Bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học Lớp 8 - Chuyên đề: Tứ giác - Hình thang - Năm học 2011-2012 - Lê Thị Hường

TỨ GIÁC – HÌNH THANG
 Ngµy so¹n : 9/9/2011
MỤC TIÊU:
- Củng cố định nghĩa tứ giác, tính chất của tứ giác, hình thang.
- Củng cố định nghĩa hình thang ,hthang cân, tính chất của , hình thang,hthang cân, dấu hiệu nhận biết hthang cân.
-Củng cố định nghĩa và tính chất ĐTB của tam giác, của hình thang qua việc giải quyết một số bài tập.
- Rèn kỹ năng vẽ hình, luyện tập cách trình bày bài toán hình học.
NỘI DUNG: 
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
 1. Định nghĩa tứ giác lồi:
-Tứ giác ABCD là một hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA trong đó bất kỳ hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng.
 -Định lý : Tổng bốn góc của một tứ giác bằng 3600.
Tứ giác
 -Góc ngoài của tứ giác là góc kề bù với một góc của tứ giác.
2. Hình thang, hình thang vuông
- Tứ giác ABCD có AB//CD ó ABCD là hình thang (đáy AB,CD)
- Hình thang có 1 góc vuông là hình thang vuông.
- Cách chứng minh một tứ giác là hình thang, hình thang vuông: Sử dụng định nghĩa hthang, hthang vuông.
3. Hình thang cân. 
 a) ĐN: Hình thang có hai góc kề 1 đáy bằng nhau là hình thang cân.
 b)TC: Hình thang ABCD (AB//CD) => AD =BC, AC = BD, = 
 c)DHNB: - Hình thang có hai góc kề 1 đáy bằng nhau là hình thang cân. 
 - Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
4. Đường TB của tam giác , của hình thang
- Định nghĩa đường trung bình của tam giác, của hình thang. 
- Định lý 1, 2 về đường trung bình của tam giác. 
- Định lý 3, 4 về đường trung bình của hình thang. 
II. BÀI TẬP:
1. Dạng 1: Tính góc của tứ giác, tính góc của hình thang:
Phương pháp: Sử dụng các tính chất về tổng các góc của tứ giác, của tam giác, tính chất của các góc tạo bởi hai đường thẳng song song với một cát tuyến.
Bài 1: Cho tứ giác ABCD có = 1300, = 900, góc ngoài tại đỉnh C bằng 1200. Tính góc D?
Bài 2: Tứ giác EFGH có = 700, = 800. Tính , biết - = 200 
Bài 3: Hình thang ABCD (AB//CD) có -=400, = 2.. Tính các góc của hình thang.
2. Dạng 2: Nhận biết hình thang, hình thang vuông, hình thang cân
Phương pháp: Sử dụng định nghĩa hthang, hthang vuông, dấu hiệu nhận biết hình thang cân
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông cân ở A. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A, vẽ BD vuông góc với BC và BD = BC. Tứ giác ABCD là hình gì? Vì sao?
Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D, trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AD = AE. Tứ giác DECB là hình gì? Vì sao?
Bài 6: Tứ giác ABCD có AB = BC = AD, = 1100, = 700. Chứng minh rằng:
a. DB là tia phân giác góc D.
b. ABCD là hình thang cân. Gợi ý: Kẻ BE AD và BHDC
3. Dạng 3: Tính toán và chứng minh về độ dài:
Phương pháp: Sử dụng định lý Pitago và các cách chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, 
Bài 7: Với giả thiết của bài 4, biết AB = 5cm. Tính CD?
Bài 8: Cho hình thang ABCD (AB//CD) có các tia phân giác của góc C và D gặp nhau tại I thuộc cạnh đáy AB. Chứng minh rằng AB bằng tổng của hai cạnh bên.
Bài 9: Hình thang cân ABCD (AB//CD) có DB là tia phân giác góc D, DB BC. BiếtAB = 4cm. Tính chu vi hình thang. 
Dạng 4: Sử dụng ĐTB của tam giác ,ĐTB của hình thang để chứng mình hai đường thẳng song song
Phương pháp: Áp dụng định lý 2 về đường trung bình của tam giác. Áp dụng định lý 4 về đường trung bình của hình thang.
