 8 = 9x2 -6x + 12x – 8 = 3x(3x – 2) + 4(3x – 2) = (3x -2)(3x + 4)
Cách 2: Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đưa đa thức về dạng hiệu của hai bình phương.
	9x2 + 6x – 8 = 9x2+6x+1-9 = (3x + 1)2- 32= (3x +4)(3x -2).
	*) Chú ý : Cách tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử dựa vào hằng đẳng thức :
	mpx2 + (mp +nq)x +nq = (mx +n)(px + q). 
	Như vậy trong tam thức bậc hai : ã2 =bx + c, hệ số b được tách thành b1 + b2 sao cho b1b2 =ac .
	Trong thực hành ta làm như sau :
Tìm tích ac .
Phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách.
Chọn hai thừa số mà tổng bằng b.
	Trong đa thức 9x2 + 6x -8 thì a=9, b=6, c = -8.
Bước 1 : Tích ac = 9 (- 8) = -72.
Bước 2 : Phân tích -72 ra tích hai thừa số trái dấu, trong đó thừa số dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn ( để tổng hai thừa số đó bằng 6).
	-72 = (-1).72 = (-2).36 =(-3).24 =(-4) .18 = (-6).12 =(-8).9
Bước 3 : Chọn hai thừa số mà tổng bằng 6. Đó là -6 và 12.
	Trong trường hợp tam thức x2 + bx +c có b là số lẻ, hoặc a không là bình phương của một số nguyên thì giải theo cách 1 gọn hơn cách 2.
Ví dụ 2 : Phân tích thành nhân tử :(x2 +x)2 +4x2 +4x -12.
	Giải : Ta nhận thấy nếu đặt x2 +x =y thì đa thức có dạng y2 + 4y -12 là tam thức bậc hai đối với y. Ta có :
	y2 +4y -12 = y2 +6y -2y -12 = y(y +6) – 2(y +6) =(y + 6)(y -2)= (x2 +x +6)(x2 +x – 2)= (x2 + x +6)(x+2)(x – 1)
Cách làm như trên gọi là đổi biến.
Chú ý : Tam thức bậc hai x2 +bx +c sẽ không phân tích tiếp được nhân tử trong phạm vi số hữu tỉ nếu :
	Theo cách 1, khi phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách, không có hai thừa số nào có tổng bằng b, hoặc
Theo cách 2, sau khi đưa tam thức về dạng 	x2 – k thì k không là bình phương của số hữu tỉ.
	Tam thức x2 +x +6 không phân tích thành nhân tử được nữa(trong phạm vi số hữu tỉ) vì :
	Theo cách 1, tích ac =6 =1.6= 2.3, không có hai thừa số nào có tổng bằng 1.
Còn theo cách 2, x2 + x+6 = x2 + 2x.+ += (x +)2 +.
	Ta thấy không là bình phương của một số hữu tỉ.
Ví dụ 3: Phân tích thành nhân tử : x3 + 3x2 – 4.
Giải : Ta tách các hạng tử của đa thức trên bằng phương pháp tìm nghiệm của đa thức. Ta nhắc lại là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a)= 0. Như vậy nếu đa thức f(x) chứa nhân tử x-a thì a phải là nghiệm của đa thức. Ta lại chú ý rằng, nếu đa thức trên có một nhân tử là x-a thì nhân tử còn lại là x2 + bx + c, suy ra –ac = -4, tức là a phải là ước của -4. Tổng quát, trong đa thức với hệ số nguyên, nghiệm nguyên nếu có phải là ước của hạng tử không đổi. Ước của -4 là 1, 2, 4. Kiểm tra ta thấy -1 là nghiệm của đa thức. Như vậy đa thức chứa nhân tử x-1, do đó ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung x-1.
Cách 1.	x3 +3x2 – 4
 	= x3 -x2 + 4x2 -4
= x2 (x -1)+ 4(x-1)(x2 +4x+4) 
=(x-1)(x+2)2.
Cách 2 .	x3 +3x2 – 4= x3 -1 + 3x2 -3
	 = (x-1)(x2 +x+1) + 3(x-1)(x+4)
	 = (x-1)(x2 +x+1+3x+3)
	 = (x-1)(x+2)2.
	Ta cũng chú ý rằng nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức chứa nhân tử x-1, nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì đa thức chứa nhân tử x+1
Ví dụ 4 : Phân tích thành nhân tử : 2x3 -5x2 + 8x -3.
	Giải : Các số 1, 3 không là nghiệm của đa thức, vậy đa thức không có nghiệm nguyên. Nhưng đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ. Trong đa thức với hệ số nguyên , nghiệm hữu tỉ nếu có phải có dạng trong đó p là ước của hệ số tự do,q là ước dương của hệ số cao nhất. Như vậy nghiệm hữu tỉ nếu có của đa thức trên chỉ có thể là 1, ,3, hoặc . Sau khi kiểm tra ta thấy x= là một nghiệm nên đa thức chứa nhân tử x- hay 2x-1. Do đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung 2x-1.
	 2x3 -5x2 +8x -3
	= 2x3 –x2 -4x2 +2x +6x -3
	= x2 (2x-1)-2x(2x-1) + 3(2x-1)
	= (2x-1)(x2 – 2x +3).
	Có thể giải bài tập trên bằng phương pháp hệ số bất định : nếu đa thức trên phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng :
	(x +b)(cx2 +dx +m).
Phép nhân này cho kết quả :
	cx3 +(ad +bc)x2 +(am +bd)x +bm.
	Đồng nhất đa thức này với 2x3 -5x2 +8x -3, ta được
	ac =2, ad +bc =-5, am +bd =8, bm =-3
Có thể giả thiết rằng a > 0 (vì nếu a < 0 thì ta đổi dấu cả hai nhân tử), do đó a=1 hoặc a=2.
	Xét a=2 thì c=1, ta có 2d +b =-5, 2m +bd =8, bm = -3 ;b có thể bằng1, 3.
Xét b =-1 thì m=3, d=-2 thoả mãn điều kiện trên.
	Vậy a=2, c=1, b=-1, m=3, d=-2.
	Ta có :
	2x3 -5x2 +8x -3= (2x-1)(x2 – 2x +3).
Ví dụ 5:
	Cho x và y là hai số khác nhau, thoả mãn điều kiện :
	9x(x-y) – 10(y –x)2 = 0.
	Chứng minh rằng: x = 10y.
	Giải:
	9x(x – y) – 10(y-x)2 = 9x(x-y) -10(x-y)2 =(x-y)[9x -10(x-y)]=(x-y)(10y –x).
	Theo đề bài ta có (x-y)(-x +10y) = 0.
	Vì xy nên –x +10y = 0 hay x = 10y.
C- các bài tập vận dụng
Bài tập 1:
	Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
	a) 5x(x -2y) + 2(2y –x)2 ;	b) 7x(y -4)2 – (4 –y)3 ;
	c) (x2 +4y2 -5)2 – 16(x2 y2 +2xy  ... đối xứng của chúng qua đường thẳng d thì 3 điểm A’, M’, B’ thẳng hàng ( M’ nằm giữa A’, B’)
2) Đối xứng tâm
a) Khái niệm hai điểm đối xứng.
b) Khái niệm và định lí hai hình đối xứng.
* Bổ xung:
- Hai đoạn thẳng AB và A’B’ đối xứng qua tâm O(O nằm ngoài AB và A’B’ ) thì AB//A’B’ và AB ngược chiều với A’B’.
- Hai đường thẳng a và a’ đối xứng nhau qua tâm O nếu hai điểm của hai đường thẳng này đối xứng với hai điểm của đường thẳng kia qua O.
- Một hình có thể không có, có 1 hoặc có vô số tâm đối xứng.
- Nếu 3 điểm A,M,B thẳng hàng ( M nằm giữa A và B) và A’, M’, B’ lần lượt là 3 điểm đối xứng của chúng qua O thì 3 điểm A’, M’, B’ thẳng hàng ( M’ nằm giữa A’, B’)
II. Bài tập
Bài 1: Cho góc xOy , tai phân giác Ot.Gọi M là điểm ở trong góc đó và A, B lần lượt là các điểm đối xứng của M qua Ox và Oy.
Chứng minh rằng khi M di động trong góc xOy thì đường trung trực của AB luôn luôn đi qua một điểm cố định.
Vẽ MH Ot cắt đường trung trực của AB tại N. Chứng minh rằng M và N đối xứng nhau qua Ot.
 Bài2: Cho tam giác ABC và M là một điểm không thuộc các cạnh của tam giác. Gọi D, E,F lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Vẽ điểm P đối xứng với M qua D, Điểm Q đối xứng với P qua E, điểm N đối xứng với Q qua F.
 Có nhận xét gì về vị trí của hai điểm M và N.
Bài 3: Cho tam giác ABC. Vẽ D đối xứng với A qua B; E đối xứng với B qua C và F đối xứng với C qua A. Gọi G là điểm của đường trung tuyến AM của tam giác ABC với đường trung tuyến DN của tam giác DEF. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của GA và GD. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác MNIK là hình bình hành.
b) Trọng tâm tam giác ABC và DEF trùng nhau.
D. Các hình đặc biệt : Hình bình hành, Hình chữ nhật, hình thoi và hình vuông.
I. Lí thuyết
1) Hình bình hành
a) Định nghĩa:
 ABCD là hình bình hành AB//CD Và AD//BC
Tính chất 
 Nếu ABCD là hình bình hành thì: 
Các cạnh đối bằng nhau
Các góc đối bằng nhau
Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
c) Dấu hiệu nhận biết
 Tứ giác ABCD là HBH nếu có một trong các điều kiện sau:
Các cạnh đối song song
Các cạnh đối bằng nhau
Các góc đối bằng nhau
Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau.
* Hai HBH có một đường chéo chung thì các đường chéo của chúng đồng quy tại trung điểm của đương chéo chung.
2) Hình chữ nhật
a) Định nghĩa HCN
b) Dấu hiệu nhận biết
c) áp dụng vào tam giác vuông:
- Trong một tam giác vuông đương trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
- Đảo lại, nếu một tam giác có đường trungtuyến ứng với một cạnh bằng một nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.
* Kiến thức bổ xung.
- Hình chữ nhật có một tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo.
- Hình chữ nhật có hai trục đối là hai đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh đối.
3) Hình thoi và hình vuông
a) Khái niệm, tính chất, dấu hiệu nhận biết hình thoi.
b) Dấu hiệu nhận biết hình vuông.
* Kiến thức bổ xung:
- Trong hình thoi :
 + Hai đường chéo là hai trục đối xứng.
 + Giao điểm hai đường chéo là tâm đối xứng.
Đường chéo của hình vuông cạnh a là a.
II. Bài tập 
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Trên các cạnh AB và CD lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM = DN. Đường trung trực của BM lần lượt cắt các đường thẳng MN và BC tai E và F. 
 Chứng minh rằng :
EF đối xứng qua AB.
Tứ giác MEBF là hinh thoi.
Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì để tứ giác BCNE là hình thang cân.
Bài 2: Cho HBH ABCD , BD= 3AD. Gọi MN lần lượt là trung điểm của AB và CD. Trên BD lấy hai điểm E, F sao cho BE= EF= FD.
Chứng minh rằng: MENF là hình chữ nhật.
Hình bình hành ABCD có phải thêm điều kiện gì để MENF là hình vuông. 
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh bên bằng a. Vẽ hình chữ nhật AEMF có chu vi bằng 2a và E AB: F AC.
Hỏi điểm M di động trên đường nào ? 
Từ M vẽ đường thẳng MNEF ( N EF). Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Chuyên đề 11:
Diện tích đa giác
*) Kiến thức cơ bản :
	+) Diện tích hình chữ nhật :
	S = a.b	
+) Diện tích hình vuông :
S = a2	
 +) Diện tích tam giác :
 *) Tam giác vuông :
 S = ab
 *) Tam giác bất kì :
 S = ah
 +) Diện tích hình thang :
 S = (a + b). h
 +) Diện tích hình bình hành :
 S = a. h	
 +) Diện tích hình thoi :
 S = d1.d2
*) Ví dụ minh hoạ :
Ví dụ 1:
 Cho hình ngũ giác ABCDE. Hãy dựng một tam giác có diện tích bằng diện tích hình ngũ giác này.
Giải :
 *) Phân tích : Giả sử đã dựng được hình tam giác DA’B’ sao cho :
 SDA’B’ = S ABCDE
Kẻ DA và DB. ta thấy ngũ giác ABCDE và tam giác DA’B’ có phần chung là tam giác DAB và :
SDEA = S DA’A , SDBC = S DBB’
Hai tam giác DEA và DA’A có sùng diện tích và có chung đáy AD nên A’C//AD 
Tương tự, ta có B’C//BD . Từ đó ta suy ra cách dựng :
	*) Cách dựng :
	- Từ đỉnh D chẳng hạn, ta nối DA, DB.
	- Qua đỉnh E kẻ đường thẳng song song với DA cắt đường thẳng AB ở A’, và qua C kẻ đường thẳng song song với DB, cắt dường thẳng AB ở điểm B’. Tam giác DAB’ là tam giác phải dựng.
