Bồi dưỡng học sinh giỏi về một số phương pháp chứng minh bất đằng thức Đại số 8

Phần A: đặt vấn đề
I. lí do:
Mục tiêu giáo dục hiện nay là nâng cao chất lượng, hiệu quả của việc dạy và học, làm cho kết quả học tập của học sinh ngày một nâng cao. Muốn đáp ứng được yêu cầu đó thì nhiệm vụ của giáo viên và học sinh là: Phải dạy và học thế nào để đạt hiệu quả cao nhất. 
Cùng với các môn học khác, môn toán là môn học giữ vai trò rất quan trọng. Thông qua môn toán học sinh nắm vững kiến thức toán học, từ đó có cơ sở thuận lợi để học các môn học khác, cũng như ứng dụng các kiến thức đã học vào thực tiễn. Dạy toán tức là dạy phương pháp suy luận. Học toán là rèn luyện khả năng tư duy logic. Giải toán là hoạt động hấp dẫn và bổ ích. Nó giúp các em nắm vững thêm kiến thức, phát triển từng bước năng lực tư duy, hình thành kĩ năng kĩ xảo.
 	Đối với học sinh bậc trung học cơ sở hiện nay thì nhiều phần trong môn đại số là rất khó. Một trong các phần đó là phần bất đẳng thức. Các bài toán về bất đẳng thức thường khó nhưng lại hay, loại toán này rất đa dạng và phong phú, có nhiều ứng dụng, đặc biệt rèn luyện tốt tư duy sáng tạo, kĩ năng suy luận. Để giải tốt loại toán này cần vận dụng rất nhiều kiến thức một cách linh hoạt. Trong sách giáo khoa không đề cập nhiều đến dạng toán này, tuy nhiên trong các đề thi học sinh giỏi, thi vào trung học phổ thông thì lại thường xuyên có loại toán này. Bên cạnh đó nếu học tốt các bất đẳng thức sẽ giúp học sinh học tốt hơn các phần khác. Qua tìm hiểu thực tế tôi thấy học sinh rất “sợ” dạng bài chứng minh bất đẳng thức. Trước thực trạng như vậy chúng ta không khỏi băn khoăn, trăn trở phải làm thế nào để tháo gỡ giúp các em bớt đi khó khăn khi gặp các bài toán về bất đẳng thức.
 Trong phạm vi nhỏ hẹp này tôi xin được trình bày một số ý kiến nhỏ mà qua thực tế giảng dạy tôi thấy đã làm giảm bớt khó khăn cho học sinh khi giải các bài toán về bất đẳng thức, làm cho các em say mê, hứng thú học toán hơn. 
II. Cơ sở lí luận và thực tiễn:
Bất đẳng thức là một vấn đề lớn trong chương trình toán phổ thông. Vấn đề này được đưa vào một cách xuyên suốt từ lớp một trở lên. Nhưng ở các lớp dưới bất đẳng thức chưa được trình bày một cách cụ thể mà thường được thể hiện dưới dạng “ẩn”. Cụ thể là:
	- ở lớp một, lớp hai, lớp ba thể hiện dưới dạng bài tập :
Điền dấu , = thích hợp vào ô trống: 4 2 . . .
 	- ở lớp bốn, lớp năm còn có thêm dạng:
 tìm số tự nhiên x biết rằng: 34 < x < 38
 	- ở lớp sáu, lớp bẩy bất đẳng thức thể hiện dưới dạng: so sánh luỹ thừa, so sánh phân số, so sánh hai số hữu tỷ. Trong hình học 7 thì có bất đẳng thức tam giác.
 	- Đến lớp tám, SGK mới chính thức dành riêng một mục trình bày định nghĩa và một vài tính chất của bất đẳng thức, thường chỉ ở dạng đơn giản ngắn gọn. Cũng từ đó lượng bài tập về bất đẳng thức cũng nhiều và khó hơn, chẳng hạn: chứng minh biểu thức luôn dương hay luôn âm, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức . . . Do vừa mới được làm quen và chưa đi sâu nghiên cứu về nó, SGK cũng không nêu ra các phương pháp chứng minh bất đẳng thức nên khi giải bài tập học sinh thường mắc sai lầm và nhiều khi không biết bắt đầu từ đâu. Vì thế, học sinh rất sợ các bài tập chứng minh bất đẳng thức. Do đó giáo viên và học sinh rất vất vả trong việc nghiên cứu, sưu tầm và tuyển chọn các bài tập của dạng toán này.
