Bồi dưỡng một số bài toán xác định đa thức Đại số Lớp 8

"Một số bài toán xác định đa thức"
(Thực hiện trong 3 tiết)
Sau khi học sinh được học các kiến thức về đa thức ở lớp 7 và lớp 8 , các em đã được trang bị một số kiến thức về đa thức như: Định nghĩa, các tính chất, các phép biến đổi, nghiệm của đa thức, giá trị của đa thức tại một giá trị x0 nào đó (x là biến số ), xác định một đa thức
Nhưng dù sao trong phạm vi trường THCS không chuyên vấn đề này vẫn là vấn đề không phải dễ đối với học sinh.
Phạm vi thực hiện: Trong 3 tiết 
Đối tượng là học sinh lớp 8A1 trường THCS Thanh Cao - huyện Thanh Oai - tỉnh Hà Tây.
Các bài toán:
I. Xác định đa thức P(x) khi biết giá trị của P(X0) 
Bài toán 1: Tìm một đa thức bậc một biết: P(0) = 2 ; P(1) = 5
Giải: ta có : P(x) = ax + b trong đó x là biến số, a, b là hằng số.
Thế thì : P0 = a.0 + b = 2 có ngay b = 2 (*)
	P(1) = a.1 + b = a + b =5 (**) 
Thay (*) vào (**) ta có: a + 2 = 5 b = 3.
Vậy P(x) = 3x + 2 là đa thức phải tìm.
Bài toán 2:
Tìm một đa thức bậc 2 biết P(0)= 19 ; P(1) = 5; P(2) = 1995
Giải : Đặt : P (x) = ax2 + bx + c
Với x = 0 ta có P (0) = a.0 + b.0 + c = 19 c =19
Với x = 1 ta có P(1) = a.1 + b.1 + c = a + b + 19 = 5 a + b = -14 	(1)
Với x = 2 ta có P(2) = a.22 + b .2 + c = 4a + 2b + 19 = 1995
	 2a + b = 988 	(2)
Từ (1) và (2) suy ra: a = 1002 ; b = 1016
Vậy P(x) = 1002x2 - 1016 x + 19
Bài toán 3: 
Tìm một đa thức bậc ba P(x) 
Cho biết khi chia P(x) cho các đa thức : (x - 1) ; (x - 2) ; (x - 3) đều được dư là 6 và 
P(-1) = -18
Giải: Giả thiết ta có 	P(x) = (x - 1) . A(x) + 6 
	P(x) = (x - 2) . B(x) + 6 
	P(x) = (x - 3) . C(x) + 6 
 P(1) = P (2) = P (3) = 6
Đặt P (x) = a(x-1)(x-2)(x-3) + b (x-1)(x-2) + c(x-1) + d 
Cho x = 1 P(1) = d = 6
Cho x = 2 P(2) = 6 + c c = 0
Cho x = 3 P(3) = 6 + 2 b b = 0
 P(x) = 6 + a ( x - 1) (x - 2) (x-3)
Cho x = -1 P(-1) = 6 - 24 a = -18 a = 1
 Vậy P(x) = x3 - 6 x2 + 11x .
Bài toán 4: Cho đa thức bậc bốn P(x) biết thoả mãn:
P(-1) = 0 và P(x) - P(x-1) = x (x +1) (2x + 1 )
1) Xác định P(x).
2) Suy ra giá trị của tổng sau đây: 
S = 1.2.3 + 2.3.5 + ... + n(n+1)(n+2)
Giải : 
Cho x = 0, suy ra: P(0) - P(-1) = 0 mà P(-1) = 0 do đó P(0) = 0.
Cứ như vậy cho x lần lượt các giá trị x = -2 ; x = 1, x = 2 ta nhận được:
P (-2) = 0 ; P(1) = 6 ; P(2) = 36.
