Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 6 - Bài giảng 3: Ước chung và ước chung lớn nhất - Tạ Phạm Hải

Bài giảng3 : ưc và ƯCLN
Kiểm tra bài cũ : 
1.Thế nào là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau ? Cho ví dụ .
2.Có mấy cách tìm ƯCLN của hai số tự nhiên mà em đã học ? Hãy tìm ( 36 ; 60 )
 B. Bài giảng mới 
Bài toán 1 :	 Gọi d = ( 36 ; 60 ) . Giả sử 36 = ad và 60 = bd .Hãy tìm ( a ; b)
Bài toán 2 : ( học sinh tự làm vào vở )
	a ) Tìm ( 40 ; 72 ) = ?
	b ) gọi ( 40 ; 72 ) = d và giả sử 40 = ad và 72 = bd ,hãy tìm ( a ; b)
Kết luận :
 ( A ; B ) = d ị A = ad và B = bd với ( a ; b ) = 1
Hãy vận dụng kết luận trên để giải bài tập sau :
à Bài 1 :
u Biết ước chung lớn nhất của hai số bằng 4 , số nhỏ bằng 8 thì số lớn bằng bao nhiêu ? Biết rằng số lớn không vượt quá 50
v Biết ước chung lớn nhất của hai số bằng 16 , số lớn bằng 96 thì số nhỏ bằng bao nhiêu ?
 Xem lời giải của câu 1 :
	Gọi số lớn là a , số nhỏ là 8 . Vì ( a ; 8) = 4 nên ta phải có :
	a = 4k , k ẻ N 	ị ( k ; 2) = 1 vậy k là số lẻ ,mà a > 8 cho 
 8 = 4.2	nên k ³ 3 và k < 13 . ta có bảng sau :
 k
3
 5
7
9
11
13
 a
12
 20
 28
 36
 44
52
	Từ bảng trên do a Ê 50 nên ta có đáp số là :
	a ẻ { 12 , 20 , 28 , 36 , 44 }
 Câu hỏi 1 : 1) Theo em lời giải trên gồm mấy bước giải chính ?
 2) Theo em lời giải trên đã vận dụng kết luận ở chỗ nào ?
 Em hãy áp dụng cách làm trên để giải câu 2
à Bài 2 :
	w Tìm 2 số p và q biết rằng p + q = 432 và ( p ; q ) = 36 
	x Tìm 2 số a và b biết rằng a + b = 162 và ( a ; b ) = 18
	y Tìm 2 số a và b biết rằng ab = 720 và ( a ; b ) = 6 
	z Tìm 2 số a và b biết rằng a – b = 48 và ( a ; b ) = 12
 Xem lời giải của câu 3 : 
	Vì ( p ; q) = 36 ị p = 36 m , m ẻ N với ( m ; n) = 1
	 q = 36 n , nẻ N
	mà p + q = 432 nên 36m + 36n =36.( m + n) = 432
m + n = 432 : 36 = 12 . Do ( m ; n) = 1 nên ta cần phân tích 12 
thành tổng của hai số nguyên tố cùng nhau . Ta có bảng sau :
m
 1
 11
 5
 7
n
 11
 1
 7
 5
Nếu m = 1 và n = 11 thì p = 36.1 =36 và q = 36.11 = 396
Nếu m = 11 và n = 1 thì p = 36.11 = 396 và q = 36 .1 = 36
Nếu m = 5 và n = 7 thì p = 36.5 = 180 và q = 36.7 = 252
Nếu m = 7 và n = 5 thì p = 36.7 =252 và q = 36.5 = 180
	Đáp số p = 36 ; q =396
	 p = 396 ; q = 36
	 p = 180 ; q = 252 
	 p = 252 ; q = 180
 câu hỏi : Lời giải có mấy bước chính ?
 Em hãy vận dụng cách làm trên để giải bài tập còn lại
 à Bài 3 : 
Có 48 quả cam và 18 quả quýt . Hỏi có thể chia số cam và quýt đó cho bao nhiêu em sao cho mỗi em đều được phần cam và quýt như nhau , biết rằng số học sinh được chia đó có nhiều hơn 5 em ? . Khi đó mỗi em được bao nhiêu quả mỗi loại ?