Trong những năm trước khi dạy ôn thi, bồi dưỡng HSG thì phần bất đẳng thức tôi chỉ hướng dẫn các em qua các bài tập cụ thể mà không tổng hợp, phân dạng cho các em. Với cách làm như vậy, tôi thấy khi phải làm các bài tập khác tương tự các em rất lúng túng khi tìm lời giải, mặc dù vẫn có một số em làm được.
Với mong muốn khắc phục tình trạng này một trong những biện pháp tôi đã thử nghiệm thấy hiệu quả hơn đó là: đưa ra phương pháp giải rồi áp dụng. Cách làm đó tạo cho các em hiểu và ghi nhớ có hệ thống, từ đó sẽ dễ dàng hơn khi giải bài tập về bất đẳng thức.
III . đối tượng, phương pháp ngnhiệm vụ 
1. Đối tượng và phương pháp nghiên cứu
	*Đối tượng nghiên cứu : học sinh THCS
	*Phương pháp nghiên cứu :	 
+ Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kết quả học tập của học sinh.
+ Thực nghiệm giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9.
+ Trao đổi trong các nhóm chuyên môn.
+ Điều tra, đánh giá kết quả của học sinh sau khi thực nghiệm đề tài.
2. Nhiệm vụ của đề tài
- Đưa ra những kiến thức cơ bản nhất về bất đẳng thức.
- Đề xuất một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức.
- Rèn cho học sinh kĩ năng phân tích tìm lời giải bài toán chứng minh bất đẳng thức.
- Rèn cho học sinh biết lựa chọn phương pháp giải hợp lí cho mỗi bài toán. Muốn vậy phải rèn khả năng phân tích, xem xét bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau, cũng như tính đặc thù của mỗi bài toán, từ đó mà lựa chọn cách giải phù hợp. Nó giúp phát huy khả năng tư duy sáng tạo, linh hoạt, tạo được lòng say mê, tự tin và không ngại ngùng khi gặp bài toàn về bất đẳng thức.
IV.nội dung đề tài
I : Các kiến thức cần nắm vững.
II : Một số phương pháp thường dùng để chứng minh bất đẳng thức.
III : Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng
nội dung
i: các kiến thức cần nắm vững
1-Định nghĩa: Hai số a và b bất kỳ: a > b a - b > 0; a < b a - b < 0
Chú ý: với dấu “” cũng tương tự.
2 . Tính chất: 2.1 a > b b b và b > c thì a > c
2.3 nếu a > b, c bất kỳ thì a + c > b + c
3. Hệ quả: a + c > b + c a > b	 	a + c > b a > b - c
 	a > b; c > 0 ac > bc	 a > b; c < 0 ac < bc
4. Một số kiến thức bổ sung : 
4.1 a > b; c > d a + c > b + d 	4.2 a > b; c b - d 
4.3 a > b 0; c > d 0 ac > bd	4.4 Nếu a > b và a.b > 0 thì 
4.5 a > b > 0 a n > b n ( n N*)	4.6 a > b a n > b n (n N*, n lẻ )
 	 an > bn (nN*, n chẵn )
4.7 So sánh hai lũy thừa cùng cơ số m > n, m; n N*
 	Nếu a > 1 thì am > an
 	Nếu a = 1 thì am = an 
 	Nếu 0 < a < 1 thì am < an
4.8 a2 0 a ;- a2 0 a dấu “ = “ xảy ra a = 0
4.9 dấu “ = “ xảy ra a = 0	4.10 - dấu “ = “ xảy ra a = 0
4.11 dấu “=”xảy ra ab0	dấu “=” xảy ra ab0 và 
4.12 a2 +b2 2ab a ,b	4.13 
4.16 2(a2+b2) (a+b)2 a,b	4.17 3(a2+b2+c2) (a+b+c)2
4.18 (Bất đẳng thức Côsi) Đối với hai số không âm: Dấu”=” xảy ra
Mở rộng đối với n số không âm :
.Dấu “=’ xảy ra 
4.19 (Bất đẳng thức Bunhiacôpxki) Đối với bốn số bất kì:
 	Mở rộng đối với 2n số bất kì :
 Dấu “=” xảy ra 
II: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường dùng
Trong kinh nghiệm này tôi chỉ đưa ra cách chứng minh bất đẳng thức dạng A > B, các bất đẳng thức dạng khác cũng chứng minh tương tự
