Các Chuyên đề bồi dưỡng hsg môn Toán 8 – Phần đại số

CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN 8 – PHẦN ĐẠI SỐ
TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY PHÚC 1
CHUYÊN ĐỀ 9
PHƯƠNG PHÁP DIÊ ̣N TÍCH
§1. CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ DIỆN TÍCH
1. Các tính chất cơ bản của diện tích đa giác
a) Mỗi đa giác có một số đo diện tích xác định. Diện tích đa giác là một số dương.
b) Ha đa giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau.
c) Nếu một đa giác được phân chia thành một số hữu hạn đa giác thành phần rời
nhau (không có điểm trong chung) thì diện tích của đa giác bị chi bằng tổng diện tích các
đa giác thành phần.
d) Hai đa giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau. Hai đa giác có diện tích
bằng nhau được gọi là hai đa giác tương đương.
e) Diện tích hình vuông có cạnh bằng 1 đơn vị được gọi là một đơn vị diện tích.
2. Các công thức diện tích một số đa giác thường gặp
a) Diện tích tam giác
Cho tam giác ABC có
- Độ dài các cạnh là BC = a, CA = b, AB = c ;
- Độ dài đường cao tương ứng với các cạnh a,
b, c là ha , hb , hc ;
- Nửa chu vi của tam giác là: p = 1
2
(a + b + c) ;
- Bán kính đường tròn nội tiếp Δ ABC là r.
Ta có các công thức tính diện tích tam giác:
S = 1
2
a.ha =
1
2
b.hb =
1
2
c.hc (1)
S = p(p a)(p b)(p c)   (2) (công thức Hê - rông)
S = p.r (3)
Đặc biệt :
- Diện tích tam giác đều có cạnh bằng a : S =
2a 3
4
.
- Diện tích tam giác vuông : S = 1
2
ab (a, b là độ dài các cạnh góc vuông)
b) Diện tích của một số tứ giác đặc biệt
a
A
B
b
C
O
a
c ha
hb
hc
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN 8 – PHẦN ĐẠI SỐ
TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY PHÚC 2
Hình thang Hình bình hành Hình chữ nhật
S = (a b)h
2
 S = ah S = ab
Hình vuông Hình thoi Tứ giác có hai đường
chéo vuông góc
S = a2 S = d1.d2 S = d1.d2
c) Diện tích của đa giác n-cạnh
Cách tính diện tích của đa giác n-cạnh : Ta chia đa giác đó
thành các tam giác không có điểm trong chung. Tính diện tích
từng tam giác rồi cộng tất cả các diện tích tam giác lại.
Chẳng hạn, ở hình vẽ bên, ta có :
SABCDE = SABC + SACD + SADE
3. Các bài toán cơ bản về diện tích
Bài toán 1. (Hai tam giác có chung chiều cao hoặc có chiều cao bằng nhau)
Cho đường thẳng a và điểm A không thuộc a. Lấy trên a các điểm B, C, D, E sao cho
BC = kDE (k > 0). Chứng minh rằng : SABC = kSADE
Chứng minh
Không giảm tổng quát, có thể giả sử D nằm
giữa B và C, C nằm giữa D và E (hình vẽ).
Kẻ AH  a, thì AH là đường cao chung
của ABC và ΔADE. Ta có :
SABC =
1
2
AH.BC = 1
2
AH.kDE
= k( 1
2
AH.DE) = kSADE  đpcm.
Từ bài toán trên, ta có các hệ quả sau :
Hệ quả 1: Hai tam giác có chung chiều cao thì tỉ số diện tích sẽ bằng tỉ số cạnh tương
ứng với hai chiều cao ấy.
d1
d2
d1
d2
b
a
a
a
b
h
a
h
A
C D
E
B
B H D E
a
A
C
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN 8 – PHẦN ĐẠI SỐ
TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY PHÚC 3
Thật vậy, theo hình vẽ trên thì ABC
ADE
S BC
S DE
 (= k).
Hệ quả 2: Đường trung tuyến của tam giác chia tam giác
thành hai tam giác có diện tích bằng nhau.
Thật vậy, xét ΔABC có đường trung tuyến AM. Ta có :
BM = MC (k = 1)  SABM = SAMC .
Hệ quả 3: Hai tam giác có chiều cao bằng nhau thì tỉ số
diện tích của hai tam giác bằng tỉ số hai cạnh tương ứng với hai chiều cao đó.
Bài toán 2. (Hai tam giác có chung đáy hoặc có hai đáy bằng nhau)
Cho đường thẳng a. Lấy hai điểm B, C thuộc a và hai điểm A, A’ không thuộc a
(A ≠ A’). Kẻ AH và A’H’ cùng vuông góc với a (AH > A’H’). Gọi E là giao điểm của AA’
với a. Chứng minh rằng :
a) ABC
A'BC
S AH
S A'H'
 ;
b) ABC
A'BC
S EA
S EA'
 .
Chứng minh
Ta xét ba trường hợp hình vẽ như sau :
Ở cả ba trường hợp hình vẽ, ta đều có :
a) ABC
A 'BC
1 AH.BCS AH2
1S A'H'A'H'.BC
2
  (1)
b) AH // A’H’ (vì cùng  BC) nên theo hệ quả của định lí Ta – let, ta có :
AH EA
A'H' EA'
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra : ABC
A'BC
S EA
S EA'
 (đpcm).
B
A A A
C B C B CH H’ E H
H’
H
H’
E E
A’
A’ A’
A
B CM
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN 8 – PHẦN ĐẠI SỐ
TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY PHÚC 4
Bài toán 3. Cho hai đường thẳng BD và CD cắt nhau tại A. Chứng minh rằng :
ADE
ABC
S AD.AE
.
S AB.AC

