Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 6 - Chuyên đề: Tính chất chia hết của một tổng - Tạ Phạm Hải

Chuyên đề toán 6 : tính chất chia hết của một tổng
Người viết : Tạ Phạm Hải
Giáo viên Trường THCS Thị trấn Hưng hà - Thái bình
I.Lý thuyết : 
Tính chất 1 : với a , b , m ϵ N và m ≠ 0
	Mở rộng a – b ⋮ m với a ≥ b
Tính chất 2 : với a , b , m ϵ N và m ≠ 0
	 Mở rộng a – b hoặc b – a cũng không chia hết cho m
Tính chất 3 : với a , b , m ϵ N và m ≠ 0
	Mở rộng B = a – b hoặc b – a chia hết cho m và trong a và b có một số 
 chia hết cho m thì số còn lại cũng chia hết cho m
II.Bài tập : 
Loại 1 : Chứng minh chia hết của một tổng không có điều kiện
Bài 1 : Chứng tỏ rằng tổng T = + 74 37 
Giải :
Ta thấy = a.111 = a.3.37 37 ; = b.111 = b.3.37 và 74 37 . Vậy T 37 đpcm
Bài 2 : Chứng minh rằng tổng N = 20072007 + 20082008 + 20092009 2 
Giải :
Ta có 2008 2008 là số chẵn nên chia hết cho 2. 
20072007 lẻ và 20092009 lẻ nên 20072007 + 20092009 2
Mà N = 20072007 + 20082008 + 20092009 = 20082008 + ( 20072007 + 20092009 ) là tổng của hai số chia hết cho 2 nên N chia hết cho 2 . đpcm
Hãy nhận xét về cách giải loại bài tập trên 
Giải các bài tập sau : Chứng minh rằng :
	 11 ; 3 ) 552 + 5552 + 55552 + 555552 10
 7	; 4 ) ⋮ 11
5) ⋮ 9 với a > b	;	6) ⋮ 2 với a , b ϵ N
7) Chứng minh rằng tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3 , nhưng tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp thì không chia hết cho 4.
8) Chứng minh rằng 60n + 45 chia hết cho 15 ϵ N nhưng không chia hết cho 30
9) Chứng minh số 23! + 19! – 15! ⋮ 110
CMR vụựi moùi soỏ tửù nhieõn n thỡ n 2 + n + 6 khoõng chia heỏt cho 5.
11) CMR: a/ 94260 – 35137chia heỏt cho 5.	 
 b/ 995 - 984 + 973 - 962 chia heỏt cho 2 vaứ 5.
Bài 4 : Cho tổng A = 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + ... + 259 + 260 
Chứng tỏ A 3
Chứng tỏ A 7
Chứng tỏ A 15
Giải :
a ) A = ( 2 + 22 ) + ( 23 + 24 ) + ( 25 + 26 ) + .... + ( 259 + 260 )
 = 2( 1 + 2 ) + 23( 1 + 2 ) + 25( 1 + 2 ) + ..... + 259( 1 + 2 )
	 = 2.3 + 23.3 + 25.3 + 27.3 +.... + 259.3
Tổng A gồm 30 nhóm nhóm nào cũng chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3 . đpcm
b ) A = ( 2 + 22 + 23 ) + ( 24 + 25 + 26 ) +... + ( 258 + 259 + 260 )
 = 2 ( 1 + 2 + 22) + 24( 1 + 2 + 22) + .... + 258 ( 1 + 2 + 22 )
	 = 2.7 + 24.7 + 27.7 + ... + 258.7
Tổng A gồm 20 nhóm nhóm nào cũng chia hết cho 7 nên A chia hết cho 7 . đpcm
c ) A = ( 2 + 22 + 23 + 24 ) + ( 25 + 26 + 27 + 28 ) + ... + ( 257 + 258 + 259 + 260 )
	 = 2( 1 + 2 + 22 + 23 ) + 25( 1 + 2 + 22 + 23 ) + ... + 257( 1 + 2 + 22 + 23 )
	 = 2.15 + 25.15 + .... + 257.15
Tổng A gồm 15 nhóm nhóm nào cũng chia hết cho 15 nên A chia hết cho 15 . đpcm
Hãy nhận xét cách giải trên
Bài tập tương tự :
Cho B = 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + ... + 512 
Chứng tỏ B 6 
Chứng tỏ B 31 
Chứng tỏ B 30
Cho C = 3 + 32 + 33 + 34 + 35 + ... + 312
Cho D = 4 + 42 + 43 + 44 + 45 + ... + 424
Cho E = 7 + 72 + 73 + 74 + 75 + 76 + 77 + 78 
Bài 5: Chứng minh rằng 10n + 18n – 1 chia hết cho 27 ( n ∈ N*)
Giảng : Đây là bài tập khó . Việc biến đổi 10n + 18n – 1 thành tổng các số hạng cùng chia hết cho 27 không thể dùng cấu tạo số hoặc tách ra thành các bộ phận từ bản thân nó . Sau đây ta làm quen với một thủ thuật mới đó là thêm bớt cùng một số hạng .
