Các dạng bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử Đại số Lớp 8

Các dạng bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử Đại số Lớp 8

+ Bài tập :

 1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) 3x – 3y

b) 2x2 + 5x3+ x2y

c) 14x2y – 21 xy2 + 28x2y2

d) x(y – 1 ) – y(y – 1)

e) 10x(x – y) – 8y(y – x)

Giải:

a) 3x – 3y = 3(x – y)

b) 2x2 + 5x3+ x2y = x2(2 + 5x + y)

c) 14x2y – 21 xy2 + 28x2y2 = 7xy( 2x – 3y + 4xy)

d) x(y – 1 ) – y(y – 1) = (y – 1)(x – y)

e) 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y) = 2 (x – y)(5x + 4y)

 2) Tìm x , biết :

 a) 5x(x – 2000) – x + 2000 = 0

 b) 5x2 = 13x

Giải:

 a) Ta có : 5x(x – 2000) – x + 2000 = 0

 5x(x – 2000) – (x – 2000) = 0

 (x – 2000)(5x – 1) = 0

 x – 2000 = 0 hoặc 5x – 1 = 0

 x – 2000 = 0 x = 2000

 5x – 1 = 0 5x = 1 x =

 Vậy x = 2000 hoặc x =

b) 5x2 = 13x 5x2 – 13x = 0

 x(5x – 13 ) = 0

 5x = 0 hoặc 5x – 13 = 0

 x = 0

 5x – 13 = 0 x =

 Vậy x = 0 hoặc x =

 