Chứng minh
Xét ba trường hợp :
- Điểm A không thuộc cả hai đoạn thẳng BD và CE :
Nối B với E. Vì hai tam giác ADE và ABE có chung đường cao kẻ
từ đỉnh E tới AB nên :
ADE
ABE
S AD
S AB

Mặt khác, hai tam giác ABE và ABC có chung đường cao kẻ từ
đỉnh B tới AC nên :
ABE
ABC
S AE
S AC

Do đó : ADE ABE
ABE ABC
S S AE AD
S S AC AB
   hay ADE
ABC
S AD.AE
S AB.AC
 (đpcm)
- Điểm A thuộc cả hai đoạn thẳng BD và CE :
Chứng minh tương tự như trên.
- Điểm A thuộc một trong hai đoạn thẳng BD và CE
(chẳng hạn BD) :
Chứng minh tương tự như trên.
4. Áp dụng phương pháp diện tích để giải toán
Phương pháp diện tích là một phương pháp sử dụng diện tích như một công cụ,
phương tiện để giải các bài toán ở nhiều phương diện khác nhau :
- Chứng minh một số định lí, tính chất.
- Tính giá trị của một hệ thức hình học.
- Tính diện tích, tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc.
- Chứng minh sự đồng quy của 3 đường thẳng.
a) Chứng minh một số định lí, tính chất.
Ví dụ 1. (Chứng minh định lí Pi - ta - go trong tam
giác vuông)
Chứng minh rằng, trong tam giác vuông, bình
phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc
vuông.
Giải A
B
C A’
c
a
b
B’
a b
c
1 2 3
B C
D
E
A
C
D
A
B
E
C
D
E
B
A
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN 8 – PHẦN ĐẠI SỐ
TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY PHÚC 5
Giả sử ΔABC vuông tại A, có AB = C, BC = a, CA = b. Ta phải chứng minh :
b2 + c2 = a2.
Trên tia đối của tia CA lấy điểm A’ sao cho CA’ = c. Dựng tia A’x  AA’ (tia Ax
nằm trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AA’ có chứa điểm B). Lấy điểm B’ trên A’x
sao cho A’B’ = b.
Xét hai tam giác vuông ABC và A’CB’ có :
  0A A 90  , AC = A’B’ = b, AB = A’C = c
 ΔABC = ΔA’CB’ (c - g - c)  BC = B’C = a,  3C CBA
Tam giác ABC vuông tại A nên   01CBA C 90  hay   03 1C C 90   BCB' = 900.
Suy ra ΔBCB’ vuông cân tại C.
Tứ giác ABB’A’ có AB // A’B’ (vì cùng  AA’) và A = 900 nên là hình thang vuông.
Ta có : SABB’A’ = SABC + SBCB’ + SCA’B’ hay :
2(b c)
2

=
2bc a bc
2 2 2
  ↔ b2 + c2 = a2 (đpcm)
Ví dụ 2. (Chứng minh định lí Ta – let trong tam giác)
Nếu một đường thẳng song song với một cạnh và cắt hai cạnh còn lại thì nó sẽ định ra
trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Giải
Giả sử đường thẳng a // BC và cắt hai cạnh AB, AC
của ΔABC lần lượt tại B’ và C’. Ta phải chứng minh :
AB' AC'
AB AC

