Các bài toán cực trị Hình học lớp 8

CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC LỚP 8
I.TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC LÀ GÌ?
Đó là những bài toán có dạng sau:
Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của một đại lượng hình học y (độ dài của một đoạn thẳng, tổng của hai hay nhiều đoạn thẳng, độ lớn của một góc, chu vi của một hình, diện tích của một hình v.v...) sao cho:
y1 £ y £ y2
Trong đó y1, y2 là các giá trị cố định hoặc không thay đổi của y, đồng thời phải chỉ rõ vị trí hình học của y (hoặc hình có chứa y) để tại đó y đạt giá trị cực tiểu y = y1 hoặc cực đại y = y2.
II. ĐƯỜNG LỐI CHUNG ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC
Căn cứ vào đầu bài, người ta thường giải toán cực trị trong hình học theo ba cách sau đây:
Cách 1:
Vẽ một hình có chứa đại lượng hình học mà ta phải tìm cực trị, thay các điều kiện của đại lượng đó bằng các điều kiện tương đương (có khi phải chọn một đại lượng nào đó trong hình làm ẩn số, dựa vào mối quan hệ giữa ẩn số đó với các đại lượng khác trong hình, những đại lượng này có thể do đầu bài cho sẵn, nhưng cũng có thể do ta làm xuất hiện trong quá trình đi tìm lời giải của bài toán. Biểu thị ẩn số theo các đại lượng đã biết, các đại lượng không đổi rồi biến đổi tương đương biểu thức vừa tìm được để cuối cùng xác định được giá trị của đại lượng cần tìm từ đó suy ra vị trí của hình để đạt cực trị).
B'
y
C
B
Ao
x
(h.1)
A
H
Người ta thường dùng cách này khi đầu bài được cho dưới dạng: "Tìm một hình nào đó thỏa mãn các điều kiện cực trị của bài toán"
* Các ví dụ:
Ví dụ 1: Trong tam giác có cùng đáy và cùng diện tích, tam giác nào có chu vi nhỏ nhất?
Giải (h.1)
Xét các tam giác có chung đáy là BC = a và có cùng diện tích là S. Gọi AH là đường cao tương ứng với đáy BC. Ta có:
 (không đổi)
Vậy đỉnh A di động trên đường thẳng xy // BC và cách BC một khoảng bằng . Ta cần xác định vị trí của A trên xy để chu vi DABC có giá trị nhỏ nhất.
Chu vi DABC = AB + BC + CA = AB + AC + a, vì a không đổi nên chu vi DABC nhỏ nhất khi và chỉ khi AB + AC nhỏ nhất.
Gọi B' là điểm đối xứng của B qua x, y; B'C cắt xy tại Ao. Xét DAB'C ta có:
	AB' + AC ³ B'C 	(1)
Thay AB' = AB; AoB' = AoB vào (1)
	AB + AC ³ AoB + AoC 	(2)
(2) có dấu "=" khi và chỉ khi B', A, C thẳng hàng. Khi đó A º Ao. Vì AoB = AoB' = AoC nên DAoBC cân tại Ao.
Vậy trong các tam giác có cùng đáy và cùng diện tích, tam giác cân có chu vi nhỏ nhất.
Ví dụ 2: Cho DABC có các góc B và C nhọn, BC = a, đường cao AH = h. Xét các hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong tam giác có M Î AB; N Î AC; P, Q Î BC. Xác định vị trí của hình chữ nhật MNPQ để nó có diện tích lớn nhất.
Giải: 
Vị trí của hình chữ nhật MNPQ sẽ được hoàn toàn xác định nếu ta xác định được vị trí của MN.
M
A
N
P
C
H
Q
K
y
B
x
S
Đặt MQ = x; MN = y Þ AK = h - x
	 DAMN DABC
	Þ 
h
 Gọi S là diện tích hình chữ nhật MNPQ thì:
S = xy = x (h - x)	 (*) (h2)
S = (hx - x2) = (hx - x2 + 
= 
= = 
dấu "=" xảy ra khi x - khi đó K là trung điểm của AH hay MN là đường trung bình của DABC.