doc 15 trang Người đăng tuvy2007 Lượt xem 2929Lượt tải 0 Download
Bạn đang xem tài liệu "Các dạng bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử Đại số Lớp 8", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
CÁC DẠNG BÀI TẬP CẦN KHAI THÁC
 A) . DẠNG 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung:
	+ Bài tập :
 1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
3x – 3y
2x2 + 5x3 + x2y
14x2y – 21 xy2 + 28x2y2
x(y – 1 ) – y(y – 1)
10x(x – y) – 8y(y – x)
Giải:
3x – 3y = 3(x – y)
2x2 + 5x3 + x2y = x2(2 + 5x + y)
14x2y – 21 xy2 + 28x2y2 = 7xy( 2x – 3y + 4xy)
x(y – 1 ) – y(y – 1) = (y – 1)(x – y)
10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y) = 2 (x – y)(5x + 4y)
 2) Tìm x , biết :
	a) 5x(x – 2000) – x + 2000 = 0
	b) 5x2 = 13x
Giải:
	 a) Ta có : 5x(x – 2000) – x + 2000 = 0
	 5x(x – 2000) – (x – 2000) = 0
	 (x – 2000)(5x – 1) = 0
	 x – 2000 = 0 hoặc 5x – 1 = 0
	 · x – 2000 = 0 x = 2000
 · 5x – 1 = 0 5x = 1 x = 
	Vậy x = 2000 hoặc x = 
5x2 = 13x 5x2 – 13x = 0
 x(5x – 13 ) = 0
 5x = 0 hoặc 5x – 13 = 0
 · x = 0 
 · 5x – 13 = 0 x = 
 	Vậy x = 0 hoặc x = 
	 3) Chứng minh rằng : 55n+1 – 552 chia hết cho 54 ( Với n là số tự nhiên )
Giải:
 	Ta có : 55n+1 – 55 = 55n.55 – 55n
	= 55n(55 – 1) = 55n.54
	Mà 54 chia hết cho 54 nên 55n.54 ( đpcm)
	 4 ) Tính nhanh 
	a) 15,8 . 35 + 15,8 . 65
	b) 1,43 . 141 – 1.43 . 41
Giải:
15,8 . 35 + 15,8 . 65 = 15,8(35 + 65) = 15,8 . 100 = 1580
1,43 . 141 – 1.43 . 41 = 1,43 ( 141 – 41 ) 1,43 . 100 =143 
+ Bài tập tương tự: 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
6x4 – 9x3
x2y2z + xy2z2 + x2yz2
(x + y ) 3 – x3 – y3
2x(x + 3) + 2(x + 3)
Tìm x , biết 
5x(x – 2) – x – 2 = 0
4x(x + 1) = 8( x + 1)
x(2x + 1) + = 0
x(x – 4) + (x – 4)2 = 0
Chứng minh rằng :
Bình phương của một số lẻ chia cho 4 thì dư 1
Bình phương của một số lẻ chia cho 8thì dư 1
+ Khái quat hóa bài toán :
	Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
	A = pm+2.q – pm+1.q3 – p2.qn+1+ p.qn+3
+ Đề xuất bài tập tương tự:
	Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:	 
4x(x – 2y) + 8y(2y – x )
3x(x + 7)2 – 11x2(x + 7 + 9(x + 7)
-16a4b6 – 24a5b5 – 9a6b4
8m3 + 36m2n + 54mn2 + 27n3
 B) . DẠNG 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dung hằng đẳng thức
 	+ Bài tập :
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
x2 + 6x + 9 
10x – 25 – x2
(a + b)3 + (a – b)3
(a + b)3 – (a – b)3
x3 + 27 
81x2 – 64y2
8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3
 Giải:
x2 + 6x + 9 = x2+ 2 .x . 3 + 32 = (x + 3)2
10x – 25 – x2 = -( x2 – 2.x.5 + 52) = - (x – 5)2
(a + b)3 + (a – b)3= [(a + b) + (a – b)][(a + b)2 – (a + b)(a – b) + (a – b)2
 = 2a[a2 + 2ab + b2 – (a2- b2) + a2 – 2ab + b2
 = 2a(a2 + 3b2)
(a + b)3 – (a – b)3 = [(a + b) - (a – b)][(a + b)2 + (a + b)(a – b) + (a – b)2]
