Chuyên đề Bất đẳng thức trong chương trình Toán THCS

A - phần mở đầu
I- Lý do chọn đề tài 
1- Cơ sở khoa học:
Như chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắm vững được nội dung toán học và phương pháp giải toán từ đó học sinh vận dụng vào các môn học khác nhất là các môn khoa học tự nhiên. Hơn nữa toán học còn là cơ sở của mọi ngành khoa học khác, chính vì thế toán học có vai trò quan trọng trong nhà trường phổ thông, nó đòi hỏi người thầy giáo mọi sự lao động nghệ thuật sáng tạo, để tạo ra những phương pháp dạy học giúp học sinh học và giải quyết các bài toán. 
Bất đẳng thức là một nội dung quan trọng trong chương trình toán học từ tiểu học đến trung học. Việc nắm vững các phương pháp giải Bất đẳng thức không những giúp học sinh học tốt bộ môn toán mà còn có tác dụng hỗ trợ cho nhiều môn học khác như hoá học, vật lý, tin học. Đặc biệt việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh từ tiểu học đến trung học. Nhưng vấn đề đặt ra cho mỗi giáo viên toán hiện nay là giúp học sinh học tốt bộ môn toán nói chung và Bất đẳng thức nói riêng.
Trong quá trình dạy toán ở THCS, qua kinh nghiệm giảng dạy và tìm tòi tài liệu nhóm chúng em đã hệ thống được một số phương pháp giải Bất đẳng thức mà chúng em thiết nghĩ mỗi giáo viên toán cần trang bị cho học sinh có như vậy học sinh mới giải được toán Bất đẳng thức góp phần phát triển tư duy toán học, tạo điều kiện cho việc học toán ở THCS và học các môn học khác.
2- Cơ sở thực tiễn:
Bất đẳng thức là loại toán mà học sinh THCS coi là loại toán khó. Nhiều học sinh không biết giải Bất đẳng thức thì phải bắt đầu từ đâu và phương pháp giải toán Bất đẳng thức như thế nào. Thực tế cho thấy toán Bất đẳng thức có nhiều trong chương trình THCS, nhưng không được hệ thống thành những phương pháp nhất định, gây cho học sinh nhiều khó khăn khi gặp, khi giải toán Bất đẳng thức.
Các bài toàn có liên quan tới Bất đẳng thức hầu như có mặt ở mọi đề thi kể cả các đề thi tốt nghiệp tới đề thi học sinh giỏi các cấp và thi vào lớp 10 THPT.
Đối với các giáo viên còn thiếu kinh nghiệm giảng dạy, đặc biệt là bồi dưỡng học sinh giỏi thì việc nắm vững phương pháp Bất đẳng thức sẽ bổ sung kho kiến thức cho họ.
Đối với học sinh khắc phục được những hạn chế trước đây giúp cho học sinh có tinh thần tự tin trong học tập bộ môn toán.
II - Mục đích nghiên cứu:
Góp phần quan trọng trong việc giảng dạy toán học nói chung và Bất đẳng thức nói riêng. Đặc biệt là việc bồi dưỡng học sinh giỏi và học sinh thi vào lớp 10 THPH chuyên.
Giúp học sinh biết phân loại và vận dụng các phương pháp giải Bất đẳng thức một cách nhanh chóng và hiệu quả. Phát huy được tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh trong quá trình học tập.
III - Phương pháp nghiên cứu:
- Nhóm chia mỗi phương pháp cho một học viên nghiên cứu và qua thực nghiệm, rút ra bài học kinh nghiệm của từng phương pháp.
Nghiên cứu các phương pháp giải Bất đẳng thức.
Thông qua nội dung phương pháp và các bài tập mẫu nhằm củng cố Lý thuyết và phát triển trí tuệ cho học sinh.
Rèn kỹ năng học sinh qua các bài tập đề nghị.
IV - Phạm vi nghiên cứu và sử dụng:
Các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức ở THCS.
Bồi dưỡng cho giáo viên và học sinh THCS. 
