Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Đại số Khối 8

NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
**&**
Bài 1: Tính nhanh kết quả các biểu thức sau:
1272 + 146.127 + 732
98.28 –(184 - 1)(184 + 1)
1002 – 992 + 982 – 972 + .+ 22 – 1
Bài 2: So sánh hai số sau:
A = 1989.1991 và B = 19902
A = và B = với x > y > 0
A = (3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1) và B = 332 -1
Bài 3: Chứng minh các đẳng thức:
(a2 – b2)2+ (2ab)2 = (a2+ b2)2
(a2+ b2) (c2+ d2) = (ac+ bd)2 + (ad -bc)2
(a+ b+ c)
a3 + b3 = (a+b)3 – 3ab(a+ b)
(a + b+ c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a +b)(b+c)(c+a)
Bài 4: 
Cho 10a2 = 10b2 + c2. Chứng minh rằng: (7a-3b+2c)(7a-3b-2c) = (3a – 7b)2
Cho a + b + c = 2p. Chứng minh rằng:
2bc +b2 + c2 – a2 = 4p(p – a)
(p – a)2 + (p – b)2 + (p – c)2 = a2 + b2 + c2 – p2
Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = 3abc.
Cho a + b+ c + d = 0. Chứng minh: a3 + b3 + c3 + d3 = 3(ab – cd)(c + d)
Bài 5: Cho a + b = 1. Tính giá trị của biểu thức M = 2(a3 + b3) – 3(a2 + b2)
Bài 6: 
Cho a2 + b2 + c2 –ab –bc – ca = 0. Chứng minh: a = b = c.
Cho (a –b)2 + (b –c)2 + (c –a)2 = 4(a2 + b2 + c2 –ab –bc – ca). Chứng minh: a = b = c.
Bài 7: Chứng minh:
a(a -6) + 10 > 0
(x -3)(x -5) + 4 > 0
a2 + a + 1 > 0
Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
x2 – 4x + 1
4x2 + 4x + 11
(x – 1)(x +2)(x + 3)(x + 6)
x2 – 2x +y2 – 4y + 6
Bài 9: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
5 -8x – x2
4x – x2 + 1
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
**&**
A. CÁC NỘI DUNG LÝ THUYẾT CƠ BẢN:
a/ §Þnh lý vỊ phÐp chia ®a thøc (phÐp chia hÕt vµ chia cã d­):
-Víi hai ®a thøc bÊt kú f(x), g(x) vµ g(x) ¹0 tån t¹i duy nhÊt hai ®a thøc q(x) vµ r(x)sao cho: 
 f(x) = g(x).q(x) + r(x), 	r(x) = 0, hoỈc bËc r(x) < bËc g(x).
q(x) ®­ỵc gäi lµ th­¬ng, r(x) ®­ỵc gäi lµ d­.
 NÕu r(x) = 0 th× ta nãi f(x) chia hÕt cho g(x) vµ ký hiƯu f(x)g(x)
 NÕu r(x) ¹0 th× ta nãi f(x) chia cho g(x) cã d­.
b/ HƯ qu¶: Ta cã f(a) lµ d­ trong phÐp chia f(x) cho x- a.
c/ §Þnh nghÜa nghiƯm cđa mét ®a thøc mét Èn:
 PhÇn tư µỴA ®­ỵc gäi lµ nghiƯm cđa ®a thøc f(x) nÕu f(µ) = 0.
d/ §Þnh lý B¬du vỊ nghiƯm cđa mét ®a thøc:
 PhÇn tư µ lµ nghiƯm cđa ®a thøc f(x) khi vµ chØ khi f(x) x- µ. 
 	 VÝ dơ1:
 A(x) =10x2-7x+a (aỴQ) x¸c ®Þnh a sao cho A(x) chia hÕt cho 2x-3.
	§Ỉt phÐp chia ®a thøc:
	10x2-7x+a 	2x-3
	10x2-15x	5x+4
	 8x+a
 -8x-12
	 a+12
§Ĩ A(x) 2x-3 ta ph¶i cã: a+12=0 Û a= -12.