Giải:
Ta có 10n + 18n – 1 = 10n – 1 – 9n + 27n = ( 10n – 1 ) – 9n + 27n . 
 = - 9n + 27 = 9.( - n) + 27n
Vì Số và tổng các chữ số của nó (bằng n) có cùng số dư trong phép chia cho 3
nên hiệu của chúng chia hết cho 3, nghĩa là :
11.....1 – n chia hết cho 3, do đó 9(11..... 1 – n) chia hết cho 27 .
 n số 1 n số 1
Vậy 9( – n) + 27n chia hết cho 27 . Hay 10n + 18n – 1 chia hết cho 27.
Loại 2 : Chứng minh sự chia hết của một tổng có điều kiện
Bài 1: Chứng minh rằng
 Nếu + 37 thì 37 
Chứng minh rằng nếu thì + 134 ⋮ 67
Giải:
Ta có : = 1000. + = 999. + ( + ) , mà 999 = 37.27 nên = 37.27. + ( + ) .Vậy nếu + 37 thì 37 
Ta có + 134 = 100. + +134 = 100.2. + 134 = 201. + 134 ⋮ 67 đúng
Hãy nhận xét cách giải trên
Bài tập tương tự : Chứng minh rằng 
Nếu + 11 , thì 11
Nếu 7 , thì 7
Nếu thì chia hết cho 23 và 29
Nếu a – b 6 thì a + 5b ; a + 17b ; a – 13b đều chia hết cho 6
 Cho 10 k – 1 19 vụựi k > 1 CMR: 102k – 1 19
 CMR toồng cuỷa ba soỏ tửù nhieõn lieõn tieỏp thỡ chia heỏt cho 3, coứn toồng cuỷa boỏn soỏ tửù nhieõn lieõn tieỏp thỡ khoõng chia heỏt cho 4.
 CMR Toồng cuỷa 5 soỏ chaỳn lieõn tieỏp thỡ chia heỏt cho 10, coứn toồng cuỷa 5 soỏ leừ lieõn tieỏp thỡ khoõng chia heỏt cho 10.
Bài 2 : Cho các biểu thức A = a2 + b2 + c2 + d2 và B = a + b + c + d , với a,b,c,d ∈ N . 
 Chứng minh rằng nếu A ⋮ 2 thì B cũng chia hết cho 2 .
Giải :
Xét A + B = a2 + a + b2 + b + c2 + c + d2 + d = a(a + 1) + b(b + 1) + c(c + 1) + d( d + 1)
Ta thấy a(a + 1) ; b(b + 1) ; c(c + 1) ; d(d + 1) đều là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên đều là số chẵn , do đó A + B ⋮ 2 . Vậy nếu A ⋮ 2 thì B cũng chia hết cho 2 .
Bài 3: Cho biết abc chia hết cho 7, chứng minh rằng : 2a + 3b + c chia hết cho 7.
Giảng : 
Sử dụng kiến thức về cấu tạo số để phân tích thành tổng của hai số hạng: một số hạng là bội của 7, số hạng kia là 2a + 3b + c 
Giải:
Ta có = 100a + 10b + c = 98a + 2a + 7b + 3b + c = (98a + 7b) + (2a + 3b + c)
 = 7(14a + b) + (2a + 3b + c)
Mà 7(14a + b) chia hết cho 7 . Do đó (2a + 3b +c) chia hết cho 7 
Bài 4: Cho biết a + 4b chia hết cho 13 (a,b ∊ N).
