Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Năm học 2009-2010

Ngày soạn: 20/02/2010
Tuần dạy: 25
Chuyên đề i: Biến đổi biểu thức đại số
Mục tiêu:
HS nắm được các hằng đẳng thức đáng nhớ, đặc biệt là các hằng đẳng thức mở rộng, tam giác Pascal
Biến đổi thành thạo các biểu thức nguyên
Rèn tính cẩn thận, tính sáng tạo, chủ động trong học tập.
Phương tiện:
GV: giáo án, tài liệu Casio.
HS: Máy tính Casio.
C. Nội dung bài giảng:
a – biển đổi biểu thức nguyên
I. Một số hằng đẳng thức cơ bản
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 ;
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ;
 = ;
(a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 = a3 ± b3 ± 3ab(a ± b);
 (a ± b)4 = a4 ± 4a3b + 6a2b2 ± 4ab3 + b4 ;
a2 – b2 = (a – b)(a + b) ;
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ; 
an – bn = (a – b)(an – 1 + an – 2b + an – 3b2 +  + abn – 2 + bn – 1) ;
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) 
a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b5) ;
a2k + 1 + b2k + 1 = (a + b)(a2k – a2k – 1b + a2k – 2b2 –  + a2b2k – 2 – ab2k – 1 + b2k) ;
II. Bảng các hệ số trong khai triển (a + b)n Tam giác Pascal
Đỉnh
1
Dòng 1 (n = 1)
1
1
Dòng 2 (n = 2)
1
2
1
Dòng 3 (n = 3)
1
3
3
1
Dòng 4 (n = 4)
1
4
6
4
1
Dòng 5 (n = 5)
1
5
10
10
5
1
 Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm các số 1 ; dòng k + 1 được thành lập từ dòng k (k ≥ 1), chẳng hạn ở dòng 2 ta có 2 = 1 + 1, ở dòng 3 ta có 3 = 2 + 1, 3 = 1 + 2, ở dòng 4 ta có 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 = 3 + 1, Khai triển (x + y)n thành tổng thì các hệ số của các hạng tử là các số trong dòng thứ n của bảng trên. Người ta gọi bảng trên là tam giác Pascal, nó thường được sử dụng khi n không quá lớn. Chẳng hạn, với n = 4 thì :
 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
và với n = 5 thì :
 (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 10ab4 + b5
II. Các ví dụ
 Ví dụ 1. Đơn giản biểu thức sau : 
A = (x + y + z)3 – (x + y – z)3 – (y + z – x)3 – (z + x – y)3.
Lời giải
 A = [(x + y) + z]3 – [(x + y) – z]3 – [z – (x – y)]3 – [z + (x – y)]3
 = [(x + y)3 + 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 + z3] – [(x + y)3 – 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 – z3] –
 – [z3 – 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 – (x – y)3] – [z3 + 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 + (x – y)3] 
 = 6(x + y)2z – 6z(x – y)2 = 24xyz 
 Ví dụ 2. Cho x + y = a, xy = b (a2 ≥ 4b). Tính giá trị của các biểu thức sau :
 a) x2 + y2 ; b) x3 + y3 ; c) x4 + y4 ; d) x5 + y5
Lời giải
x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b 
x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = a3 – 3ab
x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 – 4a2b + 2b2
(x2 + y2)(x3 + y3) = x5 + x2y3 + x3y2 + y5 = (x5 + y5) + x2y2(x + y)
Hay : (a2 – 2b)(a3 – 3ab) = (x5 + y5) + ab2 ị x5 + y5 = a5 – 5a3b + 5ab2
 Chú ý : a6 + b6 = (a2)3 + (b2)3 = (a3)2 + (b3)2
	 a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b)
 = (a2 + b2)(a5 + b5) – a2b2(a3 + b3)
 Ví dụ 3. Chứng minh các hằng đẳng thức :
a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) ;
(a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a)
Lời giải
a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 + c3 – 3abc – 3a2b – 3ab2
 = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2] – 3ab(a + b + c)
 = (a + b + c) [(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab] 
 = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) 
(a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = [(a + b + c)3 – a3] – (b3 + c3)
= (b + c)[(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2] – (b + c)(b2 – bc + c2)
= (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)]
= 3(a + b)(b + c)(c + a)
 Ví dụ 4. Phân tích biểu thức sau thành nhân tử :
A = x3 – 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3)
Lời giải
 Đặt S = a + b và P = ab, thì a2 + b2 = ; a3 + b3 = . Vì vậy :
 A = x3 – 3()x + 2() = 
 = 
 = 
 = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a + b)2 + 6ab]
 = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a2 
 Ví dụ 5. Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2)
Lời giải
 Vì x + y + z = 0 nên x + y = –z ị (x + y)3 = –z3
 Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = –z3 ị 3xyz = x3 + y3 + z3
 Do đó : 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2)
 	= x5 + y5 + z5 + x3(y2 + z2) + y3(z2 + x2) + z3(x2 + y2)
 Mà x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = z2 – 2xy (vì x + y = –z). Tương tự :
	 y2 + z2 = x2 – 2yz ; z2 + x2 = y2 – 2zx.
