Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Năm học 2010-2011 - Lê Thanh Việt

Chuyên đề 1: Phép nhân đa thức
và các hằng đẳng thức đáng nhớ
Buổi 1. Nhân đa thức
04-11-2010
1. Khái niệm nhân đơn thức với đa thức
2. Khái niệm nhân đa thức với đa thức
3. Khái niệm về đa thức đồng nhât P(x) và Q(x)
P(x) và Q(x) gọi là đồng nhất nếu P(x)=Q(x) với mọi giá trị của x, Kí hiệu 
P(x)Q(x) 
Ví dụ1: P(x) = (x+5)(ax2+bx+25) và Q(x)=x3+125
a) Viết đa thức P(x) dưới dạng một đa thức thu gọn theo luỹ thừa giảm dần của x
b) với giá trị nào của a và b thì P(x)=Q(x) với mọi giá trị của x.
Giải
a)P(x)=(x+5)(ax2+bx+25) = ax3 + bx2 + 25x + 5ax2 + 5bx + 125
	 = ax3 + (b+5a)x2 + (25 + 5b)x + 125
b) P = Q với mọi x ax3 + (b+5a)x2 + (25 + 5b)x + 125 = x3+125 với mọi x
Phương pháp: Hai đa thức P(x) và Q(x) đồng nhất nếu khi và chỉ khi mọi hệ số của các đơn thức đồng dạng chứa trong hai đa thức bằng nhau	
Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức:
A = x4 - 17x3 + 17x2 – 17x + 20 tại x = 16.
Giải:
Cách 1: A= x3(x – 16) – x2(x-16) +x(x-16) – (x – 16) + 4
	 = 4 ( vì x = 16 nên x – 16 = 0)
Cách 2: thay 16 = x vào A ta có: A = x4 – (x+1)x3 + (x + 1)x2 – ( x + 1)x + x + 4
	 = x4 – x4 – x3 + x3 + x2 – x2- x + x + 4 = 4
Bài tập
Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức.
Bài 1 : Tính giá trị của các biểu thức
A = (x-3)(x+7) –(2x-5)(x-1) với x = 0;1;-1
B = (3x+5)(2x-1) +(4x-1)(3x+2) với x = 2; x= -2
C = x5 – 15x4 + 16x3 – 29x2 + 13x tại x = 14
Bài 2: Cho x = y + 5. Tính
a, x( x + 2) + y( y- 2) – 2xy + 65
b, x2 + y( y- 2x) + 75
Dạng 2: Tìm x
Bài 1 : Tìm x
6x2 – (2x – 3 ) ( 3x + 2 ) – 1 = 0
( x – 3 ) ( x + 7 ) – ( x + 5 ) ( x – 1 ) = 0
5x( 12x + 7) – 3x( 20x – 5) = - 100
Dạng 3: Chứng tỏ rằng các đa thức sau không phụ thuộc vào biến
Bài 1. CM biểu thức sau không phụ thuộc vào biến
a. (x-5)-2x(x-3)+x+7
=2x2+3x-10x -15 -2x2 +6x+x+7
= -8 . Vậy đa thức không phụ thuộc vào biến x
( 3x-1 ) (2x +7) – (x+1)(6x-5) –(18x-12);
(2-x)(1+2x)+(1+x)-(x4+x3-5x2-5);
Buổi 2. Các Hằng đẳng thức đáng nhớ
11-11-2010
1. ( a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2. ( a – b)2 = a2 – 2ab + b2
3. (a + b)(a – b) = a2 – b2
4. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
5. (a – b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
 = a3 - b3 - 3ab(a - b)
6. a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
7. a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
Nâng cao:
8. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
9. (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a)
10. an – bn = (a – b)(an-1 + an-2b + .+ bn-1)
11. an + bn = (a + b)(an-1 – an – 2b + an-3b2 - ...- abn-2 + bn-1) ( với n lẻ)
Dạng 1: Chứng minh đẳng thức
Ví dụ 1. Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca thì a = b = c
Lời Giải
a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca = 0
