Bồi dưỡng môn Toán Lớp 8 - Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức – tìm cực trị (Tiếp theo)

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT 
ĐẲNG THỨC – TÌM CỰC TRỊ (tt) 
 NGUYỂN ANH KHOA 
 THPT Lê Khiết, Thành phố Quảng Ngãi 
 Email:anhkhoa_lk12@yahoo.com 
 Nick name: anhkhoa_lk12 
I.Phương pháp đánh giá tổng các phân thức: 
Phương pháp này người ta còn gọi là phương pháp xét biểu thức phụ.Sau đây là bài toán tiêu biểu cho 
phương pháp trên. 
Bài toán 1: Cho a,b,c,d dương. CMR 
 1. 3
2
a b c
b c c a a b
+ + ³
+ + +
 ( BĐT Nesbit với n=3) 
 2. 2a b c d
b c c d d a a b
+ + + ³
+ + + +
( BĐT Nesbit với n=4) 
 GIẢI 
 Ý tưởng để giải bài toán này ta xét các biểu thức phụ có tính hoán vị. 
1. Đặt A= 3
2
a b c
b c a c a b
+ + ³
+ + +
; ;b c a c a bB C
b c c a a b b c c a a b
= + + = + +
+ + + + + +
Khi đó ta có được B+C=3. Mặt khác 
3
3
a b b c a cA B
b c a c a b
a c b a b cA C
b c c a b a
+ + +
+ = + + ³
+ + +
+ + +
+ = + + ³
+ + +
Do đó 32 6
2
A B C A+ + ³ Þ ³ ( đpcm) 
2. Đặt ; ;a b c d b c d a c d a bA B C
b c c d d a a b b c c d d a a b b c c d d a a b
= + + + = + + + = + + +
+ + + + + + + + + + + +
Khi đó B+C=4. Lại có 
4a b b c c d d aA B
b c c d d a a b
+ + + +
+ = + + + ³
+ + + +
4( ) 4( ) 4a c b d c a b d a c b dA C
b c c d d a a b a b c d a b c d
+ + + + + +
+ = + + + ³ + =
+ + + + + + + + + +
Do đó 2 8 2A B C A+ + ³ Þ ³ ( đpcm) 
LB: Cách giải như trên khá hay, nhưng cách giải đó chỉ mới xuất hiện mà thôi . Hầu như các sách về 
BĐT hiện nay điều sử dụng cách giải này. 
Bài toán 2: Cho a,b,c dương. CMR 
 1. 
2 2 2
2
a b c a b c
a b b c c a
+ +
+ + ³
+ + +
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
 2. ( )
2 2 2
2 2 2 2 2 22
4
a b c a b b c c a
a b b c c a
+ + ³ + + + + +
+ + +
 GIẢI 
1. Đặt 
2 2 2 2 2 2
;a b c b c aP Q
a b b c c a a b b c c a
= + + = + +
+ + + + + +
. Khi đó ta có 
2 2 2 2 2 2
0a b b c c aP Q a b b c c a
a b b c c a
- - -
- = + + = - + - + - =
+ + +
Do đó 
2
P QP Q += = . BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT sau 
2 2 2 2 2 21
2 2
a b b c c a a b c
a b b c c a
æ ö+ + + + +
+ + ³ç ÷+ + +è ø
Ta sử dụng BĐT phụ ( ) ( )
2 2
22 22
2
a b a ba b a b
a b
+ +
+ ³ + Û ³
+
Tương tự ta xây dựng các BĐT còn lại, sau đó cộng lại ta được đpcm. 
2. Cũng như câu 1 ta chuyển BĐT cần chứng minh về dạng 
 ( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 21 2
2 4
a b b c c a a b b c c a
a b b c c a
æ ö+ + +
+ + ³ + + + + +ç ÷+ + +è ø
Ta sử dụng BĐT phụ sau: 2 22( )x y x y+ £ + . Ta có 
2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2( ) 2( ) 2(c )
; ;
2 2 22( )
a b b c aa b a b b c c a
a b b c c aa b
+ + ++ + + +
³ = ³ ³
+ + ++
Cộng lại ta được đpcm 
NX: Ta thấy ( )2 2 2 2 2 224 2
a b ca b b c c a + ++ + + + + ³ . Nghĩa là BĐT 2 mạnh hơn BĐT 1, tuy 
nhiên cả hai bài toán đều sử dụng phương pháp đánh giá tổng các phân thức. 