 Vì vậy : 3xyz(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(x2 – 2yz) + y3(y2 – 2zx) + z3(z3 – 2xy)
	 = 2(x5 + y5 + z5) – 2xyz(x2 + y2 + z2) 
 Suy ra : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (đpcm)
Bài tập
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
x3 + 4x2 – 29x + 24 ;
x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 ;
(x2 – x + 2)2 + (x – 2)2 ;
6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + 1 ;
x6 + 3x5 + 4x4 + 4x3 + 4x2 + 3x + 1.
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
x8 + x4 + 1;
x10 + x5 + 1 ;
x12 + 1 ;
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : 
(x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 ;
(x + y + z)5 – x5 – y5 – z5.
Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14. Tính giá trị của biểu thức : A = a4 + b4 + c4.
Cho x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0. Tính giá trị của biểu thức :
B = (x – 1)2007 + y2008 + (z + 1)2009.
Cho a2 – b2 = 4c2. Chứng minh rằng : (5a – 3b + 8c)(5a – 3b – 8c) = (3a – 5b)2.
Chứng minh rằng nếu (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 =
 = (x + y – 2z)2 + (y + z – 2x)2 + (z + x – 2y)2 thì x = y = z.
 a) Chứng minh rằng nếu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 và x, y khác 0 thì . 
 b) Chứng minh rằng nếu (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 và x, y, z khác 0 thì .
Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng :
5(x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = 6(x5 + y5 + z5) ;
x7 + y7 + z7 = 7xyz(x2y2 + y2z2 + z2x2) ;
10(x7 + y7 + z7) = 7(x2 + y2 + z2)(x5 + y5 + z5).
Chứng minh các hằng đằng thức sau :
(a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 ;
x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2.
Cho các số a, b, c, d thỏa mãn a2 + b2 + (a + b)2 = c2 + d2 + (c + d)2. 
 Chứng minh rằng : a4 + b4 + (a + b)4 = c4 + d4 + (c + d)4
 Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1. Tính giá trị của biểu thức : C = a2 + b9 + c1945.
 Hai số a, b lần lượt thỏa mãn các hệ thức sau :
a3 – 3a2 + 5a – 17 = 0 và b3 – 3b2 + 5b + 11 = 0. Hãy tính : D = a + b.
 Cho a3 – 3ab2 = 19 và b3 – 3a2b = 98. Hãy tính : E = a2 + b2.
 Cho x + y = a + b và x2 + y2 = a2 + b2. Tính giá trị của các biểu thức sau :
a) x3 + y3 ; b) x4 + y4 ; c) x5 + y5 ; d) x6 + y6 ; 
e) x7 + y7 ; f) x8 + y8 ; g) x2008 + y2008.
Ngày soạn: 27/02/2010
Tuần dạy: 26
Chuyên đề i: Biến đổi biểu thức đại số
Mục tiêu:
HS tiếp tục được củng cố các hằng đẳng thức đáng nhớ.