ú (a2 - 2ab + b2) + (a2 - 2ac + c2) + (b2 - 2bc + c2) = 0
ú (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2 = 0
=> a = b = c (đpcm)
Ví dụ 2: cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 = 3abc
Lời giải:
Ta có: (a + b)3 = (- c)3
ú a3 + 3ab(a + b) + b3 = -c3
ú a3 - 3abc + b3 + c3 = 0 a3 + b3 + c3 = 3abc (đpcm)
Bài tập
Bài 1. Chứng minh rằng (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 với x, y khác 0 thì 
Bài 2. cho a2 – b2 = 4c2. Chứng minh rằng:
(5a - 3b + 8c)(5a - 3b - 8c) = (3a - 5b)2
Bài 3. Chứng minh rằng:
a) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a)
b)a3 + b3 + c3- 3abc = (a + b +c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc)
Lời giải
a) Ta có (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = a3 + (b + c)3 + 3a(b + c)(a + b + c) - a3 – b3 – c3 = 
=3bc(b + c) + 3a(b + c)(a + b + c) = 3(b + c)(bc + a2 + ab + ac) = 3(a + b)(b + c)(c + a).
b) Ta có a3 + b3 + c3- 3abc = (a + b)3 + c3 – 3ab(a + b) – 3abc = (a + b + c)3 – 3(a + b)c(a + b + c) – 3ab(a + b + c) = (a + b + c)(a2 + b2 + c 2 – ab – ac – bc)
Bài 4. Cho ax + by +cz = 0; bx + cy + az = 0; cx + ay +bz = 0; với x, y, z ≠ 0
Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = 3abc
Giải
Từ ax + by +cz = 0; bx + cy + az = 0; cx + ay +bz = 0 ta có:
(a + b + c)(x + y + z) = 0 => a + b + c = 0 => a3 + b3 + c3 = 3abc
Bài 5. Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = 3abc. Thì a + b +c = 0 hoặc a = b =c.
Giải
Ta có: a3 + b3 + c3 = 3abc ú (a + b + c)[(a – b)2 + (b – c)2 + (c– a)2] = 0.
= > a + b + c = 0 hoặc a = b =c
Bài 6. Cho x + y + z = a + b + c ;
 x2 + y2 + z2 = a2 + b2 + c2 ;
 x3 + y3 + z3 = a3 + b3 + c3.
Chứng minh rằng: xn + yn + zn = an + bn + cn; 
Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức
Vi dụ. Cho x + y = a và xy = b. Tính giá trị của các biểu thức sau theo a và b.
 a) x2 + y2	b) x3 + y3 	
Lời giải
a) x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b
b) x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = a3 – 3ab
Bài 1. Cho a3 + b3 + c3 = 3abc. Tính 
Dạng 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của x2 + 2x + 3
Lời giải:
x2 + 2x + 3 = x2 + 2x + 1 + 2 = (x + 1)2 + 2 ≥ 2 dấu “=” xảy ra khi x = -2
Vậy giá trị nhỏ nhất là 2 khi x = - 2
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức –x2 – 5x + 5
Lời giải:
–x2 – 5x + 5 = - (x2 + 5x – 5) = -(x2 + 2.x + - - 5) = 
Dạng 4: Tìm x
Ví dụ: a, Tìm x biết: x2 – 3x – 4 = 0 
Lời giải:
x2 + x – 4x - 4 = 0 ú x(x + 1) – 4(x + 1) = 0 ú (x – 4)(x + 1) = 0
x = 4 hoặc x = -1;
b, x( x + 4)( 4- x) + ( x – 5)( x2+ 5x + 25) = 3
c, ( x + 1)3- ( x – 1)3 – 6( x – 1)2 = - 10
Chuyên đề 2
Phân tích đa thưc thành nhân tử
( Buổi 3; 4; 5; 6 )
A. CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN
Buổi 3(18-11-2010)
1. Phương phỏp đặt nhõn tử chung
- Tỡm nhõn tử chung là những đơn, đa thức cú mặt trong tất cả cỏc hạng tử.