Vậy max S = 
Chú ý: Ta có thể giải cách khác bằng cách áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cauchy. Từ (*) ta nhận thấy: a, h đều là các hằng số dương nên S lớn nhất khi và chỉ khi x(h - x) lớn nhất. Do x > 0, x 0; hai số dương x và h - x có tổng là h không đổi nên tích x(h - x) sẽ lớn nhất khi và chỉ khi: x = h - x Û x = .
Cách 2:
Đưa ra một hình (theo yêu cầu đầu bài) rồi chứng minh mọi hình khác có chứa yếu tố (mà ta phải tìm cực trị) lớn hơn hoặc bé hơn yếu tố tương ứng trong hình đã đưa ra.
Người ta thường dùng cách chứng minh này khi hình dạng của hình có cực trị đã được nói rõ trong đầu bài.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng trong các tam giác có cùng đáy và cùng diện tích, tam giác cân có chu vi nhỏ nhất.
Giải:
Đây là bài toán ta đã đề cập trong ví dụ 1, nhưng ở đây đầu bài đã nói rõ hình ta phải chứng minh là một tam giác cân, nên ta đưa ra một tam giác cân AoBC (h.1), rồi xét một tam giác không cân ABC có cùng đáy BC, đỉnh A chạy trên đường thẳng xy // BC, ta chỉ việc chứng minh chu vi DABC ³ chu vi DAoBC tức là AB + AC ³ AoB + AoC như đã trình bày trong cách giải của ví dụ 1.
Cách 3:
Thay việc tìm cực đại của một đại lượng này bằng việc tìm cực tiểu của một đại lượng khác hoặc ngược lại.
Ví dụ 4: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Xét các hình thang có 4 đỉnh ở trên 4 cạnh của hình vuông và hai đáy song song với một đường chéo của hình vuông. Tìm hình thang có diện tích lớn nhất và tính diện tích lớn nhất ấy.
Giải: 
H
A
x
E
a - x
B
a - y
F
y
C
G
D
(h.4)
Gọi EFGH là hình thang có các đỉnh nằm trên các cạnh hình vuông và hai đáy FG; EH song song với đường chéo BD của hình vuông.
Đặt 	 AE = x Þ EB = a - x
	 CF = y Þ FB = a - y
Dễ thấy DDHG = DBEF(c-g-c)
Các tam giác EAH, FCG vuông cân tại A và C
Gọi S là hiệu của diện tích hình vuông và
 diện tích hình thang EFGH thì:
	S = SAEH + SCFG + SBEF+ SDHG= SAEH + SCFG + 2SBEF
= = 
= = 
= 
SEFGH lớn nhất khi và chỉ khi S lấy giá trị nhỏ nhất. 
Điều này xảy ra khi x + y - a = 0 Û x + y = a Þ x = a - y hay AE = BF; khi đó các đường chéo EG và HF song song với các cạnh của hình vuông và diện tích lớn nhất của hình thang phải tìm là .
* Chú ý quan trọng:
1. Có trường hợp để tìm cực trị của một đại lượng A, ta chia A thành tổng của nhiều đại lượng khác: A = B + C + ... rồi đi tìm cực trị của B và C... từ đó suy ra cực trị của A, ta cần chứng minh: Khi B đạt cực trị thì C cũng đồng thời đạt cực trị và ngược lại.
Ví dụ 5: Qua đỉnh A của tam giác ABC, dựng đường thẳng d sao cho tổng khoảng cách từ các đỉnh B và C tới d là lớn nhất.
(Thi vô địch toán cấp II, CHLB Nga)
B
E
C'
d
C
B'
A
(h.6)
Giải:
Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp I (h.6): d cắt cạnh BC tại E
Gọi BB' và CC' là các khoảng cách từ các đỉnh B và C tới d. Hai tam giác ABE và ACE có chung đáy AE và các đường cao tương ứng với đáy đó là BB' và CC'. Ta có:
SABC 	= SABE + SACE 
	= 
Ta thấy BB' + CC' nhận giá trị lớn nhất khi AE nhận giá trị nhỏ nhất, khi đó AE là đường cao kẻ từ đỉnh A của DABC, tức là d ^ BC. Nếu gọi AH là độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A thì min (AE) = AH, do đó:
A
B'
B
M
C
d
C'
M'
//
(h.7)
//
 	(1)
Trường hợp II (h.7): Đường thẳng d không cắt BC
 Gọi M là trung điểm của BC. Kẻ MM' ^ d. Tứ giác BB'C'C là hình thang nhận MM' làm đường trung bình nên: BB' + CC' = 2MM'
mà MM' £ AM (đường vuông góc và đường xiên kẻ từ M tới d) do đó BB' + CC' lớn nhất khi M' º A lúc đó BB' + CC' = 2AM và d ^ AM tại A (2)
Như vậy, ứng với 2 trường hợp ta được 2 kết quả (1) và (2), do đó ta hãy so sánh BC với 2AM.