Bài 1: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho DB = BA. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = CA. Kẻ BH vuông góc với AD, CK vuông góc với AE. Chứng minh rằng: 
a) AH = HD.
b) HK//BC.
Gợi ý: a) Dựa vào hai tam giác cân ABD và AEC. 
 b) Dựa vào kết quả câu a và định nghĩa ĐTB của tam giác.
Bài 2: Cho tam giác ABC có BC = 8cm, các trung tuyến BD, CE. Gọi MN theo thứ tự là trung điểm của BE, CD. Gọi giao điểm của MN với BD, CE theo thứ tự là I, K.
a) Tính độ dài MN.
b) Chứng minh rằng MI = IK = KN.
Gợi ý: a) ED là đường trung bình của tam giác ABC. MN là đường trung bình của hình thang BEDC.
 b) Trong Δ BED thì MI có đặc điểm hay tính chất gì? Tương tự với ΔCED.
ΔCED.
Bài 3: 
Cho tam gi ác ABC c ó AB = 18 cm, AC = 12 cm . G ọi H là chân đường vuông góc kẻ từ B đến tia phân giác của góc A . G ọi M là trung đi ểm của BC .Tính độ dài của HM
Bài 4: Cho tam giác ABC c©n t¹i A , gäi D vµ E theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AB vµ AC.
a) X¸c ®Þnh d¹ng tø gi¸c BDEC
b) Cho biÕt BC = 8 cm, tÝnh HB , HC 
Bài 5: Tính các độ dài EF, GH trên hình bên, biết rằng AB//EF//GH//CD, AB = 4, CD = 12, AE = EG = GD
Bài tập giành cho HS 8a
Bµi 1 : Mét h×nh thang c©n cã ®­êng cao b»ng nöa tæng hai ®¸y. H·y tÝnh gãc t¹o bëi hai ®­êng chÐo .
Gîi ý :
	 H×nh 1	H×nh 2
ë h×nh 1 : §Èy ®¸y nhá vÒ phÝa ®¸y lín ( t¹o ®o¹n th¼ng tæng )
ë h×nh 2 : §Èy ®¸y lín vÒ phÝa ®¸y nhá .
Bµi 2 : Tø gi¸c ABCD cã = 1800 , CB = CD . 
Chøng minh AC lµ ph©n gi¸c cña 
Gîi ý :
	H×nh 1	H×nh 2
H×nh 1 : LÊy DE = AB Þ ∆CBA = ∆CDE Þ ∆ACE c©n t¹i C ...
H×nh 2 : LÊy BE = AD Þ ∆CBE = ∆CDA Þ ∆ACE c©n t¹i C ...
Bµi 3 : Cho tam gi¸c ABC ®Òu , vÏ mét ®­êng th¼ng song song víi BC vµ c¾t c¸c c¹nh AB , AC thø tù ë D vµ E . Gäi I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng DC , G lµ träng t©m cña ∆ADE , H lµ ®iÓm ®èi xøng cña B qua I .
Chøng minh ∆DGB = ∆EGH
TÝnh c¸c gãc cña ∆BGI
Gîi ý :
1.C/m ∆DGB = ∆EGH : Ta cã DG = EG ; gãc GDB = gãc GEH = 1200 , BD = CH = EH
2.Tõ c©u 1 suy ra GB = GH hay ∆BGH c©n t¹i G cã GI lµ trung tuyÕn nªn còng lµ ®­êng cao nªn ∆BGI vu«ng t¹i I . L¹i tõ c©u 1 th× gãc DGB = gãc EGH nªn gãc BGH = gãc DGE = 1200 . tõ ®ã gãc BGI = 600 vµ gãc GBI = 300
Bµi4 : Cho tam gi¸c vu«ng ABC , AB < AC , ®­êng cao AH . Trªn tia HC lÊy ®iÓm D sao cho HD = HA . §­êng vu«ng gãc víi BC kÎ tõ D c¾t AC ë E .