B - Những kiến thức cơ bản về Bất đẳng thức
I - Định nghĩa: Cho hai số: a, b ta nói 
số a lớn hơn số b, ký hiệu là: a > b nếu a - b > 0
	số a nhỏ hơn số b, ký hiệu là: a < b nếu a - b < 0
II - Tính chất:
a > b b < a 
a < b, b < c a < c (tính chất bắc cầu)
a < b a + c < b + c (tính chất đơn điệu)
a < b, c < d a + c < b +d (Cộng hai vế của một Bất đẳng thức cùng chiều ta được một Bất đẳng thức cùng chiều với chúng)
a d a - c < b - d (trừ hai Bất đẳng thức ngựoc chiều ta được một Bất đẳng thức có chiều là chiều của Bất đẳng thức bị trừ)
Nhân hai vế của một Bất đẳng thức a < b với cùng một số m a<b 
Nhân hai vế của hai Bất đẳng thức không âm cùng chiều ta được một Bất đẳng thức cùng chiều: 0 <a<b, 0<c<d a.c<b.d
a> b >0 an> b n; 0>a>b an+1>b2n+1 và an<b2n
so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số: m>n>0; a>1 am > an; am < an với 0 < a <1
10) Ngịch đảo hai vế của một Bất đẳng thức ta được một Bất đẳng thức đổi chiều: a b 
Các tính chất trên có thể chứng minh nhờ định nghĩa và các tính chất trước.
 III - Một số Bất đẳng thức cân nhớ: 
A 2k0 với mọi A, Dấu"=" xảy ra khi A=0 
 Dấu "=" xảy ra khi A=0.
 Dấu "=" xảy ra khi A.B0
 Dấu "=" xảy ra khi A.B0 và 
	Chú ý: 
- Ngoài các Bất đẳng thức trên còn một số các Bất đẳng thức đúng khác mang tính tổng quát hơn nên khi giải bài tập cần chú ý.
- Khi chứng minh song Bất đẳng thức ab ta phải xét trường hợp Dấu “=” xảy ra khi nào.
c- các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
 I -Phương pháp 1: phương pháp dùng định nghĩa: 
 (Người thực hiện: Nguyễn Mạnh Hưởng)
 1-Nội dung phương pháp:
Để chứng minh Bất đẳng thức A>B ta chứng minh Bất đẳng thức A-B >0
 2- Kiến thức cần vận dụng 
	- Các hằng đẳng thức đáng nhớ đặc biệt là: (A+B)2=A+2AB+B2
	- Tổng quát:
	Các kỹ năng biến đổi đồng nhất để biến đổi hiệu hai vế về các Bất đẳng thức đúng hay điều kiện đúng của đề bài:
 3-Bài tập áp dụng
 Bài 1- Chứng minh Bất đẳng thức a2+b2ab 
Giải
Xét hiệu: a2+b2- ab = (a2+b2- ab)+ b2=( a- b)2+b20 đúng với mọi a, b vì ( a- b)20; b20 Dấu "=" xảy ra khi (a- b)2=b2=0 suy ra a = b = 0
Vậy Bất đẳng thức được chứng minh.
Chứng minh tương tự cho Bài a2+b2ab
Ta có thể chứng minh cho Bài toán tổng quát: (an)2+(bn)2
 Bài 2 - Cho ba số a, b, c thoả mãn 0<a b c chứng minh rằng:
Giải
 Xét hiệu: 
=[c(a-b)(a+b)-ab(a-b)-c2(a-b)]= (a-b)[c(a+b)-ab-c2]
= (a-b)(b-c)(c-a)0 (do 0<a b c )
Dấu "=" xảy ra khi a=b hoặc b=c hoặc a=c
Vậy Bất đẳng thức được chứng minh.
Bài 3: Cho a b c và x y z hãy chứng minh rằng:
Giải
 Xét hiệu: =(ax+ay+by+bx-2ax-2by)
 = [(ay-ax)+(bx-by)]= (x-y)(b-a) 0 ( do x y và a b )
 Dấu "=" xảy ra khi x=y hoặc a=b 
 Vậy Bất đẳng thức thực được chứng minh 
 Chứng minh tương tự ta được Bất đẳng thức:
Bạn đọc có thể tổng quát bài toán.