Ngoài ra bạn có thể giải bài toán 1 bằng cách sử dụng BĐT Bunhiacopski. 
 ( )
22 2 2
2( ) 2
a b ca b c a b c
a b b c c a a b c
+ + + +
+ + ³ =
+ + + + +
BL1: Cho a,b,c,d,e,f dương . CMR: 
 3a b c d e f
b c c d d e e f f a a b
+ + + + + ³
+ + + + + +
BL2: Cho a,b,c,d dương. CMR: 
 1. 
3 3 3
2 2 2 2 2 2 3
a b c a b c
a ab b b bc c c ca a
+ +
+ + ³
+ + + + + +
 2. 
4 4 4 4
2 2 2 2 2 2 2 2( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 4
a b c d a b c d
a b a b b c b c c d c d d a d a
+ + +
+ + + ³
+ + + + + + + +
BL3: Cho a,b,c dương và 2 2 2 1a b c+ + = .Tìm min của biểu thức: 
2 2 2 2 2 2a b b c c aA
b c c a a b
+ + +
= + +
+ + +
II. Phương pháp sử dụng tam thức bậc hai – tính chất đặc biệt của phân số - tính chất đoạn thẳng 
1. Sử dụng tam thức bậc hai: 
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Kiến thức bổ sung: Cho tam thức bậc hai ( )2( ) 0f x ax bx c a= + + ¹ 
- ( ) 0, 0 0f x x a³ " Û > Ù D £ - 2. ( ) 0 4 0a f b aca £ Þ - ³ 
- ( ) 0, 0 0f x x a£ " Û < Ù D £ - ( )( ) 0x x xa b a b£ £ Û - - £ 
Bài toán 1: Cho x,y tuỳ ý. CMR 
 1. 2 23 1 3x x y y xy- + ³ - - 
 2. 2 2( ) 2 5 5 4 5 6x y x y y+ ³ - + - 
 GIẢI 
1. Xét 2 2( ) ( 3) 3 1f x x y x y y= + - + - + 
Ta có 2 2 2 2( 3) 4( 3 1) 3 2 3 1 ( 3 1) 0,y y y y y y y RD = - - - + = - + - = - - £ " Î 
Mặt khác a=1>0 nên ( ) 0f x ³ Þ đpcm 
2. Xét 2 2( ) 2( 5) 6 4 5 6f x x y x y y= + - + - + 
Ta có : 2 2 2 2( 5) 6 4 5 6 5 2 5 1 ( 5 1) 0,y y y y y y y RD = - - + - = - + - = - - £ " Î 
Mặt khác a=1>0 nên ( ) 0f x ³ Þ đpcm 
Bài toán 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau: 
1. Cho [ ], , , 0;1a b c d Î .CMR: 2 2 2 2 2(1 ) 4( )a b c d a b c d+ + + + ³ + + + 
2. Cho [ ], , , 1;2a b c d Î . CMR: ( ) 1 1 1 1 18a b c d
a b c d
æ ö+ + + + + + £ç ÷
è ø
 GIẢI 
1. Xét tam thức bậc hai 2 2 2 2 2( ) (1 )f x x a b c d x a b c d= - + + + + + + + + 
Ta có (1) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )f a a b b c c d d= - - - - - - - - 
Vì [ ], , , 0;1 (1) 0a b c d fÎ Þ £ . Nghĩa là tam thức bậc hai luôn có nghiệm 
Do đó 2 2 2 2 2(1 ) 4( ) 0a b c d a b c dD = + + + + - + + + ³ Þđpcm 
2. Ta có [ ] 2 21;2 ( 1)( 2) 0 2 3 3a a a a a a
a
Î Þ - - £ Þ + £ Þ + £ 
Tương tự : 2 2 23; 3; 3.b c d
b c d
+ £ + £ + £ 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 
( )
( )
22 2 2 2
2 2 2 2 36
2
1 1 1 1 18
a b c d
a b c da b c d
a b c d
a b c d
a b c d
æ ö+ + + + + + +ç ÷æ ö+ + + + + + £ £ç ÷ç ÷
è ø ç ÷
è ø
æ öÞ + + + + + + £ç ÷
è ø
NX: Việc chọn tam thức bậc hai để chứng minh bất đẳng thức như câu 2 của bài toán 2 khá tinh ý. Để 
việc chọn tam thức bậc hai cho phù hợp ta cần phải xem xét thật kĩ cấu trúc của bài toán cần chứng minh 
và đồng thời xem thử mối liên hệ giữa biểu thức 2 4b acD = - 
BL1: Cho tam giác ABC. CMR: 2 2 2; ,pa qb pqc p q+ > " sao cho 1p q+ = . 