Gäi M lµ trung ®iÓm cña BE , tÝnh gãc AHM
Chøng minh AB = AE
Gîi ý : 
1.Tõ ®Ò bµi suy ra MD = MA = ME = MB , tõ ®ã ®­êng th¼ng HM lµ ®­êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng AD , tõ ®ã HM lµ ph©n gi¸c cña gãc vu«ng AHD , vËy gãc AHM = 450
2.V× ∆BMD c©n t¹i M nªn gãc MBD = MDB = MAH ( kÕt hîp víi c©u 1) . XÐt hai tam gi¸c ∆AMK vµ ∆BHK cã gãc B1 = gãc A1 ( cmt) ; K1 = K2 ( ® ®) nªn gãc AMB = gãc AHB vËy gãc AMB = 900 , Þ ∆ABE vu«ng c©n , vËy AB = AE ®pcm
C¸ch 2 : Gäi F lµ h×nh chiÕu cña E trªn AH ta cã EF = HD = AH Þ ∆VAEF = ∆VBAH ...
Bµi 5 : Cho h×nh thang vu«ng ABCD cã AB // CD ; gãc A = gãc D = 900 ; CD = 2.AB = 2.AD . Qua ®iÓm E thuéc c¹nh AB kÎ ®­êng vu«ng gãc víi DE , c¾t BC t¹i F . Chøng minh tam gi¸c DEF vu«ng c©n .
Gîi ý :
Tø gi¸c ABCK lµ h×nh thang cã hai c¹nh ®¸y b»ng nhau Þ OI // BF nªn IO lµ ®­êng trung b×nh cña ∆DBF Þ I lµ trung ®iÓm cña DF. Tõ ®ã ∆DEF vu«ng c©n .
BQ
AQ
CQ
DQ
MQ
IQ
NQ
Bài6. Cho tø gi¸c ABCD. Gäi M, I vµ N theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AB, AC vµ CD. Chøng minh r»ng nÕu th× M, I, N th¼ng hµng vµ ABCD trë thµnh h×nh thang.
Lêi gi¶i
Gi¶ sö . (1)
V× MA = MB, IA = IC nªn MI lµ ®­êng trung b×nh cña tam gi¸c ABC. Suy ra MI // BC vµ MI = BC. Chøng minh t­¬ng tù ta cã IN // AD vµ IN = AD.
Mµ hay MN = MI + IN. Tõ ®ã suy ra I n»m gi÷a M vµ N, hay M, I, N th¼ng hµng.
Lóc ®ã ta cã BC // AD v× cïng song song víi MN. Do ®ã ABCD trë thµnh h×nh thang.
VËy nÕu th× M, I, N th¼ng hµng vµ ABCD trë thµnh h×nh thang.
Bµi tËp 7: Cho h×nh thang ABCD (AB//CD) cã , . TÝnh c¸c gãc cña h×nh thang.
Gi¶i:
V× (gt)Þ 
Mµ AB // CD (gt) Þ (trong cïng phÝa)
Þ Þ Þ Þ 
Þ = 200 + 800 = 1000.
V× AB // CD (gt) Þ ( trong cïng phÝa) 
mµ Þ Þ Þ Þ = 2.600 = 1200.
Bµi tËp 8: Cho tø gi¸c ABCD cã AB = BC vµ AC lµ tia ph©n cña gãc A. Chøng minh r»ng ABCD lµ h×nh thang.
Chøng minh:
V× AB = BC (gt) Þ DABC c©n t¹i B
Þ mµ (gt)Þ 
Þ BC // AD (v× cã mét cÆp gãc so le trong b»ng nhau)
Þ ABCD lµ h×nh thang.
Bµi tËp 9: 
TÝnh c¸c gãc B vµ D cña h×nh thang ABCD (AB//CD), biÕt r»ng , 
Gi¶i:
V× AB//CD (gt)Þ (trong cïng phÝa)
Þ = 1800 – 600 = 1200.
V× AB // CD (gt)Þ ( trong cïng phÝa) 
Þ = 1800 – 1300 = 500.
Bµi tËp 10: H×nh thang vu«ng ABCD cã , AB = AD = 2cm, DC = 4cm. TÝnh c¸c gãc cßn l¹i cña h×nh thang.