Xem lời giải bài 3:
	Gọi số học sinh phải tìm là x bạn , vậy x ẻ N+ và x > 5 
Vì số cam và quýt chia đều được cho số học sinh nên x phải là ước chung của 48 và 18 . Ta có ƯCLN ( 48;18 ) = 6 nên x ẻ Ư( 6 ) , lại do x > 5 vậy x = 6
Khi đó số cam của một em là 48 : 6 = 8 ; Số quýt của mỗi em là 18 : 6 = 3
	Đáp số : 6 học sinh và mỗi học sinh được 8 quả cam và 3 quả quýt.
câu hỏi : Lời giải có mấy bước chính ?
	Em hãy vận dụng cách làm trên để giải các bài tập sau :
 Bài tập tương tự : 
	1 ) Có 693 quyển sách , 99 quyển vở và 1287 bút chì . Số quà trên có thể đem chia cho nhiều nhất bao nhiêu học sinh nghèo vượt khó để số sách , vở , bút chì của mỗi bạn là như nhau ?
	2 ) Có 3 khối lớp 6 , 7 , 8 theo thứ tự có 300 , 276 , 252 học sinh cùng xếp hàng dọc để diễu hành sao cho số hàng dọc của mỗi khối là như nhau .Có thể xếp nhiều nhất thành mấy hàng dọc sao cho để mỗi khối không có ai bị lẻ hàng ? Khi đó mỗi khối có bao nhiêu hàng ngang ?
	3) Một đơn vị bộ đội khi xếp hàng , mỗi hàng 20 người , hoặc 25 người , hoặc 30 người đều thừa 15 người còn nếu xếp mỗi hàng 41 người thì vừa đủ không có hàng nào thiếu hoặc thừa người .Hỏi đơn vị bộ đội đó có bao nhiêu người ? biết rằng đơn vị đó có chưa đến 1000 người .
 à Bài 4 :	 Tìm số tự nhiên x và y biết ( 2x + 1 )( y – 3 ) = 10
 Xem lời giải bài 4:	 
 Từ đề bài ta thấy 2x + 1 và y – 3 đều là các ước của 10 .Vì x là các số tự nhiên nên 2x + 1 là số tự nhiên lẻ . Lại vì 10 là số tự nhiên nên y – 3 phải là số tự nhiên , nên y > 3 .
	 Vậy cần phân tích số 10 thành tích của hai thừa số trong đó có một thừa số lẻ là : 10 = 1.10 = 10.1 = 2.5 = 5.2 Từ đó :
2x + 1 = 1 và y – 3 = 10 Û x = 0 và y = 13
2x + 1 = 5 và y – 3 = 2 Û x = 2 và y = 5 
Đáp số : có hai đáp số là ( x = 0 và y = 13 ) ; ( x = 2 và y = 5 )
 Câu hỏi : 
1) Tại sao khi phân tích số 10 ta được 4 trường hợp mà chỉ xét có hai ?
 2) Lời giải của bài tập trên bao gồm mấy bước chính ?
Em hãy vận dụng cách làm trên để giải bài tập sau
 Bài tập tương tự : Tìm số tự nhiên x và y biết rằng :
	a ) ( 3x – 2 )( 2y – 3 ) = 1 
	b ) ( x + 1 )( 2y – 1 ) = 12	
c ) x – 3 = y ( x + 2 ) 
d ) x + 6 = y( x – 1 )
e ) ( 3x + 1 )( 2y – 1 ) = 28
à Bài 5 : Tìm số tự nhiên a biết rằng khi chia 37 cho a thì dư 2 và khi chia 58 cho a cũng dư 2 .
Xem lời giải bài 5:
	Vì chia 37 cho a dư 2 nên ta viết được : 37 = a.n + 2 và 2 < a < 37
	Vì chia 58 cho a dư 2 nên ta viết được : 58 = a.m + 2 và 2 < a < 58 
 Suy ra 37 – 2 = a.n hay 35 = a.n vậy a là ước của 35 .
	 58 – 2 = a.m hay 56 = a.m vậy a là ước của 56 .
	Vậy a ẻ ƯC ( 35 ; 56 ) . 
 Ta có 35 = 5.7 ; 56 = 23 . 7 ị ƯCLN ( 35 , 56 ) = 7 ị a là ước của 7 , nên a là 7 hoặc 1 . thử lại chỉ có số 7 là hợp lý . Vậy a = 7 .