VËy a=-12 th× A(x) chia hÕt cho 2x-3
	VÝ dơ 2: Cho ®a thøc: A(x) = a2x3+3ax2-6x-2a (a Ỵ Q)
	X¸c ®Þnh a sao cho A(x) chia hÕt cho (x+1)
+§Ỉt phÐp chia ®a thøc:	
a2x3+3ax2-6x-2a	x+1
-a2x3+a2x2	 ax2+(3a-a2)x+(a2-3a-6)
(3a-a2)x2-6x-2a
-(3a-a2)x2+(3a-a2)x
-a2+a+6
§Ĩ A(x) chia hÕt cho x+1 ta ph¶i cã: -a2+a+6=0 Û(a+2)(3-a)=0
	a+2=0	a=-2
3-a=0	a=3
VËy a=-2 hoỈc a=3 th× A(x) chia hÕt cho x+1
	VÝ dơ 3: Ph©n tÝch ®a thøc 5x3-2x-3 thµnh nh©n tư, 
	DƠ thÊy x=1 lµ mét nghiƯm , theo ®Þnh lý B¬du th× ®a thøc 5x3-2x-3 chia hÕt cho x-1.
Thùc hiƯn phÐp chia ta ®­ỵc: 5x3-2x-3 =(x-1)(5x2+5x+3)
	VÝ dơ 4:
Ph©n tÝch ®a thøc f(x)=3x5- 6x4-2x3+4x2-x+2 thµnh nh©n tư.
DƠ thÊy x=1 lµ mét nghiƯm. V× vËy ®a thøc ®· cho chia hÕt cho x-1
Thøc hiƯn phÐp chia ta ®­ỵc: f(x)=(x-1)(3x4- 3x3-5x2-x-2)
DƠ thÊy 3x4- 3x3-5x2-x-2 cã nghiƯm lµ x= -1
Thùc hiƯn phÐp chia ta ®­ỵc: 3x4- 3x3-5x2-x-2=(x+1)(3x3-6x2+x-2)
DƠ thÊy r»ng 3x3-6x2+x-2 cã nghiƯm x= 2
V× thÕ 3x3-6x2+x-2=(x-2)(3x2+1)
VËy 3x5- 6x4-2x3+4x2-x+2 =(x-1)(x+1)(x-2)(3x2+1).
B. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ:
I. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư b»ng ph­¬ng ph¸p t¸ch h¹ng tư.
VÝ dơ 1: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tư: 3x2-8x+4
NhËn xÐt: §a thøc trªn kh«ng chøa thõa sè chung. Kh«ng cã d¹ng mét h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí, cịng kh«ng thĨ nhãm c¸c sè h¹ng. Ta biÕn ®ỉi ®a thøc nµy thµnh ®a thøc cã nhiỊu sè h¹ng h¬n:
	C¸ch 1: (t¸ch sè h¹ng thø 2)
3x2-8x+4 =3x2-6x-2x+4= (3x2-6x)-(2x-4) =3x(x-2)-2(x-2)
	=(x-2)(3x-2)
	C¸ch 2:(t¸ch sè h¹ng thø nhÊt)
3x2-8x+4	=4x2-8x+4-x2 = (2x-2)2 -x2
	= (2x-2+x)(2x-2-x) = (3x-2)(x-2)
Tỉng qu¸t: §Ĩ ph©n tÝch tam thøc bËc hai ax2+x+c thµnh thõa sè ta t¸ch sè h¹ng bx=b1x+b2x sao cho: b1b2= ac
	Trong thùc hµnh ta lµm nh­ sau:
	B­íc 1: T×m tÝch ac
	B­íc 2: Ph©n tÝch a.c ra thµnh tÝch cđa 2 thõa sè nguyªn b»ng mäi c¸ch.
	B­íc 3: Chän hai thõa sè mµ tỉng b»ng b.
VÝ dơ 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư:
	4x2-4x-3 (a=4,b=-4,c=-3). Ta cã: ac= 4.(-3)=-12
	-12=-6.2=-4.3=2.(-6)=4.(-3)=1.(-12)=-12.1
	V× -6+2= -4 =b nªn ta cã thĨ lµm nh­ sau:
C¸ch 1: 4x2-4x-3 = 4x2-6x+2x-3	 = (4x2-6x)+(2x-3)
	 = 2x(2x-3)+(2x-3) = (2x-3)(2x+1)
C¸ch 2: T¸ch sè h¹ng thø 3:
4x2-4x-3	=4x2-4x+1-4 = (4x2-4x+1)-4
	= (2x-1)2-22 = (2x-1-2)(2x-1+2)
	=(2x-3)(2x+1)
Qua hai vÝ dơ trªn ta thÊy viƯc t¸ch mét sè h¹ng thµnh nhiÕu sè h¹ng kh¸c th­êng nh»m mơc ®Ých:
	+ Lµm xuÊt hiƯn c¸c hƯ sè tû lƯ nhê ®ã mµ xuÊt hiƯn thõa sè chung (c¸ch 1).