Bài 4: Cho a, b, c, d ,e là các số thực chứng minh rằng: 
a2+b2+c2+d2+e2 a(b+c+d +e)
Giải
Xét hiệu: a2+b2+c2+d2+e2- a(b+c+d +e) = a2+b2+c2+d2+e2- ab-ac-ad -ae
 =( 4a2+4b2+4c2+4d2+4e2- 4ab-4ac-4ad -4ae)
	=[(a2+4b2+4ab)+(a2+c2+4ac)+(a2+4d2+4ad)+(a2+4e2+4ae)]
 =[(a+2b)2+(a+2c)2+(a+2d)2+(a+2e )2] 0
 Do (a+2b)2 0 và (a+2c)2 0 và (a+2d)20 và (a+2e )20
Dấu "=" xảy ra khi b = c = d = e = 
Vậy Bất đẳng thức được chứng minh. 
Vậy Bất đẳng thức được chứng minh.
Bài 5: Tổng quát bài 4 
Cho ai i=1,2,..,n là các sổ thực. chứng minh rằng:
Chứng minh tương tự bài 4 
	4- Bài tập áp dụng:
Hãy chứng minh các Bất đẳng thức sau: 
1/ 4.x2+y 2 4xy
2/ x2+y2 +1 xy +x+y 
3/ (x+y) (x3+y3) (x7+y7) 4(x11+y11)
4/ x1996+y1996+z1996):( x1995+y1995+z1995)(x+y+z):3
5/ (a3+b3+c3) (a+b+c)(a2+b2+c2): a,b,c >0
6/ Cho các số dương a,b,c chứng minh rằng:
a/ 
b/ 
II - Phương pháp 2: Dùng tính chất của Bất đẳng thức để biến đổi tương đương: (Người thực hiện: Đào Trung Tuyến)
1) Nội dung phương pháp:
Khi chứng minh một Bất đẳng thức nào đó ta biến đổi Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với một Bất đẳng thức đúng hoặc một Bất đẳng thức đã được chứng minh hoặc điều kiện của đề bài. 
2) Kiến thức cơ bản:
Các tính chất của Bất đẳng thức.
Các Bất đẳng thức thường dùng.
Kỹ năng biến đổi tương đương một Bất đẳng thức.
Các HĐ thức
3- Bài tập mẫu
Bài 1: Chứng minh rằng:
x2+2y2+2z2 2xy +2yz+2z-1 (*)
Giải
(*)x2+2y2+2z2 -2xy -2yz-2z +1 0
 (x2-2xy+y2)+(y2-2yz+z2)+(z2-2z+1)
 (x-y)2+(y-z)2+(z-1)20 Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi x,y,z 
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
Vậy Bất đẳng thức dã cho được chứng minh. 
 Bài 2: Chứng minh Bất đẳng thức:
(a10+b10) (a2+b2) (a8+b8) (a4+b4)
Giải
(a10+b10) (a2+b2) (a8+b8) (a4+b4) (a10+b10) (a2+b2) - (a8+b8) (a4+b4) 0
 a12+ a10 b2+ a2 b10+ b12-a12 -a8 b4- a4 b8-b12 0
 	( a10 b2-a8 b4) +( a2 b10- a4 b8 0
	a8 b2(a2-b2) -a 2b8(a2-b2) 0
 a 2b2(a2-b2)( a2-b2)(a4+a2b2+b4) 0
 a 2b2(a2-b2)2(a4+a2b2+b4) 0 đúng với mọi a, b 
Dấu "=" xảy ra khi a2=b2 a=b hoặc a=-b và a=0 hoặc b=0
Vậy Bất đẳng thức ban đầu được chứng minh. 