 Chứng minh rằng 10a + b ⋮13.
Giảng : 
 Đề bài cho biết a + 4b ⋮ 13 và phải chứng minh 10a + b⋮13. Do đó cần nghĩ đến việc sử dụng giả thiết này bằng cách làm xuất hiện tổng hoặc hiệu của hai số, một số chứa a + 4b, một số chứa 10a + b rồi xét tổng hoặc hiệu của chúng.
 Để cho gọn đặt a + 4b = X, 10a + b = Y. Ta thấy khi xét tổng hoặc hiệu của X và Y thì không thấy xuất hiện bội của 13. Vì vậy có thể nhân X hoặc Y lên một số lần để sao cho khi cộng hay trừ hai biểu thức thì xuất hiện bội của 13.
 Vì hệ số của a ở X là 1, ở Y là 10 nên có thể nhân X với 10 rồi xét hiệu 10X – Y nhằm khử a hoặc nhân X với 3 rồi xét tổng 3X + Y, nhằm tạo ra hệ số của a bằng 13...
Lời giải :
 Đặt a + 4b = X và 10a + b = Y , thì theo đề bài ta có X ⋮ 13 . 
 Khi đó xét : 10X – Y = 10( a + 4b ) – ( 10a + b) = 10a + 40b – 10a – b = 39b ⋮ 13 
Do X ⋮ 13 nên Y ⋮ 13 . hay 10a + b ⋮ 13 ( đpcm )
Tuy nhiên ta có các cách khác như sau :
Cách 2 :
 	Từ đề bài ta có X⋮13 nên 3X⋮13
 	Xét 3X + Y = 3(a + 4b) + (10a + b) = 13a + 13b ⋮ 13
 Như vậy 3X + Y ⋮13 mà X⋮13 ⇒ Y⋮13 hay 10a + b ⋮13 ( đpcm)
 Cách 3 :
 	Xét X + 9Y = a + 4b + 9(10a + b) = 91a + 13b ( vì 91 ⋮ 13 )
 Ta được : X + 9Y⋮13 mà X⋮13 ⇒ 9Y⋮13. mà (9 ; 13) = 1 nên Y⋮13 hay 10a + b ⋮13
 Cách 4: 
 	Xét 4Y – X = 4(10a + b) – (a + 4b) = 39a ⋮ 13
 Như vậy 4Y – X ⋮13 mà X⋮13 ⇒ 4Y⋮13
 Do (4 ; 13) = 1 nên Y⋮13 hay 10a + b⋮13
Bài tập : Cho biết 3a + 2b chia hết cho 17 (a,b ∊ N),
chứng minh rằng 10a + b chia hết cho 17.
Bài 5: Cho một số chia hết cho 7 gồm 6 chữ số. Chứng minh rằng nếu chuyển chữ số tận cùng lên đầu tiên ta vẫn được số chia hết cho 7.
Giải:
Gọi số chia hết cho 7 gồm 6 chữ số là: X = abcdeg
Nếu chuyển chữ số tận cùng lên đầu tiên ta được số: Y = gabcde
Đặt abcde = n thì X = 10n + g, Y = 100000g + n
 Ta có: 10Y – X = 10(100000g +n) – (10n + g)
 = 1000000g + 10n – 10n – g = 999999g ⋮7
Mà 10 Y – X chia hết cho 7, X chia hết cho 7 nên 10Y ⋮7 
Mà 10 và 7 là hai số nguyên tố cùng nhau nên Y⋮ 7 hay abcdeg ⋮7 ( đpcm )
Bài 6 : Cho a và b là các chữ số , chứng minh rằng nếu 6a + 11b 31 thì 31
Lời giải 1:
Ta có 31 Û 6. 31 hay 6.( 100b + a ) = 600b + 6a = 589b + 11b + 6a .
Vậy 6. = 589b + 11b + 6a = 19.31.b + ( 6a + 11b) . 