 1. Dùng định nghĩa.
Để chứng minh A > B ta xét hiệu A- B và chứng minh A- B > 0
*Ví dụ 1: Chứng minh rằng: (a + b)2 4ab với mọi a, b R	Hướng dẫn:
 Xét hiệu: (a + b)2- 4ab = a2 + 2ab + b2 - 4ab = a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
Vì (a – b)2 0 với mọi a, b R nên (a + b)2 4ab với mọi a, b R
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b Vậy (a + b)2 4ab với mọi a, b R
*Ví dụ 2: Chứng tỏ rằng với mọi a, b ta có :	 
Hướng dẫn:
Xét hiệu : a4 +b4 – a3b - ab3 = a3 (a-b) - b3( a-b) = (a-b) (a3- b3) = (a –b)2(a2 +b2 +ab) 
 = (a-b)2 Dấu “=” xảy ra khi a = b. Vậy a4 + b4 a3b + ab3
2. Dùng các phép biến đổi tương đương
Muốn chứng minh A > B ta biến đổi A > B (1)A > B A > B(2) Trong đó (1) là bất đẳng thức cần chứng minh. (2) là bất đẳng thức đã có (đề bài cho hoặc là hằng bất đẳng thức).
*Ví dụ 3:Cho các số dương a và b thỏa mãn điều kiện: a + b = 1. Chứng minh rằng: Hướng dẫn:	 ab +a+b+1 9ab (vì ab > 0) a+b+1 8ab
 2 8ab (vì a + b =1) 1 4ab (a+b)2 4ab (vì a + b =1) (a-b)2 0 (2)
Bất đẳng thức (2) đúng, mà các phép biến đổi là tương đương .Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh.
*Ví dụ 4: Cho các số a, b > 0 chứng minh rằng: (1)
Hướng dẫn:
 Do a > 0; b > 0 nên ta có thể chia hai vế của bất đẳng thức cho 
 (1) ( Do ) (2) Ta thấy (2) đúng với mọi a, b > 0.
Do đó (1) đúng Dấu “=” xảy ra a = b Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
*Ví dụ 5: Cho các số a, b > 0. Chứng minh rằng: (1)	
Hướng dẫn:
 Vì a > 0; b > 0 Cả hai vế của (1) không âm, bình phương hai vế ta được Ta thấy (2) đúng nên (1) đúng. Chứng tỏ a > 0; b > 0 thì Dấu “=” xảy ra a = b
3. Dùng các tính chất của bất đẳng thức
- Sử dụng các tính chất của bất đẳng thức để biến đổi dữ kiện đề bài cho thành điều phải chứng minh.
- Sử dụng tính chất bắc cầu.Để chứng minh A > B ta chứng minh A > C > D >  > M > B. 
Từ đó suy ra A > B.
Chú ý: Một số bước trung gian có thể xảy ra dấu “=” hoặc 
*Ví dụ 6: Cho a + b + c = 1 Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 
Hướng dẫn
Từ các bất đẳng thức: a2 – 2ab +b2 với mọi a, b (1) a2 – 2ac +c2 với mọi a, c (2)
 b2 – 2bc +c2 với mọi b, c (3) Do a + b + c = 1 
 (4)
Cộng từng vế của (1), (2), (3), (4) ta được 
*Ví dụ 7 : Cho a, b > 0. Chứng minh rằng Hướng dẫn:
Vì a > 0 , b > 0 nên Với hai số dương a, b và hai số dương ta có:
 (Theo Côsi)
Vì các vế của các bất đẳng thức (1) và (2) đều dương, nhân từng vế ta được:
 = 4 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b
Vậy với a, b > 0 thì 
*Ví dụ 8: Cho 0 < a, b, c, d < 1.
