Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chuyên đề: Hằng đẳng thức và ứng dụng

Chuyên đề : HẰNG ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DỤNG
A. Áp dụng nhựng hằng đẳng thức 
1. Bình phương của một tổng: =
2. Bình phương của một hiệu: = 
3. Hiệu của hai bình phương: 
4. Lập phương của tổng: 
5. Lập phương của hiệu: 
6. Tổng hai lập phương: 
7. Hiệu hai lập phương: 
* Một số hằng đẳng thức tổng quát 
an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b +  + abn-2 + bn-1)
a2k – b2k = (a + b )(a2k-1 – a2k-1b +  + a2k-3b2 –b2k-1)
a2k+1 – b2k+1 = (a + b )(a2k – a2k-1b + a2k-2b2 -  + b2k)
(a + b)n = an + nan-1b + an-2b2++a2bn-2 +nabn-1 + bn
(a -b)n = an - nan-1b + an-2b2- -a2bn-2 +nabn-1 - bn
Bài tập1: Chứng minh các hằng đẳng thức sau :
1 
2. 
3. 
4. 
Bài tập 2. Tính :
a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 +  – 20042 + 20052
b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 
Giải
a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 +  – 20042 + 20052
 A = 1 + (32 – 22) + (52 – 42)+ + ( 20052 – 20042) 
 A = 1 + (3 + 2)(3 – 2) + (5 + 4 )(5 – 4) +  + (2005 + 2004)(2005 – 2004)
 A = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +  + 2004 + 2005
 A = ( 1 + 2002 ). 2005 : 2 = 2011015
b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 
 B = (22 - 1) (22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 
 B = ( 24 – 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264
 B = 
 B =(232 - 1)(232 + 1) – 264
 B = 264 – 1 – 264 
 B = - 1 
* Chú ý: Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng hằng đẳng thức A2 – B2 
Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ nhất hay giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: 
a/ A = x2 – 4x + 7
b/ B = x2 + 8x
c/ C = - 2x2 + 8x – 15 
Giải
a/ A = x2 – 4x + 7 = x2 – 4x + 4 + 3 = ( x - 2)2 + 3 > 3
Dấu “ =” xảy ra Û x – 2 = 0 Û x = 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 3 khi x = 2.
b/ B = x2 + 8x = (x2 + 8x + 16 ) – 16 = (x – 4)2 – 16 > - 16 
Dấu “ =” xảy ra Û x – 4 = 0 Û x = 4
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là -16 khi x = 4.
c/ C = - 2x2 + 8x – 15 = – 2(x2 – 4x + 4) – 7 = – 2( x - 2)2 – 7 < - 7
 Dấu “ =” xảy ra Û x – 2 = 0 Û x = 2
 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là - 7 khi x = 2.
 * Chú ý: 
Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A ta cần:
Chứng minh A > m với m là một hằng số.
Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra.
Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của A là m ( kí hiệu minA )
Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A ta cần:
Chứng minh A < t với t là một hằng số.
Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra.
Kết luận: Giá trị lớn nhất của A là t ( kí hiệu maxA )
Bài tập 4: Chứng minh rằng nếu ( a + b + c )2 = 3(ab + bc + ac ) thì a = b = c
Giải
 ( a + b + c )2 = 3(ab + bc + ac )
a2 + 2ab + b2 + 2bc + 2ac + c2 = 3ab + 3bc + 3ac 
a2 + b2 + c2- ab - bc – ac = 0 
2a2 + 2b2 + 2c2- 2ab - 2bc – 2ac = 0 
( a2 – 2ab + b2) + ( b2 – 2bc + c2) + ( c2 – 2ac + a2) = 0
( a – b)2 + ( b – c)2 + ( c – a)2 = 0
( a – b)2 =0 hay ( b – c)2 = 0 hay ( c – a)2 = 0
 a = b hay b = c hay c = a 
a = b = c 
* Chú ý:
Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức 
(a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
Bài tập 5. Chứng minh rằng:
a/ 7.52n + 12.6n 19 ( n N)
b/ 11n+2 + 122n+1 133 ( n N)
Giải
a/ 7.52n + 12.6n = 7.(25n – 6n) + 19.6n 19
Vì ( 25n – 6n ) ( 25 – 6) nên ( 25n – 6n ) 19 và 19.6n 19
Vậy 7.52n + 12.6n 19 ( n N)
b/ 11n+2 + 122n+1 133 = 112 . 11n + 12.122n 
 = 12.( 144n – 11n) + 133.11n 133
Vì (144n – 11n) (144 – 11) nên (144n – 11n) 133
* Chú ý:
Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức 
an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b +  + abn-2 + bn-1) do đó (an – bn) (a- b)
Bài tập 6. Tìm x, y, z biết rằng: 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0
Giải
 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0
 Û (x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz) + (x2 + 10x + 25) + (y2+ 6y + 9) = 0
 Û ( x + y + z)2 + ( x + 5)2 + (y + 3)2 = 0
 Û ( x + y + z)2 = 0 ; ( x + 5)2 = 0 ; (y + 3)2 = 0
x = - 5 ; y = -3; z = 8
* Chú ý: Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức 
(a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
Bài tập 7: Cho x = ; y = . Chứng minh rằng xy + 4 là số chính phương.