 *Nhận xét: Từ kết qủa bài toán trên ta có bài toán tương tự:
Cho 0a b Chứng minh Bất đẳng thức:
(a5+b5) (a+b) (a2+b2) (a4+b4)
Bài 3: Chứng minh các Bất đẳng thức 
(x-1)(x-3)(x-4 )(x-6) - 9
Cho a c 0 và b c chứng minh 
 	+ 
Giải
Nhận xét: Ta thấy 3+4=1+6 nên ta nhân (x-1)( x-6) và (x-3)(x-4 )
 (x-1)(x-3)(x-4 )(x-6) - 9 ú (x-1)( x-6) (x-3)(x-4 )+9 0
ú (x2-7x +6)(x2-7x+12)+9 0 ú (x2-7x +6)(x2-7x+6+6)+9 0 
ú (x2-7x +6)2+6(x2-7x+6) +9 0 ú (x2-7x +9)2 0
Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi giá trị của x 
=> (x-1)(x-3)(x-4 )(x-6) - 9
Dấu "=" xảy ra khi x2-7x +9 =0 ú x=
b ) 	+ ú(+)2 ()2
ú c(a-c)+c(b-c) +2 ab 
ú c2 +2c +(a-c)(b-c) 0
ú( c-)2 0 
Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi giá trị của a,b,c thoả mãn điều kiện của đề bài vậy 	+ với a c 0 và b c
Bài 4: Chứng minh Bất đẳng thức:
++ 4 (++)2. biết a,b,c >0
Giải
Ta có ++ =. Do a, b, c >0 và (a+b)(b+c)(c+a) 8abc 
=>++ Hay 
++ 
ú 2(++ ) ++ (1)
 Trong (1) Dấu "=" xảy ra khi a=b=c 
Mặt khác ta có (a+b)2 4ab tương tự ta có 
 và 
suy ra + + + + (2)
Trong (2) Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
Từ (1) và (2) Ta có ++ 4 (++)2
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
Nhận xét: Để chứng minh Bất đẳng thức nhiều khi ta biến đổi từ một Bất đẳng thức đúng có dạng tương tự như Bất đẳng thức cần chứng minh. Sau đây là một ví dụ nữa kiểu như vậy.
Bài 5: Cho 0 < a ,b, c và abc =1 chứng minh Bất đẳng thức sau:
 ++ 1
Giải
Do 0 a b c => (a-b)2(a+b) 0 Dấu "=" xảy ra khi a=b
 ú (a-b)(a+b)(a-b)0 
ú (a2-b2)(a-b) 0 ú a3-a 2b-ab2+b3 0 ú a3 +b3 a 2b+ab2
ú a3 +b3 +1a 2b+ab2+abc ú a3 +b3 +1(a+b+c)ab 
ú = (do abc= 1 => )
 suy ra 
Tương tự ta có Dấu "=" xảy ra khi b=c
 và Dấu "=" xảy ra khi a=c
Cộng vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta được:
 ++ 1 
 Dấu "=" xảy ra khi a=b=c =1
4 - Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho 0 x,y,z 1 chứng minh:
0 x+y+z -xy-yz-zx 1
x2+y2+z2 1+x 2 y +y2 z +z2 x
++ 2
Bài 2: Cho a, b,c là độ dài ba cạnh của tam giác, có chu vi bằng 2. Chứng minh rằng: a2+b2+c2+2abc < 2
Bài 3: Chứng minh với mọi x, y > ta có: 
 x4 - x 3y +x2 y2 -xy3 +y4 >x2+y2 
Bài 4: Cho a, b ,c là ba số tuỳ ý thuộc đoạn [0,1]. Chứng minh: 
a2+b2+c2 1+ ab +b2 c +c2 a
2(a3+b3+c3) -(a2 b+b2 c+c2 a) 3
+ 2
III - Phương pháp 3: Dùng tính chất của tỉ số 
 (Người thực hiện: Đào Thuỷ Chung)
Nội dung phương pháp:
 Khi vận dụng các tính chất của tỷ số thì việc chứng minh Bất đẳng thức trở nên rất nhanh và gọn.
Kiến thức cần vận dụng:
Với ba số dương a,b.c 
Nếu 1 Thì Dấu "=" xảy ra khi a=b 
Nếu 1 Thì Dấu "=" xảy ra khi a=b 
Nếu b, d >0 và Dấu "=" xảy ra khi ad=bc
Bài tập mẫu:
 Bài 1: Cho a,b, c là số đo ba cạnh của tam g ... ra khi x= 3.(*)
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho vế trái ta có:
 VT = (1.+ 1.).