BL2: Cho a,b,c,d,p,q sao cho 2 2 2 2 2 2 0p q a b c d+ - - - - > . CMR: 
 ( )( ) ( )22 2 2 2 2 2p a b q c d pq ac bd- - - - £ - - 
BL3: 1. Cho x,y,z,t thoả y>z>t. CMR: 2( ) 8( )x y z t xz yt+ + + > + 
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
 2.Cho a,b,c thoả mãn ( )( ) 0a c a b c+ + + + + 
 3. Cho ; ,ax by xy x y+ ³ " . CMR: 1
4
ab ³ 
BL4: 1. Cho hàm số bậc hai 2( )f x ax bx c= + + sao cho ( ); ( ) 0a b f x x R< ³ " Î .CMR: 3a b c
b a
+ +
³
-
 2.Cho a,b,c thoả mãn [ ], , 1;2a b cÎ - và 0a b c+ + = . CMR: 2 2 2 6a b c+ + £ 
2. Phương pháp sử dụng tính chất đặc biệt của phân số 
Kiến thức bổ sung: 
Với *, , ,a b c d RÎ ta có: 
 - 1a a a c
b b b c
+
< Þ <
+
 - a a
a b a b c
>
+ + +
 - 1a a a c
b b b c
+
> Þ >
+
 - a c a a c c
b d b b c d
+
> Þ > >
+
Đây là 4 tính chất tiêu biểu nhất của phân số. Đồng qua các tính chất trên ta có thể thấy rằng phương 
pháp này chỉ sử dụng cho các loại BĐT phân số không chặt. Nói chung dạng này không khó nên tôi sẽ 
không đưa ra những lời nhận xét hay giải thích gì thêm. 
Bài toán 1: Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác. CMR: 
 1 2a b c
b c c a a b
< + + <
+ + +
 GIẢI 
Do a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác nên: ; ;a b c b c a c a b< + < + < + . Do đó ta có: 
2
2
2
a a a
a b c b c a b c
b b b
a b c a c a b c
c c c
a b c a b a b c
< <
+ + + + +
< <
+ + + + +
< <
+ + + + +
Cộng 3 BĐT trên vế theo vế ta được đpcm. 
Bài toán 2: Cho 0; , ;a b m n N m n> > Î > . CMR: 
m m n n
m m n n
a b a b
a b a b
- -
>
+ +
 GIẢI 
BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT sau: 
2 2 1 11 1
1 1
m n m n
m nm m n n m m n n
m n
b b b b
a b a b a b a b a a
b b
a a
b b
- > - Û < Û <
+ + + + æ ö æ ö+ +ç ÷ ç ÷
è ø è ø
æ ö æ öÛ >ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Từ ( )1 , ;
m na a aa b m n N m n
b b b
æ ö æ ö> Þ > Þ > " Î >ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Bài toán 3: 
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
1. Cho a,b,c dương. CMR: 
1 1 1
a b a b
a b a b
+
< +
+ + + +
2. Cho a,b,c,d dương . CMR: 1 2a b c d
a b c b c d c d a d a b
< + + + <
+ + + + + + + +
 GIẢI 
1. Ta có : 
1 1 1 1 1
a b a b a b
a b a b b a a b
+
= + < +
+ + + + + + + +
2. Ta chứng minh BĐT phải . Ta có 
1
1
1
1
a a a d
a b c a b c a b c d
b b b a
b c d b c d a b c d
c c c b
c d a c d a a b c d
d d d c
d a b d a b a b c d
+
< Þ <
+ + + + + + +
+
< Þ <
+ + + + + + +
+
< Þ <
+ + + + + + +
+
< Þ <
+ + + + + + +
2a b c d
a b c b c d c d a d a b
Þ + + + <
+ + + + + + + +
 Ta chứng minh BĐT trái. Ta có 
a a
a b c a b c d
b b
b c d a b c d
c c
c d a a b c d
d d
d a b a b c d
>
+ + + + +
>
+ + + + +
>
+ + + + +
>
+ + + + +
1a b c d
a b c b c d c d a d a b
Þ + + + >
+ + + + + + + +
. 