- Phõn tớch mỗi hạng tử thành tớch của nhõn tử chung và một nhõn tử khỏc.
- Viết nhõn tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết cỏc nhõn tử cũn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc (kể cả dấu của chỳng).
Vớ dụ . Phõn tớch các đa thức sau thành nhõn tử.
28a2b2 - 21ab2 + 14a2b = 7ab(4ab - 3b + 2a)
2x(y – z) + 5y(z –y ) = 2(y - z) – 5y(y - z) = (y – z)(2 - 5y)
xm + xm + 3 = xm (x3 + 1) = xm( x+ 1)(x2 – x + 1)
2. Phương phỏp dựng hằng đẳng thức
- Dựng cỏc hằng đẳng thức đỏng nhớ để phõn tớch đa thức thành nhõn tử.
- Cõ̀n chú ý đờ́n viợ̀c vọ̃n dụng hằng đẳng thức.
Vớ dụ . Phõn tớch các đa thức sau thành nhõn tử.
9x2 – 4 = (3x)2 – 22 = ( 3x– 2)(3x + 2)
8 – 27a3b6 = 23 – (3ab2)3 = (2 – 3ab2)( 4 + 6ab2  + 9a2b4)
25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2
3. Phương phỏp nhúm nhiều hạng tử
– Kết hợp cỏc hạng tử thớch hợp thành từng nhúm.
– Áp dụng liờn tiếp cỏc phương phỏp đặt nhõn tử chung hoặc dựng hằng đẳng thức.
Vớ dụ . Phõn tớch các đa thức sau thành nhõn tử
a/ 2x3 – 3x2 + 2x – 3 = ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3) = 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1) 
 = ( x2 + 1)( 2x – 3)
b/ x2  – 2xy + y2 – 16 = (x – y)2 - 42 = ( x – y – 4)( x –y + 4)
4. Phối hợp nhiều phương phỏp
- Chọn cỏc phương phỏp theo thứ tự ưu tiờn.
- Đặt nhõn tử chung.
- Dựng hằng đẳng thức.
- Nhúm nhiều hạng tử.
Vớ dụ . Phõn tớch các đa thức sau thành nhõn tử
a/ 3xy2 – 12xy + 12x = 3x(y2 – 4y + 4) = 3x(y – 2)2
b/ 3x3y – 6x2y – 3xy3  – 6axy2 – 3a2xy + 3xy 
 =3xy(x2 – 2y – y2 – 2ay – a2 + 1) 
 = 3xy[( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)] = 3xy[(x – 1)2 – (y + a)2] 
 = 3xy[(x – 1) – (y + a)][(x – 1) + (y + a)] 
 = 3xy( x –1 – y – a)(x – 1 + y + a)
B. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ KHÁC
I. Phương phỏp tỏch một hạng tử thành nhiều hạng tử
- Tỏch một hạng tử của đa thức đó cho thành tổng hai hay nhiều hạng tử thớch hợp để đưa về dạng sử dụng được cỏc phương phỏp đó học
1. Đối với tam thức bậc hai: 
- Cỏch 1: Làm xuất hiện cỏc hệ số tỉ lệ, nhờ đú làm xuất hiện nhõn tử chung 
 ( thường tỏch hạng tử thứ 2 )
 + Để phõn tớch thành nhõn tử, ta tỏch sao cho 
 + Cỏch làm
	 Bước 1: Tỡm tớch a.c
	 Bước 2: Phõn tớch a.c thành tớch của hai thừa số nguyờn bằng mọi cỏch
	 Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b
- Cỏch 2: Làm xuất hiện hiệu của hai bỡnh phương (thường tỏch hạng tử 1 hoặc 3)
- Cach 3: Một số tam thức bậc hai cú dạng đặc biệt