	*) Chứng minh và biện luận (y/c hs tự chứng minh).
Ví dụ 2 :
	Chứng minh rằng diện tích của tam giác nội tiếp trong hình bình hành không thể lớn hơn một nửa diện tích của hình bình hành đó.
	(Tam giác nội tiếp trong hình bình hành là tam giác nằm ở miền trong của hình bình hành và có các đỉnh nằm trên các cạnh của hình bình hành đó).
Giải : 
	a) Trước hết, xét trường hợp đặc biệt khi tam giác có hai đỉnh (K, L) nằm trên một cạnh của hình bình hành ABCD. ( h. bên)
	Vì m h, KL AB, nên 
SKLM = .
	b) Trong trường hợp tỏng quát : K, L, M nằm trên ba cạnh khác nhau của hình bình hành .(h. bên)
Khi đó, bao giờ cũng có hai đỉnh ( ví dụ K và L) nằm trên hai cạnh đối diện của ABCD. từ M kẻ đường thẳng song song với AB, cắt LK và BC ở P và Q.
Bài toán đưa về trường hợp đã xét :
.
Ví dụ 3 :
	Cho hình vuông ABCD. Gọi K, O, E, N là trung điểm của AB, BC, CD, DA.
	Tính tỉ số diện tích : SMLPR : S ABCD.
Giải :
	Ta dễ dàng chứng minh được.
*) AL = LP = BP = PR = RC = RM = DM = ML.
*) Tứ giác MLPR là hình vuông .
- Vì R là trung điểm của MC nên :
	SDMR = SDRC
- Vì M là trung điểm của DL nên :
 SDMR = S RML
Từ đây ta suy ra :
	S DMC = 2S MRL = S MLPR
Chứng minh tương tự ta cũng có :
	SDMC = S BRC = S APB = S ALD = S MLPR
Cho ta :
	 .
*) Ta sẽ khai thác bài toán này theo các hướng khác nhau :
	Hướng thứ nhất :
Chú ý rằng trong chứng minh trên đây( và ngay cả trong giả thiết của bài toán) các kiến thức có tính chất “ chìa khoá” để giải bài toán liên quan đến vấn đề “ trung điểm”, vấn đề “song song”. Do vậy, liệu bài còn đúng khi ta thay hình vuông ABCD bằng hình chữ nhật, hình bình hành không ? Ta hãy đề ra và giải bài toán sau :
Bài tập 1:
	Cho hình bình hành ABCD. Gọi K, O, E, N là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Các doạn thẳng AO, BE, CN và DK cắt nhau tại L, M, R, P.
	Chứng minh rằng :
	 S ABCD = 5 S MLRP	
*) Hướng thứ hai :
Do việc chứng minh được PL = LA, LM = MD, MR = RC và RP = PB, ta nhận thấy các đỉnh của hình vuông ABCD có được bằng cách kéo dài các cạnh của hình vuông MLPR thêm những đoạn bằng cạnh của nó và theo một hướng xác định. từ đay ta có thể biến đổi bài toán 105 thành một bài toán mới.
Bài tập 2 :
	Cho hình vuông ABCD, ta kéo dài các cạnh thêm một đoạn BE = AB, 
CF = BC, DH = DC, AK = DA.
	Chứng minh :	
	S EFHK = 5 S ABCD
Đến đây, ta nhận thấy rằng chỉ còn vấn đề trung điểm là có vai trò quan trọng mà thôi. Do vậy, ta thử mở rộng bài toán bằng cách giữ nguyên các giả thiết liên quan đến trung điểm và thay hình vuông ABCD bằng một tứ giác lồi bất kì.
Bài tập 3 :
	Cho tứ giác lồi ABCD. kéo dài AB một đoạn BM = AB, kéo dài BC một đoạn CN = BC, kéo dài CD một đoạn DP = CD và kéo dài DA một đoạn 
AQ = DA.
	Chứng minh rằng :
	S MNPQ = 5 S ABCD.
Giải :
	Do D là trung điểm PC nên S ADP = S ADC
	Do A là trung điểm DQ nên S ADP = S APQ
Từ đây ta suy ra :
	S PDQ = 2 S DAC
Tương tự ta có :
	S MNB = 2 S ABC
	S QAM = 2 S DAB
	S PCN = 2 S DBC
Vậy :
	S MNPQ = S PDQ + S MNB + S QAM + S PCN + S ABCD 
	 = 2 ( S DAC + S ABC ) + 2 ( S DAB + S DBC ) + S ABCD
	 = 2 S ABCD + 2 S ABCD + S ABCD = 5 S ABCD.