Đặt P(x) = e +d (x+2) + c (x+2)(x+1)+ b(x+2)(x+1)x+a (x+2)(x+1) x (x-1)
Cho x = -2 P(-2) = ee = 0;
Cho x = -1 d = 0 ;
Cho x = 0 c = 0 ;
Vậy P(x) = b(x+2)(x+1)x+a (x+2)(x+1) x (x-1)
Cho x = 1 P(1) = 6b = 6 b = 1
Cho x = 2 P(2) = 24 + 24 a = 36 a = 
Vậy P(x) = x (x+1)2 (x+2)
Để tính tổng S ta có: P(x) - P(x-1) = x (x +1) (2x + 1 )
P(1) - P(0) = 1.2.3
P(2) - P(1) = 2.3.5
P(3) - P(2) = 3.4.7
......................
P(n) - P(n-1) = n (n+1) (2n+1)
Suy ra P(n) - P(0) = 1.2.3+2.3.5+...+ n (n+1) (2n+1)
Do đó S = n(n+1)2 (n+2)
Bài toán 5:
Tìm một đa thức bậc hai, cho biết: 
P(0) = 19;
P(1) = 85;
P(2) = 1985.
Hướng dẫn cho học sinh giải như sau:
Đặt P(x) = ax (x-1) + bx +c
Cho x = 0 P(0) = c = 19 
Cho x = 1 P(1) = b+c = 85 b =66
Cho x = 2 P(2) = 2a + 2b+c = 1985 a = 917
Vậy: P(x) = 917x2 - 851x + 19
2. Loại bài toán xác định đa thức A(x) chi hết cho đa thức B(x)
Bài toán 6: 	Cho đa thức 	P(x) = x4 + x3 - x2 + ax + b 
và đa thức	Q(x) = x2 + x - 2
Hãy xác định a,b để đa thức P(x) chia hết cho đa thức Q(x)
Bài giải:
Với bài toán này ta có thể áp dụng kiến thức đã học trong SGK về phép chia hai đa thức, đặt phép chia P(x) cho Q(x) ta được đa thức dư là R(x) = (a-1)x +b +2
P(x) chia hết cho Q(x) R(x) = 0
a = 1 và b = 2
Có thể khó hơn một chút cho học sinh giải bài toán sau:
Bài toán 7: Xác định a,b sao cho đa thức P(x) = ax4 + bx3 +1 chia hết cho đa thức Q(x) = (x-1)2
Hướng dẫn: Chia đa thức P(x) cho đa thức Q(x) ta nhận được đa thức dư 
R(x) = (4a +3b)x + 1 - 3a - 2b
Đa thức P(x) chia hết cho đa thức Q(x) R(x) = 0
Bài toán 8:
Cho biết đa thức P(x) thoả mãn :
P(x) chia cho đa thức x + 3 còn dư 1
P(x) chia cho đa thức x - 4 còn dư là 8
P(x) chia cho đa thức (x+3)(x-4) thì được thương là 3x và còn dư
Giải:
Vì đa thức (x+3)(x-4) có bậc 2 do đó số dư phải có dạng: R(x) = ax +b
P(x) = (x+3)(x-4) 3x+ (ax + b)
	P(-3) = -3a +b = 1
	P(4) = 4a + b = 8
a = 1 và b = 4
Đáp số: P(x) = (x+3)(x-4).3x + x + 4
Bài toán 9:
Cho đa thức 	P(x) = x4 + ax2 + 1
Q(x) = x3 + ax +1
Hãy xác định a để đa thức P(x) và Q(x) có nghiệm chung
Giải: Giả sử nghiệm chung là x = c
P(x) - x.Q(x) = 1- c P(c) - cQ(c) = 1- c
vì x = c là nghiệm chung của P(x) và Q(x) P(c) = Q(c) = 0
1-c = 0 c = 1
Khi c =1 thì P(1) = Q(1) = a + 2 = 0 a = -2
Khi a = -2 rõ ràng P(x) và Q(x) có nghiệm chung là x =1
Bài toán 10:
 Chứng minh rằng không tồn tại một đẳng thức với hệ số nguyên P(x) thoả mãn: P(1) = 19 và P(19) = 85.