	Đáp số : a = 7 
 Bài tập tương tự : 
Tìm số tự nhiên a biết rằng 398 chia cho a thì dư 38 còn 450 chia cho a thì dư 18 
à Bài 6: ( Dựng thuật toỏn Ơclit để tỡm ƯCLL )
Tỡm ƯCLN (1575, 343)
Giải :
Cỏch 1 : ( Dựng quy tắc )
	Ta cú : 1575 5	343 7
	 315 5	 49 7
	 63 3	 7 7
	 21 3	 1	Vậy ( 1575 ; 343 ) = 7
	 7 7
	 1
	1575 = 32.52.7	343 = 73
Cỏch 2 : Áp dụng tớnh chất a = bq + r thỡ ƯCLN ( a ; b ) = ƯCLN ( b ; r )
Ta cú: 1575 = 343. 4 + 203
343 = 203. 1 + 140
203 = 140. 1 + 63
140 = 63. 2 + 14
63 = 14.4 + 7
14 = 7.2 + 0 chia hết nờn WCLN ( 14 ; 7 ) = 7
Vậy: Hóy tỡm ƯCLN (1575, 343) = 7
 Trong thực hành người ta đặt phộp chia đú theo sơ đồ như sau gọi là thuật toỏn ƠClit:
1575
343
343
203
4
203
140
1
140
63
1
63
14
2
14
7
4
0
2
Số dư cuối cựng khỏc 0 của dóy chia này là ƯCLN ( 1575 ; 343 )
 Đỏp số : ƯCLN (1575, 343) = 7
 Giới thiệu thuật toỏn Ơclit:
Để tỡm ƯCLN(a, b) ta thực hiện như sau:
- Chia a cho b cú số dư là r
+ Nếu r = 0 thỡ ƯCLN(a, b) = b. Việc tỡm ƯCLN dừng lại.
+ Nếu r > 0, ta chia tiếp b cho r, được số dư r1
- Nếu r1 = 0 thỡ r1 = ƯCLN(a, b). Dừng lại việc tỡm ƯCLN
- Nếu r1 > 0 thỡ ta thực hiện phộp chia r cho r1 và lập lại quỏ trỡnh như trờn. ƯCLN(a, b) là số dư khỏc 0 nhỏ nhất trong dóy phộp chia núi trờn.
Em hãy vận dụng cách làm trên để giải bài sau
Bài tậptương tự : Tỡm bằng thuật toỏn Ơclit 
ƯCLN(7092, 306) 
 ƯCLN(3618, 214)
ƯCLN(6756, 2463)
d)Cho a = 123456789 ; b = 987654321. Tìm ƯCLN (a, b)
àBài 7 : Bổ xung kiến thức 
Cho a , b ∈ N thì k.ƯCLN( a,b) = ƯCLN( ka, kb) . Từ đó nếu a = km và b = kn thì khi đó ƯCLN( a ,b) = k.ƯCLN( m , n).
à Bài 7 : Tìm ƯCLN của các biểu thức chứa chữ
Ví dụ : Tìm ƯCLN của 2n – 1 và 9n + 4 (n∊N)
Giải :
 Gọi d là ước chung của 2n – 1 và 9n + 4 ị 2n – 1 ⋮ d và 9n + 4 ⋮ d
 ⇒ 2(9n + 4) – 9(2n – 1)⋮d hay 18n + 8 – 18n + 9 = 17⋮d ⇒ d ∊ {1; 17}
Nếu d = 17 thì ta có :
 2n – 1⋮17 ⇔ 2n – 1 – 17 = 2n – 18⋮17 ⇔ 2(n – 9)⋮17 ⇔ n – 9⋮17 vì ( 2 ; 17) = 1. Vậy n – 9 = 17k , ( k ∈ N ) ⇔ n = 17k + 9 , ( k ∊ N )
Thử lại :
Với n = 17k + 9 thì 2n – 1 ⋮17 và 9n + 4 = 9(17k + 9 ) + 4 = 9.17k + 85 ⋮17.
Do đó ƯCLN (2n – 1; 9n + 4) = 17
Nếu n ≠ 17k + 9 thì 2n – 1 không chia hết cho 17
 Do đó ƯCLN (2n – 1; 9n + 4) = 1.