Biến đổi thành thạo các biểu thức hữu tỉ.
Rèn tính cẩn thận, tính sáng tạo, chủ động trong học tập.
Phương tiện:
GV: giáo án, tài liệu Casio.
HS: Máy tính Casio.
C. Nội dung bài giảng:
B – biển đổi phân thức hữu tỉ
Ví dụ 5. 
Chứng minh rằng phân số là phân số tối giản "nẻN ;
Cho phân số (nẻN). Có bao nhiêu số tự nhiên n nhỏ hơn 2009 sao cho phân số A chưa tối giản. Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó.
Lời giải
Đặt d = ƯCLN(5n + 2 ; 3n + 1) ị 3(5n + 2) – 5(3n + 1) M d hay 1 M d ị d = 1.
 Vậy phân số là phân số tối giản.
Ta có . Để A chưa tối giản thì phân số phải chưa tối giản. Suy ra n + 5 phải chia hết cho một trong các ước dương lớn hơn 1 của 29.
Vì 29 là số nguyên tố nên ta có n + 5 M 29 ị n + 5 = 29k (k ẻ N) hay n = 29k – 5.
Theo điều kiện đề bài thì 0 ≤ n = 29k – 5 < 2009 ị 1 ≤ k ≤ 69 hay kẻ{1; 2;; 69}
Vậy có 69 số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện đề bài. Tổng của các số này là :
29(1 + 2 +  + 69) – 5.69 = 69690.
 Ví dụ 6. Cho a, b, c ≠ 0 và a + b + c ≠ 0 thỏa mãn điều kiện . 
 Chứng minh rằng trong ba số a, b, c có hai số đối nhau. Từ đó suy ra rằng :
.
Lời giải
 Ta có : Û 
 Û Û 
 Û (a + b)(b + c)(c + a) = 0 Û Û ị đpcm.	 
 Từ đó suy ra : 
	 ị .
 Ví dụ 7. Đơn giản biểu thức :
.
Lời giải
Đặt S = a + b và P = ab. Suy ra : a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = 
	a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = .
	Do đó : 
 Ta có : A = 
 = 
 Hay A = 
 Ví dụ 8. Cho a, b, c là ba số phân biệt. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x :
.
	Lời giải
 Cách 1
 = Ax2 – Bx + C
 với : ;
 ;
 Ta có : ;
 ;
 .
 Vậy S(x) = 1"x (đpcm).
 Cách 2
 Đặt P(x) = S(x) – 1 thì đa thức P(x) là đa thức có bậc không vượt quá 2. Do đó, P(x) chỉ có tối đa hai nghiệm.
 Nhận xét : P(a) = P(b) = P(c) = 0 ị a, b, c là ba nghiệm phân biệt của P(x).
 Điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi P(x) là đa thức không, tức là P(x) = 0 "x.
 Suy ra S(x) = 1 "x ị đpcm.
 Ví dụ 9. Cho . Tính giá trị của các biểu thức sau :
 a) ; b) ; c) ; d) .
Lời giải
 a) ;
 b) ;
 c) ;
 d) ị D = 7.18 – 3 = 123.
 Ví dụ 10. Xác định các số a, b, c sao cho : .
Lời giải
 Ta có : 
 Đồng nhất phân thức trên với phân thức , ta được :
 . Vậy .
Bài tập
 Cho phân thức .
Rút gọn P ;
Chứng minh rằng nếu n là số nguyên thì giá trị của phân thức tìm được trong câu a) tại n luôn là một phân số tối giản.
 a) Chứng minh rằng các phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n : 
 .
 b) Chứng minh rằng phân số không tối giản với mọi số nguyên dương n.
 c) Tính tổng các số tự nhiên n nhỏ hơn 100 sao cho là phân số chưa tối giản.
 Tính các tổng sau :
;
 ;
;
 ;
 ;
 (k! = 1.2.3k)
 Rút gọn : .
 Rút gọn : .