 Dấu ''=''xảy ra khi x= 3 (**)
Từ (*) và (**) suy ra 
Nghiệm của phương trình đã cho là: x= 3
Bài 3: Giải phương trình:
Giải:
Ta có: 
Nhận thấy VT: 
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta được:
 Dấu ''=''xảy ra khi:
.
 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x= 3/2.
Bài 4: Giải phương trình:
.
Giải:
Phương trình đã cho tương đương với: 
áp dụng bất đẳng thức 
Dấu ''=''xảy ra khi a.b 
ta có: 
Dấu ''='' xảy ra khi
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: 5
Bài 5: Giải phương trình
(8x - 4x-1)(x - 2x +1) = 4(x+x+1)
Thông thường ta nhân phân phối được một phương trình bậc 4 đầy đủ.
Giải phương trình mất nhiều công và ít hiệu quả.Từ đó nghĩ đến việc hạ bậc phương trình bằng cách nhân hay chia cả hai vế của phương trình cho một nhân tử nào đó cho hợp lý.
Thử thấy x=1 không phải là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế của phương trình cho 4(x-1).
Ta được phương trình: 
Ta có: 
Dấu ''=''xảy ra khi x-1= 0 suy ra x = 1. Mặt khác ta có: 
Dấu ''='' xảy ra khi 
Nhận thấy x= 1 không phải là nghiệm của phương trình.
Vậy phương trình đã cho là vô nghiệm.
Bài 6: Giải phương trình
+ = 2
Giải:
 áp dụngbất đẳng thức 
(bất đẳng thức trên có thể chứng minh bằng qui nạp toán học)
Dấu ''=''xảy ra khi a=b 
 Ta được:
( )=1
+
Dấu ''=''xảy ra khi ()=()
x=1
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x= 1
Bài 7: Giải phương trình
Giải
Ta luôn có 
áp dụng bất đằng thức:
(bất đằng thức trên có thể chứng minh băng qui nạp toán học)
Dấu ''=''xảy ra khi a=b.
Dấu ''=''xảy ra khi x+1= -x-
vây nghiệm của phương trình đã cho là: 
 Bài tập 8: Giải phương trình
Giải:
Ta thấy x=0 không phải là nghiệm phương trình:
chia cả hai vế của (*) cho x 
Ta được +)=5
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho vế trái ta được:
VT = (+).
Dấu ''=''xảy ra khi: 
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: 
4./Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau:
a- 
b- +
c- +=6
d- +=2.3
e- +=1
g- +=2
II Tìm GTNN và GTLN của biêủ thức 
Bài 1 Tìm GTNN và GTLN của biểu thức sau a =
Giải:
Biểu thức nhận giá trị phương trình a= (*) có nghiệm 
Do x2+1 >0 nên (*) với x2 (a-2) -4x +a-5 =0 
+ Nếu a=2 thì phường trình có nghiệm x=-3:4 
+ Nếu a khác 2 (*) có nhiệm =4-(a-2)(a-5) 0 a2 -7a +6 
	1 a 6
Nếu a=1 thì x=-2 
Nếu a=6 thì x =0,5 Vậy giá trị nhỏ nhất của BT đã cho là 1 khi x=-2 và giá trị lớn nhất của BT đã cho là 6 khi x=0,5. 
 Bài 2: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức B =2x2 +4xy +5y2.
Biết rằng x2 +y 2 =a (1)
Với a là hằng số 1. 
Giải:
 Vì a 1 nên ta có B:a =(2x2 +4xy +5y2 ):(x2 +y 2) (*) 
Nếu y=0 thì B:a =2 x
Nếu y khác 0 Đặt x:y khi đó (*) trở thành B:a = 
Theo bài 1 ta có: 1 t 6 1 B:a 6 a B 6a 
Vậy giá trị nhỏ nhất của BT đã cho là a khi x:y =-0,5 x=-2y thay vào (1)
Ta được x=2, y=- :; x=-2, y=-
 Giá trị lớn nhất của BT đã cho là x:y =0,5 y=2x thay vào (1)
Ta được x=, y=2 ; x=-, y=-2
Bài 3 Cho hình vuông ABCD có cạng là a Một điểm M di động trên cạnh AB. Dựng các hình vuông có cạnh là AM và BM Về bên trong hình vuông đó. Xác định vị trí của M để diện tích S còn lại của hình vuông là lớn nhất. 