 + Nếu a + b + c = 0 thỡ 
 + Nếu a –b + c = 0 thỡ 
* Vớ dụ : Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử theo nhiều cỏch
a/ 	b/ 	c/ 
d/ 	e/ 
2. Đối với đa thức bậc 3 trở lờn ( tham khảo phương phỏp nhẩm nghiệm IV)
- Tỡm nghiệm của đa thức: 
+ Số a được gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0
+ Nếu đa thức f(x) cú nghiệm nguyờn, thỡ nghiệm nguyờn đú luụn là ước của hệ số tự do
+ Nếu đa thức f(x) cú nghiệm hữu tỉ, thỡ nghiệm phải cú dạng trong đú p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất
- Nếu đa thức f(x) cú nghiệm x = a thỡ nú chứa nhõn tử ( x – a )
Vớ dụ: 	a/ 
	 b/ 
- Nếu đa thức f(x) cú tổng cỏc hệ số bằng 0 thỡ 1 là nghiệm của đa thức đú, hay đa thức đú chứa nhõn tử là x – 1
Vớ dụ: 
- Nếu đa thức f(x) cú tổng cỏc hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng cỏc hệ số của hạng tử bậc lẻ thỡ -1 là nghiệm của đa thức, hay đa thức đú chứa nhõn tử x + 1
Vớ dụ: 
* Áp dụng: 
Vớ dụ 1. Phõn tớch đa thức f(x) = 3x2 + 8x + 4 thành nhõn tử.
Phõn tớch ac = 12 = 3.4 = (–3).(–4) = 2.6 = (–2).(–6) = 1.12 = (–1).(–12)
Tớch của hai thừa số cú tổng bằng b = 8 là tớch a.c = 2.6 (a.c = ai.ci).
Tỏch 8x = 2x + 6x (bx = aix + cix)
Lời giải : 3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 2x + 6x + 4 = (3x2 + 2x) + (6x + 4)
= x(3x + 2) + 2(3x + 2) = (x + 2)(3x +2)
b) Cỏch 2 (tỏch hạng tử bậc hai ax2) à Làm xuất hiện hiệu hai bỡnh phương 
f(x) = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2 = (2x + 2 – x)(2x + 2 + x) 
 = (x + 2)(3x + 2)
c) Cỏch 3: Tỏch thành 4 số hạng rồi nhúm :
f(x) = 4x2 – x2 + 8x + 4 = (4x2 + 8x) – ( x2 – 4) = 4x(x + 2) – (x – 2)(x + 2) 
 = (x + 2)(3x + 2)
d) Cỏch 4: (tỏch hạng tử tự do c). Tỏch thành 4 số hạng rồi nhúm thành hai nhúm:
f(x) = 3x2 + 8x + 16 – 12 = (3x2 – 12) + (8x + 16) =  = (x + 2)(3x + 2)
e) Cỏch 5 (tỏch 2 số hạng, 3 số hạng)
        f(x) = (3x2 + 12x + 12) – (4x + 8) = 3(x + 2)2 – 4(x + 2) = (x + 2)(3x – 2)
        f(x) = (x2 + 4x + 4) + (2x2 + 4x) =  = (x + 2)(3x + 2)
f)Cỏch 6 (nhẩm nghiệm): ( Xem phần IV)
Chỳ ý : Nếu f(x) = ax2 + bx + c cú dạng A2 ± 2AB + c thỡ ta tỏch như sau :
                 f(x) = A2 ± 2AB + B2 – B2 + c = (A ± B)2 – (B2 – c)
Vớ dụ 2. Phõn tớch đa thức f(x) = 4x2 - 4x - 3 thành nhõn tử.
Ta thấy 4x2 - 4x = (2x)2 - 2.2x. Từ đú ta cần thờm và bớt 12 = 1 để xuất hiện hằng đẳng thức.
Lời giải: f(x) = (4x2 – 4x + 1) – 4 = (2x – 1)2 – 22 = (2x – 3)(2x + 1)
Vớ dụ 3. Phõn tớch đa thức f(x) = 9x2 + 12x – 5 thành nhõn tử.