BL1: Cho 0a b> > và A=
2 1
2
1 ....
1 ...
n
n
a a a
a a a
-+ + + +
+ + + +
; B=
2 1
2
1 ....
1 ....
n
n
b b b
b b b
-+ + + +
+ + + +
. CMR A<B 
BL2: Cho a,b không đồng thời bằng 0. CMR: 
2 2
2 2 2 2
1 1
1 1
a b
a b a b
+ + ³
+ + +
BL3: Cho a,b,c,d>0. CMR số A sau đây không là số nguyên dương. 
 a b b c c d d aA
a b c b c d c d a d a b
+ + + +
= + + +
+ + + + + + + +
BL4: Cho a,b,c dương. CMR: 
 a b c a b c
a b b c c a b c c a a b
+ + < + +
+ + + + + +
3. Phương pháp sử dụng tính chất đoạn thẳng: 
 Kiến thức bổ sung: 
 Định lí 1: Cho hàm số bậc nhất ( )f x ax b= + . Nếu tồn tại hai số thực a b< sao cho ( ) 0; ( ) 0f fa b³ ³ 
thì ( ) [ ]( )( ) 0 ; ;f x x xa b a b³ " Î Ú " Î 
 Định lí 2: Cho hàm số bậc nhất ( )f x ax b= + thì min{ ( ); ( )} ( ) max{ ( ); ( )}f f f x f fa b a b£ £ trong đó 
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
 [ ];x a b" Î 
Ta chứng minh định lí 1: Vì f(x) là hàm số bậc nhất nên đồ thị của f(x) là một đường thẳng. Từ tính chất 
của đoạn thẳng: “ nếu hai đầu mút của một đoạn thẳng là hai điểm ( ); ( )fa a và ( ); ( )fb b ở phía trên 
trục hoành Ox thì đoạn thẳng đó hoàn toàn ở trên trục đó” suy ra ( )( ) 0 ( ; )f x x a b³ " Î 
Định lí 2 bạn đọc tự chứng minh xem như bài tập. 
Bài toán 1: Cho [ ], , 0;2x y z Î . CMR: 
 2( ) ( ) 4x y z xy yz xz+ + - + + £ 
 GIẢI 
BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT sau: 
 (2 ) 2( ) 4 4y z x y z yz- - + + - - £ 
Xét [ ]( )( ) (2 ) 2( ) 4 0;2f x y z x y z yz x= - - + + - - " Î là hàm bậc nhất theo x. Theo định lí ta có : 
( ) max{ (0); (2)}f x f f£ . 
Mà (0) (2 )(2 ) 0; (2) 0f y z f yz= - - - £ = - £ . Nên ( ) 0f x £ Þ đpcm. 
NX: Bằng cách dùng tính chất đoạn thẳng ta đã giải bài toán trên khá nhẹ nhàng, vô cùng đơn giản. 