 = ( a + b – a + b) (a2 + 2ab + b2 + a2- b2+ a2 – 2ab + b2
 	= 2b(3a2+ b2)
x3 + 27 = ( x + 3)(x2 – 3x + 9)
81x2 – 64y2 = (9x)2 – (8y)2 = (9x + 8y)(9x – 8y)
8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 + 3.(2x)2.y + 3.(2x).y2 + y3
 = (2x + y)3
Tìm x , biết :
x2 – 25 = 0
x2 – 4x + 4 = 0 
Giải :
x2 – 25 = 0
 ( x – 5 )(x + 5) = 0 
x2 – 4x + 4 = 0 x2 – 2.2x + 22 = 0
 (x – 2)2 = 0 
 x – 2 = 0
 x = 2
	 3) Chứng minh rằng hiệu các bình phương của hai số lẻ liên tiếp thì chia hết cho 8
Giải:
Gọi hai số lẻ liên tiếp là 2a – 1 và 2a + 1 ( a là số nguyên ) . Hiệu các bình phương của chúng là: ( 2a + 1)2 – (2a – 1)2.
Ta thấy ( 2a + 1)2 – (2a – 1)2. = (2a + 1 + 2a – 1 )(2a + 1 -2a + 1)
	= 4a.2 = 8a chia hết cho 8 
4)Tính nhẩm:
732 – 272 
372 – 132 
20022 – 22 
Giải:
732 – 272 = ( 73 + 27) (73 – 27) = 100 . 46 = 4600
372 – 132 = (37 – 13 )(37 + 13) = 24 . 50 = 1200
20022 – 22 = (2002 – 2)(2002 + 2) = 2000 . 2004 = 4008000 
+ Bài tập tương tự:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
( a + b + c)3 – a3 – b3 – c3
8(x + y + z)3 – (x + y)3 – (y + z)3 – (z – x)3
8x3 – 27 
– x3 + 9x2 – 27x + 27
Tìm x , biết :
4x2 – 49 = 0
x2 + 36 = 0
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có : (4n + 3)2 – 25 chia hết cho 8
Tính nhanh giá trị của biểu thức sau với a = 1982
M = (a + 4)2 + 2(a + 4)(6 – a) + (6 – a)2
+ Khái quat hóa bài toán :
- Chứng minh hiệu các bình phương của hai số lẻ liên tiếp thì chia hết cho 8
 - Chứng minh hiệu các bình phương của hai số chẳnû liên tiếp thì chia hết cho 16
+ Đề xuất bài tập tương tự:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 
( 3x – 2y)2 – (2x + y)2
27x3 – 0,001 
[4abcd + (a2 + b2)(c2 + d2)]2 – 4[cd(a2 + b2) + ab(c2 + d2)]2
x6 + 2x5 + x4 – 2x3 – 2x2 + 1
2) Chứng minh rằng biểu thức : 4x(x + y) ( x + y + z)(x + y) y2z2 luôn luôn 
 không âm với mọi giá trị của x , y và z
 C) . DẠNG 3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử
	+ Bài tập :
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
x2 + 4x – y2 + 4
3x2 + 6xy + + 3y2 – 3z2
x2 – 2xy + y2 – z2 + 2zt - t2 
x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y)
Giải:
x2 + 4x – y2 + 4 = x2 +2.x.2 + 22 – y2
 = (x + 2)2 – y2 = (x + 2 – y)(x + 2 + y)
3x2 + 6xy + + 3y2 – 3z2 = 3[(x2 + 2xy + y2) – z2]
= 3[(x + y)2 – z2] = 3(x + y + t)(x + y – z)
x2 – 2xy + y2 – z2 + 2zt - t2 = (x2 – 2xy + y2) – (z2 - 2zt + t2)
= (x – y)2 – (z – t)2 = (x – y + z – t )(x – y – z + t)
x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) 
 + Cách 1: Khai triển hai số hạng cuối rồi nhóm các số hạng làm xuất hiện nhân tử 
 chung y – z 
x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = x2(y – z) + y2z – y2x + z2x – z2y
	 = x2(y – z) + yz(y – z) – x(y2- z2) 
	 = (y – z)(x2 + yz – xy – xz)
	 = (y – z)[x(x – y) – z(x – y)]
