Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 6 - Chuyên đề: Kỹ thuật chặn để giải bài tập số học 6 - Năm học 2008-2009 - Tạ Phạm Hải

Chuyên đề: Kĩ thuật chặn để giải bài tập số học 6
I.Các ví dụ hình thành phương pháp
Ví dụ 1 : Tìm các số tự nhiên x , y sao cho 
2x + 5y = 21
7x + 12y = 50
Giải :
Vì 2x ³ 1 nên 5y Ê 20 vậy y Ê 4 . Ta có bảng lựa chọn sau :
 y
 0
 1
 2
 3
 4
 5y
 0
 5
 10
 15
 20
 2x 
 21
 16
 11
 6 
 1
 x
không có
 4
 không có
không có
 0
Đáp số : Nếu x = 4 thì y = 1 ; Nếu x = 0 thì y = 4
Vì nếu y ³ 2 thì 12y ³ 122 > 50 . Vậy y < 2 ị y = 0 hoặc y = 1
Nếu y = 0 thì 120 = 1 nên 7x = 49 Û x = 2
Nếu y = 1 thì 121 = 12 nên 7x = 38 loại 
Đáp số x = 2 và y = 0
Nhận xét : Câu này ta đã chặn theo các giá trị của y , tuy nhiên ta cũng có thể chặn theo các giá trị của x như sau : Vì 25 = 32 > 21 nên x Ê 4 ị x ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } và lập bảng lựa chọn để giải tiếp 
Ví dụ 2 : Tìm số biết = 7850
Giải :
Ta thấy nếu x ³ 3 thì ³ 35.300 = 10500 > 7850 . Vậy x < 3
Ta cũng thấy x > 1 vì nếu x = 1 thì Ê 15. 399 = 5985 < 7850 .
Như vậy 1 < x < 3 nên x = 2 . thay vào đề bài ta có 25. = 7850 nên 
= 7850 : 25 = 314 ị = 14 . Vậy = 214
Nhận xét : ở đây ta đã chặn theo các giá trị của x . Ta cũng có thể chặn như sau:
= 7850 Û = . Vậy x = 2 hoặc x = 1.Đến đây việc giải tiếp dễ dàng . Tuy nhiên không nên chặn theo các giá trị của y hoặc của z vì nếu như có làm được thì lời giải cũng phức tạp dễ gây nhầm lẫn
Ví dụ 3: Tìm các số nguyên x , y biết | 5x – 2 | 13 
Giải :
Nếu x ³ 4 thì | 5x – 2 | ³ | 5.4 – 2 | = | 18 | = 18 > 13 , vậy x 3
Nếu x Ê - 3 thì | 5x – 2 | ³ | 5.( - 3) – 2 | = | – 17 | = 17 > 13 . vậy x ³ - 2 
Vậy : - 2 Ê x Ê 3 ị x ∈ { - 2 ; - 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 }. Thử lại ,ta có bảng sau :
 x
2
1 
 0 
 1
 2 
 3
| 5x – 2 |
 | – 12 |
 | – 7 |
 | – 2 |
 | 3 |
 | 8 |
 | 13 |
Cả 6 giá trị trên của x đều thỏa mãn . Vậy bài toán có các đáp số như trên
Ví dụ 4 : Tìm ba số tự nhiên a , b , c biết a + b + c = abc và a > b > c > 0
Giải :
 Vì a > b > c nên a + b + c c nên b = 2 và c = 1.
 Thay vào bài ta có a + 2+ 1 = 2a Û a = 3 .
	Đáp số : a = 3 ; b = 2 ; c = 1
Nhận xét : ở ví dụ này ta không thể chặn a trực tiếp bằng một số cụ thể nào mà chỉ sử dụng tính chất : “ là số lớn nhất “ của nó . Bạn đọc tự xét xem tại sao không nên chặn theo b hoặc theo c . Để biết thêm thế mạnh của cách chặn này ta xét ví dụ 4 sau đây
Ví dụ 5 : Tìm biết 
Giải :
Ta thấy y > 1 vì nếu y = 1 thì = vô lý . Vậy y ³ 2 . 