Ta có : y = = + 4 = x + 4
Do đó: xy + 4 = x(x + 4) + 4 = x2 + 4x + 4 = ( x + 2 )2
hay xy + 4 = là số chính phương.
B. Ứng dụng hằng đẳng thức
Xét bài toán phân tích đa thức sau thành nhân tử: a3 + b3 + c3 – 3abc
Ta có: a3 + b3 + c3 – 3abc	= (a + b)3 – 3ab(a+b) + c3 – 3abc
	= [(a+b)3+c3 ] – 3ab(a+b+c)
	= (a+b+c) [(a+b)2–c(a+b)+c2 ]– 3ab (a+b+c)
	= (a+b+c) (a2 + 2ab + b2 – ac- ab + c2- 3ab) 
	= (a +b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac) 
	= (a + b + c) [(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2]
Nhận xét: Nếu a3 + b3 + c3 = 3abc thì a3 + b3 + c3 – 3abc = 0
	=> (a+b+c) [(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2] = 0
	=> => 
	Áp dụng nhận xét trên vào giải một số dạng toán:
	Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử.
	Dạng 2: Tính giá trị biểu thức.
	Dạng 3: Giải phương trình, hệ phương trình
	Dạng 4: Chứng minh đẳng thức.
DẠNG 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH PHÂN TỬ
Bài 1: 	Phân tích đa thức (x-y)3 + (y – z)3 + (z - x)3 thành phân tử.
	Ta thấy : x – y + y – z + z – x = 0 => áp dụng nhận xét ta có:
	(x-y)3 + (y – z)3 + (z - x)3 = 3(x-y) (y-z) (z-x)
Bài 2:	Phân tích đa thức (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 thành nhân tử.
	Ta có (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 = (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 + (-y2 - z2)3
	Ta thấy x 2 + y2 + z2 – x2 – y2 – z2 = 0 => áp dụng nhận xét ta có:
	(x2+y2)3+ (z2-x2)3+ -y2-z2)3 = 3(x2 + y2) (z2 –x2) (-y2 – z2) = 3(x2+y2) (x+z)(x-z)(y2+z2)
Bài 3 : Phân tích đa thức (x+y+z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử
	(x+y+z)3 – x3-y3-z3 =[(x +y) +z]3 – x3 – y3 – z3.
	= (x+y)3 + 3 (x+y) (x+y+z) – x3-y3-z3
	= x3 + y3+3xy(x+y)+z3+3z(x+y)(x+y+z) –x3-y3-z3.
	= 3(x+y) (xy+ yz +xz +z2) = 3(x+y)(y+z)(z+x)
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử.
	(x+y+z)3 –(x+y-z)3-(x-y+z)3 -(-x+y+z)3
	Đặt x+y-z=a; x-y+z=b, -x+y+z=c.
	=>x+y+z = a+b+c
	=>(a+b+c)3 - a3- b3-c3 = 3(a+b)(b+c)(a+c) = 24xyz
DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC:
Bài 1: Cho tính P = 
	Từ => 
	=> P = 
Bài 2: Cho abc 0, a3+b3+c3 = 3abc tính A = 
	Từ a3 + b3 + c3 = 3abc => 
	Nếu a+b+c = 0 thì A = 
	Nếu a = b = c thì A = (1+1) (1+1) (1+1) = 8
	=> A có 2 giá trị: -1 và 8
Bài 3: Cho xyz 0 thoả mãn x3y3 + y3z3 + x3z3 = 3x2y2z2. Tính P = 
	Đặt a= xy, b = yz, c =zx.
	Ta có x3y3 + y3z3 + x3z3 = 3x2y2z2 => a3 + b3 + c3 = 3abc => 
	Nếu a + b + c = 0 hay xy + yz + xz = 0 thì (x+z) y = -xz
	P = 
	 = 
	Nếu a = b = c hay xy = yz = zx => x = y = z => P =8
Bài 4: Cho a + b + c = 0 tính giá trị biểu thức A = (a-b)c3 + (b-c)a3+(c-a)b3
	Ta biến đổi b-c = b-a+a-c
	Ta được A = (a-b)c3 + (b-a)a3 + (a-c)b3 = (a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c).
	Vì a+b+c=0 -> A=0
Bài 5: Cho x+y+z=0 tính giá trị biểu thức B = 
	 vì x+y+z=0 => x3+y3+z3 = 3xyz => B =
Bài 6: Cho a3+b3+c3 = 3abc và a+b+c 0 tính giá trị biểu thức. M=
	ta có a3+b3+c3- 3abc = (a+b+c) (a2+b2+c2 –ab-bc-ca) = 0
	 =
	Mà a+b+c 0 => (a+b)2+ (b-c)2 + (c-a)2 = 0 => a=b=c
	=> M = 
Bài 7: Cho a+b+c=0 (a 0; b 0; c 0) tính giá trị biểu thức
	A = ;	B=	
	Ta có A = vi a+b+c=0 => a3 + b3 + c3 = 3abc
	A = 
	B = 
	Từ a+b+c= 0 => a+b = -c => a2+b2+2ab=c2 -> c2-a2-b2= 2ab
	TT: a2-b2-c2 =2bc; b2-c2-a2=2ac
	Nên B= ta có a+b+c=0 => a3+b3+c3 = 3abc
	-> B = 
Bài 8: Cho a+b+c= 0 tính giá trị biểu thức: 
A = 
 Đặt B = 
Ta có B . 