Vì a // BC nên khoảng cách từ hai điểm B và C đến a
bằng nhau. Do đó, ΔBB’C và ΔCB’C’ có hai chiều cao hạ từ B và C xuống cạnh B’C’
bằng nhau. Suy ra :
SBB’C’ = SCB’C’  SBB’C’ + SAB’C’ = SCB’C’ + SAB’C’ hay SABC’ = SACB’ (1)
Hai tam giác BAC’ và BAC có cùng chiều cao hạ từ đỉnh B xuống cạnh AC nên :
BAC'
BAC
S AC'
S AC
 (2)
Chứng minh tương tự, ta có : CAB'
CAB
S AB'
S AB
 (3)
Từ (1), (2) và (3), suy ra : AB' AC'
AB AC
 (đpcm).
A
C
C’ a
B
B’
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN 8 – PHẦN ĐẠI SỐ
TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY PHÚC 6
Ví dụ 2. (Chứng minh định lí Xê - va trong tam giác)
Trên các cạnh BC, CA, AB của ΔABC lấy lần lượt các
điểm A’, B’, C’. Chứng minh rằng :
AA’, BB’, CC’ đồng quy ↔ A'B B'C C'A 1
A'C B'A C'B
  
Giải
Ta phải chứng minh hai trường hợp :
Điều kiện cần : AA’, BB’, CC’ đồng quy  A'B B'C C'A 1
A'C B'A C'B
  
Thật vậy, nếu AA’, BB’, CC’ đồng quy tại P thì theo bài toán cơ bản 2, ta có :
ABP
ACP
S A'B
S A'C
 ; BAP
BCP
S B'C
S B'A
 ; CBP
CAP
S C'A
S C'B

 CBPABP BAP
ACP BCP CAP
SA'B B'C C'A S S
A'C B'A C'B S S S
     = 1
Điều kiện đủ : A'B B'C C'A 1
A'C B'A C'B
    AA’, BB’, CC’ đồng quy.
Gọi P là giao điểm của AA’ và BB’, C1 là giao điểm của CP với AB.
Khi đó, AA’, BB’ và CC1 đồng quy nên theo chứng minh trên, ta có :
1
1
A'B B'C C A 1
A'C B'A C B
   , mà A'B B'C C'A 1
A'C B'A C'B
   nên suy ra : 1
1
C A C'A
C B C'B

 1 1
1
C A C B C'A C'B
C B C'B
  hay
1
AB AB
C B C'B
 . Do đó : C1B = C’B
Vì C1 và C’ đều thuộc AB nên C1 ≡ C’.
Vậy AA’, BB’, CC’ đồng quy tại P.
Ví dụ 3. (Chứng minh tính chất đường phân giác trong tam giác)
Trong một tam giác, đường phân giác trong của một góc chia cạnh đối diện thành hai
đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.
Giải
Giả sử tam giác ABC có đường phân giác AD. Ta phải
chứng minh : DB AB
DC AC

Kẻ DE  AB, DF  AC, AH  BC. Ta có :
2SABD = AH.BD = DE.AB  AH ABDE BD (1)
CD
F
A
B
E
H
C
C’
A
B A’
B’P
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN 8 – PHẦN ĐẠI SỐ
TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY PHÚC 7
2SADC = AH.CD = DF.AC  AH ACDF CD (2)
Mặt khác, D thuộc đường phân giác góc A nên DE = DF (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra : AB AC
BD CD
 hay DB AB
DC AC
 (đpcm).
Ví dụ 4. (Chứng minh tính chất đường cao trong tam giác)
Chứng minh rằng trong tam giác, đường cao ứng với cạnh lớn nhất thì nhỏ nhất.
Giải
Giả sử ΔABC có AB ≤ BC ≤ CA. Ta phải chứng minh :
CE ≥ AH ≥ BF.
Thật vậy, ta có : 2SABC = AB.CE = BC.AH = CA.BF
Do đó : AB AH
BC CE
 và BC BF
CA AH