Ngoài ra cũng còn một cách khá hay để giải bài toán này, cách giải đó như sau: 
 Từ điều kiện suy ra (2 )(2 )(2 ) 0 8 4( ) 2( ) 0x y z x y z xy yz xz xyz- - - ³ Û - + + + + + - ³ 
4( ) 2( ) 8 8 2( ) ( ) 4x y z xy yz xz xyz x y z xy yz xzÞ + + - + + £ - £ Û + + - + + £ ( đpcm) 
Cách giải trên dựa vào nhận xét sau : 
Với các số [ ]1 2, ,... ;na a a a bÎ thì khi đó ta có các bất đẳng ... 1 2 1 2 1 1 2 2... ... ...n n n na a a b b b a b a b a b+ + + + + + + ³ + + + + + + 
Đẳng thức xảy ra 1 2
1 2
... n
n
aa a
b b b
Û = = = 
3. Dạng 3: 
 Với 2 dãy số thực ( )1 2, ,... na a a và ( )1 2, ,... nb b b ta luôn có: 
 ( ) ( )21 21 1 2 2 1 2
1 2
... ... ...nn n n
n
aa aa b a b a b a a a
b b b
æ ö
+ + + + + + ³ + + +ç ÷
è ø
Đẳng thức xảy ra 1 2 ... nb b bÛ = = = 
Như ta đã biết BĐT Cauchy có khá nhiều áp dụng nhưng đối với một số bài toán thì lại khác nếu ta sử 
dụng BĐT Cauchy thì lời giải sẽ rất dài dòng, trong khi đó ta sử dụng BĐT Bunhiacopski sẽ cho ta lời 
giải ngắn gọn, dễ hiểu. Cụ thể ta xét các bài toán sau: 
Bài toán 1: Cho a,b,c dương. CMR: 
1. 
2 2 2a b c a b c
b c a
+ + ³ + + 2. 
3 3 3
2 2 2a b c a b c
b c a
+ + ³ + + 
 GIẢI 
1. C1: Ta sử dụng BĐT Cauchy ta có: 
2 2
2 2
2 2
2 . 2
2 . 2
2 . 2
a ab b a
b b
b bc c b
c c
c ca a c
a a
+ ³ =
+ ³ =
+ ³ =
( ) ( )
2 2 2
2a b c a b c a b c a b c
b c a
Þ + + ³ + + - + + = + + 
C2: Ta sử dụng BĐT Bunhiacopski. 
 ( )
22 2 2 a b ca b c a b c
b c a a b c
+ +
+ + ³ = + +
+ +
2. C1: Ta sử dụng BĐT Cauchy như sau: 
3 3
2
3 3
2
3 3
2
2 . 2
2 . 2
2 . 2
a aab ab a
b b
b bbc bc b
c c
c cca ca c
a a
+ ³ =
+ ³ =
+ ³ =
( )
3 3 3
2 2 2 2 2 22a b c ab bc ca a b c a b c ab bc ca
b c a
Þ + + + + + ³ + + ³ + + + + + 
3 3 3
2 2 2a b c a b c
b c a
Þ + + ³ + + 
C2: Ta sử dụng BĐT Bunhiacopski. 
( )22 2 23 3 3 4 4 4 2 2 2a b ca b c a b c a b c
b c a ab bc ca ab bc ca
+ +
+ + = + + ³ ³ + +
+ +
( Do 
2 2 2
1a b c
ab bc ca
+ +
³
+ +
) 
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Bài toán 2: Cho a,b,c dương. CMR: 
2 2 2
2
a b c a b c
b c c a a b
+ +
+ + ³
+ + +
 GIẢI 
C1: Ta sử dụng BĐT Cauchy. 
2 2
2 2
2 2
2 .
4 4
2 .
4 4
2 .
4 4
a b c a b c a
b c b c
b c a b c a b
c a c a
c a b c a b c
a b a b
+ +
+ ³ =
+ +
+ +
+ ³ =
+ +
+ +
+ ³ =
+ +
2 2 2
2 2
a b c a b c a b ca b c
b c c a a b
+ + + +
Þ + + ³ + + - =
+ + +
C2: Ta sử dụng BĐT Bunhiacopski ở dạng suy biến 1. 