Thực hiện các phép tính :
;
;
.
 a) Biết a – 2b = 5, hãy tính giá trị của biểu thức : ;
 b) Biết 2a – b = 7, hãy tính giá trị của biểu thức : ;
 c) Biết 10a2 –3b2 + 5ab = 0 và 9a2 – b2 ≠ 0, hãy tính : .
 Cho a + b + c = 0. Tính giá trị của các biểu thức sau :
 a) ;
 b) ;
Rút gọn biểu thức : .
Cho . Chứng minh rằng .
 Cho a + b + c = 0, x + y + z = 0 và . Chứng minh rằng 
ax2 + by2 + cz2 = 0.
 Cho x2 – 4x + 1 = 0. Tính giá trị của các biểu thức A = x5 + và B = x7 + .
 Cho Tính và .
 Cho dãy số a1, a2, a3,  sao cho : ; ;  ; .
a) Chứng minh rằng a1 = a5.
b) Xác định năm số đầu của dãy, biết rằng a101 = 108.
Ngày soạn: 06/03/2010
Tuần dạy: 27
Chuyên đề Ii: phân tích đa thức thành nhân tử
Mục tiêu:
HS nắm được các phương pháp cơ bản và nâng cao khi phân tích đa thức thành nhân tử.
Thực hiện thành thạo dạng toán phân tích này.
Biết được mối liên hệ giữa các phương pháp và sử dụng hợp lý vào bài toán.
Rèn tính cẩn thận, tính sáng tạo, chủ động trong học tập.
Phương tiện:
GV: giáo án, tài liệu Casio.
HS: Máy tính Casio.
C. Nội dung bài giảng:
I- Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác:
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
II- Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử
1) Dạng 1: Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu của hai bình phương: A2 – B2 = (A – B)(A + B)
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
2) Dạng 2: Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện thừa số chung
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
III- Phương pháp đổi biến
Bài 1:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
IV- Phương pháp xét giá trị riêng
Phương pháp: Trước hết ta xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các gi ...  4
- Nếu n = 0 thì A = 0, không là số nguyên tố
- Nếu n = 4 thì A = 7, là số nguyên tố
-Nếu n = 4k với kZ, k > 1 thì A = k(4k + 3) là tích của hai thừa số lớn hơn 1 nên A là hợp số 
- Nếu n + 3 = 4 thì A = 1, không là số nguyên tố
- Nếu n + 3 = 4k với kZ, k > 1 thì A = k(4k - 3) là tích của hai thừa số lớn hơn 1 nên A là hợp số.
Vậy với n = 4 thì là số nguyên tố 7
Bài 7: Đố vui: Năm sinh của hai bạn
Một ngày của thập kỷ cuối cùng của thế kỷ XX, một nhườ khách đến thăm trường gặp hai học sinh. Người khách hỏi:
Có lẽ hai em bằng tuổi nhau?
Bạn Mai trả lời:
Không, em hơn bạn em một tuổi. Nhưng tổng các chữ số của năm sinh mỗi chúng em đều là số chẵn.
Vậy thì các em sinh năm 1979 và 1980, đúng không?
Người khách đã suy luận thế nào?
Giải:
Chữ số tận cùng của năm sinh hai bạn phảI là 9 và 0 vì trong trường hợp ngựoc lại thì tổng các chữ số của năm sinh hai bạn chỉ hơn kém nhau là 1, không thể cùng là số chẵn.
Gọi năm sinh của Mai là thì 1 +9+a+9 = 19 + a. Muốn tổng này là số chẵn thì a{1; 3; 5; 7; 9}. Hiển nhiên Mai không thể sinh năm 1959 hoặc 1999. Vậy Mai sinh năm 1979, bạn của Mai sinh năm 1980.
Ngày soạn: 10/04/2010
Tuần dạy: 32
Chuyên đề VI: Tam giác – phân giác
Mục tiêu:
HS nắm được các phương pháp cơ bản và nâng cao khi tìm hiểu các bài toán chứng minh về phân giác trong tam giác
Rèn kỹ năng suy luận lôgic, kỹ năng chứng minh hình học.
Biết được mối liên hệ giữa các phương pháp và sử dụng hợp lý vào bài toán.