 Chứng minh rằng: (1- a).(1- b).(1- c).(1- d) >1- a- b- c- d (1)	Hướng dẫn:
Ta có (1- a)(1- b) = 1- a - b + ab	Do a > 0; b > 0 nên ab > 0 từ đó suy ra: (1 - a)(1 - b)>1- a - b (1)
Do c 0 nhân cả hai vế của (1) với 1- c ta được :(1- a)(1- b)(1- c) >(1- a- b)(1- c)=1- a - b - c + ac + bc
Do a, b, c > 0 nên ac + bc > 0 vì vậy 1- a- b - c + ac + bc > 1- a- b- c Do đó (1- a)(1- b)(1- c) > 1- a- b - c (2) Nhân hai vế của (2) với 1- d > 0 ta được : (1- a)(1- b)(1- c)(1- d) > (1- a- b - c)(1- d)
 Mà 1- a- b- c- d + ad + bd + cd > 1-a-b-c-d (vì ad + bd + cd > 0)	Vậy (1- a)(1- b)(1- c)(1- d) >1- a - b - c - d
*Ví dụ 9: Chứng minh rằng: a4 + b4 + c4 abc(a + b + c) với mọi a, b, c 
Hướng dẫn
áp dụng ví dụ 1 
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
*Ví dụ 10: Chứng minh bất đẳng thức:
<1 Hướng dẫn
Ta có: 
 suy ra
4. Sử dụng một số bất đẳng thứcđã biết
Xuất phát từ các bất đẳng thức đã biết như bất đẳng thức Côsi, bất đẳng thức Bunhiacôpxki,  để chứng minh bất đẳng thức đã cho.
Chú ý: Khi sử dụng các bất đẳng thức đã cho cần xét đến điều kiện.
* Ví dụ 12: Cho a, b là 2 số dương. Chứng minh (a + b) .(ab + 1) ³ 4ab.
* Hướng dẫn:
Vì a > 0, b > 0 ị ab > 0áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 cặp số dương (a, b) và (ab;1) ta có:
Vì 2 của các bất đẳng thức (1) và (2) đều dương nên ta có
 Vậy (a + b) . (ab + 1) ³ 4ab
Dấu "=" xảy ra khi	 
* Ví dụ 13: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki chứng minh:
a - Cho x, y ẻ R thoả mãn x2 + y2 = 1. Chứng minh: 
b- Cho x, y ẻ R thoả mãn x + 2y = 2. Chứng minh: 
Hướng dẫn:
a) áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có:
(x + y)2 = (1 . x + 1 . y)2 Ê (12 + 12) . (x2 + y2) Û (x + y) 2Ê 2(x2 + y2) Û (x + y)2Ê 2 ( ... Sau đó chứng minh bất đẳng thức theo biến mới là đúng.
 Kết luận bất đẳng thức đã cho là đúng.
*Ví dụ 21:	 Cho a + b + c = 1. Chứng minh rằng a 2 + b2 + c2 
Hướng dẫn:
Đặt a = +x, b =+y, c =+z. Vì a + b + c = 1 nên x + y + z = 0.	a 2+ b2+c2= (+x)2+(+y)2+(+z)2
Dấu ''='' x = y = z = 0 +Ta cũng có bài tán tổng quát Cho 
Nhận xét chung:
Trên đây là một số phương pháp phổ biến dùng để chứng minh bất đẳng thức ngoài ta cùng còn một số phương pháp khác nhưng ít dùng hơn.
Để học tốt về bất đẳng thức học sinh cần nắm vững các phương pháp cơ bản tuỳ theo đặc thù từng bài cụ thể mà vận dụng linh hoạt các phương pháp đó. 
	Cần lưu ý rằng một bài toán có thể vận dụng nhiều cách chứng minh.
một số bài toán chứng minh bất đẳng thức
Trong phần này tôi trình bày theo hướng sau:
1. Nêu các bài toán cụ thể, hướng dẫn học sinh phân tích, tổng hợp, suy luận và đi đến áp dụng theo từng dạng đã được cụ thể ở phần II.
2. Với từng bài toán, lựa chọn các phương pháp giải ngắn gọn, hợp với khả năng của học sinh.
3. Đi vào giải từng dạng cụ thể và đánh giá kết quả.
Bài số 1: Cho a, b, c > 0 chứng minh rằng:
+ Cách 1: Lựa chọn phương pháp dùng định nghĩa:
Hướng dẫn: 
Xét hiệu
(Vì: ab > 0; bc > 0; ac > 0) do a, b, c > 0
Từ đó suy ra
Dấu đẳng thức xảy ra khi A = 0	Û a - b = b - c = a - c = 0	Û a = b = c
Phương pháp này đơn giản nhưng chỉ áp dụng được với các bài toán dễ.
+ Cách 2 : Lựa chọn phương pháp bất đẳng thức Côsi, kết hợp với tính chất của bất đẳng thức.