1. Nếu < 900 (h.8)
(h.8)
A
B
C
N
Kéo dài AM một đoạn MN = MA. Tứ giác ABNC là hình bình hành vì có hai đường chéo giao nhau tại trung điểm của mỗi đường, suy ra AB=CN; mà 
hay 
Xét hai tam giác BAC và NCA chúng có:
AB = CN, AC chung, nên cạnh đối diện với góc CAB nhỏ hơn cạnh đối diện với góc ACN : BC < AN hay BC < 2AM.
2. Nếu : Tứ giác ABNC là hình bình hành có một góc vuông nên là hình chữ nhật nên hai đường chéo BC và AN bằng nhau hay BC = 2AM.
3. Nếu : Chứng minh tương tự ta được: BC > 2AM
Từ kết quả trên ta suy ra:
- Nếu tam giác ABC cho trước có thì đường thẳng d đi qua A phải dựng là đường thẳng vuông góc với trung tuyến AM của DABC.
- Nếu bài toán có hai lời giải: Dựng đường thẳng d qua A và vuông góc với AM hoặc d' qua A và vuông góc với BC.
- Nếu : Đường thẳng d qua A và vuông góc với BC.
III. CÁCH VẬN DỤNG CÁC KIẾN THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ
BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC
 Với ba điểm bất kỳ A, B, C ta luôn có:
 AB + AC ³ BC
 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi A thuộc đoạn BC
Ví dụ 1: Cho đường thẳng xy và hai điểm A, B thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là xy.
a. Tìm điểm M thuộc xy sao cho MA + MB là nhỏ nhất
b. Tìm điểm N thuộc xy sao cho là lớn nhất.
B
A
M
Mo
A'
x
y
(h.1)
Giải:
a. (Hình 1). Gọi A' là điểm đối xứng của A qua xy thì Á hoàn toàn xác định.
Xét tổng MA + MB = MA' + MB
Nối A' với B và áp dụng bất đẳng thức tam giác cho 3 điểm A', M, B ta có:
	MA' + MB ³ A'B 
y
B
N
A
x
No
(h.2)
dấu "=" xảy ra khi M Î A'B khi đó M º Mo 
Vậy min (MA + MB) = A'B 
	Û M º Mo 
b. (Hình 2) Nếu lấy một điểm N bất kì trên xy thì £ AB. Giá trị lớn nhất của bằng AB khi và chỉ khi B là điểm nằm giữa hai điểm A và N. Suy ra:
a. Nếu AB // xy không tìm được điểm M thỏa mãn điều kiện để.
b. Nếu AB không song song với xy. Gọi No = AB xy thì No là điểm cần tìm.
Vậy max = AB Û N º No 
Ví dụ 2: Cho tứ giác lồi ABCD. Tìm điểm M có tổng khoảng cách tới bốn đỉnh của tứ giác là nhỏ nhất.
Giải: 
B
A
Với ba điểm A, C, M bất kỳ ta có:
MA + MC ³ AC dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi M Î đoạn AC.
Tương tự: MB + MD ³ BD dấu "=" xảy ra Û M Î BD
D
C
Mo
(h.3)
Þ MA + MB + MC + MD ³ AC + BD; dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi M vừa thuộc AC vừa thuộc BD. Vậy M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD (trong tứ giác lồi hai đường chéo cắt nhau)
Vậy min(MA + MB + MC + MD) = AC + BD Û M º Mo 
Ví dụ 3: Cho một điểm P cố định và một tam giác đều ABC thỏa mãn điều kiện PA = 3; PB = 2. Hãy xác định độ dài lớn nhất có thể được của đoạn PC và dựng tam giác đều ABC như thế.
Giải
Giả sử ta có tam giác đều ABC và một điểm P trong mặt phẳng của tam giác sao cho PA = 3; PB = 2 (h.4)
Thực hiện phép quay tâm A, góc quay 600 ngược chiều kim đồng hồ:
A
(h.4)
D
B
P
C
P D
B C
Do đó: DAPB DADC
Þ PB = DC
Xét ba điểm P, D, C ta có:
PC £ PD + DC = PA + PB = 3 + 2 = 5
A
2
P
B
C
D
3
(h.5)
Vậy max PC = 5
Cách dựng tam giác ABC (h.5)
- Dựng tam giác đều PAD có cạnh bằng 3
- Trên tia PD dựng PC = 5
- Thực hiện phép quay tâm A góc quay 600 thuận chiều kim đồng hồ C B. Tam giác ABC là tam giác đều phải dựng.
Do DADC = DAPB Þ PB = DC = 2
BÀI TẬP
1. Cho hai điểm A, B trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy cho trước.
Tìm trên một điểm C sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất.
2. Trong các hình bình hành có cùng diện tích và một đường chéo không đổi, hình nào có chu vi nhỏ nhất?
3. Cho đường tròn (O) và một điểm M ở ngoài đường tròn. Đường thẳng kẻ từ M qua tâm O cắt đường tròn ở A và B (A là điểm nằm giữa hai điểm M và O). Chứng minh rằng MA là khoảng cách nhỏ nhất trong các khoảng cách từ M tới tất cả các điểm của đường tròn và MB là khoảng cách lớn nhất trong tất cả các khoảng cách đó.
4. Hai xóm A và B cách nhau một con sông. Tìm địa điểm bắc cầu để quãng đường đi từ A đến B là ngắn nhất.
Ghi chú: Hai bờ sông có thể coi là hai đường thẳng song song; cầu phải bắc vuông góc với bờ sông để tiết kiệm nguyên vật liệu.
5. Một con rùa bò từ tâm O của hình vuông ABCD để đi tới vị trí M trên AB, rồi tới vị trí N trên DC, cuối cùng dừng lại ở B. Xác định các vị trí M và N sao cho MN // BC và đường gấp khúc OMNB mà rùa bò qua có độ dài nhỏ nhất. Tính độ dài đó theo a = AB.
6. Cho tam giác ABC cân ở A và điểm D cố định trên đấy BC. Dựng một đường thẳng song song với BC, cắt hai cạnh bên ở E và F sao cho DE + DF có giá trị nhỏ nhất.
7. Cho góc nhọn xOy và một điểm M nằm trong góc đó sao cho M không thuộc Ox, Oy. Hãy xác định điểm B trên Ox, điểm C trên Oy sao cho OB = OC và MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất.
8. Cho góc vuông xOy; điểm A thuộc miền trong của góc. Các điểm M, N theo thứ tự chuyển động trên các tia Ox, Oy sao cho = 900. Xác định vị trí của M, N để MN có độ dài nhỏ nhất.
 2. ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN
1. Trong các đoạn thẳng nối từ một điểm đến một đường thẳng, đoạn vuông góc với đường thẳng có độ dài ngắn nhất.
2. Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm tới một đường thẳng, đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn và ngược lại.
Ví dụ 1: Trên hai cạnh BC, AC của tam giác đều ABC, lấy tương ứng hai điểm M và N sao cho BM = CN. Tìm vị trí của M để MN có giá trị nhỏ nhất.
Giải :
(h.1)
/
/
A
H
N
G
M
B
C
K
(
)
Kẻ MK, NH vuông góc với AB và MG NH. Tứ giác MGHK là hình chữ nhật vì có ba góc vuông, suy ra: MG = KH mà MN ³ MG Þ MN ³ KH
Các tam giác AHN, BKM đều là những tam giác vuông có một góc nhọn bằng 60o, suy ra:
AH = 
Do đó: KH = AB - (AH + BK) = AB - (
= AB - 
Suy ra: 	MN ³ ; min (MN) = 
	Û 	MN là đường trung bình của DABC
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Tìm điểm M ở trong tam giác sao cho MA.BC + MB.CA + MC.AB đạt giá trị nhỏ nhất.
(Trích đề thi vào lớp 10 trường PTTH Việt Đức Hà Nội năm học 1991 - 1992)
Giải :
(h.28)
M
A
B
C
D
F
E
Xét một điểm M bất kì ở trong tam giác. AM cắt BC tại D. Kẻ BE ^ AD, CF ^ AD. Ta có:
BE £ BD Þ AM.BE £ AM.BD
CF £ CD Þ AM.CF £ AM.CD
 Þ BE.AM + CF.AM £ (BD + DC).AM
Nhưng BE.AM = 2SAMB
CF.AM = 2SAMC
BD + DC = BC
Do đó: 2(SAMB + SAMC) £ BC.AM	(1)
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi E và F trùng với D. Khi đó AM ^ BC.
Tương tự ta có: 
2(SABM + SCBM) £ AC.BM	(2)
2(SCBM + SACM) £ AB.CM 	(3)
(1) + (2) + (3):
	4(SABM + SACM + SBCM) £ AM.BC + BM.CA + CM.AB
Þ min(AM.BC + BM.CA + CM.AB) = 4SABC
Û AM ^ BC; BM ^ AC; CM ^ AB tức là M là trực tâm của DABC
BÀI TẬP
1. Cho tam giác đều ABC. Qua trọng tâm O của tam giác hãy dựng đường thẳng sao cho tổng khoảng cách từ ba đỉnh của tam giác tới đường thẳng đó là lớn nhất? nhỏ nhất?
2. Cho tam giác ABC vuông ở A, M là một điểm nằm trên cạnh huyền BC; D; E theo thứ tự là hình chiếu của M trên AB, AC. Tìm vị trí của M để DE có độ dài nhỏ nhất.
3. Cho tam giác ABC. Tìm đường thẳng đi qua đỉnh A của tam giác sao cho tổng khoảng cách từ B và C tới đường thẳng đó là nhỏ nhất.
4. Cho hình vuông ABCD. Hãy nội tiếp trong hình vuông đó một hình vuông có diện tích nhỏ nhất.
5. Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc miền trong của góc. Các điểm M, N theo thứ tự chuyển động trên các tia Ox, Oy sao cho = 90o. Xác định vị trí của M, N để tổng AM + AN có độ dài:
	a. Nhỏ nhất	
	b. Lớn nhất
6. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, M là một điểm bất kì nằm trên cạnh BC. Gọi E, F theo thứ tự là hình chiếu của M trên AB, AC. Tìm vị trí của M để EF có độ dài nhỏ nhất.
7. Cho tam giác ABC vuông cân ở A, cạnh huyền BC = 2a. Một đường thẳng (d) bất kì đi qua A và không cắt cạnh BC. Gọi I là K theo thứ tự là hình chiếu của B và C trên (d). Gọi H là trung điểm của BC. Tính diện tích lớn nhất của DHIK..
8. Trong các hình thoi có cùng chu vi, hình nào có diện tích lớn nhất?
3. ĐỘ DÀI ĐƯỜNG GẤP KHÚC
Độ dài đường gấp khúc nối hai điểm không nhỏ hơn 
độ dài đoạn thẳng nối hai điểm đó.
Ví dụ 1: Cho góc nhọn và một điểm A ở trong góc đó. Tìm điểm B Î Ox; C Î Oy sao cho chu vi DABC nhỏ nhất.
Giải:
Giả sử B và C là hai điểm bất kì trên Ox; Oy. ta phải tìm vị trí của B và C sao cho AB + AC + BC nhỏ nhất.
y
x
A2
C
O
B
Co
Bo
A
Gọi A1, A2 lần lượt là ảnh của điểm A trong phép đối xứng qua Ox, Oy; như vậy A1, A2 hoàn toàn xác định. Nối B với A1, C với A2, ta có:
AB + BC + CA = A1B + BC + CA2 = độ dài đường gấp khúc A1BCA2 ³ A1A2
Þ min (Chu vi DABC) = A1A2 ÛBºBo; C º Co
A1
Vậy ta chỉ cần dựng A1, A2 đối xứng của A qua Ox, Oy; nối A1A2 cắt Ox tại Bo, Oy tại Co. Các điểm Bo, Co là các điểm phải tìm.
Chú ý: Đầu bài cho < 90o Þ = 2 < 180o nên A1A2 chắc chắn cắt Ox, Oy; có nghĩa là ta luôn luôn xác định được Bo, Co.
Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD và một tứ giác MNPQ có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh hình vuông (tứ giác MNPQ nội tiếp hình vuông ABCD). Tìm điều kiện để tứ giác MNPQ có chu vi nhỏ nhất.
Giải:
Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của QN, NM, PQ. Áp dụng tính chất trung tuyến thuộc cạnh huyền của tam giác vuông, ta có:
	MN = 2BJ; PQ = 2DK
Áp dụng tính chất đường trung bình của tam giác:
	PN = 2IK ; MQ = 2JI
Chu vi tứ giác MNPQ:
	MN + NP + PQ + MQ = 2 (BJ + JI + IK + KD) ³ 2BD
D
P
A
M
B
N
Q
J
K
I
C
Chu vi tứ giác MNPQ đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 lần đường chéo của hình vuông khi đường gấp khúc trùng với đường chéo BD, lúc đó MN // AC // PQ và MQ // BD // NP, tứ giác MNPQ trở thành hình chữ nhật.
Từ bài toán trên, ta có thể rút ra kết luận sau: Mọi hình chữ nhật nội tiếp được trong một hình vuông đã cho đều có chu vi bằng nhau và chu vi đó là nhỏ nhất so với chu vi của bất kì tứ giác nào nội tiếp trong hình vuông này.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có các góc nhỏ hơn 120o. Tìm điểm M nằm bên trong tam giác sao cho tổng MA + MB + MC có giá trị nhỏ nhất.
Giải:
 Xét một điểm M nằm trong tam giác ABC. Ta phải xác định vị trí của M để tổng MA + MB + MC là nhỏ nhất.
Mo
M'
C'
A
B
C
B'
M
D
E
Ta tìm cách đưa tổng của ba đoạn thẳng này thành tổng các đoạn thẳng của một đường gấp khúc nối hai điểm xác định nào đó.
Thực hiện phép quay tâm A, góc quay 60o ngược chiều kim đồng hồ:
	M M'
	C C'
 Như vậy DAMM' là tam giác đều suy ra: 
	MA = MM'
DACC' cũng là tam giác đều nên C' hoàn toàn xác định; M'C' = MC (phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm). Do đó:
	MA + MB + MC 	= MM' + MB + M'C'
	= độ dài đường gấp khúc BMM'C' ³ BC'
để tổng MA + MB + MC nhỏ nhất, ta phải tìm M sao cho 4 điểm B, M, M', C' thẳng hàng, nghĩa là M Î đoạn B.
Nếu ta thực hiện phép quay tâm A, góc quay 60o thuận chiều kim đồng hồ B B', cũng lí luận tương tự, ta được: M Î CB'
Suy ra: 	M º Mo = BC' Ç CB'
Do đó cách xác định điểm M như sau:
Dựng ra phía ngoài DABC các tam giác đều ACC', ABB'; lấy giao của BC' và CB', đó là điểm M cần tìm.
Theo giả thiết DABC đều có các góc nhỏ hơn 120o nên ta có: 
	 = + < 120o + 60o = 180o
Þ BC' cắt đoạn AC tại một điểm D nằm giữa A và C. Tương tự CB' cắt AB tại điểm E nằm giữa A và B, suy ra tia BD nằm giữa hai tia BA, BC; tia CE nằm giữa hai tia CB, CA; do đó hai tia BC' và CB' luôn luôn cắt nhau tại một điểm Mo nằm trong tam giác ABC.
BÀI TẬP:
1. Cho hình chữ nhật ABCD. Tìm tứ giác có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh của hình chữ nhật sao cho chu vi tứ giác có giá trị nhỏ nhất.
2. Tam giác DEF gọi là nội tiếp tam giác ABC nếu ba đỉnh của tam giác DEF nằm trên ba cạnh của tam giác ABC.
Hãy tìm tam giác nội tiếp tam giác nhọn ABC cho trước sao cho nó có chu vi nhỏ nhất.
(Đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 toàn quốc năm 1975)