	 = (y – z )(x – y)(x – z)
 + Cách 2:Tách z – x = -[(y – z) + (x –y)]
	x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = x2(y – z) – y2[(y – x) + (x – y)] + z2(x – y)
	 = (y – z)(x2 - y2) – (x – y)(y2 – z2)
	 = (y – z)(x + y)(x – y) – (x – y)(y + z)(y – z)
	 = (y – z)(x – y)(x + y – y – z )
	 	 = (y – z)(x – y)(x – z) 
Tìm x , biết :
x(x – 2) + x – 2 = 0
5x(x – 3) – x + 3 = 0
Giải:
x(x – 2) + x – 2 = 0 (x – 2)(x + 1) = 0
 x – 2 = 0 hoặc x +1 = 0
	 x = 2 hoặc x = -1 
 	b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0 5x(x – 3) – (x – 3) = 0
	 (x – 3)(5x – 1) = 0
	 	 x – 3 = 0 hoặc x – 1 = 0
	 x = 3 hoặc x = 1
+ Bài tập tương tự:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
x3 + 3x2y + x + 3xy2 + y + y3
x3 + y(1 – 3x2) + x(3y2 – 1) – y3
27x3 + 27x2 + 9x + 1 + + 
x2y + xy2 – x – y 
8xy3 – 5xyz – 24y2 + 15z
Tìm x , biết : 
x2 – 6x + 8 = 0
9x2 + 6x – 8 = 0
x3 + x2  + x + 1 = 0
x3 - x2 - x + 1 = 0
+ Khái quát hóa bài toán : 
	Phân tích đa thức thành nhân tử : pm + 2 q – pm + 1 q3 – p2 qn + 1 + pq n + 3
+ Đề xuất bài tập:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
bc(b + c) + ac(c – a) – ab(a + b)
x(x + 1)2 + x(x – 5) – 5(x + 1)2
ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a)
x3z + x2yz – x2z2 – xyz2
Tìm tất cả các giá trị của x , y sao cho: xy + 1 = x + y 
Phân tích đa thức thành nhân tử rồi tính giá trị của đa thức với x = 5,1 ; y = 3,1 của đa thức : x2 – xy – 3x + 3y
 D) . DẠNG 4: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp
	+ Bài tập :
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a3 + b3 + c3 – 3abc
(x – y )3 + (y – z )3 + (z – x)3
Giải:
 •° Cách 1:
a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 – 3ab(a + b) + c3 – 3abc 
	 = (a + b)3 + c3 – 3ab(a + b) – 3abc
 	 = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b) c + c2] – 3ab(a + b + c)
 	 = (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 – ac –bc + c2 – 3ab
	 =(a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca )
	 • ° Cách 2:
	a3 + b3 + c3 – 3abc = a3 + a2b + a2c + b3 + ab2 + b2c + c3 + ac2 + bc2 – a2b – abc 	- a2c – ac2 – abc –b2c – abc – bc2
	 = a2(a + b + c) + b2(b + a + c) + c2(c + a + b) – ab(a + b + c) 
 – ac((a + c + b) – bc(b + a + c) 
	 = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc)
• ° Cách 1:
Đặt x – y = a ; y – z = b ; z – x = c, thì a + b + c = 0
Khi đó theo câu a ta có : a3 + b3 + c3 – 3abc = 0 
 Hay a3 + b3 + c3 = 3abc
	Vậy (x – y )3 + (y – z )3 + (z – x)3 = 3(x – y)(y – z)(z – x)
	 •° Cách 2:
	Để ý rằng (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = a3 + 3ab(a + b) + b3
	 Và (y – z) = (y – x) + (x – z )
	Do đó : (x – y)3 + (y –z )3 + (z – x)3 = [(y – x) + (x – z)]3 + (z – x)3 + (x – y)3
	 = (y – x)3 +3(y – x)(x –z)[( y – x) + (x –z)]+ 
 + (x – z)3 – (x –z )3 – (y – x)3