( )
( )
22 2 2
2 2
a b ca b c a b c
b c c a a b a b c
+ + + +
+ + ³ =
+ + + + +
NX: Từ cách giải thứ hai ta có thể chứng minh BĐT sau: 
 ( )
( )
2 2 2 3
2
ab bc caa b c
b c c a a b a b c
+ +
+ + ³
+ + + + +
BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT sau: 
( )
( ) ( )
( )
( )
22 2 2 2 2 32 2 2
2 2 2
a b c ab bc caa b c a b c ab bc ac
b c c a a b a b c a b c a b c
+ + + ++ + + + +
+ + ³ = =
+ + + + + + + + +
Bài toán 3: Cho a,b,c dương. CMR: 
 ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
4
a b b c c a
a b c
c a b
+ + +
+ + ³ + + 
 GIẢI 
C1: Ta sử dụng BĐT Cauchy. 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
4 2 .4 4( )
4 2 .4 4( )
4 2 .4 4( )
a b a b
c c a b
c c
b c b c
a a b c
a a
c a c a
b b c a
b b
+ +
+ ³ = +
+ +
+ ³ = +
+ +
+ ³ = +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
8 4 4
a b b c c a
a b c a b c a b c
c a b
+ + +
Þ + + ³ + + - + + = + + 
C2: Ta sử dụng BĐT Bunhiacopski. 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22 2 2 2
4
a b ca b b c a c
a b c
c a b a b c
+ +é ù+ + + ë û+ + ³ = + +
+ +
Nhưng ta vẫn có trường hợp sử dụng BĐT Cauchy nhanh hơn việc sử dụng BĐT Bunhiacopski. 
Bài toán 4: Cho a,b,c dương và 1 1 1 4
a b c
+ + = . CMR: 
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
 1 1 1 1
2 2 2a b c a b c a b c
+ + £
+ + + + + +
 GIẢI 
C1: Ta có: 
2
2
2
1 1 1 1
1 12 2 4 4
( ) ( ) 4( ) 4( )
1 1 1 1
1 12 2 4 4
( ) ( ) 4( ) 4( )
1 1 1 1
1 12 2 4 4
( ) ( ) 4( ) 4( )
a b a c a b a c a b b c
a b b c a b b c a b b c
a c b c a c b c a c b c
æ ö+ç ÷
è ø £ + = +
+ + + + + + +
æ ö+ç ÷
è ø £ + = +
+ + + + + + +
æ ö+ç ÷
è ø £ + = +
+ + + + + + +
1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2a b c a b c a b c a b b c c a
æ öÞ + + £ + +ç ÷+ + + + + + + + +è ø
Mặt khác bằng cách tương tự như trên ta chứng minh được 
1 1 1 1 1 2 2 2 1
2 8a b b c c a a b c
æ ö æ ö+ + £ + + = Þç ÷ ç ÷+ + +è ø è ø
đpcm. 
C2: Ta sử dụng BĐT Cauchy ở dưới mẫu. 
24
24
24
1 1 1 1 2 1 1
2 164
1 1 1 1 1 2 1
2 164
1 1 1 1 1 1 2
2 164
a b c a a b c a b ca bc
a b c a b b c a b cab c
a b c a b c c a b cabc
æ ö= £ £ + +ç ÷+ + + + + è ø
æ ö= £ £ + +ç ÷+ + + + + è ø
æ ö= £ £ + +ç ÷+ + + + + è ø
1 1 1 1 4 4 4 4 1
2 2 2 16a b c a b c a b c a b c d
æ öÞ + + £ + + + =ç ÷+ + + + + + è ø
Bài toán 5: Cho các số thực , , 1x y z > thoả mãn 1 1 1 2
x y z
+ + = . CMR: 
 1 1 1x y z x y z+ + ³ - + - + - 
 GIẢI 
Áp dụng BĐT Bunhiacopski dạng chuẩn ta có: 
1 1 11 1 1 .
