Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Đồng Đức Lợi

A. Lý thuyÕt 
1/Các yếu tố liên quan đến tam giác vuông
+ Câu hỏi 1: Vẽ tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, phân giác AD, trung tuyến AM. Ghi kí hiệu các yếu tố của tam giác theo qui uớc?
A
	AB = , AC = , BC = 
	AH = , BH = , HC = 
	AD = g, AM = m
	B =, C = 
M
D
H
C
B
2/Các hệ thức liên quan đến cạnh và đường cao, cạnh và góc trong tam giác vuông.
1/b2 = , 2/c2 = 
2/h2 =
3/ah = 
4/+ 
5/b = a.sinB = , c = a.sinC = 
b = c.tgB = , c = b.tgC = 
A
 3/§ịnh nghĩa tỉ số luợng giác của góc nhọn.
Sin = 
c
b
Cos= 
Tg = 
C
B
Cotg= 
4/Các tính chất của tỉ số luợng giác
1/Nếu + = 900 thì Sin = 
Tg = 
2/Với nhọn thì 0 < sin < 1, 0 < cos < 1
sin2 + cos2 = 
tg = sin/cos, cotg= cos/sin
tg .cotg= 
5/ gi¶i tam gi¸c vu«ng:
Dạng 1: Biết hai cạnh góc vuông (b, c)
Các buớc tính: + Tính a: a2 = b2 + c2 (Định lí Pitago)
+ Tính h: ah = bc hoặc 
+ Tính góc B suy ra góc C = 90 - B
+ Tính c’ = suy ra b’ = a - c’ 
+ Tính m = a/2
+ Tính AD như sau: 
+ (Tính chất đuờng phân giác)
+ (Tính chất tỉ lệ thức)
+ Tính đuợc BD => HD = BD - BH
+ Tính AD theo tam giác vuông AHD
Bài toán 1: Tam giác ABC vuông tại A. Biết b = 4 cm, c = 3 cm. Giải tam giác ABC như trên?
A
Giải
1/a == = 5
3
4
2/h === 2.4
M
D
C
H
B
3/c’ = = = 1.8 => b’ = 5- 1.8 =3.2
4/tgB = => B = 530 => c = 900 - 530 = 370 
5/m = = 2.5
6/Tính BD = => HD = . Vậy AD = = 2.424
?1 Đề xuất một cách tính khác của bài 1
Dạng 2: Biết hai hình chiếu b’, c’ 
Các buớc tính: + Tính a = b’ + c’ 
+ Tính h (vì h2 = b’.c’)
+ Tính b và c (pitago hoặc b2 =a.b’, c2 = a.c’)
+ Tính B và C theo tỉ số luợng giác
+ Tính m, g
Bài toán 2: Tam giác ABC vuông tại A có b’ = 7, c’ = 3. Giải tam giác ABC?
A
Giải
7
3
B
C
+ Tính a = 7+3 =10
M
D
H
+ Tính h = = 4.583
+ Tính b2 = a.b’ = 10.7 = 70 => b = = 8.367
+ c = = 5.477
+ tính tgB = => B = 570, C = 90 - B = 330 
+ Tính m, g (như bài 1)
DB = 3.956 => HD = 0.956 => AD = g= 4.682
AM = m = 10/2 = 5
? 2 Đề xuất một cách tính khác của bài 2
Dạng 3: Biết một cạnh góc vuông và một hình chiếu
3.1 Cạnh góc vuông và hình chiếu tương ứng (b và b’ hoặc c và c’)
Các bước thực hiện: + Tính a (a = hoặc )
+ Tính cạnh góc vuông còn lại hoặc hình chiếu kia
+ Tính góc B suy ra góc C nhờ tỉ số luợng giác
+ Tính m, g 
Bài toán 3.1: Tam giác ABC vuông tại A có b = 4, b’ = 3.2. giải tam giác ABC?
A
Giải
4
+ Tính a = = 5
3.2
+ Tính c’ = 5- 3.2 =1.8
H
B
C
+ Tính c2 = 5.1.8 = 9 => c = 3
+ Tính tgB = => B = 530, C = 900 - 530 =370
+ Tính m, g như bài tập 1
3.2 Cạnh góc vuông và hình chiếu của cạnh góc vuông kia (b’ và c hoặc b và c’)
Các bước thực hiện: + Tìm hình chiếu còn lại như sau:
c2 = a.c’ =(b’ + c’).c’ 
+ Tính a = b’ + c’ 
+ Tính cạnh góc vuông còn lại (Pitago)
+ Tính h 
+ Tính góc B hoặc C nhờ tỉ số lượng giác
+ Tính m, g như bài tập 1
A
Bài toán 3.2: Tam giác ABC vuông tại A có c = 3, b’ = 3.2. Giải tam giác ABC?