Ta có 19.31b 31 và 6a + 11b31 nên 6. 31 do ( 6 ; 31) = 1 nên 31 . đpcm
Lời giải 2 : 
	Vì 6a + 11b ⋮ 31 nên 5(6a + 11b) ⋮ 31. Xét tổng 5( 6a + 11b) + = 30a + 55b + 100b + a = 31a + 155b = 31a + 31.5b ⋮ 31 . vậy ⋮ 31 ( đpcm )
Loại 3 : Tìm số nguyên hoặc tìm chữ số để chia hết
Bài 1: Tìm chữ số a, biết rằng 20a20a20a⋮7
Giải :
Giảng : Sử dụng kiến thức về cấu tạo số để phân tích thành tổng của hai số hạng : trong đó có một số hạng là bội của 7 ; số hạng còn lại ở dạng đơn giản nhất có thể được dùng để suy luận tìm ra a .
 Ta có 20a20a20a = 20a20a.1000 + 20a 
 = (20a.1000 + 20a).1000 + 20a
 = 1001.20a.1000 + 20a
 = 7.143.20a.1000 + 20a⋮7
Do 7.143.20a.1000⋮7⇒20a⋮7
 Mà	20a = 200 + a = 196 + 4 + a = 196 + (4 + a)⋮7
Vì 196⋮7 ⇒ 4 + a⋮7. Vì a là chữ số ⇒ a = 3. Ta được số 203203203⋮7
	Đáp số a = 3
	Ta cần suy nghĩ rằng số hạng thứ 2 tách ra để suy luận là còn có thể đơn giản hơn nữa được không để có cách giải khác .
Bài 2: Tìm số tự nhiên có hai chữ số , sao cho nếu viết số đó tiếp vào bên phải số 2003 thì ta được một số chia hết cho 37.
Giải :
Gọi số phải tìm là . Ta có ⋮ 37 ị 200300 + ⋮ 37 hay 5413.37 + 19 + ⋮ 37 Từ đó 19 + ⋮ 37 . mà 10 Ê Ê 99 nên ϵ { 18 ; 55 ; 92 }
Bài tập : Tìm số tự nhiên có hai chữ số , sao cho nếu viết số đó tiếp vào bên phải số 1999 thì ta được một số chia hết cho 37.
Bài 3: Tìm số tự nhiên n để n + 4 n
Giải :
Điều kiện : n > 0 . Ta có n n n ≠ 0 nên n + 4 n ⟺ 4 n ⟺ n ϵ Ư( 4) = { 1 ; 2 ; 4 }
Bài 4: Tìm số tự nhiên n để n2 + 5n + 9 n + 3 
Giải :
Vì n ϵ N nên n + 3 ≥ 3 . Ta có n2 + 5n + 9 = n2 + 3n + 2n + 6 +3 = n( n + 3) + 2( n + 3) + 3
Vậy n2 + 5n + 9 n + 3 ⟺ 3 n + 3 ⟺ n + 3 ϵ Ư( 3 ) mà n + 3 ³ 3 nên :
 n + 3 = 3 . Vậy n = 0	Đáp số : n = 0
Bài 5 : Tìm số tự nhiên n để 2n + 3 ⋮ n – 1 
Giải :
Điều kiện : n ≠ 1
Vì n ∈ N nên n – 1 ³ – 1 . Ta có 2n + 3 = 2n – 2 + 5 = 2( n – 1) + 5 ⋮ n – 1 . Vậy n – 1 là ước của 5 , mà n – 1 ³ – 1 nên n – 1 ∈ { 1 ; 5 } 
	Nếu n – 1 = - 1 thì n = 0
	Nếu n – 1 = 1 thì n = 2
	Nếu n – 1 = 5 thì n = 6
	Đáp số : n ∈ { 0 ; 2 ; 6 }
Bài tập tương tự : Tìm số tự nhiên n để :
3n + 7 n + 1 	 ; n + 6 n + 2
 n2 + 3n – 5 n – 2 ; n2 + 9n + 20 n + 2 ; n + 5 n – 2 
972 + ⋮ 9	; 	3036 + ⋮ 3