Đáp số : ƯCLN (2n – 1; 9n +4) = 17 khi n = 17k + 9 ( k ∈ N )
	 ƯCLN (2n – 1; 9n + 4) = 1. khi n ≠ 17k + 9 ( k ∈ N )
Bổ xung kiến thức mới
1.cách mới tìm UCLN của hai hay nhiều số tự nhiên 
Cho hai số tự nhiên a và b nếu a = km , b = kn thì ( a , b) = k( m , n) . 
áp dụng : Tìm UCLN( 198 , 180 ) . Ta thấy 198 : 18 = 11 và 180 : 18 = 10 , mà UCLN ( 11 , 10) = 1 nên UCLN (198 , 180) = 18.1 = 18.
Chú ý: tính chất này còn dùng trong chứng minh chia hết là : 
Nếu a ⋮ k và ( a,b) ⋮ k thì b ⋮ k
2.Số ước số của một số tự nhiên
Cho số tự nhiên M nếu M phân tích thành tích các thừa số nguyên tố là :
 M = ax.by....cz , với a,b,..., c là các số nguyên tố khác nhau và x , y ,..., z ∈ Z+ , thì số ước số của M bằng ( x + 1)( y + 1)...( z + 1) .
Ví dụ : 360 = 23.32.5 nên số ước số của 360 là (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 4.3.2 = 24
Bài tập về nhà
Bài 1 : Tìm UCLN của : 
a ) 52 và 72	 , b ) 50 ; 125 và 80 , c ) 68 và 116 , d ) 432 ; 504 và 720 
e) 144 ; 120 và 135 , f ) 24 ; 80 và 56 , g ) 1980 và 2100 
Bài 5 : Khi chia các số 662 và 787 cho cùng một số tự nhiên thì được số dư thứ tự là 11 và10 . Hỏi đã chia 662 và 787 cho cùng số tự nhiên nào ? 
Bài 6: Tìm số tự nhiên a biết rằng 398 chia cho a thì dư 38 còn 450 chia cho a thì dư 18
Bài 7 : Tìm số tự nhiên a biết rằng 350 chia cho a thì dư 14 còn 320 chia cho a thì dư 26
Bài 8 : Có 100 quyển vở và 90 bút chì đem thưởng đều cho một số HSG . Thưởng xong còn thừa 4 quyển vở và 18 but chì không đủ chia đều.
 Tính số HSG được thưởng và khi đó mỗi bạn được thưởng bao nhiêu vở và bút chì ?
Bài 9 : Ước chung lớn nhất của 2 số là 16 , số lớn bằng 96 , Hãy tìm số nhỏ ?
Bài 10 : Tìm 2 số biết hiệu của chúng là 48 và ƯCLN của chúng bằng 12
Bài 11:Tìm 2 số tự niên nhỏ hơn 200 biết hiệu của chúng là 90 và ƯCLN của chúng bằng 15
Bài 12 : Tìm hai số tự nhiên a và b biết :
	1 ) ab = 8748 và ( a , b ) = 27
	2 ) ab = 720 và ( a , b ) = 6
	3 ) a + b = 162 và ( a , b ) = 18
	4 ) ( 2a + 1 )( b – 2 ) = 15
Bài 13 : Tìm số tự nhiên a biết rằng 264 chia cho a thì dư 24 còn 363 chia cho a thì dư 43
Bài 14: Khi chia 662 và 787 cho cùng một số tự nhiên x thì được số dư thứ tự là 11 và 10 . Hãy tìm số tự nhiên x đó.
Bài 15: Một trường có 1015 học sinh , cần phải xếp vào mỗi hàng bao nhiêu học sinh để số H/s mỗi hàng là như nhau và không quá 40 hàng và cũng không ít hơn 10 hàng ?
Bài 16 : Tuổi của ông Thái là một số có 2 chữ số và là ước chung của 5766 và 5394 . Hỏi ông Thái bao nhiêu tuổi ?
Bài 17: Gọi d là ước chung của a và b . chứng minh d cũng là ước chung của : 
	1 ) a + b và b ; a và a + b
	2 ) a – b và b a > b ; a – b và a
	3 ) a + b và a – b biết a > b
Bài 18 : Biết số tự nhiên chỉ có 3 ước số khác 1 . Tìm số đó