Gi¶i:
V× (gt) Þ AB ^ AD vµ DC ^ AD 
Þ AB // CD
KÎ BE // AD Þ BE = AD = 2cm vµ DE = AB = 2cm
Þ EC = DC – DE = 4 – 2 = 2 (cm) Þ BE = EC (1)
mµ AD ^ DC Þ BE ^ DC (2) 
Tõ (1) vµ (2) Þ DBEC vu«ng c©n t¹i EÞ 
V× AB // CD Þ Þ = 1800 – 450 = 1350.
Bµi tËp 11: Cho h×nh thang ABCD cã , AB = 9cm, BC = 10cm, CD=15cm. TÝnh AD.
Gi¶i:
V× (gt) Þ AB // CD
KÎ AE // BC Þ AE = BC = 10cm vµ CE = AB = 9 cm
Þ DE = DC – EC = 15 – 9 = 6cm
¸p dông ®Þnh lÝ Pytago trong DADE vu«ng t¹i D ta cã:
AE2 = AD2 + DE2 Þ AD2 = AE2 – DE2 
 = 102 – 62 = 100 – 36 = 64 Þ AD = 8 cm
Bµi tËp 12: Cho h×nh thang ABCD (AB // CD) cã AC ^ BD vµ AB = 4cm, CD = 11cm vµ BD = 9cm. TÝnh AC.
Gi¶i:
KÎ BE // AC c¾t DC t¹i EV× AB // CD (gt) 
Þ BE = AC vµ CE = AB = 6cm
Þ DE = CD + CE = 9 + 6 = 15cm.
V× BE // AC (c¸ch vÏ) mµ BD ^ AC (gt)
Þ BE ^ BD Þ DBDE vu«ng t¹i B, ¸p dông ®Þnh lÝ Pytago
Þ BE2 = DE2 – BD2 = 152 – 92=225 – 81 = 144 = 122.Þ BE = 12 cm.
Mµ AC = BE (cmtrªn) Þ AC = 12 cm.
Bµi tËp 13: Cho h×nh thang c©n ABCD cã AB // CD, AB < CD. KÎ c¸c ®­êng cao AH vµ BK. Chøng minh DH = CK
Gi¶i:
V× ABCD lµ h×nh thang c©n AB // CD (gt)
Þ AD = BC vµ 
XÐt DAHD vµ DBKC
Cã: (gt)
 AD = BC (cmtrªn)
 (cmtrªn)
Þ D HDA = D KCB (c¹nh huyÒn, gãc nhän) Þ DH = CK (hai c¹nh t­¬ng øng)
Bµi tËp 14: Cho h×nh thang c©n ABCD cã AB//CD, O lµ giao ®iÓm cña hai ®­êng chÐo. Chøng minh: OA = OB, OC = OD.
Gi¶i:
V× ABCD lµ h×nh thang c©n AB // CD (gt)
Þ AD = BC vµ AC = BD
XÐt DADC vµ DBCD
Cã: AD = BC (cmtrªn)
 AC = BD (cmtrªn)
 CD lµ c¹nh chung
Þ DADC = DBCD (c.c.c)
Þ (hai gãc t­¬ng øng)Þ DOCD c©n t¹i OÞ OC = OD. 
Chøng minh t­¬ng tù: Þ OA = OB.
Bµi tËp 15: Cho DABC c©n t¹i A. Trªn c¹nh AB, AC lÊy M,N sao cho BM = CN.
a)Tø gi¸c BMNC lµ h×nh g× ? v× sao ?
b)TÝnh c¸c gãc cña tø gi¸c BMNC biÕt .
Gi¶i:
a)V× DABC c©n t¹i A (gt) 
Þ AB = AC mµ BM = CN (gt)
Þ AB – BM = AC – CN
Hay AM = AN Þ DAMN c©n t¹i A
Þ 
Mµ 
Þ (1)
V× DABC c©n t¹i A (gt) Þ 
Mµ Þ (2)
Tõ (1) vµ (2) Þ 
Þ MN // BC (v× cã 1 cÆp gãc ®ång vÞ b»ng nhau)Þ BMNC lµ h×nh thang 
mµ (cmtrªn) Þ BMNC lµ h×nh thang c©n.
b)V× (cmtrªn) mµ 
Þ = 1800 – 400 = 1400.Þ = 1400: 2 = 700.
Þ = 700. vµ = 700.