Hướng dẫn:
ở đây bất đẳng thức cần chứng minh là tích của hai tổng không âm vì a, b, c > 0.
Do vậy chúng ta có thể kết hợp với tính chất của bất đẳng thức:
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương a, b, c và 3 số dương Ta có: 
Nhân từng vế của (1) và (2) ta có: Điều phải chứng minh
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
Nhận xét: 
+ Học sinh phải biết suy đoán và tổng hợp các kiến thức cơ bản và các bất đẳng thức đặc biệt để áp dụng. Dùng phương pháp này ngắn gọn, nhưng phải lý luận chặt chẽ đối với từng bài toán, tránh mắc phải sai lầm.
+ Mở rộng từ bài toán trên với 3 số a, b, c dương ta có bài toán tổng quát sau:
Cho a1, a2, a3 ........ an là n số dương thì ta có:
Bài số 2: 
Cho a, b, c là cạnh của tam giác: Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac)
Hướng dẫn: 
Sử dụng bất đẳng thức tam giác. Vì là 3 cạnh của 1 tam giác nên.
	(a + b) > c	Û (a + b) c > c2 (1)
	(a + c) > b	Û (a + c) b > b2 (2)
	(b + c) > a	Û (b + c) a > a2 (3)
Cộng từ vế của (1); (2); (3) ta có:
a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac). Điều phải chứng minh.
Bài số 3:
Cho hàm số f(x) = (x + 3) (5 - x) với -3 Ê x Ê 5
Xác định x sao cho f(x) đạt giá trị lớn nhất
* Sử dụng bất đẳng thức Côsi
Chú ý:
1. Tổng của hai số không âm mà không đổi thì tích hai số lớn nhất khi hai số bằng nhau.
2. Tích của hai số không âm là một số không đổi thì tổng đạt giá trị nhỏ nhất khi hai số bằng nhau.
Hướng dẫn:
Nhận xét: Với - 3 Ê x Ê 5 thì (x + 3) và (x - 5) đều là hai số không âm.
Vậy áp dụng vào bài toán cụ thể trên ta có tổng hai số (x + 3) + (5 - x) = 8 là một hằng số thì tích (x + 3)(5 - x) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi.
	 x + 3 = 5 - x 2x = 2 
Vậy với x = 1 thì f(x) = (x - 3)(5 - x) đạt giá trị lớn nhất và giá trị đó là: fmax = 16.
Bài số 4: Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2. Gọi S là diện tích của tam giác. 
Hãy chứng minh a2 + b2 + c2 + 2abc ³ 
Hướng dẫn:
Bài toán đặt ra là tam giác ABC có chu vi bằng 2 nghĩa là a + b + c = 2. Suy ra: Max (a; b; c) < 1.
Suy ra 1 - a > 0; 1 - b > 0; 1 - c > 0 Đến đây ta có thể áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương 
1 - a; 1 - b; 1 - c. 
Mà: a + b + c = 2
Trong bất đẳng thức (1) thì dấu bằng xảy ra khi a = b = c =
Ta có: (1 - a)(1 - b)(1 - c) = 1 + ab + ac + bc - (a + b + c) - abc
Mà a + b + c = 2; Do đó ta có:
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = Hay ABC là tam giác đều có cạnh là 
Bài số 5: Giả sử: x + y + z = a; xy + yz + zx = b . Chứng minh rằng:
Max {x; y; z- min {x; y; z Ê 
Hướng dẫn:
Đây là bài toán mà khi giải cần phải suy luận, phán đoán, tổng hợp các dạng mà chọn ta thấy rằng 3 số x, y, z đóng vai trò như nhau.
Nên có thể giả sử: x y z	Ta nhận thấy a2 - 3b = (x + y + z)2 - 3(xy + yz + zx)
	 = x2 + y2 + z2 - (xy + yz + zx) ³ 0.
Khi có bất đẳng thức cần chứng minh có dạng tương đương sau:
	Û 9(z - x)2 Ê 16(x2 + y2 + z2 - xy - yz - xz)
Û 9(z - x)2 Ê 8[(x - y)2 + (z - y)2 + (z - x)2]	Û (z - x)2 Ê 8[(x - y)2 + (z - y)2 ] (1)
Đến đây áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho 2 dãy số (x - y); (y - z) và 1; 1. Ta có:
2.[(x - y)2 + (y - z)2] ³ (x - z)2	(2) Từ (2) suy ra (1) hiển nhiên đúng. Đó là điều phải chứng minh.