	+ Lµm xuÊt hiƯn hiƯu cđa hai b×nh ph­¬ng (c¸ch 2)
Víi c¸c ®a thøc cã bËc tõ 3 trë lªn, ®Ĩ dƠ dµng lµm xuÊt hiƯn c¸c hƯ sè tû lƯ ng­êi ta th­êng dïng c¸ch lµm xuÊt hiƯn nghiƯm cđa ®a thøc.
	Ta nh¾c l¹i kh¸i niƯm nghiƯm cđa ®a thøc: Sè a ®­ỵc gäi lµ nghiƯm cđa ®a thøc f(x) nÕu f(a)=0.
	Nh­ vËy nÕu ®a thøc f(x) cã nghiƯm x-a th× nã chøa thõa sè x-a.
C¸c bµi to¸n luyƯn TËp.
Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư
Bµi 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư:
II. ph­¬ng ph¸p thªm vµ bít cïng mét sè h¹ng lµm xuÊt hiƯn hai b×nh ph­¬ng hoỈc xuÊt hiƯn nh©n tư chung.
VÝ dơ 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư: 4x4+81
	4x4+81	=4x4+36x2+81-36x2	= (4x4+36x2+81)-(6x)2
	=(2x2+9)2-(6x)2	= (2x2+9-6x)(2x2+9+6x)
VÝ dơ2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư: x7+x2+1
	x7+x2+1	=x7-x+x2+x+1	=(x7-x)+(x2+x+1)
	=x(x6-1)+(x2+x+1)	=x(x3-1)(x3+1)+(x2+x+1)
	=x(x-1)(x3+1)(x2+x+1)+(x2+x+1)
	=(x2+x+1)[x(x-1)(x3+1)+1]
	=(x2+x+1)(x5-x4+x2-x+1)
 Chĩ ý: C¸c ®a thøc d¹ng: x3m+1+xm +1 ®Ịu chøa thõa sè (x2+x+1)
C¸c bµi to¸n LUYƯN TËP
Bµi 3: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư:
Bµi 4: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư:
III. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư b»ng ph­¬ng ph¸p ®ỉi biÕn( ®Ỉt nh©n tư phơ).
VÝ dơ 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư: x(x+4)(x+6)(x+10)+128
x(x+4)(x+6)(x+10)+128 = (x2+10x)(x2+10x+24)+128
§Ỉt x2+10x+12= y
 §a thøc cã d¹ng (y-12)(y+12)+128= y2-16 = (y+4)(y-4)
 x(x+4)(x+6)(x+10)+128 = (x2+10x+16)(x2+10x+8)
 =(x+2)(x+8)(x2+10x+8)
	NhËn xÐt: Nhê ph­¬ng ph¸p ®ỉi biÕn ta ®· ®­a ®a thøc bËc 4 ®èi víi x thµnh ®a thøc bËc 2 ®èi víi y.
VÝ dơ 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư: A= x4+6x3+7x2-6x+1
A= x4-6x3-2x2+9x2-6x+1 = x4+(6x3-2x2)+(9x2-6x+1)
A= x4+2x2(3x-1)+(3x-1)2 = (x2+3x-1)2.
C¸c bµi to¸n LUYƯN TËP
Bµi 5: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư
IV. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư b»ng ph­¬ng ph¸p hƯ sè bÊt ®Þnh:
VÝ dơ 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư: x4-6x3+12x2-14x+3
	Thư: x= ±1; ±3 kh«ng lµ nghiƯm cđa ®a thøc, ®a thøc kh«ng cã nghiƯm nguyªn cịng kh«ng cã nghiƯm h÷u tû. §a thøc trªn ph©n tÝch ®­ỵc thµnh thõa sè th× ph¶i cã d¹ng: 
(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd
 =x4 - 6x3 + 12x2 -14x +3
 * bd=3 mµ b,d ỴZ => b Ỵ 
	- Víi b=3 => d=1
	VËy: 	=> x4-6x3+12x2-14x+3 = (x2-2x+3)(x2-4x+1)
C¸c bµi to¸n LUYƯN TËP
Bµi 6: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư.
V. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư b»ng ph­¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng:
VÝ dơ: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư: P= x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y)
	Thay x= y => P = 0 nªn x= y lµ nghiƯm cđa ®a thøc P ®èi víi biƯn x nªn P chia hÕt cho x - y hay P chøa thõa sè x- y.