Giải:
Gọi S1, S2 lần lượt là diệm tích các hình vuông
 có cạnh là AM và AN
	S1=AM2, S2+=BM2. 
S nhỏ nhất khi S1+S2 = AM2 +BM2. lớn nhất
Ta có AM2+MB2 0,5 (MA+MB)2=0,5 a2.
Dấu "=" xảy ra khi MA=MB 
hay M là trung điểm củ AB 
 Vậy: S lớn nhất khi M là trung điểm của AB. 
Bài tập áp dụng: 
1/ Chứng minh rằng 3x+4 5 
2/ Tìm GTNN và GTLN của biểu thức 
3/ Tìm GTNN và GTLN của biểu thức x+ biết x>0
Bài 4: Cho đường tròn (O,R) và một điểm M thay đổi trên đường kính AB. Tìm vị trí của điểm M để tổng diện tích hai đường tròn đường kính MA và MB có diện tích nhỏ nhất. 
E- Phần thực nghiệm: 
Tổng quát một Bất đẳng thức và ứng dụng
 Sau mỗi lần chứng minh sông một Bất đẳng thức giáo viên cần định hướng cho học sinh tổng quát hoá Bất đẳng thức vừa chứng minh. nếu làm tốt được việc này sẽ không chỉ làm đẹp và phong phú Bất đẳng thức mà còn đem lại những ứng dụng không nhỏ. Giúp học sinh có vốn kiến thức rộng về Bất đẳng thức tạo điều kiện cho việc học toán nói chung và Bất đẳng thức nói riêng. 
	Sau đây là một ví dụ để chứng minh điều đó: 
	Chúng ta bắt đầu từ một Bất đẳng thức quen thuộc sau: 
 Chứng minh rằng: (1) a,b; R a,b Dấu "=" xảy ra khi a=b 
Chứng minh rằng: (2) a,b; R a,b Dấu "=" xảy ra khi a=b 
Bất đẳng thức (1), (2) dễ dàng chứng minh. 
Giáo viên cho học sinh tổng quát Bất đẳng thức từ Bất đẳng thức (1) và (2)
Ta được Bất đẳng thức 
 Chứng minh rằng: (3) a,b; R a,b k là số tự nhiên khác 0
Dấu "=" xảy ra khi a=b
Ta có thể chứng minh Bất đẳng thức (3) bằng phương pháp quy nạp. 
Vấn đề đặt ra với số mũ lẻ có xảy ra Bất đẳng thức tương tự hay không ?
 Ta so sánh Với a,b; R a,b 
Ta xét = ..= (a+b)(a-b)2.
Ta thấy (a+b)((a-b)2. 0 nếu a+b 0 Dấu "=" xảy ra khi a=b và a= -b
Vậy (4) a,b; R a,b với a+b 0, Dấu "=" xảy ra khi a2=b2
Ta thấy (a+b)((a-b)2. 0 nếu a+b 0 Dấu "=" xảy ra khi a2=b2
Vậy (5) a,b; R a,b với a+b 0 Dấu "=" xảy ra khi a2=b2
Ta lại tổng quát Bất đẳng thức (4) ta được Bất đẳng thức: 
 (6), a,b; R a,b với a+b 0, Dấu "=" xảy ra khi a2=b2
Ta lại tổng quát Bất đẳng thức (5) ta được Bất đẳng thức: 
 (7), a,b; R a,b với a+b 0, Dấu "=" xảy ra khi a2=b2
Chứng minh Bất đẳng thức 
(6)a,b; R a,b với a+b 0, Dấu "=" xảy ra khi a2=b2
Xét: = (*)
Ta chứng minh 
Không mất tính tổng quát giả sử b a
 Xét hiệu: - = (a2k+1 +a2kb + b2ka + b2k+1 -2a2k+1-2b2k+1 )
=[a2k(b-a )-b2k(b-a)] =-(b-a)(b2k-a2k ) 
 Do b a và ta có a+b 0 b-a 0 và b2 a2 b2k a2k. 
 b2k - a2k 0 -(b-a)(b2k-a2k ) 0 (**)
Từ (*) và (**)ta có (6)a,b; R a,b với a+b 0. 