Nhận xét: - Nhìn vào bài toán học sinh tưởng rằng rất khó và rất phức tạp. Nhưng chỉ cần nhìn nhận rằng vai trò của x, y, z là đối xứng thì mấu chốt của bài toán đã được tháo gỡ.
- Đi đến áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki. Học sinh phải phân tích và tìm được hai dãy số x - y; y - z và 1; 1 thì mới áp dụng và đi đến kết quả được.
Bài số 6: Cho 3 số dương a, b, c. Hãy chứng minh.
Hướng dẫn:
Nhìn vào bài toán này học sinh có thể áp dụng ngay bất đẳng thức Côsi nhưng sẽ phức tạp và sẽ không đi đến lời giải được. Vậy ở đây chúng ta giải như sau: Vì a; b; c > 0 nên:
Cộng (1), (2), (3) theo từng vế ta có: 
Đó là điều phải chứng minh: Dấu "=" Û a = b = c
Bài số 7: 
Chứng minh rằng nếu n ³ 3 , n là số tự nhiên. Thì 
Hướng dẫn:
 Nhìn vào bài toán học sinh cảm nhận rất khó, chưa biết áp dụng cách giải nào. Nhưng ở đây ta biến đổi bất đẳng thức đã cho về dạng đơn giản hơn:
Vì 2 vế đều dương luỹ thừa cả hai vế bậc n(n + 1) ta có:
nn + 1 > (n + 1)n Û n > (1 + )n	(1) áp dụng phương pháp quy nạp:
- Với n = 3 thì (1) có dạng: Vậy (1) đúng với n = 3.
- Giả sử (1) đúng khi n = k > 3 tức là k > (2)
- Phải chứng minh đúng với n = k +1
Ta có k > 
Do đó (1) đúng với n = k + 1. Vậy nếu n ³ 3, n là số tự nhiên. Thì 
Bài số 8: Giải phương trình: x2 + y2 + z2 = x(y + z)
Hướng dẫn
 Ta chứng minh: x2 + y2 + z2 ³ xy + xz	(1)
 Bất đẳng thức (1) Û 2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2xz ³ 0	 Û (x – y)2 + (y - z)2 + y2 + z2 ³ 0 (2)
Xảy ra dấu "=" Û x = y = z = 0	Vậy x = y = z = 0 là nghiệm của phương trình.
Bài số 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:	A = ẵx - 2006ẵ+ẵx - 2007ẵ
Hướng dẫn:
áp dụng bất đẳng thức ẵaẵ + ẵbẵ ³ ẵa + bẵ
Ta có:	A = ẵx - 2006ẵ + ẵx - 2007ẵ	 = ẵx - 2006ẵ + ẵ2007 - xẵ³ ẵx - 2006 + 2007 - xẵ = 1	 ị A ³ 1
Dấu "=" xảy ra Û (x - 2006)(2007 - x) ³ 0	 Û 2006 Ê x Ê 2007	Vậy Min A = 1 Û 2006 Ê x Ê 2007
Bài số 10: Cho x2 + y2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất của A = ẵ3x + 4yẵ
Hướng dẫn:
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki.	(3x + 4y)2 Ê (32 + 42)(x2 + y2) = 25 . 1 = 25	ị ẵ3x + 4yẵ Ê 5
	Max A = 5 Û x2 + y2 = 1
Max A = 5 Û (x, y) = 
Bài số 11: Chứng minh: Trong một tam giác ABC ta có ha + hb + hc ³ 9r trong đó ha, hb, hc là 3 chiều cao của tam giác còn r là bán kính đường tròn nội tiếp.
Hướng dẫn:
Trong mọi tam giác ta luôn có (dùng công thức tính diện tích tam giác).
áp dụng bất đẳng thức: 
Ta có:
	ị ha + hb + hc ³ 9 r (Điều phải chứng minh)
Dấu "=" xảy ra Û D ABC đều.	
Bài số 12: 
Cho tam giác ABC vẽ 3 phân giác AA', BB’, CC' gọi a1, b1, c1 tương ứng là các khoảng cách từ A' đến AB, B' đến BC và C' đến AC gọi. ha, bb, hc là 3 chiều cao của tam giác kẻ từ A, B, C.