Lời giải
Cỏch 1 : f(x) = 9x2 – 3x + 15x – 5 = (9x2 – 3x) + (15x – 5) = 3x(3x –1) + 5(3x – 1)
 = (3x – 1)(3x + 5)
 Cỏch 2 : f(x) = (9x2 + 12x + 4) – 9 = (3x + 2)2 – 32 = (3x – 1)(3x + 5)
Vớ dụ 4. Phõn tớch các đa thức sau thành nhõn tử
a)     2x2 - 5xy + 2y2 ;
b)    x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y).
Hướng dẫn
a)     Phõn tích đa thức này tương tự như phõn tích đa thức f(x) = ax2 + bx + c.
Ta tách hạng tử thứ 2 :
2x2 - 5xy + 2y2 = (2x2 - 4xy) - (xy - 2y2) = 2x(x - 2y) - y(x - 2y)
= (x - 2y)(2x - y)
a)     Nhọ̃n xét z - x = -(y - z) - (x - y). Vì vọ̃y ta tách hạng tử thứ hai của đa thức :
x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = x2(y - z) - y2(y - z) - y2(x - y) + z2(x - y) =
= (y - z)(x2 - y2) - (x - y)(y2 - z2) = (y - z)(x - y)(x + y) - (x - y)(y - z)(y + z)
= (x - y)(y - z)(x - z)
Chú ý :
1) Ở cõu b) ta có thờ̉ tách y - z = - (x - y) - (z - x) (hoặc z - x= - (y - z) - (x - y))
2) Đa thức ở cõu b) là mụ̣t trong những đa thức có dạng đa thức đặc biợ̀t. Khi ta thay x = y (y = z hoặc  z = x) vào đa thức thì giá trị của đa thức bằng 0. Vì vọ̃y, ngoài cách phõn tích bằng cách tách như trờn, ta còn cách phõn tích bằng cách xét giá trị riờng ( Phương phỏp VI)
Buổi 4( 25-11-2010)
II. Phương phỏp thờm và bớt cựng một hạng tử
1. Thờm và bớt cựng một hạng tử để làm xuất hiện hiệu của hai bỡnh phương
Vớ dụ: 
2. Thờm và bớt một hạng tử để xuất hiện nhõn tử chung
Vớ dụ: 
Cỏch 1: 
Cỏch 2: 
* Áp dụng: 
Vớ dụ 1. Phõn tớch đa thức x4 + x2 + 1 thành nhõn tử
Lời giải
Cỏch 1 : x4 + x2 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 = (x2 + 1)2 – x2 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).
Cỏch 2 : x4 + x2 + 1 = (x4 – x3 + x2) + (x3 + 1) = x2(x2 – x + 1) + (x + 1)(x2 – x + 1)
 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).
Cỏch 3 : x4 + x2 + 1 = (x4 + x3 + x2) – (x3 – 1) = x2(x2 + x + 1) + (x – 1)(x2 + x + 1)
 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).
Vớ dụ 2. Phõn tớch đa thức x4 + 16 thành nhõn tử
Lời giải
Cỏch 1 : x4 + 4 = (x4 + 4x2 + 4) – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 
 = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2)
Cỏch 2 : x4 + 4 = (x4 + 2x3 + 2x2) – (2x3 + 4x2 + 4x) + (2x2 + 4x + 4)  
= (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2)
Vớ dụ 3. Phõn tích đa thức x5 + x - 1 thành nhõn tử
Lời giải
Cách 1. x5 + x - 1 = x5 - x4 + x3 + x4 - x3 + x2 - x2 + x - 1 
= x3(x2 - x + 1) - x2(x2 - x + 1) - (x2 - x + 1)= (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1).
Cách 2. Thờm và bớt x2 :
x5 + x - 1 = x5 + x2 - x2 + x - 1 = x2(x3 + 1) - (x2 - x + 1) 
 = (x2 - x + 1)[x2(x + 1) - 1] = (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1).