 Dấu "=" xảy ra khi a2=b2
Chứng minh tương tự ta được Bất đẳng thức: 
 (7), a,b; R a,b với a+b 0, Dấu "=" xảy ra khi a2=b2
Bây giờ ta kêt hợp các Bất đẳng thức (2); (6); (7) ta được Bất đẳng thức tổng quát sau: 
(8)a,b; R a,b với a+b 0 ,
 Dấu "=" xảy ra khi a2=b2 nếu n lẻ; a=b nếu n chẵn a, b bất kỳ nếu 1. 
bài tập áp dụng: 
 Bài 1 - Cho ba số dương a,b,c và số nguyên k chứng minh rằng: 
 ++ (*)
Giải:
 (*) ++ 3
Theo Bất đẳng thức (8) ta có = = 
Chứng minh tương tự cho các trường hợp còn lại rồi cộng các vế của các Bất đẳng thức đó lại ta được: 
 ++ ++
Ta chứng minh ++ 3 ++1,5 
Ta thấy Bất đẳng thức cuối cùng là Bất đẳng thức Lepnit cho ba số ta rễ dàng chứng minh. Vậy Bất đẳng thức (*) được chứng minh. 
Bài 2: Cho k là số nguyên lẻ và x,y,z là các số thực thoả mãn: 
.x z; y t và 
 chứng minh rằng 1
Giải:
 áp dụng Bất đẳng thức (6) ta có 
()k =()k ( x-z):2 do k lẻ và x z 
 . Dấu "=" xảy ra khi khi x2=z2.
Chứng minh tương tự ta có 
 . Dấu "=" xảy ra khi khi y2=t2.
Cộng vế với vế của hai Bất đẳng thức cuối cùng ta được: 
 .+. 
 (:2
 	 .:2 =1 (ĐPCM)
Các trường hợp dấu bằng xảy ra học sinh tự xét. 
Bài 3 Cho các số dương a,b ,c chứng minh rằng: 
(a+b-c)n +(b+c-a)n +(c+a-b)n an +bn +cn. (@) n là các số tự nhiên 
Giải:
Với 1 Bất đẳng thức đúng. 
Với n 2 Đặt x= a+b-c; y=b+c-a; z =c+a-b x+y =2b 0 
 	b= 0 tương tự ta có a = 0; c = 0 
	.Khi đó Bất đẳng thức (@) trở thành 
 . xn +yn + zn ()n +()n+()n
Theo Bất đẳng thức (8) ta có ()n+()n+()n ++ = xn +yn + zn 
Vậy (a+b-c)n +(b+c-a)n +(c+a-b)n an +bn +cn n là các số tự nhiên 
Bài 4 Giải phương trình 
Giải
ta luôn có 
áp dụng bất đằng thức:
Dấu ''=''xảy ra khi a=b.
Dấu ''=''xảy ra khi x+1= -x-
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: 
Bài tập củng cố và về nhà: 
Bài 1 Giải phương trình sau. x100 +(x+6)100=2.3100.
Bài 2:Chứng minh rằng: x2k +(x+4)2k+(x+2)2k+1 2+2 2k+1
 X là số thực. n là các số nguyên dương 
Bài 3: Cho k >1 là các số lể và các số thực x1,x2, ., ,x n thoả mãn 
2k.2-1 x1 x2 ., x n 2 k-1 chứng minh rằng: 
 + +.+ 1
F- Kết luận
1- Kết quả nghiêm cứu 
Trên đây là một số phương pháp giải Bất đẳng thức từ cơ sở lý thuyết đến các bài tập mẫu (trong mỗi phương pháp có một số dạng cụ thể ) có lời giải. Từ đó học sinh áp dụng vào các bài tập cụ thể, để củng cố từng dạng trong phương pháp đó. Nhưng do khả năng trong nhóm có hạn, kinh nghiệm giảng dạy và nghiêm cứu chưa được là bao, nên phần trình bài trắc còn nhiều hạn chế.