Ta lại thấy y 104 = 10000 > . Vậy y ∈ { 2 ; 3 }
Nếu y = 2 ta có = Û x2.121 = x.1001 + 220 = x.11.91 + 11.20 = 11(x.91 + 20) 
Vậy x2.11 = x.91 + 20 Û x2.11 – 91x = 20 Û x.( x.11 – 91 ) = 20 
ị x.11 > 91 Û > 91 . Vậy x= 9 . Thử vào 992 = 9801 loại
Nếu y = 3 ta có = . Nếu x ³ 2 thì ³ 22³ = 10648 có 5 chữ số. vậy x = 1 . Thử vào bài 11³ = 1331 hợp lý . Đáp số =13
 Ta cũng có thể giải như sau : ta có = Û x3.113 = x.1001 + 330 = x.11.91 + 11.30 = 11( x.91 + 30 )
Vậy x3. 121 = x.91 + 30 = 121x + ( 30 – 30x) ị 30 – 30x ⋮ 121 Û 30(1 – x) ⋮ 121
mà ( 30 ; 121 ) = 1 nên 1 – x ⋮ 121 , do x là chữ số nên 1 – x = 0 hay x = 1.Thử vào 
bài ta có 113 = 1331 hợp lý . Vậy x = 1 và y =3 . Đáp số =13
Nhận xét : Ta cũng có thể chặn như sau : Vì Ê 9999 991 vì = có 4 chữ số Vậy y ³ 2 . Vậy y ∈ { 2 ; 3 }. Phần còn lại giải như trên .
Ví dụ 6 : Tìm số tự nhiên sao cho số đó cộng với tổng các chữ số của nó thì bằng 249 
Giải : 
	Gọi số phải tìm là n và tổng các chữ số của n là s(n) , ta phải có n + s(n) = 249
Ta thấy n phải là số có 3 chữ số vì nếu n có một hoặc hai chữ số thì n + s(n) Ê 99 + 9 + 9 = 117 < 249 và tất nhiên n không thể có nhiều hơn 3 chữ số.
	Đặt n = thì ta có : + a + b + c = 249
 Vì a + b + c Ê 27 nên 200 < < 249 ị a = 2 , Thay vào bài ta được : 
	 + 2 + b + c = 249 Û 200 + + 2 + b + c = 249 
Û + b + c = 249 – 202 
 Û + b + c = 47 . Vậy b Ê 4 . Lại vì b + c lớn nhất là 18 nên nhỏ nhất là 47 – 18 = 29 vậy b ³ 2 . Ta có 2 Ê b Ê 4 ị b ∈ { 2 ; 3 ; 4 } 
Nếu b = 2 ta có + 2 + c = 47 Û 22 + 2c = 47 Û 2c = 25 ( loại )
Nếu b = 3 ta có + 3 + c = 47 Û 33 + 2c = 47 Û 2c = 14 Û c = 7 
Nếu b = 4 ta có + 4 + c = 47 Û 44 + 2c = 47 Û 2c = 3 ( loại )
Đáp số : số phải tìm là 237
Ví dụ 7 : Tìm các số nguyên x và y biết : 2|x| + 3|y| = 5
Giải :
Nếu y = 0 , ta có 2|x| = 5 Û |x| = 2,5 vô lý vì x ∈ Z
Xét y ≠ 0 thì 3|y| ³ 3 nên 2|x| Ê 2 Û |x| Ê 1. Vậy |x| ∈ { 0 ;1 } 
Với |x| = 0 thì 3|y| = 5 Û |y| = 5/3 vô lý vì y ∈ Z
Với |x| = 1 ị x ∈ { 1 } khi đó |y| = 1 và y ∈ { 1 } . Thử vào đề bài ta được 
các đáp số là :  ;  ;  ; 
Ví dụ 8 : Tìm số tự nhiên biết = 4321
Giải :
	 = 4321 Û = 4321
Ta thấy a 4321
và a > 2 vì nếu a Ê 2 thì Ê 2222 + 999 + 99 + 9 = 3329 < 4321
Vậy a = 3 khi đó ta có = 4321 – 3333 = 988 .