Vớ dụ 4. Phõn tích đa thức x7 + x + 1 thành nhõn tử
Lời giải
x7 + x2 + 1 = x7 – x + x2 + x + 1 = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1) 
 = x(x3 – 1)(x3 + 1) + (x2+ x + 1) 
 = x(x3 + 1)(x - 1)(x2 + x + 1) + ( x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x5 - x4 – x2  - x + 1)
Lưu ý : Các đa thức dạng  x3m + 1 + x3n + 2 + 1 như x7 + x2 + 1, x4 + x5 + 1 đờ̀u chứa nhõn tử là x2 + x + 1.
III. Phương phỏp đổi biến ( đặt biến phụ )
Một số bài toỏn phõn tớch đa thức thành nhõn tử mà trong đú đa thức đó cho cú biểu thức xuất hiện nhiều lần, ta đặt biểu thức ấy làm biến phụ từ đú đưa được về đa thức mới đơn giản hơn. Phõn tớch đa thức mới này thành nhõn tử rồi lại thay thế cũ vào và tiếp tục
Vớ dụ: 
Đặt: , ta cú
Vớ dụ 
Đặt . Do đú
Cỏch 2: 
* Áp dụng: 
Vớ dụ 1. Phõn tích đa thức sau thành nhõn tử :
x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128
Lời giải
x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128
Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức đã cho có dạng :
        (y - 12)(y + 12) + 128 = y2 - 16 = (y + 4)(y - 4) 
 = (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 8)
                                         = (x + 2)(x + 8)(x2 + 10x + 8)
        Nhận xột: Nhờ phương phỏp đổi biến ta đó đưa đa thức bậc 4 đối với x thành đa thức bậc 2 đối với y.
Vớ dụ 2. Phõn tích đa thức sau thành nhõn tử :
A = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1.
Lời giải
Cách 1. Giả sử x ≠ 0. Ta viờ́t đa thức dưới dạng :
        .
        Đặt  thì . Do đó :
        A = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2
            =  = (x2 + 3x - 1)2.
        Dạng phõn tích này cũng đúng với x = 0.
Cách 2. A = x4 + 6x3 - 2x2 + 9x2 - 6x + 1 = x4 + (6x3 -2x2) + (9x2 - 6x + 1)
   = x4 + 2x2(3x - 1) + (3x - 1)2 = (x2 + 3x - 1)2.
Buổi 5( 02-12-2010)
IV. Phương phỏp nhẩm nghiệm
        Định lớ : Nếu f(x) cú nghiệm x = a thỡ f(a) = 0. Khi đú, f(x) cú một nhõn tử là x – a và f(x) cú thể viết dưới dạng f(x) = (x – a).q(x)
        Lỳc đú tỏch cỏc số hạng của f(x) thành cỏc nhúm, mỗi nhúm đều chứa nhõn tử là        x – a. Cũng cần lưu ý rằng, nghiệm nguyờn của đa thức, nếu cú, phải là một ước của hệ số tự do.
Vớ dụ 1. Phõn tớch đa thức f(x) = x3 + x2 + 4 thành nhõn tử.
Lời giải
        Lần lượt kiểm tra với x = ± 1, ± 2,  4, ta thấy f(–2) = (–2)3 + (–2)2 + 4 = 0. Đa thức f(x) cú một nghiệm x = –2, do đú nú chứa một nhõn tử là x + 2. Từ đú, ta tỏch như sau
Cỏch 1 : f(x) = x3 + 2x2 – x2 + 4 = (x3 + 2x2) – (x2 – 4) 
 = x2(x + 2) – (x – 2)(x + 2)= (x + 2)(x2 – x + 2).
Cỏch 2 : f(x) = (x3 + 8) + (x2 – 4) = (x + 2)(x2 – 2x + 4) + (x – 2)(x + 2)
 = (x + 2)(x2 – x + 2).
Cỏch 3 : f(x) = (x3 + 4x2 + 4x) – (3x2 + 6x) + (2x + 4)
 = x(x + 2)2 – 3x(x + 2) + 2(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2).
Cỏch 4 : f(x) = (x3 – x2 + 2x) + (2x2 – 2x + 4) = x(x2 – x + 2) + 2(x2 – x + 2)
 = (x + 2)(x2 – x + 2).
        Từ định lớ trờn, ta cú cỏc hệ quả sau :
Hệ quả 1: Nếu f(x) cú  tổng cỏc hệ số bằng 0 thỡ f(x) cú một nghiệm là x = 1. Từ đú f(x) cú một nhõn tử là x – 1.
Chẳng hạn, đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 cú 1 + (–5) + 8 + (–4) = 0 nờn x = 1 là một nghiệm của đa thức. Đa thức cú một nhõn tử là x – 1. Ta phõn tớch như sau :
f(x) = (x3 – x2) – (4x2 – 4x) + (4x – 4) = x2(x – 1) – 4x(x – 1) + 4(x – 1)
     = (x – 1)( x – 2)2
Hệ quả2 :. Nếu f(x) cú tổng cỏc hệ số của cỏc luỹ thừa bậc chẵn bằng tổng cỏc hệ số của cỏc luỹ thừa bậc lẻ thỡ f(x) cú một nghiệm x = –1. Từ đú f(x) cú một nhõn tử là  x + 1.
Chẳng hạn, đa thức x3 – 5x2 + 3x + 9 cú 1 + 3 = –5 + 9 nờn x = –1 là một nghiệm của đa thức. Đa thức cú một nhõn tử là x + 1. Ta phõn tớch như sau :
f(x) = (x3 + x2) – (6x2 + 6x) + (9x + 9) = x2(x + 1) – 6x(x + 1) + 9(x + 1)
      = (x + 1)( x – 3)2
 Hệ quả 3: Nếu f(x) cú nghiệm nguyờn x = a và f(1) và f(–1) khỏc 0 thỡ và đều là số nguyờn.
Vớ dụ 2. Phõn tớch đa thức f(x) = 4x3 - 13x2 + 9x - 18 thành nhõn tử.
Hướng dẫn
Cỏc ước của 18 là ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18.
f(1) = –18, f(–1) = –44, nờn ± 1 khụng phải là nghiệm của f(x).
Dễ thấy  khụng là số nguyờn nờn –3, ± 6, ± 9, ± 18 khụng là nghiệm của f(x). Chỉ cũn –2 và 3. Kiểm tra ta thấy 3 là nghiệm của f(x). Do đú, ta tỏch cỏc hạng tử như sau :
               = (x – 3)(4x2 – x + 6)
Hệ quả 4: Nếu  (là cỏc số nguyờn) cú nghiệm hữu tỉ  , trong đú p, q  Z và (p , q)=1, thỡ p là ước a0, q là ước dương của an .
Vớ dụ 3. Phõn tớch đa thức f(x) = 3x3 - 7x2 + 17x - 5 thành nhõn tử.
Hướng dẫn
        Cỏc ước của –5 là ± 1, ± 5. Thử trực tiếp ta thấy cỏc số này khụng là nghiệm của f(x). Như vậy f(x) khụng cú nghiệm nghuyờn. Xột cỏc số , ta thấy  là nghiệm của đa thức, do đú đa thức cú một nhõn tử là 3x – 1. Ta phõn tớch như sau 
        f(x) = (3x3 – x2) – (6x2 – 2x) + (15x – 5) = (3x – 1)(x2 – 2x + 5).
V.  Phương phỏp hệ số bất định
Vớ dụ 1 Phõn tích đa thức sau thành nhõn tử :
x4 - 6x3 + 12x2 - 14x - 3
Lời giải
        Thử với x= ±1; ±3 khụng là nghiệm của đa thức, đa thức khụng có nghiệm nguyờn cũng khụng có nghiệm hữu tỷ. Như vọ̃y đa thức trờn phõn tích được thành nhõn tử thì phải cú dạng
(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 +(a + c)x3 + (ac+b+d)x2 + (ad+bc)x + bd = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3.
        Đụ̀ng nhṍt các hợ̀ sụ́ ta được :
Xét bd= 3 với b, d thuộ Z, b thuộc {± 1, ± 3}. Với b = 3 thì d = 1, hợ̀ điờ̀u kiợ̀n trờn trở thành
  2c = -14 - (-6) = -8. Do đó c = -4, a = -2.
Vậy x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3     = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1).
Buổi 6( 09-12-2010)
VI. Phương phỏp xột giỏ trị riờng
        Trong phương pháp này, trước hờ́t ta xác định dạng các nhõn tử chứa biờ́n của đa thức, rụ̀i gán cho các biờ́n các giá trị cụ thờ̉ đờ̉ xác định các nhõn tử còn lại.
Vớ dụ 1. Phõn tích đa thức sau thành nhõn tử :
P = x2(y – z) + y2(z – x) + z(x – y).
Lời giải
  Thay x bởi y thỡ P = y2(y – z) + y2( z – y) = 0. Như vậy P chứa thừa số (x – y).
  Ta thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thỡ p khụng đổi (đa thức P cú thể hoỏn vị vũng quanh). Do đú nếu P đó chứa thừa số (x – y) thỡ cũng chứa thừa số (y – z),   (z – x). Vậy P cú dạng k(x – y)(y – z)(z – x).
  Ta thấy k phải là hằng số vỡ P cú bậc 3 đối với tập hợp cỏc biến x, y, z, cũn tớch (x – y)(y – z)(z – x) cũng cú bậc 3 đối với tập hợp cỏc biến x, y, z.
  Vỡ đẳng thức  x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) đỳng với mọi x, y, z nờn ta gỏn cho cỏc biến x ,y, z cỏc giỏ trị riờng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = 0 ta được:
4.1 + 1.(–2) + 0 = k.1.1.(–2)  suy ra k =1
  Vậy P = –(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z)
VII.  Phương phỏp đưa về một số đa thức đặc biệt
1. Đưa vờ̀ đa thức : a3 + b3 + c3 - 3abc
Ví dụ 1. Phõn tích đa thức sau thành nhõn tử :
a)     a3 + b3 + c3 - 3abc.
b)    (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3.
Lời giải
a)     a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b)3 - 3a2b - 3ab2 + c3 - 3abc
= [(a + b)3 + c3] - 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)[(a + b)2 - (a + b)c + c2] - 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc -ca)
b)    Đặt  x - y = a, y - z = b, z - x = c thì a + b + c. Theo cõu a) ta có :
a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 ị a3 + b3 + c3 = 3abc.
        Vọ̃y (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 3(x - y)(y - z)(z - x)
2. Đưa vờ̀ đa thức : (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3
Ví dụ 2. Phõn tích đa thức sau thành nhõn tử :
a)     (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3.
b)    8(x + y + z)3 - (x + y)3 - (y + z)3 - (z + x)3.
Lời giải
a)     (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = [(a + b) + c]3 - a3 - b3 - c3
= (a + b)3 + c3 + 3c(a + b)(a + b + c) - a3 - b3 - c3
= (a + b)3 + 3c(a + b)(a + b + c) - (a + b)(a2 - ab + b2)
= (a + b)[(a + b)2 + 3c(a + b + c) - (a2 - ab + b2)]
= 3(a + b)(ab + bc + ca + c2) = 3(a + b)[b(a + c) + c(a + c)]
= 3(a + b)(b + c)(c + a).
b) Đặt x + y = a, y + z = b, z + x = c thì a + b + c = 2(a + b + c).
Đa thức đã cho có dạng : (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3
 Theo kờ́t quả cõu a) ta có :
(a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a)
Hay 8(x + y + z)3 - (x + y)3 - (y + z)3 - (z + x)3
 = 3(x + 2y + z)(y + 2z + x)(z + 2x + y)