Giải: Giả sử tồn tại P(x) = a0xn + a1xn-1+....+ an-1+an với các hệ số: a0 , a1, a2 ...., an là số nguyên và P(1) = 19 và P(19) = 85
	P(1) = a0 + a1+ a2 +....+an-1+ an = 19
	P(19) = a0 .19n+ a1.19n-1+ a2.19n-2 +....+an-1.19+ an = 85
 P(19) - P(1) = a0 .(19n-1)+ a1.(19n-1-1)+ a2.(19n-2 - 1)+....+an-1.(19-1) = 66
Ta có vế trái chia hết cho 19-1 = 18, còn vế phải không chia hết cho 18 điều này vô lý.
Chứng tỏ không tồn tại một đẳng thức với hệ số nguyên P(x) thoả mãn: P(1) = 19 và P(19) = 85.
Bài toán 11: 
Cho đa thức :	P(x) = 1 + x2 + x4 + ... + x2n-2
	Q(x) = 1 + x + x2 + ....+ xn-1 
Tìm số n nguyên dương để P(x) chia hết cho Q(x)
Hướng dẫn giải: 
Ta có P(x) = và Q(x) = 
Do đó P(x) chia hết cho Q(x) (1-xn) (1 + x)
Ta có : + 
Do đó ( 1-xn) (1-x) 1+(-1)n =0 n= 2k+1 với k N
Bài toán 12: 
Xác định phần dư của phép chia đa thức:
P(x) = x + x3 + x9 + x27 + x81 cho đa thức Q(x) = x-1
Giải : Ta phân tích đa thức P(x) như sau:
P(x) = x + x3 + x9 + x27 + x81 - 5 + 5 
P(x) = (x -1)+ (x3 - 1) + (x9 - 1) + (x27 - 1) + (x81-1) +5
Nhận thấy ngay khi chia P(x) cho Q(x) ta được số dư là 5
Bài toán 13: Xác định phần dư của phép chia đa thức:
P(x) = x + x3 + x9 + x27 + x81 cho đa thức Q(x) = x2-1
Giải: tương tự cách giải bài toán 12 ta thêm bớt 1 lượng 4x được:
P(x) = (x3 -x) + (x9 - x) + (x27-x) + (x81-x) +5x
P(x) = x(x2 -1) + x(x8-1) + x(x26-1)+x(x80 -1) + 5x
Vậy phần dư của phép chia P(x) cho Q(x) là R(x) = 5x
Bài toán 14: Xác định phần dư của phép chia đa thức:
P(x) = 1+ x + x9 +x25 + x49 + x81
Cho đa thức Q(x) = x3 - x
Giải: Ta có P(x) = (x9 - x) +(x25-x) + (x49-x) + (x81 - x) +5x+1
P(x) = x(x8-1) + x(x24 -1) + x(x48 -1 ) + x(x80-1) +5x+1
Và Q(x) = x(x2 - 1)
Do đó phần dư của phép chia P(x) cho Q(x) là : R(x) = 5x +1
Bài toán 15: Với giá trị nào của a và b thì đa thức P(x) = x3 + ax2 + 2x+b chia hết cho đa thức: Q(x) = x2 + x +1
Thực hiện phép chia:
x3 + ax2 + 2x+b 	x2 + x +1
x3 + x2 + x 	x + (a-1)
 (a-1)x2 + x +b
 (a-1)x2 +(a-1)x +a+1
 (2-a)x +b -a+1
Phép chia đa thức cho ta đa thức dư là: (2-a)x + b -a+1
Vậy đơn giản để phép chia là phép chia hết thì
(2- a) = 0 và b - a +1 =0
Từ đó ta có a = 2 ; b = 1
Kết luận: Với a = 2 ; b = 1 thì phép chia là phép chia hết
---------------------Hết-----------------------