Ta thấy b 988 chưa kể . lại thấy b > 7 vì nếu b Ê 7 thì Ê 777 + 99 + 9 = 885 < 988 . vậy b = 8 . Khi đó = 100 điều này chỉ có thể ở trường hợp 100 = 99 + 1 , vậy c = 9 và d = 1
	Đáp số = 3891
Ví dụ 9 : Tìm các số nguyên dương x , y thỏa mãn và x ³ y
Giải :
Vì x ³ y > 0 khi đó Ê và . Vậy ³ = ị y Ê 6
Lại vì > 0 nên 3 , hay y ³ 4 . Vậy ta có 4 Ê y Ê 6
Nếu y = 4 ta có + = + = Û = Û x = 12
Nếu y = 5 ta có + = + = Û = - = loại vì x ẽ Z 
Nếu y = 6 ta có + = + = Û = Û x = 6
Bài toán có 2 đáp số là ( x ; y) = ( 12 ; 4 ) và ( x ; y) = ( 6 ; 6 )
Ví dụ 10 : Tìm số biết với a > b > c 
Giải :
Vì a > b > c > 0 nên c ³ 1 ; b ³ 2 ; a ³ 3 khi đó ta có mà nên d b > c .
Lại vì a > b > c > 0 ị khi đó ta có mà nên Vậy c ∈ { 1 ; 2 }
Với c = 1 thì vô lý 
Với c = 2 thì , mà nên 
 do đó b c = 2 nên b = 3 . ta có , vậy a = 6
	Vậy a = 6 , b = 3 , c = 2 , d = 1 và : = 6321
Ví dụ 11 : Tìm các số nguyên tố a , b , c ( có thể bằng nhau ) thỏa mãn 
abc < ab + bc + ca và a ³ b ³ c
Giải :
Vì a ³ b ³ c . Ta có :
ab + bc + ca Ê ab + ab + ab = 3ab . Mà ab + bc + ca > abc nên ta có abc < 3ab
Û c < 3 mà c nguyên tố nên c = 2 . 
Thay vào bài ta được 2ab < ab +2( a + b) Û ab < 2(a + b) Ê 2( a + a) = 4a . Vậy ab < 4a 
nên b < 4 ị b ∈ { 2 ; 3 } .
Nếu b = 2 , thay vào đề bài ta được 2.2.a < 2a + 2.2 + 2.a , hay 4a < 4a + 4 đúng với mọi số nguyên tố a 
Nếu b = 3 , thay vào bài ta được 2.3.a < 3a + 6 + 2a , hay 6a < 6 + 5a Û a < 6 , do a nguyên tố không nhỏ hơn b = 3 nên a = 3 hoặc 5
Đáp số : b = c = 2 và a là số nguyên tố tùy ý
	 c = 2 , b = 3 và a = 3 hoặc a = 5
Ví dụ 12: Cho 4 số nguyên dương có tổng bằng 9 , Chứng minh rằng trong 4 số đó có ít nhất hai số bằng nhau
Giải :
	Giả sử trong 4 số đã cho không có 2 số nào bằng nhau .Gọi 4 số đã cho là a , b , c , d với a > b > c > d . Ta có : d ³ 1 ; c ³ 2 ; b ³ 3 ; a ³ 4 . Như vậy a + b + c + d ³ 1 + 2 + 3 + 4 = 10 . Theo bài ra ta có a + b + c + d = 9 nên sẽ có 9 ³ 10 vô lý . Vậy giả sử trong 4 số đã cho không có 2 số nào bằng nhau là không đúng nên phải có ít nhất 2 số trong các số đã cho là bằng nhau . ( đpcm)
Bài tập luyện tập
Bài 1 : Tìm biết = 1037
Bài 2 : Tìm biết = 17395
Bài 3 : Tìm số tự nhiên có 3 chữ số biết rằng số đó cộng với hai lần tổng các chữ số của nó thì bằng 405
Bài 4 : Tìm số biết 
Bài 5 : Tìm hai số tự nhiên x , y biết 
Bài 6 : Cho hai số nguyên dương khác nhau là a và b . Chứng minh > 2 
Bài 7 : Cho a , b , c là các số nguyên dương . Chứng minh rằng
	1 < < 2
Bài 8 : Tìm các số nguyên x và y biết | 5x + 2 | Ê 13