Rèn tính cẩn thận, tính sáng tạo, chủ động trong học tập.
Phương tiện:
GV: giáo án, tài liệu Casio.
HS: Máy tính Casio, dụng cụ vẽ hình.
C. Nội dung bài giảng:
1. Các bài toán tổng quát về đường phân giác
1/ Cho D ABC vụựi AB > AC . ẹieồm M ( khaực A ) thuoọc ủửụứng phaõn giaực trong vaứ N ( khaực A ) thuoọc ủửụứng phaõn giaực ngoaứi cuỷa goực A . Chửựng minh raống :
	a/ AB – AC > MB – MC 
	b/ AB + AC < NB + NC .
2/ Ba ủửụứng phaõn giaực trong AD , BE , CF cuỷa D ABC gaởp nhau taùi O . Tửứ O dửùng OG vuoõng goực vụựi BC . 
	a/Chửựng minh goực BOD = goực COG . b/Tớnh goực BOC theo A .
	c/Tớnh goực GOD theo goực B vaứ goực C . 
3/ Cho D ABC , caực ủửụứng phaõn giaực AA’, BB’, CC’. Goùi L laứ giao ủieồm cuỷa AA’ vaứ B’C’ , K laứ giao ủieồm cuỷa CC’ vaứ A’B’ . Chửựng minh : BB’ laứ phaõn giaực cuỷa goực KBL .
4/ Cho D ABC coự doọ daứi 3 caùnh laứ a,b,c vaứ la , lb , lc laứ ủoọ daứi 3 ủửụứng phaõn giaực ửựng vụựi caực caùnh BC , CA , AB . Chửựng minh : 
B
D
C
A
E
 	HệễÙNG DAÃN
c
	Chuự yự vaứ nhaọn xeựt :
	+ Ta coự theồ taùo ra moọt ủoaùn thaỳng baống b+c baống caựch
 <2c 	tửứ B veừ tia Bx // Ac caột AC taùi E .
c
b
	+ Ta chửựng minh ( vaứ tửụng tửù 	
a
	 la	 vụựi caực trửụứng hụùp coứn laùi ) baống caựch tớnh BE ( lieõn 
 	 quan ủeỏn b , c , la ) .
 	Qua B veừ ủửụứng thaỳng song song vụựi ủửụứng thaỳng AD caột CA taùi E . D ABE caõn taùi E . Xeựt D ABE ta coự : BE < AB + AE = 2AB = 2c .
	Xeựt D CBE ta coự : AD // BE ị 
 Û ị 
Chửựng minh tửụng tửù ta coự : 	
	Laỏy (1) + (2) +(3) suy ra ủieàu phaỷi chửựng minh .
5/ Cho tam giaực ABC coự caực phaõn giaực AY , BZ , CX . Chửựng minh raống : 
HệễÙNG DAÃN
	Nhaọn xeựt vaứ chuự yự :
A
	+ Baứi toaựn cho caực ủửụứng phaõn giaực neõn haừy chuự
B
C
Y
Z
X
	yự ủeỏn tớnh chaỏt ủửụứng phaõn giaực cuỷa tam giaực .
 	+ Baứi toaựn yeõu caàu chửựng minh moọt baỏt ủaỳng thửực
	 	neõn haừy chuự yự ủeỏn caực BẹT trong ủoự chuự yự ủeỏn 
	BẹT Coõsi .
 Aựp duùng baỏt ủaỳng thửực Cosi cho 3 soỏ dửụng ta coự :
Theo tớnh chaỏt ủửụứng phaõn giaực : 
 Do ủoự 
	Daỏu “=” xaỷy ra khi vaứ chổ khi a = b = c tửực D ABC ủeàu .
6/ Cho D ABC , ba ủửụứng phaõn giaực trong AD , BE , CF . Chửựng minh ủieàu kieọn caàn vaứ ủuỷ ủeồ tam giaực ABC ủeàu laứ SDEF = ẳ SABC .
8/ Cho D ABC coự ủoọ daứi ba caùnh laứ a , b , c . Veừ caực phaõn giaực AD , BE , CF .Chửựng minh 
 SDEF Ê ẳ SABC , daỏu “=” xaỷy ra Û D ABC ủeàu .