Chứng minh rằng: 
Hướng dẫn:	
Kẻ AH ^ BC, A'K ^ AB 
ị AH = ha, A'K = a1
Trong D AA'B có BA'. ha = c.a1 = 2SAA'B
ị
Do AA' là phân giác của ABC nên ta có: 
Tương tự:
Như vậy: 
Các bài tập tự luyện tập:
Bài số 1: Chứng minh rằng: 
Bài số 2: Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.
Chứng minh:
a) abc ³ (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)
b) a(b - c)2 + b(c - a)2 + c(a - b)2 + 3abc Ê a3 + b3 + c3.
Bài số 3: Cho phương trình: (x2 + 4)(y2 + 9) = 24xy (1).
Tìm nghiệm nguyên dương x, y của phương trình.
Bài số 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x(x - 3)(x - 4)(x - 7).
Bài số 5: Tìm giá trị lớn nhất của biết x, y là các số hữu tỷ khác 0 và cùng dấu, đồng thời thoả mãn: x3 + y2 + 3(x2 + y2) + 4(x + y) + 4 = 0.
Bài số 6: Cho a, b, c là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
Bài số 7: Chứng tỏ 
Bài số 8: Chứng minh rằng với mọi m, n không âm ta luôn có
 mn.( m + n) m3 + n3
Bài số 9: Cho hai số dương a và b.
 Chứng minh rằng a4 + b4 ab.(a2 + b2)
Bài số 10: Cho tam giác ABC, O là điểm tuỳ ý trong tam giác. Các tia AO, BO, CO cắt các cạnh tam giác ABC thứ tự A', B', C'. Tìm vị trí O để:
iv. kết quả thực hiện:
Khi giảng dạy một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức, tôi thấy khi mới bước vào loại bài tập này, học sinh rất lúng túng. Rất nhiều em không xác định được hướng giải hoặc không nhớ cách giải khi gặp các bài tập tương tự. Những em khá hơn thì giải thường thiếu sót, không chặt chẽ và hay mắc sai lầm. Sau một thời gian giảng dạy tôi đã thử nghiệm với các đối tượng khác nhau, trước và sau khi áp dụng kinh nghiệm thu đựơc kết quả như sau:
1. Học sinh đại trà:
Tổng số học sinh: 40 em
Qua khảo sát thực tế đạt tỷ lệ như sau:
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Trước khi áp dụng
5%
15%
40%
40%
Sau khi áp dụng
15%
20%
50%
15%
2. Bồi dưỡng học sinh giỏi:
Từ năm học 2001 – 2002 đến nay tôi thường phụ trách việc bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8, Toán 9. Năm nào cũng có học sinh giỏi cấp Huyện, có năm 2 em đi thi thì đạt cả 2 với số điểm khá cao.Để đạt được kết quả như vậy đầu tiên phải có sự nỗ lực của chính bản thân các em. Bên cạnh đó thầy phải tăng cường đưa ra các bài tập để các em tìm tòi, khám phá từ đó mới tổng hợp lại để các em nắm sâu sắc vấn đề.
V. phạm vi áp dụng của đề tài:
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức được áp dụng trong các tiết dạy bồi dưỡng học sinh giỏi các khối 8, 9 và ôn tập cho các em lớp 9 thi vào THPT.
Phần C: Kết luận
Trên đây, tôi đã tổng hợp lại một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức. Đó là công cụ cần thiết để chứng minh bất đẳng thức. Mỗi phương pháp có một ưu thế riêng của nó, chọn phương pháp nào đòi hỏi tính linh hoạt và khả năng nhìn nhận tổng quát, khả năng khai thác, khả năng phân tích đặc điểm các yếu tố trong bài toán đó. Đây không phải là khả năng tự có của mỗi người mà phải trải qua quá trình ren luyện lâu dài cùng với kiến thức được trang bị một cách có hệ thống, lôgic.
Qua nghiên cứu đề tài và thực tế giảng dạy tôi thấy học sinh tiếp thu bài tốt hơn, có hứng thú giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức và một số dạng toán có liên quan.
Vì dạng toán này được đánh giá là khó do đó khi hướng dẫn học sinh giáo viên cũng cần chú ý điều này để hiệu quả của đề tài cũng như việc giảng dạy được cao hơn.
Mặc dù bản thân đã có nhiều cố gắng song không thể tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến xây dựng của đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện.
Tôi xin chân thành cảm ơn!