	 = 3(x – y)(y – z)(z – x)
	 •° Cách 3: Khai triển các hằng đẳng thức rồi sử dụng phương pháp đặt thừa số
 chung 
	(x – y )3 + (y – z )3 + (z – x)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 + y3 – 3y2z + 3yz2 – z3 + z3 
 – 3z2x + 3zx2 – x3
	 = - 3x2y + 3xy2 – 3y2z + 3yz2 – 3z2x + 3zx2
	 = 3(-x2y + xy2 – y2z + yz2 – z2x + zx2)
	 = 3[-xy(x – y) – z2(x – y) + z(x – y)(x + y)]
	 = 3(x – y)( - xy – z2 + xz + yz)
	 = 3(x – y)[y(z – x) – z(z – x)]
	 = 3(x – y)(z – x)(y –z )
Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp tách các hạng tử:
x3 – 7x – 6 
Giải:
	 ° Cách 1: Tách số hạng -7x thành –x – 6x , ta có :
	x3 – 7x – 6 = x3 – x – 6x – 6 
	 = (x3 – x) – (6x + 6)
	 = x(x + 1)(x – 1) – 6(x + 1)
	 = (x + 1)(x2 – x – 6)
Để tiếp tục phân tích đa thức x2 – x – 6 thành nhân tử , ta lại tách số hạng – 6 thành – 2 – 4 . Khi đó :
	x3 – 7x – 6 = (x + 1)(x2 – x – 2 – 4 )
	 = (x + 1)[(x + 2)(x – 2) – (x + 2)]
	 = (x + 1)(x + 2)(x – 3)
	 ° Cách 2 : Tách số hạng – 7x thành – 4x – 3x , ta có:
	x3 – 7x – 6 = x3 – 4x – 3x – 6
	 = x( x + 2)(x – 2) – 3(x + 2)
	 = (x + 2)(x2 – 2x – 3)
Tiếp tục tách số hạng – 3 của nhân tử thứ hai thành – 1 – 2 , Ta có : 
	x3 – 7x – 6 =(x + 2)(x2 – 1 – 2x – 2)
	 = (x + 2)[(x – 1)(x + 1) – 2( x + 1)]
	 = (x + 2)(x + 1)(x – 3 )
	 ° Cách 3: Tách số hạng – 6 = 8 – 14 , Ta có:
	x3 – 7x – 6 = x3 + 8 – 7x – 14 
	 = (x + 2)(x2 – 2x + 4) – 7(x + 2)
	 = (x + 2)(x2 – 2x – 3)
	Tiếp tục tách số hạng – 3 thành + 1 – 4 , Ta có :
	x3 – 7x – 6 = (x + 2)(x2 – 2x + 1 – 4 )
	 = (x + 2)[(x – 1)2 – 22]
	 = (x + 2)(x + 1)(x – 3)
Dùng phương pháp đặt ẩn phụ , phân tích đa thức thành nhân tử:
(x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 
4x(x + y)(x + y + z )(x + z) + y2z2
Giải:
	Đặt: x2 + x + 1 = y , ta có x2 + x + 2 = y + 1 . Ta có:
 	(x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 = y(y + 1) – 12 
	= y2 + y – 12 
	= y2 – 9 + y – 3 = (y – 3)(y + 3) + (y – 3)
	= (y – 3)(y + 4)
	Thay x2 + x + 1 = y , ta được :
	(x2 + x + 1 – 3)( x2 + x + 1 + 4) = (x2 + x – 2)( x2 + x + 5)
	 = [(x – 1)(x + 1) + (x – 1)]( x2 + x + 5)
	 = (x - 1)(x + 2)( x2 + x + 5)
b)4x(x + y)(x + y + z )(x + z) + y2z2 
 = 4x(x + y + z)(x + y)(x + z) + y2z2
 = 4(x2 + xy + xz)(x2 + xy + xz + yz) + y2z2
Đặt : x2 + xy + xz = m , ta có :
 4x(x + y + z)(x + y)(x + z) + y2z2 = 4m(m + yz) + y2z2
	= 4m2 + 4myz + y2z2 = (2m + yz)2
Thay m = x2 + xy + xz , ta được :
 (x + y)(x + y + z )(x + z) + y2z2 = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2 
	4) Dùng phương pháp hệ số bất định để :
a) Phân tích đa thức x3 – 19x – 30 thành tích hai đa thức bậc nhất và bậc hai
b) Phân tích đa thức x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1 
Giải:
Kết quả cần phải tìm có dạng :
(x + a)(x2 + bx + c) = x3 + (a + b)x2 + (ab + c)x + ac