1 1 11 1 1 . 3
x y zx y z x y z
x y z
x y z x y z x y z
x y z
- - -
- + - + - £ + + + +
æ ö
Û - + - + - £ + + - + + = + +ç ÷
è ø
BL1: Cho a,b,c dương. CMR: 2
2 3 2 3 2 3 2 3 3
a b c d
b c d c d a d a b a b c
+ + + ³
+ + + + + + + +
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
BL2: Cho các số thực 1 2, ,... nx x x dương và 
1
1
n
i
i
x
=
=å . Tìm GTNN: 
22 2
1 2
1 2
1 1 1... n
n
S x x x
x x x
æ öæ ö æ ö
= + + + + + +ç ÷ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
BL3: Cho a,b,c dương và 1abc = . CMR: 
 2 2 2 12 1 2 1 2 1
a b c
c a b
+ + ³
+ + +
BL4: Cho a,b,c dương. CMR: 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
9
4
a b c
a b cb c c a a b
+ + ³
+ ++ + +
BL5: Cho a,b,c dương và 1a b c+ + = . CMR: 
 ( )22 2 24 1 4 1 4 1
a b c a a b b c c
b c a
+ + ³ + +
+ + +
BL6: Cho a,b,c dương và ( )3 1ab bc ca+ + = . CMR: 
 2 2 2
1
1 1 1
a b c
a bc b ca c ab a b c
+ + ³
- + - + - + + +
V. Phương pháp chuẩn hoá bất đẳng thức: 
Hàm số f(a,b,c) là thuần nhất trên một miền I nào đó nếu nó thoả mãn ( , , ) ( , , )kf ta tb tc t f a b c= . Trong 
đó , , , ,t a b c k IÎ , hằng số k không phụ thuộc vào a,b,c mà phụ thuộc vào hàm f. 
Đối với đa thức thì một đa thức thuần nhất là tổng các đơn thức đồng bậc. 
VD: Đa thức sau là đa thức thuần nhất 2 3 5 3A x y x xyz= + + 
 Đa thức sau không thuần nhất 3 3 4 6A x z y z z= + + 
Một đa thức đã thuần nhất rồi thì có thể chuẩn hoá bằng nhiều cách ( thêm điều kiện cho các biến ). 
Thông thường thì người ta hay chuẩn hoá tổng các biến bằng một hằng số m nào đó, nhưng đôi khi 
người ta còn chuẩn hoá tích abc, hay ab+bc+ca.. 
VD : ( IMO-2001) Cho a,b,c dương. CMR: 
2 2 2
1
8 8 8
a b c
a bc b ca c ab
+ + ³
+ + +
(1) 
Như ta đã biết bài toán trên có thể sử dụng BĐT Holder để giải. Nhưng bây giờ ta sẽ xét dưới dạng một 
BĐT thuần nhất. Dễ dàng thấy rằng (1) thuần nhất ( bằng cách kiểm tra điều kiện), đến đây ta có thể 
chuẩn hoá theo các cách sau đây: 
C1: Chuẩn hoá theo tổng: ta chia tử và mẫu cho a+b+c khi đó ta được. 
2 2 2
1
8 8 8
a b c
a b c a b c a b c
a b c b a c c a b
a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c
+ + + + + ++ + ³
æ ö æ ö æ ö+ + +ç ÷ ç ÷ ç ÷+ + + + + + + + + + + + + + + + + +è ø è ø è ø
Đặt ; ;a b cx y z
a b c a b c a b c
= = =
+ + + + + +
khi đó ta có được điều kiện 1x y z+ + = 
C2: Chuẩn hoá theo tích: ta chia tử và mẫu của các phân thức lần lượt cho a,b,c ta được 
2 2 2
1 1 1 1
1 8 1 8 1 8bc ca ab
a b c
+ + ³
+ + +
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Đặt 2 2 2; ;
bc ca abx y z
a b c
= = = khi đó ta có được điều kiện xyz =1. 
Qua ví dụ trên có lẽ bạn đã hiểu được phương pháp chuẩn hoá BĐT là như thế nào rồi.Sau đây là một số 
ví dụ . 
Bài toán 1: Cho a,b,c không âm . CMR 
 3 ( )( )( )
3 8
ab bc ca a b b c c a+ + + + +
£ 
 GIẢI 
Bất đẳng thức trên rất nổi tiếng và không hề dễ chút nào. Cách thường dùng luỹ thừa mũ 6, sau đó khai 
triển hai vế dùng phương pháp p,q,r nhưng cách này quá dài lượng tính toán khá lớn. Bây giờ ta sẽ giải 
bằng phương pháp chuẩn hoá. 