2.TÍNH ẹOÄ LễÙN CUÛA GOÙC
1/ Cho D ABC , caực ủửụứng phaõn giaực trong BD , CE . Tớnh soỏ ủo caực goực cuỷa tam giaực neỏu BDE = 240 , CED = 180 .
2/ Cho D ABC , caực goực B vaứ C coựựự tổ leọ 3 : 1 , phaõn giaực cuỷa goực A chia dieọn tớch tam giaực theo tổ soỏ 2: 1 . Tớnh caực goực cuỷa tam giaực .
3.HAI ẹệễỉNG PHAÂN GIAÙC 
1/ Cho D ABC coự hai ủửụứng phaõn giaực trong BD , CE caột nhau taùi I . Bieỏt ID = IE . Chửựng minh raống hoaởc D ABC caõn taùi A hoaởc BAC = 600 .
HệễÙNG DAÃN
	 A
	 E’
	 D	 E
	 I
	C	B
 AI laứ ủửụứng phaõn giaực cuỷa goực A . Khi ủoự hai D IEA vaứ D IDA coự theồ xaỷy ra hai trửụứng hụùp :
a/ D IEA = D IDA . Khi ủoự : 
BAD = CAE ; AD = AE ; BDA = CEA ị D ABD = D ACE ( g – c – g ) ị AB = AC ị 
D ABC caõn taùi A .
b/ D IEA vaứ D IDA khoõng baống nhau ị D ABC khoõng caõn ụỷ A . 
	Khoõng maỏt tớnh toồng quaựt ta giaỷ sửỷ : C > B . Laỏy ủieồm E’ treõn AB sao cho IE’ = IE = ID . ị D IE’E caõn ị IE’E = IEE’ ị BEI = IE’A = IDA 
Xeựt tửự giaực ADIE coự : D + E = 1800 ị A + DIE = 1800 ị A + BIE = ICB + IBC 
ị 2A = 2ICB + 2IBC = C + B . Maứ BIE + DIE = 180 0 vaứ A + B + C = 1800 ị A + 2A = 1800 ị A = 600 .
4.CệẽC TRề
1/ Cho D ABC vụựi AB Ê AC vaứ AD laứ ủửụứng phaõn giaực trong . Laỏy ủieồm M treõn caùnh AB vaứ ủieồm N treõn caùnh AC sao cho BM.CN = k khoõng ủoồi ( k < AB2 ) . Xaực ủũnh vũ trớ cuỷa M , N sao cho dieọn tớch cuỷa tửự giaực AMDN laứ lụựn nhaỏt .
HệễÙNG DAÃN
	Nhaọn xeựt : 
A
B
C
D
H
M
K
N
	1/ BM + CN ³ 
	2/ SAMDN = SAMD + SADN
	3/ M
k
1 ủv
H
	 B 	 E	
Haù DH , DK vuoõng goực vụựi AB vaứ AC . Ta coự : DH = DK = haống soỏ ( AD laứ phaõn giaực cuỷa goực A ) 
	2SAMDN = 2SADM + 2SADN = DH.AM + DK.AN = DH( AM + AN ) 
 = DH [AB+AC – (BM+CN)] (1)
	Aựp duùng baỏt ủaỳng thửực Coõsi cho hai soỏ dửụng BM , CN :
	BM + CN ³ , daỏu “ = “ xaỷy ra Û BM = CN . Thay vaứo (1) ta ủửụùc : 
2SAMDN Ê DH(AB+AC-)
Dieọn tớch tửự giaực AMDN lụựn nhaỏt khi BM = CN = < AB Ê AC .
Luực ủoự SAMDN = ẵ (AB+AC - ) . Deó daứng dửùng ủửụùc caực ủoaùn thaỳng BM , CN theo heọ thửực BM2 = CN2 = k.1 ( trong ủoự 1 chổ 1 ủụn vũ daứi ) .