Ta phải tìm bộ số a , b , c thỏa mãn:
 x3 – 19x – 30 = x3 + (a + b)x2 + (ab + c)x + ac
Vì hai đa thức này đồng nhất , nên ta có: 
	 Vì a , c Z và tích ac = - 30 , do đó a , c 
	 Và a = 2 , c = -15 , Khi đó b = -2 thỏa mãn hệ thức trên . Đó là bộ số phải 
 tìm , tức là : x3 – 19x – 30 = (x + 2)(x2 – 2x – 15)
Dể thấy rằng 1 không là nghiệm của đa thức nên đa thức không có nghiệm nguyên , cũng không có nghiệm hữu tỉ .
Như vậy nếu đa thức đã cho phân tích được thành thừa số thì phải có dạng 
(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
Suy ra :
Từ hệ này ta tìm được a = b = d = 1 , c = 5
	Vậy x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1 = ( x2 + x + 1)(x2 + 5x + 1)
 5) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x5 + x + 1
Giải:
 ° Cách 1
 	x5 + x + 1 = x5 + x4 + x3 – x4 – x3 – x2 + x2 + x + 1
	 = x3(x2 + x + 1) – x2(x2 + x + 1) + 1(x2 + x + 1)
	 = (x2 + x + 1)(x3 – x2 + 1)
 ° Cách 2 : 
 x5 + x + 1 = x5 – x2 + x2 + x + 1 
	 = x2(x3 – 1) + 1(x2 + x + 1)
	 = x2(x – 1)(x2 + x + 1) + 1(x2 + x + 1)
 = (x2 + x + 1)[(x2(x – 1) + 1]
	 = (x2 + x + 1)[x3 – x2 + 1)
6)Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 – 8x + 12
Giải:
 ° Cách 1: x2 – 8x + 12 = x2 – 2x – 6x + 12
	 = (x2 – 2x) – (6x – 12)
	 = x(x – 2) – 6(x – 2)
	 = (x – 2)(x – 6) 
 ° Cách 2 : x2 – 8x + 12 = (x2 – 8x + 16) – 4 
	 = (x – 4)2 - 22
	 = (x – 4 + 2)(x – 4 – 2 )
	 = (x – 2 )(x – 6)
 ° Cách 3 : x2 – 8x + 12 = x2 – 36 – 8x + 48
	 = (x2 – 36) – (8x – 48)
	 = (x + 6)(x – 6) – 8(x – 6)
	 = (x – 6)(x + 6 – 8)
	 = (x – 6)(x – 2)
	 ° Cách 4 : x2 – 8x + 12 = x2 – 4 – 8x + 16
	 = (x2 – 4) – (8x – 16)
	 = (x + 2)(x – 2) – 8(x – 2)
	 = (x – 2)(x + 2 – 8)
	 = (x – 2)(x – 6)
 ° Cách 5: x2 – 8x + 12 = x2 – 4x + 4 – 4x + 8 
	 = (x2 – 4x + 4) – (4x – 8)
	 = (x – 2)2 – 4(x – 2)
	 = (x – 2)(x – 2 – 4)
	 = (x – 2)(x – 6)
 ° Cách 6: x2 – 8x + 12 = x2 – 12x + 36 + 4x – 24 
	= (x2 – 12x + 36) + (4x – 24)
	= (x – 6)2 + 4(x – 6)
	= (x – 6)(x – 6 + 4)
	= (x – 6)(x – 2)
7)Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 + 4xy + 3y2
Giải:
	 ° Cách 1: x2 + 4xy + 3y2 = x2 + xy + 3xy + + 3y2
	 = (x2 + xy) + (3xy + + 3y2)
	 = x(x + y) + 3y(x + y)
	= (x + y)(x + 3y)
	 ° Cách 2 : x2 + 4xy + 3y2 = x2 + 4xy + 4y2 – y2
	= (x2 + 4xy + 4y2) – y2
	= (x + 2y)2 – y2
	= (x + 2y + y)(x + 2y – y)
	= (x + 3y)(x + y)
 ° Cách 3 : x2 + 4xy + 3y2 = x2 – y2 + 4xy + 4y2
	= (x2 – y2) + ( 4xy + 4y2)
	= (x + y)(x – y) + 4y(x + y)
	= (x + y)(x – y + 4y)
	= (x + y)(x + 3y)
	 ° Cách 4 : x2 + 4xy + 3y2 = x2 – 9y2 + 4xy + 12y2
	= (x2 – 9y2) + (4xy + 12y2)
	= (x + 3y)(x – 3y) + 4y(x + 3y)
	= (x + 3y)(x – 3y + 4y)
	= (x + 3y)(x + y)
	 ° Cách 5 : x2 + 4xy + 3y2 = x2 + 2xy + y2 + 2xy + 2y2
	= (x2 + 2xy + y2) + (2xy + 2y2)
	= (x + y)2 + 2y(x + y)
	= (x + y)(x + y + 2y)
	= (x + y)( x + 3y)