= 1 + 
Tương Tự . B .	B. 
	Bậy A = 
	Vì a+b+c = 0 => a3 + b3 + c3 = 3abc => A = 3 +
DẠNG 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 
Bài 1: Giải phương trình (3x – 2)2 – (x-3)3 = (2x+ 1)3.
(3x-2)3 – (x-2)3 = (2x+1)3 => (3x-2)3 – (x-3)3 – (2x+1)3 = 0
=> (3x-2)3 + (-x+3)3 + (-2x-1)3 = 0 =>
=> Nhận xét: Ta có 3x -2 -x +x-2x-1 = 0 =>
Áp dụng nhận xét ta có (3x-2)3 + (-x+3)3+(-2x-1)3 = 3(3x-2)(-x+3)(-2x-1)=0
=>(x+y)(-x+2)(-y-2) =2
Vì x;y ÎZ ta có: 2=1.1.2=(-2)(-1).1=(-1)(-1).2=(-1)..2(-1)
chỉ xảy ra trường hợp 	«	
 Chú ý:x=2;y=-2 =>phương trình vô nghiệm
 KL: Phương trình có nghiệm x=0; y=-1
Bài 2: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
 	 x3 +y3+z3- 3xyz=1
Ta có x3+y3+z3-3xyz=1 
(x+y+z) (x2 +y2+z2-xy-xz-yz)=1
Ta xét x2+y2+z2-xy-xz= [(x-y2 +(y-z)2+(z-x)2 ] 0 nên chỉ có thể xảy ra
Từ 1 ta có: x2+y2+z2+2(xy+yz+xz) = 1	3
Từ 2,3 => xy + yz + zx = 0	
Nên x2 +y2 + z2 = 1
giả sử x2 y2 z2
=>z = 0; y = 0; x = 1
Nếu không t/m
NếuT/m phương trình
và TH: 	và 
DẠNG 4: CHỨNG MINH HẰNG ĐẲNG THỨC
Bài 1: Cho tam giác ABC có 3 cạnh tương ứng là a,b,c thoả mãn a3+b3+c3 = 3abc.
	Hỏi tam giác ABC là tam giác gì?
	Ta có a3 +b3+c3 = 3abc 
	Vì a,b,c là 3 cạnh của tam giác ABC nên a+b+c 0 nên ta có a=b=c (a,b,c >0) 
	=> Là tam giác đều.
Bài 2: Cho a+bc+c+d = 0 cmr a3+b3+c3+d3 = 3 (d+c) (ab-cd)
	Đặt c+d= x ta có a+b+x=0 => a3+b3+x3= 3abx hay a3+b3 +(c+d)3
	=3ab(c+d) => a3+b3+c3+d3 = 3ab (c+d)- 3cd(c+b)
	= 3(c+d)(ab-cd)
Bài 3: CMR nếu x+y+z = 0 thì 2(x5+y5+z5) = 5xyz(x2+y2+z2)
	từ x+y+z = 0 => -x= y+z => (y+z)5= -x5.
	=>y5+5y4z + 10y3z2 + 10y2z3 + 5yz4 + z5 = -x5
	=>x5 +y5+z5+5yz (y3 + 2yzz+2yz2+z3) = 0
	=>x5+y5+z5+5yz(y+z)(y2+yz+z2)= 0
	=> 2(x3+y5+z5)- 5yzx((y2+z2)+ (y+z)2)= 0
	=> 2(x3+y5+z5)- 5yzx((x2 +y2+z2)= 0
	2(x5+y5+z5)= 5yzx (x2+y2+z2) => đpcm.
C. Sử dụng hằng đẳng thức biến đổi đồng chất
Bài tập 1 : Cho , biết
a/ . Tính 
b/ . Tính 
a. Xét . Mà 
b. ( Tương tự ) Xét 
Bài tập 2: 
a/ Cho và . Tính 
b/ Cho và . Tính theo a
a/ Ta có: 
Ta có: 	
Vậy 
b/ 
Bài tập 3: Cho và . Tính các biểu thức sau theo a
Dể dàng chứng minh được, khi n>1, ta có: 
Ta tính được 	 	
Bài tập 4: Phân tích các số sau ra thừa số
a/ 
b/ à
c/ 
d/ 
e/ 
f/ 
Gợi ý:
a/ Thay 
Sau khi thay, ta được 
b/ Đáp số: 
c/ Đáp số: 
d/ Đáp số: 
e/ Đáp số: 
f/ Đặt