	Caựch dửùng : Treõn BC laỏy E sao cho BE = 1 . treõn BF laỏy H sao cho BH = k . Dửùng ủửụứng troứn ủửụứng kớnh BE , dửùng tia Hx vuoõng goực vụựi BE caột ủửụứng troứn taùi M. BM coự ủoọ daứi caàn dửùng .
Ngày soạn: 18/04/2010
Tuần dạy: 33
Chuyên đề VIi: Tam giác - đường cao – trung tuyến
Mục tiêu:
HS nắm được các phương pháp cơ bản và nâng cao khi tìm hiểu các bài toán chứng minh về đường cao, đường trung tuyến trong tam giác
Rèn kỹ năng suy luận lôgic, kỹ năng chứng minh hình học.
Rèn tính cẩn thận, tính sáng tạo, chủ động trong học tập.
Phương tiện:
GV: giáo án, tài liệu Casio.
HS: Máy tính Casio, dụng cụ vẽ hình.
C. Nội dung bài giảng:
I.Các bài toán về đường cao
1/ Cho D ABC coự a > b > c . Chửựng minh :
	a/ ha < hb < hc
	b/ a + ha ³ b + hb 
2/ Cho D ABC coự ba caùnh laứ a , b , c vaứ ba ủửụứng cao laứ ha , hb , hc . Chửựng minh raống neỏu 
 thỡ tam giaực ABC laứ tam giaực ủeàu ( p laứ nửỷa chu vi cuỷa D ABC .
 3/ Chửựng minh raống neỏu moọt tam giaực coựựự 2 caùnh khoõng baống nhau thỡ toồng cuỷa caùnh lụựn hụn vaứ ủửụứng cao tửụng ửựng lụựn hụn toồng cuỷa caùnh nhoỷ vaứ ủửụứng cao tửụng ửựng . 
4/ Cho D ABC coự caực ủửụứng cao AA’ , BB’ , CC’ . Chieỏu A’ leõn AB , AC , BB’ vaứ CC’ taùi I , J , K , L . Chửựng minh 4 ủieồm I , J , K , L thaỳng haứng . 
5/ Cho D ABC , ủửụứng cao AH . Goùi C’ laứ ủieồm ủoỏi xửựng cuỷa H qua AB . Goùi B’ laứ ủieồm ủoỏi xửựng cuỷa H qua AC . Goùi giao ủieồm cuỷa B’C’ vụựi AC vaứ AB laứ I vaứ K . Chửựng minh BI vaứ CK laứ ủửụứng cao cuỷa D ABC . 
. ẹệễỉNG CAO – CHU VI TAM GIAÙC
1/ Chửựng minh raống moùi D ABC ta ủeàu coự : p2 ³ ha2 + hb2 + hc2 ( p laứ nửỷa chu vi tam giaực ABC )
2/ Cho D ABC . Xaực ủũnh caực ủieồm M , N , P theo thửự tửùù thuoọc caực caùnh BC , CA , AB sao cho chu vi D MNP laứ nhoỷ nhaỏt . 
ẹệễỉNG CAO - BAÁT ẹAÚNG THệÙC - CệẽC TRề
1/ Cho 2 ủieồm A , B coựựỏ ủũnh vaứ ủieồm M di ủoọng sao cho D MAB coựựự 3 goực nhoùn . Goùi H laứ trửùc taõm cuỷa D AMB , K laứ chaõn ủửụứng cao veừ tửứ M . Tỡm giaự trũ lụựn nhaỏt cuỷa KH.KM .
TAM GIAÙC – ẹệễỉNG CAO - PHAÂN GIAÙC
1/ ẹửụứng cao vaứ ủửụứng phaõn giaực veừ tửứ ủổnh A cuỷa DABC taùo thaứnh moọt goực . Tớnh goực ủo theo caực goực B vaứ C cuỷa tam giaực ABC ( hoaởc chửựng minh goực ủoự baống nửỷa hieọu cuỷa hai goực B vaứ C ) 
HệễÙNG DAÃN
 A	 Chuự yự vaứnhaọn xeựt : 	 
	+ D luoõn naốm giửừa H vaứ trung ủieồm M ( seừ chửựng minh	
 B	H D E	C	ụỷ phaàn sau )
 	+ Tỡm caựch taùo ra moọt goực baống B – C hoaởc tớnh B-C .