	 ° Cách 6 : x2 + 4xy + 3y2 = x2 + 6xy + 9y2 – 2xy – 6y2
	= (x2 + 6xy + 9y2) – (2xy + 6y2)
	= (x + 3y)2 – 2y(x + 3y)
	= (x + 3y)(x + 3y – 2y)
	= (x + 3y)(x + y) 	
 ° Cách 7 : x2 + 4xy + 3y2 = 4x2 + 4xy – 3x2 + 3y2
	= (4x2 + 4xy) – (3x2 – 3y2)
	= 4x(x + y) – 3(x + y)(x – y)
	= (x + y)(4x – 3x + 3y)
	= (x + y)(x + 3y)
8)Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2)
Giải:
	 ° Cách 1: a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) 
	= a3(b2 – c2) + b3[(c2 – b2) – (a2 – b2) ] + c3(a2 – b2)
	= a3(b2 – c2) + b3(c2 – b2) – b3(a2 – b2) + c3(a2 – b2)
	= (b2 – c2)(a3 – b3) – (a2 – b2)(b3 – c3)
	= (b + c)(b – c)(a – b)(a2 + ab + b2) – (a + b)(a – b)(b – c)(b2 + bc + c2)
	= (a – b)(b – c)[(b + c)(a2 + ab + b2) – (a + b)( b2 + bc + c2)]
	 = (a – b)(b – c)(a2b + ab2 + b3 + a2c + abc + b2c – ab2 – abc – ac2 – b3 – b2c – bc2
	 = (a – b)(b – c)(a2b + a2c – bc2 – ac2)
	 = (a – b)(b – c)[b(a2 – c2) + ac(a – c)]
	 = (a – b)(b – c)[b(a – c)(a + c) + ac(a – c)]
	 	 = (a – b)(b – c)(a – c)(ab + bc + ac)
	 ° Cách 2 : M = a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2)
 Xem M là đa thức biến a , khi a = b thì M = 0 nên M chia hết cho a – b . Do vai trò của 
 a , b , c giống nhau khi ta hoán vị vòng quanh nên M chia hết cho b – c , M chia hết cho c – a 
	Ta có : M = (a – b)(b – c)(c – a)(ab + bc + ca). P
	Cho a = - 1 , b = -1 , c = 0 ta có P = -1 
	Do đó : a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) = (a – b)(b – c)(a – c)(ab + bc + ca)
9)Tìm x , biết :
(2x – 1)2 – (x +3)2 = 0
5x(x – 3) + 3 – x = 0
Giải:
	a) (2x – 1)2 – (x +3)2 = 0 [(2x – 1) + (x +3)][ (2x – 1) - (x +3) = 0
	 ( 2x – 1 + x +3)( 2x – 1 – x – 3 ) = 0 
	 (3x + 2)(x – 4 ) = 0 
5x(x – 3) + 3 – x = 0 5x(x – 3) – (x – 3) = 0
 	 (x – 3)(5x – 1) = 0 
10)Tìm x , biết :
(5 – 2x)(2x + 7) = 4x2 – 25
x3 + 27 + (x + 3)(x – 9) = 0
4(2x + 7) – 9(x + 3)2 = 0
(5x2 + 3x – 2 )2 = (4x2 – 3x – 2 )2 
Giải
(5 – 2x)(2x + 7) – 4x2 + 25 = 0
(5 – 2x)(2x + 7) – (5 – 2x)(5 + 2x) = 0
 (5 – 2x)( 2x + 7 – 5 – 2x ) = 0
	(5 – 2x).2 	 = 0
	 5 – 2x	= 0
 x 	= 	
x3 + 27 + (x + 3)(x – 9) = 0
(x + 3)(x2 – 3x + 9 ) + ( x + 3)(x – 9) = 0 
(x + 3)( x2 – 3x + 9 + x – 9) = 0
(x + 3)(x2 – 2x) 	 = 0
x(x – 2)(x + 3) 	 = 0
4(2x + 7)2 – 9(x + 3)2 = 0 
[2(2x + 7)]2 – [3(x + 3)]2 = 0
(4x + 14)2 – (3x + 9)2 = 0 
 (4x + 14 + 3x + 9)(4x + 14 – 3x – 9 ) = 0
(7x + 23)(x + 5) = 0
(5x2 + 3x – 2 )2 = (4x2 – 3x – 2 )2
 	 (5x2 + 3x – 2 )2 - (4x2 – 3x – 2 )2 = 0
	 (5x2 + 3x – 2 + 4x2 – 3x – 2)( 5x2 + 3x – 2 – 4x2 + 3x + 2) = 0
	 (9x2 – 4 )(x2 + 6x) = 0
	 (3x – 2 )(3x + 2)x(x + 6) = 0
11)Chứng minhrằng: n3 – n chia hết cho 6 với mọi n Z
Giải:
	Ta có : n3 – n = n(n2 – 1) = n(n – 1)(n + 1)
 ° Với mọi n Z , khi chia n cho 2 xảy ra hai trường hợp : 
+ Trương hợp 1: n chia hết cho 2 , khi đó tích n(n – 1)(n + 1) chia hết cho 2 