Phòng GD & ĐT huyện Bảo Thắng
Trường THCS số 2 Gia phú
Đề kiểm tra học sinh giỏi 
 Môn : Toán
 Thời gian : 150’ (không kể chép đề)
Câu 1 :
	Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức 
x3 – 3x2 – 3x -1 chia hết cho giá trị của biểu thức x2 + x +1.
Câu 2 : Phân tích đa thức sau ra thừa số :
	a4 + 8a3 + 14a2 – 8a – 15.
Câu 3 : Số nào lớn hơn :
	.
Câu 4 : Tìm giá trị của P = nếu 2a2 + 2b2 = 5ab và b> a > 0
Câu 5 : Chứng minh rằng nghiịm của phương trình sau là một số nguyên :
Câu 6 : Đầu năm học, một tổ hs được mua một số sách vở và phải trả 72 đồng. Nếu bớt đi 3 người thì mỗi người còn lại phải trả thêm 4 đồng. Hỏi tổ đó có bao nhiêu người.
Câu 7 : Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD. Nối BN và CN chúng cắt nhau tại P.Chứng minh rằng :
BN vuông góc với CM.
DP = DC .
Hết
Phòng GD & ĐT huyện Bảo Thắng
Trường THCS số 2 Gia phú
	Đáp án + hướng dẫn chấm
Câu 1 : Thực hiện phép chia (3đ)
	x3- 3x2- 3x – 1	x2 +x + 1
	- 
	 x3 + x2 + x	x - 4
 - 4x2 – 4x - 1
 - 
 - 4x2 – 4x - 4
	3
Suy ra giá trị của x3- 3x2- 3x – 1chia hết cho giá trị của x2 +x + 1 khi 3 chia hết cho x2 +x + 1, do đó :
	x2 +x + 1 = 3 hoặc x2 +x + 1 = 1.
Biến đổi x2 +x + 1 = ,suy ra x2 +x + 1 > 0 với mọi x.
Vậy loại trường hợp x2 +x + 1 = - 3 hoặc x2 +x + 1 = -1
Từ x2 +x + 1 = 3 suy ra x2 +x - 2 = 0
Do đó x2 +x - 2 = (x – 1)(x+ 2) = 0. Vậy x = 1, x = -2
Từ x2 +x + 1 = 1 suy ra x2 +x = 0 hay x(x+1) = 0
Vậy x = 0, x = -1.
Trả lời : có bốn giá trị nguyên của x là : x = 1 ; x = 0 ; x = -2.
Câu 2 : Phân tích đa thức sau ra thừa số :(2đ)
	a4 + 8a3 + 14a2 – 8a – 15.
	= a4 + 8a3 + 16a2- a2 – 8a – 16 – a2 + 1
	= (a4 + 8a3 + 16a2) – (a2 + 8a + 16) – (a2 - 1) 
	= (a2 + 4a)2 – (a + 4)2 – (a2 – 1)
	= a2(a + 4)2 – (a + 4)2 – (a2 – 1)
	= (a + 4) 2(a2 – 1) – (a2 – 1)
	= (a2 – 1)[(a + 4) 2- 1]
	=(a – 1)(a + 1)(a + 3)(a + 5)
Câu 3 : Theo tính chất cơ bản của phân thức ta có : (2đ)
Vậy 
Câu 4 : (2đ)
Câu 5 : (3đ)
Nhận xét rằng ở tất cả các số hạng ở hai vế nếu ta cộng mẫu với số trừ của tử đều được 1999. Vì vậy tất cả các số hạng đều trừ đi 1 để được tử là x – 1999 . Chuyển các số hạng ở vế trái và đặt x – 1999 làm nhân tử chung ta được :
Nhân tử thứ 2 không thể bằng 0. Vậy x- 1999 = 0, suy ra x = 1999.
Câu 6 : (3đ)
	Gọi x là số người của tổ đó ( x nguyên dương). Ta có phương trình :
Giải phương trình :	x2- 3x- 54 = 0
	(x- 9)(x+6) = 0
	Suy ra, x1= 9 , x2= - 6(loại)
Vậy số người trong tổ đó là 9 người.
Câu 7 : (5đ)
a) CBM = BAN ( c.g.c) 
CBM vuông nên ta có :
Tức là .
b) BN cắt CD ở E. Dễ thấy DE = AB = DC, EPC vuông tại P, có PD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên DP = DC.