BĐT trên thuần nhất đối với các biến a,b,c nên ta chuẩn hoá 3ab bc ca+ + = . Khi đó BĐT cần chứng 
minh trở thành: 
 3 ( )( )( ) 1
8
a b b c c a+ + +
³ 
Từ đk 3 3; 1ab bc ca a b c abc+ + = Þ + + ³ £ . Ta có: 
3
( )( )( )( )( )( ) ( )( ) 3( ) 8 1
8
a b b c c aa b b c c a a b c ab bc ca abc a b c abc + + ++ + + = + + + + - = + + - ³ Þ ³ 
Ta được điều phải chứng minh. 
LB: Điều độc đáo cũng là điều khó khăn nhất của phương pháp này là việc chuẩn hoá biểu thức nào cho 
hợp lí nhất để có cách chứng minh đơn giản nhất. Bài toán trên, ta hoàn toàn có thể chuẩn hoá theo 
cách khác như 3; 1a b c abc+ + = = hay ( )( )( ) 8a b b c c a+ + + = nhưng các cách chuẩn hoá này hoặc là 
không thể ra được hoặc là phải chứng minh dài dòng 
Bài toán 2: Cho a,b,c không âm . CMR 
 2 2 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )a b c b c a c a b ab bc ca a b b c c a+ + + + + ³ + + + + + 
 GIẢI 
Để loại bỏ dấu căn ta chuẩn hoá ( )( )( ) 8a b b c c a+ + + = . Ta chứng minh: 
 2 2 2( ) ( ) ( ) 2( )a b c b c a c a b ab bc ca+ + + + + ³ + + 
Công việc còn lại là ta chứng minh 2 BĐT sau: 
 2 2
3
( ) ( ) ( ) 6
ab bc ca
a b c b c a c a b
+ + £
+ + + + + ³
Ta có : 88 ( )( )( ) ( )( ) abca b b c c a a b c ab bc ca abc ab bc ca
a b c
+
= + + + = + + + + - Þ + + =
+ +
Từ đk ta suy ra 1abc £ . Theo BĐT Cauchy: 
32( )8 ( )( )( ) 3
3
a b ca b b c c a a b c+ +é ù= + + + £ Þ + + ³ê úë û
. Do đó 3ab bc ca+ + £ . 
Mặt khác ta có 2 2( ) ( ) ( ) ( )( )( ) 2 8 2 6a b c b c a c a b a b b c c a abc abc+ + + + + = + + + - = - ³ 
Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh. 
· Lưu ý: Việc chuẩn hoá như thế nào là còn tuỳ thuộc vào sự nhạy bén của từng người. Các bài toán 
trên chúng ta có thể sử dụng phương pháp thông thường để giải nhưng cách sử dụng phương pháp 
chuẩn hoá vẫn là hay nhất. 
BL1: Cho x,y,z dương . CMR 
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
 1. 
2 2 2
3
2( )( ) 19
( ) 27
x y z x y z xyzA
x y z
+ + + + +
= ³
+ +
 2. 3
( )( ) 1
2( ) 9 7
xy yz xz x y zB
x y z xyz
+ + + +
= £
+ + +
Nói rõ cách chuẩn hoá. 
BL2: Cho a,b,c dương. CMR 
 1. 
2 2 2
2 2 2 2 2 2
(2 ) (2 ) (2 ) 8
2 ( ) 2 ( ) 2 ( )
a b c b c a c a b
a b c b c a c a b
+ + + + + +
+ + £
+ + + + + +
 2. 
2 2 2
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 3
( ) ( ) ( ) 5
b c a c a b a b c
b c a c a b a b c
+ - + - + -
+ + ³
+ + + + + +
BL3: Cho a,b,c dương . CMR 
 1. 2 2 2 2 2 3 3 33( )( ) ( )( )( )a b b c c a ab bc ca abc a abc b abc c abc+ + + + ³ + + + + 
 2. 2 2 2( )( )( ) ( )( )( )ab c bc a ca b abc a b b c c a+ + + ³ + + + 
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com