3.2
B
H
C
3
Giải 
Ta có 32 = (c’ +3.2).c’ 
ó c/2 + 3.2c’ - 9 = 0
Giải ra có c’ = 1.8 và -5 (loại)
Tính a = 1.8 +3.2 = 5
b2 = 3,2.5 =16 => b = 4
h2 = b’.c’ = 1,8.3,2 = 5.76 => h = 2.4
- Tính tgB = => B = 530, C = 900 - 530 = 370
- Tính m, g như bài tập 1
? 3 Đề xuất một cách tính khác của bài 3
Dạng 4: Biết đường cao ứng với cạnh huyền và cạnh huyền (h và a)
Các bước tính + Tính h2 = b’.c’, a = b’ + c’ => tìm hai số biết tổng và tích tính được b’ và c’ 
+ Tính b,c theo hệ thức hoặc Pitago
+ Tính góc B, C theo tỉ số lượng giác
+ Tính m, g như bài tập 1
Bài toán 4: Tam giác ABC vuông tại A có AH = 4.8, BC =10. Giải tam giác ABC?
A
 Giải
Tính b’.c’ = 4.82 =23.04
4.8
b’ + c’ = 10
Giải ra có b’ = 6.4, c’ = 3.6
M
B
C
(hoặc ngược lại)
D
H
Tính c = 6, b =8 (hoặc ngược lại)
10
Tính góc B = 530 => C = 370 
Tính BD = 4.286 => HD =0.686 => AD = g= 4.849
Tính AM = m= 5
? 4 Đề xuất một cách tính khác của bài 4
Dạng 5: Biết đường cao ứng với cạnh huyền và một hình chiếu của một cạnh góc vuông lên cạnh huyền
Bài toán 5: Tam giác ABC vuông tại A có h = 4, c’ = 3. Giải tam giác ABC?
A
Giải
Tính c = = = 5
4
M
D
3
C
H
B
Tính a = = = 8.333
Tính b’ = a - c’ = 8.3 - 3 = 5.333
=> b = 6.666 (Pitago)
Tính tgB = => B = 530, C =370 
Tính BD = 3.571 => HD =0.571 => AD = g= 4.041
Tính AM = m= 4.15
? 5 Đề xuất một cách tính khác của bài 5
Dạng 6: Biết một cạnh góc vuông và một cạnh huyền
Các bước tính + Tính cạnh góc vuông còn lại (trở lại dạng 1)
Bài toán 6: Tam giác ABC vuông tại A có b = 12, a = 20. Giải tam giác ABC?
A
Giải
12
(Học sinh tự giải)
B
C
20
H
? 6 Đề xuất một cách tính khác của bài 6
Dạng 7: Biết đường cao và một cạnh góc vuông
(Tính hình chiếu trở lại dạng 3.1)
Bài toán 7: Tam giác ABC vuông tại A có h = 4, c = 5. Giải tam giác ABC? 
A
Giải
5
(Học sinh tự giải)
4
M
D
C
H
B
? 7 Đề xuất một cách tính khác của bài 7
Dạng 8: Biết một cạnh góc vuông một góc nhọn
Các bước tính: + Tính cạnh huyền a = 
+ Tính cạnh góc vuông còn lại (Pi- ta- go)
+ Tính h
+ Tính b’, c’
+ Tính m, g như bài tập 1
Bài toán 8: Tam giác ABC vuông có A = 900, b = 5, B = 400. Giải tam giác ABC?
A
Giải:
C = 900 - 400 = 500 
5
a = = 7.779
400
C
c = = 5.987
H
B
h = = = 3.848
b’ = = = 3.214 
c = 7.779 - 3.214 = 4.565
m= 3.89, g= 3.788 (tính theo bài 1)
? 8 Đề xuất một cách tính khác của bài 8
Cụ thể như: Tính cạnh góc vuông kia quay về dạng 1
Dạng 9: Biết cạnh huyền và một góc nhọn
Các bước tính: + Tính cạnh góc vuông quay về dạng 6
Bài toán 9: Tam giác ABC vuông tại A có a = 15, B = 600. Giải tam giác ABC?
Giải
A
+ Tính c = 7.5
Học sinh tự giải tiếp
600 
15
B
H
C
? 9 Đề xuất một cách tính khác của bài 9
Dạng 10: Biết đường cao ứng với cạnh huyền và một góc nhọn
Các bước tính: + Tính cạnh góc vuông quay về dạng 8
Bài toán 10: Tam giác ABC vuông tại A có AH = 3, C = 400. Giải tam giác ABC?