+ Trương hợp2: n chia hết cho 2 dư 1 , khi đó n – 1 chia hết cho 2 nên tích
 n(n – 1)(n + 1) chia hết cho 2
 ° Với mọi n Z , khi chia n cho 3 xảy ra ba trường hợp:
	+ Trương hợp 1: n chia hết cho 3 , khi đó tích n(n – 1)(n + 1) chia hết cho 3
	+ Trường hợp 2 : n chia cho 3 dư 1 , khi đó n – 1 chia hết cho 3 nên tích chia
 hết cho 3 
	+ Trường hợp 3: n chia cho 3 dư 2 , khi đó n + 1 chia hết cho 3 nên tích chia 
 hết cho 3 
	Vậy trong mọi trường hợp n3 – n chia hết cho 2 và 3 .
	Do 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau .
	Suy ra : n3 – n chia hết cho 2 x 3 = 6 
 12) Cho a, b , c thỏa mãn a + b + c = 0 . Chứng minh rằng : a3 + b3 + c3 = 3abc 
Giải:
	° Cách 1 : 
	a + b + c = 0 a + b = - c (a + b)3 = (- c)3
	 a3 + b3 + 3ab(a + b) = - c3 a3 + b3 + 3ab(- c) = - c3
	 a3 + b3 + c3 = 3abc
	 ° Cách 2 :
	a + b + c = 0 a + b = - c - ab(a + b) = abc 
	 - a2b – ab2 = abc 
	Tương tự: - b2c – bc2 = abc ; - c2a – ca2 = abc 
	Do đó : 3abc = - a2b – ab2 – b2c – bc2 – c2a – ca2
	 3abc = - a2(b + c) – b2(a + c) – c2(a + b)
	 3abc = - a2(-a) – b2(-b) – c2(-c)
	 a3 + b3 + c3 = 3abc 
	 ° Cách 3 :
	a + b + c = 0 a + b = - c - c2(a + b) = c3
	 -a2c – bc2 = c3
	Tương tự : -ab2 – cb2 = b3 ; -ba2 – ca2 = a3
	Do đó : -ab2 – cb2 – ab2 – cb2 – ba2 – ca2 = a3 + b3 + c3
	 - ac( c + a) – bc(c + b) – ab(b + a) = a3 + b3 + c3
	 -ac(-b) – bc(-a) – ab(-c) = a3 + b3 + c3
	 a3 + b3 + c3 = 3abc
13)Tính nhanh : 
x2 + vơi x = 49,75
x2 – y2 – 2y – 1 với x = 93 , y = 6
Giải:
x2 + = x2 + = = (x + 0,25)2
	Với x = 48,75 thì (49,75 + 0,25)2 = 502 = 2500
+ Khái quát hóa bài toán :
 1) Phân tích đa thức x3m + 2 + x3n + 1 + 1 ( m ,n N ) thành nhân tử 
 2) Cho đa thức : B = a4 + b4 + c4 – 2a2b2 – 2a2c2 – 2b2c2
	a) Phân tích B thành bốn nhân tử bậc nhất 
	b) Chứng minh rằng nếu a , b , c là số đo độ dài các cạnh của một tam giác thì b < 0
 3) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì số A = n3(n2 – 7)2 – 36n chia hết cho 105
+ Đề xuất bài tập :
	1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
	a) x5 – x4 – x3 – x2 – x – 2 
	b) x8 + x6 + x4 + x2 + 1
	c) x8 + x7 + 1 
	d) x9 – x7 – x6 – x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 
	2) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp đặt ẩn phụ :
	a) (x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 15 
	b) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24 
	c) (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 15
	d) (x2 + 3x + 1)( x2 + 3x + 2) – 6 
	3) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp thêm , bớt hoặc tách các hạng tử: 
	a) bc(b + c) + ca(c – a) – ab(a + b)
	b) 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc 
	c) y(x – 2z)2 + 8xyz + x(y – 2z)2 – 2z(x + y)2

Tài liệu đính kèm:

  • docBai tap phan tich da thuc thanh nhan tu(2).doc