T­¬ng tù: P chøa thõa sè y-z, z-x.
P cã d¹ng K(x-y)(y-z)(z-x)
	NhËn thÊy K ph¶i lµ h»ng sè (kh«ng chøa biÕn) v× P cã bËc ba ®èi víi tËp hỵp c¸c biÕn x,y,z cßn (x-y)(y-z)(z-x) cịng cã bËc ba ®èi víi tËp hỵp c¸c biÕn x,y,z.
	VÝ ®¼ng thøc x2(y-x)+y2(z-x)+z2(x-y)=K(x-y)(y-z)(z-x) nªn ta g¸n cho c¸c biÕn x,y,z c¸c gi¸ trÞ riªng ch¼ng h¹n x=2,y=1,z=0 ta ®­ỵc: 
4.1+1.(-2)+0=K.1.1.(-2) -2K= 2K= -1.
	VËy P=-(x-y)(y-z)(z-x) hay P=(x-y)(y-z)(x-z).
C¸c bµi to¸n LUYƯN TËP
Bµi 7: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư:
a/
b/ , víi 2m = a+ b + c.
VI. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư b»ng ph­¬ng ph¸p gi¶m dÇn sè mị cđa luü thõa:
	Ph­¬ng ph¸p nµy chØ sư dơng ®­ỵc cho mét sè ®a thøc ®Ỉc biªt.
	VÝ dơ 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư: 
	Ta cã: 
	VÝ dơ 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư: 
	Ta cã: 
Ta cã: 
 	Nªn suy ra: 
PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
**&**
TÍNH CHẤT CƠ BẢN VÀ RÚT GỌN PHÂN THỨC
Ví dụ 1: Cho 3a2 + 3b2 = 10ab và b > a > 0
Tính giá trị của biểu thức
Giải: 
Cách 1: Biến đổi biểu thức P để sử dụng điều kiện của bài.
Vì b > a > 0 nên a- b 0 -> P < 0
Cách 2: Biến đổi các điều kiện của đề bài để áp dụng vào biểu thức.
 Từ 3a2 + 3b2 = 10ab -> 3a2 + 3b2 - 10ab = 0
	 3a2 – 9ab – ab + 3b2 = 0
	 3a(a – 3b) – b(a – 3b) = 0
	 (a- 3b)(3a – b) = 0
	Vậy a – 3b = 0 hoặc 3a – b = 0
* a – 3b = 0 -> a = 3b 
 Do b > a > 0 Khi đó 0 < 3b < b ( Vô lí)
* 3a – b = 0 -> b = 3a. Thay vào biểu thức P ta được
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: Rút gọn các phân thức
với
Bài 2: Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a > b > 0
Tính giá trị của biểu thức 
**********************************************************************
CÁC PHÉP TÍNH VỀ PHÂN THỨC
Ví dụ 2: Thực hiện phép tính.
Giải:
a2 +ac – b2 – bc = a2 – b2 + ac – bc = (a-b)(a+b) + c(a- b) = (a-b)(a+b+c)
-> = (a- b)(b- c)(a+b+c)
Làm tương tự với các mẫu còn lại -> MTC = (a-b)(b-c)(c-a)(a + b+c)
Vậy 
(với a, b, c khác nhau và a+b+c 0)
Ví dụ 3: Cho . Tính giá trị của biểu thức 
Giải: Ta đã biết nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3abc (bài 4 ý 3 trang 1)
Thật vậy: nếu a + b + c = 0 thì c = - (a+b)
Ta có a3 + b3 + c3 = a3+b3-(a+b)3=a3+b3 – a3- 3a2b – 3ab2 – b3 = -3ab(a+b) = 3abc
Aùp dụng nhận xét trên ta có
 nên 
Vậy (với a, b, c 0)
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 3: Rút gọn các biểu thức.
Bài 4: Rút gọn các biểu thức.
Bài 5: 
a) Cho a3+b3+c3 = 3abc với a,b,c 0. Tính giá trị biểu thức 
b) Cho a, b, c kh¸c 0 tho¶ m·n: . TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc: 
Bµi 6:
a) Cho . Chøng minh r»ng: vµ 
b) Cho . Chøng minh r»ng: 
Bµi 7:
a) Cho a, b, c lµ ba sè kh¸c 0 vµ a2 = bc. Chøng minh r»ng:
b) Cho a, b, c, d kh¸c 0 tho¶ m·n: b2 = ac ; c2 = bd.Chøng minh r»ng: 
Bµi 8: 
BiÕt . Chøng minh r»ng: