Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Chuyên đề: Phương trình nghiệm nguyên - Trần Ngọc Đại

CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƢỠNG HSG MÔN TOÁN 8 – PHẦN ĐẠI SỐ 
TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY THANH 1 
CHUYÊN ĐỀ 
PHƢƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 
I. PHƢƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHIA HẾT 
1. Sử d ng tính chất chia hết 
Các tính chất thư ng dùng : 
– Nếu a  m và a ± b  m thì b  m. 
– Nếu a  b, b  c thì a  c. 
– Nếu ab c mà ƯCLN(b , c) = 1 thì a c. 
– Nếu a m, b n thì ab mn. 
– Nếu a b, a c với ƯCLN(b , c) = 1 thì a bc. 
– Trong m số nguyên liên tiểp, bao gi cũng tồn tại m t số là b i của m. 
Ví d 1. Tìm x, y  Z thoả mãn : 3x + 17y = 159 (1) 
Giải : 
 Nhận xét 3x  3, 159  3, suy ra 17y  3. Mà ƯCLN(17 , 3) = 1 nên y  3. 
 Đặt y = 3k (k  Z). Thay vào phương trình (1) ta được : 
3x + 17.3k = 159  x + 17k = 53  x = 53 – 17k. 
 Từ đó ta được nghiệm của phương trình (1) là :
x 53 17k
y 3k
 


 (k Z). 
Ví d 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x2  2y2 = 5 (2) 
Giải : 
Từ (2)  x phải là số lẻ. Đặt x = 2k + 1 (k  Z) và thay vào (2) ta được : 
4k
2
 + 4k + 1 – 2y2 = 5  2(k2 + k – 1) = y2 
Suy ra y
2
 là số chẵn  y là số chẵn. 
Đặt y = 2t (t  Z), thay vào (2.1) ta có : 
2(k
2
 + k - 1) = 4t
2
  k(k + 1) = 2t2 + 1 (2.1) 
Ta thấy k(k + 1) là số chẵn c n 2t2 + 1 là số lẻ nên phương trình (2.1) vô nghiệm. 
Vậy phương trình (2) không có nghiệm nguyên. 
www.VIETMATHS.comwww.VIETMATHS.com
PHƢƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 
2 TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY THANH 
2. Đƣa về phƣơng trình ƣ c s 
Ví d 3. Tìm x, y  Z thoả mãn phương trình : xy – x – y = 2 (3) 
Giải : 
Ta có (3)  xy – x – y + 1 = 3  x(y – 1) – (y – 1) = 3  (x – 1)(y – 1) = 3 
Suy ra x – 1  Ư(3). Vì Ư(3)  {  1 ;  3} nên ta có bảng sau : 
x – 1 1 –1 3 –3 
y – 1 3 –3 1 –1 
x 2 0 4 –2 
y 4 –2 2 0 
Vậy các nghiệm nguyên của phương trình (3) là: (4 ; 2), (2 ; 4), (0 ; –2), (–2 ; 0). 
Ví d 4. Tìm x  Z để x2 – 2x – 4 là m t số chính phương. 
Giải : 
Đặt x2 – 2x – 4 = y2 (y  Z)  (x – 1)2 – y2 = 5  (x – 1 – y)(x – 1 + y) = 5 (4). 
Vì 5 = 1.5 = (–1).(–5), nên từ (4) ta có các trư ng hợp : 
– Trư ng hợp 1 : 
x 1 y 1 x y 2 x 4
x 1 y 5 x y 6 y 2
       
   
       
 (thoả mãn). 
– Trư ng hợp 2 : 
x 1 y 1 x y 0
x y 2
x 1 y 5 x y 4
     
    
     
 (thoả mãn). 
– Trư ng hợp 3 : 
x 1 y 5 x y 6 x 4
x 1 y 1 x y 2 y 2
       
   
       
 (thoả mãn). 
– Trư ng hợp 4 : 
x 1 y 5 x y 4 x 2
x 1 y 1 x y 0 y 2
       
   
       
 (thoả mãn). 
Vậy các giá trị x cần tìm là x  {–2 ; 4}. 
3. Tách ra các giá trị nguyên 
Ví d 5. Giải Ví d 3 bằng cách khác. 
Giải : 
Biểu thị x theo y : x(y – 1)  y  2 (5) 
Ta thấy y  1 không phải là nghiệm của phương trình (5) (vì khi đó (5) trở thành 
0x  3, vô nghiệm), nên chia cả hai vế của (5) cho y – 1 ≠ 0 ta được : 
y 2 3
x 1
y 1 y 1

  
 
www.VIETMATHS.comwww.VIETMATHS.com
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƢỠNG HSG MÔN TOÁN 8 – PHẦN ĐẠI SỐ 
TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY THANH 3 
Vì x  Z nên 
3
y 1
 Z, suy ra y – 1 phải là ước của 3. 
Ta lập bảng : 
y – 1 1 –1 3 –3 
x 4 –2 2 0 
y 2 0 4 –2 
Vậy các nghiệm nguyên của phương trình (3) là: (4 ; 2), (2 ; 4), (0 ; –2), (–2 ; 0). 
BÀI TẬP 
1. Tìm các nghiệm nguyên của các phương trình sau : 
a) 2x  3y  156 ; b) 3xy  x – y  1 ; c) 2x2  3xy – 2y2  7 ; 
d) x
3
 – y3  91 ; e) x2 – xy  6x – 5y – 8 ; f) x2 – 2y2  5. 
2. Cho đa thức f(x) có các hệ số nguyên. Biết rằng f(1).f(2) = 35. Chứng minh rằng đa 
thức f(x) không có nghiệm nguyên. 
II. PHƢƠNG PHÁP XÉT SỐ DƢ TỪNG VẾ 
1. Tìm nghiệm nguyên của phƣơng trình 
Ví d 6. Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 9x  2  y2  y (6) 
Giải : 
Viết lại phương trình thành : 9x  2  y(y  1) (6.1) 
Ta thấy vế trái của (6.1) là số chia cho 3 dư 2 nên y(y  1) chia cho 3 dư 2. 
Nếu y chia hết cho 3 hoặc y chia cho 3 dư 2 thì y(y  1) đều chia hết cho 3, trái với 
kết luận trên. 
Do đó y chia cho 3 dư 1. Đặt y  3k  1 (k  Z) thì y  1  3k  2. Khi đó ta có : 
9x  2  (3k  1)(3k  2)  9x  9k(k  1)  x  k(k  1). 
Thử lại x = k(k  1) và y = 3k  1 thoả mãn phương trình đã cho. 
Vậy nghiệm nguyên của phương trình (6) là x = k(k  1) và y = 3k  1 (k  Z) 
2. Chứng minh phƣơng trình vô nghiệm 
Ta chứng minh hai vế khi chia cho cùng m t số không thể cùng m t số dư. 
Ch ý : Hai số a – b và a  b (a, b  Z) có cùng tính chẵn lẻ. 
www.VIETMATHS.comwww.VIETMATHS.com
PHƢƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 
4 TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY THANH 
Thật vậy : Vì (a – b)  (a + b)  2a là m t số chẵn nên a – b và a  b hoặc cùng là 
số chẵn, hoặc cùng là số lẻ, tức là ch ng cùng tính chẵn lẻ. 
Ví d 7. Chứng minh rằng các phương trình sau không có nghiệm nguyên : 
a) x2 – y2  2006 (7) 
b) x2  y2  2007 (8) 
Giải : 
a) Cách 1. Phương trình (7) viết thành : (x – y)(x  y) = 2006 (7.1) 
 Vì (x – y)  (x  y)  2x là số nguyên chẵn nên (x – y) và (x  y) cùng tính chẵn lẻ. 
Từ (7.1) suy ra (x – y) và (x  y) đều chẵn. Do đó (x – y)(x  y) chia hết cho 4. Nhưng 
2006 không chia hết cho 4. Từ đó suy ra (7.1) vô nghiệm. 
 Từ đó phương trình (7) vô nghiệm. 
 Cách 2. Số chính phương chia cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1. Do đó x2, y2 chia cho 4 
chỉ có số dư 0 hoặc 1. Suy ra x2 – y2 chia cho 4 có số dư 0, 1, 3. C n vế phải 2006 chia cho 
4 dư 2. 
 Vậy phương trình không có nghiệm nguyên. 
b) x2, y2 chia cho 4 có số dư 0, 1 nên x2 + y2 chia cho 4 có số dư 0, 1, 2. C n vế 
phải 2007 chia cho 4 dư 3. 
 Vậy phương trình (8) không có nghiệm nguyên. 
BÀI TẬP 
3. Tìm các nghiệm nguyên của các phương trình sau : 
a) 3x
2
 – 4y2  13 ; b) 19x2  28y2  2009 ; 
c) x
2
  2y2 – 8y + 3 ; d) x2 – 4y2  1234520082009 
4. Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y, z thỏa mãn : 
x
3
  y3  z3  x  y  z  2008 
(Trích đề thi HSG lớp 8, huyện Thái Th y 2007 – 2008) 
5. Tồn tại hay không số nguyên n thỏa mãn : n3 + 2006n  20082007 + 1 
(Trích đề thi HSG lớp 8, huyện Thái Th y 2006 – 2007) 
6. Chứng minh rằng số 
49 cs 0 50 cs 0
A 100...0500...01 không là lập phương của m t số tự nhiên. 
www.VIETMATHS.comwww.VIETMATHS.com
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƢỠNG HSG MÔN TOÁN 8 – PHẦN ĐẠI SỐ 
TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY THANH 5 
III. PHƢƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC 
1. Sắp thứ tự các ẩn 
Ví d 8. Tìm ba số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng. 
Giải : 
Cách 1. Gọi các số nguyên dương phải tìm là x, y, z. Theo đề bài ta có : 
x  y  z  xyz (9) 
Ta thấy x, y, z có vai tr như nhau nên ta có thể sắp thứ tự giá trị của các ẩn, chẳng 
hạn 1  x  y  z (*) mà không làm mất tính tổng quát của bài toán. 
Từ (9) ta có xyz  x  y  z  3z  xy  3 (do z > 0). 
Từ đó xy  {1 ; 2 ; 3} (vì x, y nguyên dương). Xét ba trư ng hợp : 
– Với xy  1, ta có x  1 và y  1. Thay vào (9) ta được 2  z  z, loại. 
– Với xy  2, ta có x  1, y  2. Thay vào (9) ta được z  3. 
– Với xy  3, ta có x  1, y  3. Thay vào (9) ta được z  2, loại vì y z. 
Vậy ba số cần tìm là 1 ; 2 ; 3. 
 Cách 2. Chia hai vế của (9) cho xyz > 0 ta được : 
1 1 1
1
xy yz zx
   (9.1) 
 Giả sử 1 x y z   . Từ (9.1) suy ra : 
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 3
1
xy yz zx x x x x
       . 
 Suy ra 
2
3
1
x
 , do đó x2  1 hay x = 1 (vì x nguyên dương). 
 Thay x = 1 vào (9.1) : 1  y  z  yz  (y – 1)(z – 1)  2. 
 Do 0 y 1 z 1    , nên ta chỉ có m t trư ng hợp: 
y – 1  1 và z – 1  2 hay y  2 và z  3. 
 Vậy ba số cần tìm là 1 ; 2 ; 3. 
2. Xét từng khoảng giá trị của ẩn 
Ví d 9. Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình : 
1 1 1
x y 3
  (10) 
Giải : 
Cách 1. Do x, y có vai tr như nhau nên ta có thể giả sử 1 x y  . Từ (10) ta suy ra 
1 2
y 6
3 y
   
www.VIETMATHS.comwww.VIETMATHS.com
PHƢƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 
6 TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY THANH 
 Mặt khác, cũng từ (10) ta suy ra :
1 1
y 3
y 3
   
 Như vậy y  {4 ; 5 ; 6}. Xét ba Trư ng hợp : 
– Trư ng hợp 1 : x  4, từ phương trình ta được y = 12 (thoả mãn). 
– Trư ng hợp 2 : x  5, từ phương trình ta được y  
2
15
 (loại). 
– Trư ng hợp 3 : x  6, từ phương trình ta được y  6. 
Tóm lại, phương trình (10) có ba nghiệm nguyên : (4 ; 12), (12 ; 4), (6 ; 6). 
Cách 2. Đưa phương trình đã cho về phương trình ước số : 
1 1 1
xy 3(x y) 0 (x 3)(y 3) 9
x y 3
          . 
Vế trái phương trình trên là tích của hai số nguyên do x, y là các số nguyên. Từ đó 
suy ra x – 3 và y – 3 phải là ước của 3. Vì Ư(3)  {  1 ;  3} nên ta có bảng sau : 
x – 3 1 –1 3 
y – 3 9 –9 3 
x 4 2 6 
y 12 –6 6 
3. Chỉ ra m t hay nhiều nghiệm nguyên 
Phương pháp xét từng khoảng giá trị của ẩn còn được thể hiện dưới dạng : chỉ ra 
m t hoặc và số là nghiệm của phương trình, rồi chứng minh phương trình không còn 
nghiệm nào khác. 
Ví d 10. Tìm các số tự nhiên x, sao cho : x x x2 3 5 (11) 
Giải : 
Phương trình (11) viết thành : 
x xx x
x x
2 3 2 3
1 1
5 5 5 5
   
       
   
– Với x = 0, ta được : 1  1  1, loại. 
– Với x  1, ta được : 
2 3
1
5 5
  , thoả mãn. 
– Với x > 1, thì 
x x
2 2 3 3
,
5 5 5 5
   
    
   
, suy ra 
x x
2 3 2 3
1
5 5 5 5
   
      
   
, loại. 
Vậy nghiệm duy nhất của (11) là x = 1. 
4. Sử d ng các bất đẳng thức quen thu c 
M t số bất đẳng thức cần lưu ý : 
www.VIETMATHS.comwww.VIETMATHS.com
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƢỠNG HSG MÔN TOÁN 8 – PHẦN ĐẠI SỐ 
TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY THANH 7 
- Bất đẳng thức Cô–si : 
a b
ab
2

 (a, b  0, dấu bằng có  a = b). 
– Bất đẳng thức Bunhiacopxki : (a2 + b2)(x2 + y2)  (ax + by)2. Dấu bằng xảy ra 
khi và chỉ khi ay = bx. 
– Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối : 
|x|  x, dấu bằng có  x  0 ; -|x| ≤ x, dấu bằng có  x ≤ 0. 
-|x|  x  |x| 
|x| + |y| ≥ |x + y|, dấu bằng có  xy  0. 
Ví d 11. Tìm các số nguyên dương x, y thoả mãn phương trình : 
 (x
2
 + 1)(x
2
 + y
2
) = 4x
2
y (12) 
Giải : 
Cách 1. Áp d ng bất đẳng thức Cô–si ta có : 
x
2
 + 1  2x, dấu bằng có  x = 1. 
x
2
 + y
2
  2xy, dấu bằng có  x = y. 
Vì x, y nguyên dương nên nhân các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được : 
(x
2
 + 1)(x
2
 + y
2
)  4x2y, dấu bằng có khi và chỉ khi x = y = 1. 
Vậy phương trình (12) có nghiệm duy nhất x = y = 1. 
Cách 2. (12)  x4 + x2y2 + x2 + y2 – 4x2y = 0  (x2 – y)2 + (xy – x)2 = 0. 
Phương trình trên chỉ xảy ra khi và chỉ khi : 
2 2 2x y 0 y x y x
x y 1
xy x 0 x(y 1) 0 y 1 0
     
      
       
 (vì x, y nguyên dương). 
BÀI TẬP 
7. Tìm các nghiệm nguyên của các phương trình sau : 
a) x
2
 + xy + y
2
 = 2x + y ; b) x
2
 + xy + y
2
 = x + y ; 
c) x
2
 – 3xy + 3y2 = 3y ; d) x2 – 2xy + 5y2 = y + 1 ; 
8. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 
1 1 1
x y 4
  
9. Tìm các số tự nhiên x, y thoả mãn : 
x y 3
xy 2

 
(Trích đề thi HSG lớp 8, huyện Thái Th y 2007 – 2008) 
10. Tìm các số tự nhiên x thỏa mãn : 
 a) x x2 3 35  ; b) x x x3 4 5  ; c) x x x5 12 17 .  
www.VIETMATHS.comwww.VIETMATHS.com
PHƢƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 
8 TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY THANH 
11. a) Tìm ba số nguyên dương sao cho tích của ch ng gấp đôi tổng của ch ng. 
 b) Tìm bốn số nguyên dương sao cho tổng của ch ng bằng tích của ch ng. 
12. Tìm các số nguyên x và y sao cho : x3 + x2  x  1  y3. 
13. Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình : x! + y! = (x + y)! 
14. Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên dương : 
x
17 
  y17  1917 
IV. PHƢƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHẤT CỦA SỐ CHÍNH PHƢƠNG 
1. Sử d ng tính chất về chia hết của s chính phƣơng 
Các tính chất thư ng dùng : 
– Số chính phương không tận cùng bằng 2, 3, 7, 8. 
– Số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho p2. 
– Số chính phương khi chia cho 3, cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1. 
– Số chính phương chia cho 5, cho 8 thì số dư chỉ có thể là 0, 1 hoặc 4. 
– Số chính phương lẻ chia cho 4, 8 thì số dư đều là 1. 
– Lập phương của m t số nguyên chia cho 9 chỉ có thể dư 0, 1 hoặc 8. 
Ví d 12. Tìm các số nguyên x để 9x + 5 là tích của hai số nguyên liên tiếp. 
Giải : 
 Đặt x(9x + 5) = y(y + 1) với y nguyên thì : 
36x + 20 = 4y
2
 + 4y  3(12x + 7) = (2y + 1)2 (13) 
 Ta thấy vế trái (13) chia hết cho 3 nên vế phải cũng chia hết cho 3. 
 Số chính phương (2y + 1)2 chia hết cho 3, nên cũng chia hết cho 9. 
 Mà 12x + 7 không chia hết cho 3 nên 3(12x + 7) không chia hết cho 9. 
 Mâu thuẫn ở trên chứng tỏ không tồn tại số nguyên x thoả mãn điều kiện đề bài. 
2. Sử d ng tính chất kẹp 
 Cần ch ý đến tính chất : giữa hai số chính phương liên tiếp không có số chính 
phương nào. Từ đó suy ra với mọi số nguyên a, x ta có : 
– Không tồn tại x để a2 < x2 < (a + 1)2. 
– Nếu a2 < x2 < (a + 2)2 thì x2 = (a + 1)2. 
www.VIETMATHS.comwww.VIETMATHS.com
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƢỠNG HSG MÔN TOÁN 8 – PHẦN ĐẠI SỐ 
TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY THANH 9 
Ví d 13. Chứng minh rằng với mọi số nguyên k cho trước, không tồn tại số 
nguyên dương x sao cho : x(x + 1) = k(k + 2). 
Giải : 
 Giả sử : x(x + 1) = k(k + 2) với k nguyên, x nguyên dương. 
 Ta viết phương trình trên thành : x2 + x + 1 = (k + 1)2. 
 Do x > 0 nên x
2
 < x
2
 + x + 1 < x
2
 + 2x + 1 hay x
2
 < (k + 1)
2
 < (x + 1)
2
 (14) 
 Ta thấy x2 và (x + 1)2 là hai số chính phương liên tiếp nên (14) không thể xảy ra. 
 Vậy không tồn tại số nguyên dương x thoả mãn điều kiện đề bài. 
Ví d 14. Tìm các số nguyên x để biểu thức x4 + 2x3 +2x2 + x + 3 là m t số chính 
phương. 
Giải : 
 Đặt x4 + 2x3 +2x2 + x + 3 = y2 (18), với y là số tự nhiên. 
Ta có : y
2
 = (x
4
 + 2x
3
 + x
2
) + (x
2
 + x + 3) = (x
2
 + x)
2
 + (x
2
 + x + 3). 
Ta sẽ chứng minh a2 < y2 < (a + 2)2 với a = x2 + x. 
Thật vậy : y2 – a2 = x2 + x + 3 = (x + 
1
2
)
2
 + 
11
4
 > 0, suy ra y
2
 > a
2
. 
 (a + 2)
2
 – y2 = (x2 + x + 2)2 – [(x2 + x)2 + (x2 + x + 3)] 
 = [(x
2
 + x)
2
 + 4(x
2
 + x) + 4] – [(x2 + x)2 + (x2 + x + 3)] 
 = 3x
2
 + 3x + 1 = 3(x + 
1
2
)
2
 + 
1
4
 > 0, suy ra y
2
 < (a + 2)
2
. 
Do a
2
 < y
2
 < (a + 2)
2
 nên y
2
 = (a + 1)
2
, hay (x
2
 + x)
2
 + (x
2
 + x + 3) = (x
2
 + x + 1)
2
 (x2 + x)2 + (x2 + x) + 3 = (x2 + x)2 + 2(x2 + x) + 1 
  x2 + x – 2 = 0  x = 1 hoặc x = –2. 
Với x = 1 hoặc x = –2, biểu thức đã cho bằng 9 = 32, thoả mãn. 
Vậy các giá trị nguyên của x cần tìm là x  {-2 ; 1} 
BÀI TẬP 
15. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 2 23x 4y 6x 13.   
16. Có tồn tại hay không hai số nguyên dương x và y sao cho x2 + y và y2 + x đều là số 
chính phương. 
17. Chứng minh rằng có vô số số nguyên x và y để biểu thức sau là số chính phương : 
2 2 2 2(1 2 3 ... x)(1 2 3 ... x ).        
www.VIETMATHS.comwww.VIETMATHS.com
PHƢƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 
10 TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY THANH 
18. Chứng minh rằng không có số chính phương nào viết được dưới dạng p p2 3 trong 
đó p là số nguyên tố. 
19. Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là số chính phương : 
x
4
  x3 + x2  x  1. 
20. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : x(x2  x  1)  4y(y  1). 
21. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : x4  x3  x2  x  y2  y. 
22. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : x4 – 2y2  1. 
V. PHƢƠNG PHÁP LÙI VÔ HẠN. NGUYÊN TẮC CỰC HẠN 
1. Phƣơng pháp lùi vô hạn 
Ví d 15. Tìm các số nguyên x, y, z thoả mãn đẳng thức : x3 + 2y3 = 4z3 (15) 
Giải : 
Từ (15) suy ra x  2. Đặt x  2x1 với x1 nguyên. Thay vào (15) rồi chia hai vế cho 2 
ta được: 
3 3 3
1
4x y 2z  (15.1) 
Từ (15.1) suy ra y  2. Đặt y  2y1 với y1 nguyên. Thay vào (15.1) rồi chia hai vế 
cho 2 ta được: 
3 3 3
1 1
2x 4y z  (15.2) 
Từ (15.2) suy ra z  2. Đặt z  2z1 với z1 nguyên. Thay vào (15.2) rồi chia hai vế cho 
2 ta được: 
3 3 3
1 1 1
x 2y z  (15.3) 
Như vậy nếu (x ; y ; z) là nghiệm của (15) thì (x1 ; y1 ; z1) cũng là nghiệm của (15) 
trong đó x  2x1 , y  2y1 , z  2z1 . 
Lập luận tương tự như trên thì (x2 ; y2 ; z2) cũng là nghiệm của (15) trong đó 
x1  2x2, y1  2y2 , z1  2z2 . 
Cứ tiếp t c như vậy ta đi đến : x, y, z chia hết cho 2k với k là số tự nhiên tuỳ ý. Điều 
này chỉ xảy ra khi x  y  z  0. 
 Đó là nghiệm nguyên duy nhất của (19). 
2. Nguyên tắc cực hạn 
Ví d 16. Chứng minh rằng phương trình (19) không c n nghiệm nào khác nghiệm 
x  y  z  0. 
www.VIETMATHS.comwww.VIETMATHS.com
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƢỠNG HSG MÔN TOÁN 8 – PHẦN ĐẠI SỐ 
TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY THANH 11 
Giải : 
Giả sử ngoài nghiệm x  y  z  0, (19) c n có nghiệm (x ; y ; z ) ≠ (0 ; 0 ; 0). 
Trong các nghiệm như vậy, chọn ra được nghiệm (x0 ; y0 ; z0) có tổng   nhỏ 
nhất. 
Vì (x0 ; y0 ; z0) là nghiệm của (19) nên : 
3 3 3
0 0 0
x 2y 4z  . Suy ra x0  2. 
Đặt x0  2x1, ta được : 
3 3 3 3 3 3
1 0 0 1 0 0
8x 2y 4z 4x y 2z     . Suy ra y0  2. 
Đặt y0  2y1, ta được : 
3 3 3 3 3 3
1 1 0 1 1 0
4x 8y 2z 2x 4y z     . Suy ra z0  2. 
Đặt z0  2z1, ta được 
3 3 3 3 3 3
0 0 0 0 0 0
2x 4y 8z x 2y 4z     . 
Do đó (x1 ; y1 ; z1) cũng là nghiệm của phương trình (18). 
Hơn nữa, do cách chọn nên (x1 ; y1 ; z1) ≠ (0 ; 0 ; 0), (x0 ; y0 ; z0) ≠ (0 ; 0 ; 0) 
0 0 0
1 1 1 0 0 0
x y z
x y z x y z
2 2 2
        . 
Điều này trái với cách trọn (x0 ; y0 ; z0). 
Vậy, ngoài nghiệm x  y  z  0 ra phương trình (19) không c n nghiệm nguyên 
nào khác. 
BÀI TẬP 
23. Tìm các nghiệm nguyên của các phương trình sau : 
a) x
3
 – 3y3  9z3 ; b) x2  y2  3z2 ; 
c) x
2
  y2  6(z2  t2) ; d) x2  y2  z2  2xyz ; 
24. a) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : x2 + y2  7z2. 
b) Chứng minh rằng số 7 không viết được dưới dạng tổng các bình phương của hai 
số hữu tỉ. 
www.VIETMATHS.comwww.VIETMATHS.com