A
Giải
3
Tính b = = 4.677
(Học sinh tự giải tiếp) 
400 
B
H
C
? 10 Đề xuất một cách tính khác của bài 10
Dạng 11: Biết hình chiếu của một cạnh góc vuông và một góc nhọn
Các bước tính: Tính cạnh góc vuông quay về dạng 8
Bài toán 11: Tam giác ABC vuông tại A có c’ = 4, B = 550. Giải tam giác ABC?
Giải
(Học sinh tự giải bài tập này)
? 11 Đề xuất một cách tính khác của bài 11
Dạng 12: Biết đường cao ứng với cạnh huyền và trung tuyến ứng với cạnh huyền
Các bước tính: Tính cạnh huyền quay về dạng 4
A
Bài toán 12: Tam giác ABC vuông tại A có m= 5, h = 4. Giải tam giác ABC?
(Bài tập tự luyện dành cho học sinh)
4
5
C
B
M
H
? 12 Đề xuất một cách tính khác của bài 12
Gợi ý: Tính HM Suy ra BH trở về dang 3
Dạng 13: Biết trung tuyến ứng với cạnh huyền và một góc nhọn
(Tính cạnh huyền quay về dạng 9)
Bài toán 13: Tam giác ABC vuông tại A trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng 5, một góc nhọn bằng 470. Giải tam giác ABC?
(Bài tập tự luyện dành cho học sinh)
? 13 Đề xuất một cách tính khác của bài 13
Dạng 14: Biết đường cao ứng với cạnh huyền và đường phân giác ứng với cạnh
huyền. 
A
A
B
C
H
D
Các bước giải:
+ Tính góc ADB trong tam giác vuông AHD suy ra góc ADC suy ra tiếp góc C
+ Tính AC => HC => BC và các yếu tố còn lại
Bài tập 14: Tam giác ABC vuông tại A có h = 4, g= 5. Giải tam giác ABC?
A
5
4
B
C
D
H
Giải:
sin ADB = 4/5 => ADB = 530 => ADC = 1800 - 530 = 1270 
=> C = 1800 - 1270 - 450 = 80 
Tính b = 28.741 => b’ = 28.461 
Tính a = 29.024, c = 4.043
(Các yếu tố còn lại tính như bài tập 1)
? 14 Đề xuất một cách tính khác của bài 14
Gợi ý: Tính góc HAD => góc HAB = 450 - HAD => góc B và quay về dạng 1
Dạng 15: Biết đường phân giác ứng với cạnh huyền và một góc nhọn
A
15.1: Biết g và góc B
+ Tính góc ADB = 1800 - (B + 450)
+ Tính h trong tam giác vuông AHD
Quay về dạng 14 hoặc 10
C
15.2: Biết g và góc C 
D
H
B
+ Tính góc ADB = 450 + C
Quay về 15.1
C
Bài toán 15: Tam giác ABC vuông tại A có g = 5, Góc C = 300. Giải tam giác ABC?
Giải:
+ Tính góc ADB = 750 (450 + 300)
+ Tính h = 5. sin75 = 4.83
Trở về dạng 10 tính tiếp các yếu tố còn lại
? 15 Đề xuất một cách tính khác của bài 15
BµitËp
Câu 01: (4đ)
Cho tam giác DEF có ED = 7 cm, góc D = 400, góc F = 580. Kẻ đường cao EI của tam giác. Hãy tính:
a/Đường cao EI
b/Cạnh EF 
Câu 02: (6đ)
Cho tam giác ABC biết: AB = 21cm, AC = 28 cm, BC = 35 cm.
a/Chứng minh tam giác ABC vuông tại A?
b/Giải tam giác ABC với các yếu tố cần tính sau: Góc B, C, hình chiếu b’, c’, đường cao h, trung tuyến và phân giác ứng với cạnh huyền.
Đáp ánE
 Câu 01: Hình vẽ (0.5đ) 
a/EI = ED. sin 40 = 7.sin40 = 4.500 (2đ)
b/EF= = = 5.306 (cm) (1.5đ)
580
400
D
I
F
Câu 2: 
a/c/m tam giác ABC vuông (1.5đ)
A
 vì 352 = 282 + 212 hay BC2 = AB2 + AC2 
b/Vẽ hình (0.5đ)
+ Tính c’ = (0.5đ)
C
M
D
H
B
b’ = 35 -12.600 =22.4 (0.5đ) 
h = (0.5đ)
Tính B = 530, C = 370 (1đ)
Tímh m= (0.5đ)
Tính g (1đ) như sau:
 (tính chất đường phân giác)
 (tính chất tỉ lệ thức)
ó => DB = 15 => HD = BD - BH = 15 - 12.6 = 2.4
AD = g= = 16.971
***************************************