 Tuy nhiên trong quá trình nghiên cứu đề tài này giúp nhóm chúng em tự tin hơn, say sưa với nghề nghiệp hơn.
Các em học sinh khi học đề tài này sẽ thấy mở mang ra nhiều. Biết các áp dụng vào bài học một cách sáng tạo lô gíc các em thực sự say sưa với môn học.
2 Bài học rút ra và đề nghị:
Các Bất đẳng thức không chỉ cần thiết đối với học sinh THCS mà còn cần cho cả giáo trong quá trình dạy toán ở THCS nếu nghiên cứu tỉ mỉ sâu hơn nữa thì thấy đây là một loại toán rất độc đáo và hay giúp ta tự hoàn thiện mình, từ đó chủ động về kiến thức và tự tin trong dạy học toán.
Vì khả năng có hạn, thêm nhiều yếu tố khách quan nên tài liệu chưa đáp ứng được sự mong mỏi của các thầy cô giáo, bạn bè đồng nghiệp và các em học sinh. Rất mong được sự đóng góp chân thành của các thầy cô giáo và các bạn bè đồng nghiệp (chân thànhcảm ơn)./.
Các tài liệu tham khảo
STT
Tên tài liệu
Tên tác giả
1
Các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
Nguyễn vũ thanh
2
500 bài toán chọn lọc về Bất đẳng thức (Tập I)
Phan huy khải
3
500 bài toán chọn lọc về Bất đẳng thức (Tập II)
Phan huy khải
4
Phương pháp tìm GTNN và GTLN 
Phan huy khải
5
Các bài toán chọn lọc về Bất đẳng thức 
 Vũ hoàng lân 
6
Tuyển tập 180 bài toán Bất đẳng thức 
Võ đại mau 
7
250 bài toán đại số 
Võ đại mau
8
Một số vấn đề phát triển toán 8
VHB + TH +Đqt
9
Một số vấn đề phát triển toán 8
VHB + TH +Đqt
10
Phương pháp giải Bất đẳng thức 
Trần văn thương
11
Phương pháp giải 35, 36 bộ đề thi vào câp II và BDHSG
Võ đại mau 
12
Những bài toán hay và khó 
Nguyễn đễ
13
Các đề thi vô địch 19 nước 
Nguyễn Đễ
Mục lục 
STT
Tên mục
Trang
1
A - phần mở đầu
2
2
I - Lý do chọn đề tài 
2
3
II - Mục đích nghiên cứu: 
3
4
III - Phương pháp nghiên cứu
3
5
IV - Phạm vi nghiên cứu
3
6
B - Những kiến thức cơ bản về Bất đẳng thức
4
7
các phương pháp cm Bất đẳng thức
5
8
Phương pháp 1: Phương pháp dùng định nghĩa
5
9
Phương pháp 2: Dùng tính chất của Bất đẳng thức để biến đổi tương đương
8
10
Phương pháp 3: Dùng tính chất của tỉ số 
12
11
Phương pháp 4: Phương pháp phản chứng
15
12
Phương pháp 5: Phương pháp quy nạp
17
13
Phương pháp 6: Dùng bất đẳng thức trong tam giác
21
14
Phương pháp 7: Phương pháp làm trội
23
15
Phương pháp 8: Phương pháp sử dụng Bất đẳng thức Cauchy và Bất đẳng thức Bunhiacopxky
26
16
Phương pháp 9: Phương pháp dùng tam thức bậc hai
31
17
Phương pháp 10: Phương pháp hình học
34
18
Một số ứng dụng của Bất đẳng thức 
36
19
Phần thực nghiệm: 
43
20
Kết luận
48
21
Tài liệu tham khảo
50
22
Muc lục
51