Caựch 1 : Tửứ A veừ tia AE sao cho CAE = BAH . Suy ra : HAD = DAE , HAE = 2 HAD 
	B = 900 – BAH
	C = 900 – HAE - CAE
 	 B – C = HAE = 2 HAD
Caựch 2 : 	B = 900 – BAH
C = 900 – CAH
 B – C = CAH - BAH = CAD + HAD – ( BAD – HAD ) = 2 HAD 
1.1/ Cho D ABC vaứ ủửụứng phaõn giaực CE . Tửứứ C keỷ ủửụứng thaỳng vuoõng goực vụựi CE caột caùnh AB keựo daứi taùi D. Chửựng minh raống goực EDC baống nửỷa hieọu cuỷa caực goực A vaứ B . 
1.2/ ẹuụứng phaõn giaực ngoaứi keỷ tửứ ủổnh A cuỷa D ABC taùo vụựi caùnh BC moọt goực 300 . Tỡm hieọu cuỷa caực goực C vaứ B ( Cho AB > AC ) . 
1.3/ Chửựng minh raống trong moọt tam giaực neỏu hieọu caực goực ụỷ ủaựy baống 900 thỡ ủửụứng phaõn giaực trong vaứ ủửụứng phaõn giaực ngoaứi cuỷa goực ụỷ ủổnh baống nhau . 	
II. TAM GIAÙC - TRUNG TUYEÁN
1/ Chửựng minh raống trong moùi tam giaực ta coự : 
	(mamb + mbmc + mcma ) < ab + bc + ca < (mamb + mbmc + mcma )
HệễÙNG DAÃN 
 	 A
 P	 N
	Q G
 B M C	
+ Trong moùi tam giaực ta coự : ma + mb + mc < a + b + c 
ị ma2 + mb2 + mc2 + 2(ma + mb + mbmc + mcma ) < a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ca ) ( 1 )
Do : ma2 + mb2 + mc2 = 
Neõn ( 1 ) Û 2(mamb + mbmc + mcma ) < + 2 ( ab + bc + ca ) 
 < + 2 ( ab + bc + ca ) 
	Û (mamb + mbmc + mcma ) < ab + bc + ca ( * )
+ Keỷ PQ // AM ; AM , BN , CP laứ 3 trung tuyeỏn cuỷa D ABC . D PQG coự 3 caùnh laứ : ma ; mb ; mc vaứ 3 trung tuyeỏn laứ ; ; .
	Aựp duùng baỏt ủaỳng thửực ( * ) vaứo D PQG ta coự : 
( < ma .mb + mb .mc + mc .ma
Û ab + bc + ca < (mamb + mbmc + mcma ) .
2/ Cho D ABC , trung tuyeỏn AM . Moọt caựt tuyeỏn D quay quanh troùng taõm G caột AB , AC taùi P vaứ Q . Chửựng minh : khoõng phuù thuoọc vũ trớ cuỷa D . 
3/ Tam giaực ABC coự ẳ AC < AB < 4AC . Moọt ủửụứng thaỳng ủi qua troùng taõm G cuỷa D ABC , caột caực caùnh AB , AC laàn lửụùt taùi E , F . Haừy xaực ủũnh vũ trớ ủieồm E sao cho AE + AF ủaùt giaự trũ nhoỷ nhaỏt . ( Mụỷ roọng baứi treõn )
4/ Cho D ABC , trung tuyeỏn AD . Tửứứ ủieồm M baỏt kyứ treõn BD veừ ủửụứng thaỳng song song vụựi AD caột AB taùi E , caột AC taùi F . Chửựng minh : 2AD = ME + MF . 
 	HệễÙNG DAÃN 
	Chuự yự vaứ nhaọn xeựt :
	+ 2AD = ME + MF Û 
	+ Taùo ra ủoaùn thaỳng baống ME + MF .