V× (kÒ bï)Þ = 1800 – 700 = 1100.
V× BMNC lµ h×nh thang c©n (cmtrªn) Þ = 1100
Bµi tËp 16: Cho h×nh thang ABCD hai ®¸y lµ AB,CD. C¸c tia ph©n gi¸c cña gãc A vµ gãc B c¾t nhau t¹i I thuéc c¹nh CD. Chøng minh r»ng tæng hai c¹nh bªn b»ng c¹nh ®¸y CD.
Gi¶i:
V× AB // CD (gt) Þ (so le trong)
Mµ (gt) Þ 
Þ DADI c©n t¹i D Þ AD = DI (1)
V× AB // CD (gt) 
Þ (so le trong)
Mµ (gt) Þ 
Þ DBCI c©n t¹i C Þ BC = CI (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã:AD + BC = DI + CI Hay AD + BC = CD.
Bµi tËp 17: Cho tø gi¸c ABCD cã AD = BC vµ hai ®­êng chÐo AC = BD. Chøng minh r»ng ABCD lµ h×nh thang c©n.
Chøng minh:
XÐt DADC vµ DBCD 
Cã: AD = BC (gt)
 AC = BD (gt)
 DC lµ c¹nh chung
Þ DADC = DBCD (c.c.c)
Þ ( 2 gãc t­¬ng øng)
mµ (tæng 3 gãc DODC)Þ (1)
Chøng minh t­¬ng tù ta cã: 
Þ mµ (®èi ®Ønh) Þ (2)
Tõ (1) vµ (2) Þ
Þ AB // CD (v× cã 1 cÆp gãc so le trong b»ng nhau) Þ ABCD lµ h×nh thang.
Mµ AC = BD (gt)Þ ABCD lµ h×nh thang c©n.
Bµi tËp 17:Cho h×nh thang c©n ABCD (AB//CD) cã AB = 3cm, BC = 4cm, CD = 7cm. TÝnh c¸c gãc cña h×nh thang ®ã.
Gi¶i:
V× ABCD lµ h×nh thang c©n (AB // CD) (gt)Þ AD = BC = 4cm 
KÎ AE // BC c¾t CD t¹i E.V× AB // CD (gt) 
Þ AE = BC = 4 cm vµ CE = AB = 3cm
Þ DE = CD – CE = 7 – 3 = 4 (cm)
Þ AD = AE = DE (= 4cm)Þ DADE ®Òu Þ 
V× ABCD lµ h×nh thang c©n (gt)Þ = 600.
V× AB // CD (gt)Þ (trong cïng phÝa)
Þ =1800–600 = 1200.
V× ABCD lµ h×nh thang c©n (gt)Þ = 1200.
Bµi tËp 18:Cho h×nh thang c©n ABCD (AB//CD) cã AC ^ BD vµ AB = 3cm, CD = 5 cm. TÝnh ®é dµi AC vµ BD.
Gi¶i:
KÎ BE // AC c¾t DC t¹i E. Þ BD ^ BE.
V× AB // CD (gt) 
Þ CE = AB = 3cm vµ BE = AC
Mµ ABCD lµ h×nh thang c©n (gt) ÞAC = BD
Þ BD = BE.V× DE = CD + CEÞ DE = 5 + 3 = 8 (cm).
V× BD ^ AC (gt) vµ BE // AC (cmtrªn) Þ BD ^ BE. Þ DBDE vu«ng t¹i B, ¸p dông ®Þnh lÝ Pytago Þ BD2 + BE2 = DE2Þ BD2 + BD2 = 82.
Þ 2BD2 = 64Þ BD2 = 32.Þ BD = cm.
5.H­íng dÉn vÒ nhµ:
N¾m ch¾c c¸c tÝnh chÊt cña tø gi¸c, h×nh thang, h×nh thang c©n.
Lµm l¹i c¸c bµi tËp trªn ®Ó n¾m ch¾c c¸ch lµm vµ rÌn kÜ n¨ng tr×nh bµy.
Lµm thªm bµi tËp:
Cho h×nh thang c©n ABCD (AB//CD) cã AC ^ BD vµ AB = 3cm, CD = 7cm. TÝnh ®é dµi AC vµ BD.