Vì AB ≤ BC ≤ CA nên AB
BC
≤ 1 và BC
CA
≤ 1. Từ đó suy ra : AH ≤ CE và BF ≤ AH
Hay CE ≥ AH ≥ BF (đpcm).
b) Tính giá trị của một hệ thức hình học
Ví dụ 5. Cho ΔABC. Lấy một điểm O nằm trong tam giác. Gọi P, Q, R lần lượt là
giao điểm của AO với BC, BO với CA, CO với AB. Tính :
a) OP OQ OR
AP BQ CR  ;
b) OA OB OC
AP BQ AR  .
Giải
a) Kẻ OK  BC, AH  BC thì OK // AH. Theo định lí Ta – let, ta có : OK OP
AH AP
 (1)
Mặt khác, ΔOBC và ΔABC có cùng chung cạnh BC nên : OBC
ABC
S OK
S AH
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra : OBC
ABC
S OP
S AP
 .
Chứng minh tương tự, ta có : OCA
ABC
S OQ
S BQ ,
OAB
ABC
S OR
S CR

C
F
A
B
E
H
C
Q
A
B
O
H K P
R
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN 8 – PHẦN ĐẠI SỐ
TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY PHÚC 8
Suy ra : OBC OCA OAB OAB OBC OCA
ABC ABC ABC ABC
S S S S S SOP OQ OR 1
AP BQ CR S S S S
        .
b) OA OB OC AP OP BQ OQ CR OR OP OQ OR3
AP BQ AR AP BQ CR AP BQ CR
              = 2.
Vậy OP OQ OR 2
AP BQ CR   .
c) Tính diện tích, tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc.
Ví dụ 6. Cho ΔABC, trung tuyến AM. Điểm O thuộc đoạn AM sao cho AO = 3OM.
Gọi N là giao điểm của BO với AC. Biết diện tích ΔABC bằng 120cm2. Tính :
a) Diện tích ΔAOB ;
b) Diện tích tứ giác CMON.
Giải
a) Vì AM là trung tuyến ứng với cạnh BC nên :
AMB AMC ABC
1S S S
2
  = 60 (cm2).
Hai tam giác AOB và AMB có cung đường cao hạ
từ đỉnh B đến cạnh AM nên : AOB
AMB
S AO AO 3OM 3
S AM AO OM 3OM OM 4
     .
 AOB AMB3S S 454  (cm
2)
b) Ta có : AOB
AOC
S MB 1
S MC
  (xem bài toán 2) hay AOC AOBS S 45  (cm2)
 BOC ABC AOB AOCS S (S S ) 120 90 30      (cm2).
Lại có : AOB
BOC
S NA
S NC
 hay NA 30 2
NC 45 3
   NA NC 5
NC 3
   NC 3
AC 5

Vì ΔCON và ΔAOC có chung chiều cao hạ từ O xuống cạnh AC nên :
CON
AOC
S NC 3
S AC 5
   CON AOC3 3S S 45 275 5    (cm
2)
Mặt khác, ΔOMC và ΔOBC có chung chiều cao hạ từ O đến BC nên :
COM
BOC
S MC 1
S BC 2
   COM BOC1 1S S 30 152 2    (cm
2)
Vậy CMON COM CONS S S 15 27 42     (cm2)\
M C
A
B
O
N
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN 8 – PHẦN ĐẠI SỐ
TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY PHÚC 9
Ví dụ 7. Cho ΔABC vuông tại A, có AB = 15 cm, AC = 20 cm.
a) Lấy điểm D trên cạnh BC sao cho AD = AB. Tính độ dài BD.
b) Lấy điểm E trên cạnh BC sao cho BE = 4 cm. Tính độ dài AE.
Giải
a) Kẻ AH  BC. Vì ΔABC vuông tại A, nên :
BC2 = AB2 + AC2 = 152 + 202 = 252 (định lí Pitago)
 BC = 25 (cm).
Ta lại có : 2SABC = AB.AC = AH.BC
 AB.AC 15.20AH 12
BC 25
   (cm)
ΔAHB vuông tại H nên : BH2 = AB2 – AH2 (định lí Pitago) hay BH2 = 152 – 122 = 92
 BH = 9 (cm).
Tam giác ABD cân tại A (vì AB = AD (gt)) nên đường cao AH đồng thời là đường
trung tuyến. Do đó : BD = 2BH = 18 (cm).
b) Kẻ AH  BC. Tương tự câu a, ta tính được :
AH = 12 (cm) và BH = 9 (cm)
 EH = BH – BE = 9 – 4 = 5 (cm).
Áp dụng định lí Pitago cho ΔAHE (vuông tại H), ta có:
AE2 = AH2 + EH2 = 52 + 122 = 132  AE = 13 (cm)
C
A
B H D
C
A
B E H
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN 8 – PHẦN ĐẠI SỐ
TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY PHÚC 10