Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

A / Lời nói đầu
Phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung kiến thức quan trọng, lý thú, song đó lại là một trong những dạng toán khó đối với học sinh bậc THCS.
Nội dung này được giới thiệu khá đầy đủ trong chương trình Đại Số 8 và có thể coi là nội dung nòng cốt của chương trình. Bởi nó được vận dụng rất nhiều ở các phần sau như: Rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức của các phân thức, biến đổi các biểu thức hữu tỉ, biến đổi các biểu thức vô tỉ, giải phương trình bậc cao ...
Thực tế giảng dạy cho thấy, mặc dù các phương pháp được giơí thiệu trong SGK rất roừ ràng, cụ thể. Song việc các em vận dụng còn nhiều lúng túng. Đặc biệt đối với học sinh khá giỏi thì nội dung kiến thức chưa đáp ứng được nhu cầu học toán của các em.
Vậy Dạy - Học nội dung phân tích đa thức thành nhân tử như thế nào để đạt kết quả tốt nhất? Phù hợp cho học sinh đại trà? Đồng thời đáp ứng được nhu cầu học tập của học sinh khá giỏi. Để đạt kết quả đó, ngoài phương pháp truyền thụ người thầy phải nắm bắt được kiến thức một cách nhuần nhuyễn. Đó chính là lý do tôi đưa ra đề tài này.
Cụ thể trong đề tài này, với mỗi phương pháp cơ bản hay đặc biệt. Tôi làm rõ:
Phương pháp giải.
Bài tập tự luyện
Với nội dung và trình bày trong đề tài này, hy vọng đề tài này không chỉ là tài liệu hướng dẫn đối với học sinh mà còn là tài liệu tham khảo bổ ích cho công tác giảng dạy của giáo viên các trường THCS.
B. Nội dung
Phần 1: Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Các phương pháp cơ bản
I/ Phương pháp đặt nhân tử chung
Phương pháp .
Tìm nhân tử chung là những đơn thức, đa thức có maởt trong tất caỷ các hạng tử.
Phân tích mỗi hạng tử thành tích nhân tử chung và một nhân tử.
Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc.
Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
–3xy + xy – 5xy
2x(y – z) + 5y(z – y)
10x(x + y) – 5(2x + 2y)y
Bài làm
a) 3xy + xy – 5xy = xy(- 3 + xy – 5x)
b) 2x(y – x) + 5y(z – y) = 2x(y – z) – 5y(y – z) = (y – z)(2x – 5y)
c) 10x(x + y) – 5(2x + 2y)y = 10x(x + y) – 10y(x + y) = 10(x + y)(x – y) 
 = 10(x + y)(x + y)(x – y) = 10(x + y) (x – y)
Bài tập tự luyện
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
12xy – 12xy + 3x
15x – 30 y + 20z
x(y – 2007) – 3y(2007 - y)
x(y + 1) + 3(y2 + 2y + 1)
Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau
23,45 . 97,5 +23,45 . 5,5 -,23,45 . 3
2x(x – y) + 2x(y – x ) + 2x(z – x) (Với x = 2006 ; y = 2007 ; z = 2008)
II) Phương pháp dùng hằng đẳng thức
Phương pháp
Sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích các nhân tử hoặc luỹ thừa của một đa thức đơn giản.
Những hằng đẳng thức :
(A + B) = A + 2AB + B
 (A - B) = A - 2AB + B
A – B = (A + B)(A – B)
(A + B) = A + 3AB + 3AB + B
(A - B) = A - 3AB + 3AB - B
A + B = (A + B)(A – AB + B)
A - B = (A - B)(A + AB + B)
(A + B + C) = A + B + C + 2AB + 2BC + 2CA
A – B = (A – B)(A + AB +  + AB + B)
 A – B = (A +B)(A - AB +  - B) 
 A + B = (A + B)(A – AB + AB-  +B)
 (A + B) = A + n AB - AB +  + AB + nAB+ B
 (A - B) = A - n AB +AB -  +(-1)B
Ví dụ Phân tích đa thức tành nhân tử
x + 6xy + 9y
 a – b 
(x – 3) - (2 – 3x)
 x – 3x + 3x - 1 
Bài Làm
x + 6xy + 9y = x + 2x3y + (3y) = (x + 3y)
a – b = (a) – (b) = (a + b) (a – b) = (a + b) (a + b) (a – b)
(x – 3) - (2 – 3x) = [(x – 3) + (2 – 3x)][(x – 3) – (2 – 3x)]= (- 2x – 1)(- 5 + 4x) 
x – 3x + 3x - 1 = (x – 1)
2.2/ Phân tích đa thức thành nhân tử
a + b + c – 3abc
(a + b + c) – a – b – c
Bài Làm
a) a + b + c – 3abc = (a + b) – 3ab(a + b) + c – 3abc 
 = ( a + b + c)[(a + b) – (a + b)c + c] – 3abc( a + b +c)
 = (a + b + c)( a + b + c – ab – bc – ca)
b) (a + b + c) – a – b – c
 = (a + b) + c + 3c(a + b)(a + b + c) – a – b –c 
 = 3(a + b)(ab + bc + ac + c) = 3(a + b)(b + c) (c + a)
Bài tập tự luyện
Bài 3. Phân tích đa thức thành nhân tử
(x – 15) – 16
25 – (3 – x) 
(7x – 4) – ( 2x + 1)
9(x + 1) – 1
9(x + 5) – (x – 7)
49(y- 4) – 9(y + 2)
Bài 4. Phân tích đa thức thành nhân tử
8x + 27y
(x + 1) + (x – 2)
1 – y + 6xy – 12xy + 8x
2004 - 16 
III/ Phân tích đa thức thành nhân tử, bằng phương pháp nhóm nhiều hạng tử.
Phương pháp
Sử dụng tính chất giao hoán, kết hợp để nhóm các hạng tử thích hợp vào từng nhóm.
Áp dụng phương pháp phân tích đa thức khác để giải toán.
2. Ví dụ
2.1: Phân tích đa thức thành nhân tử 
x – 3xy + x – 3y
7x – 7xy – 4x + 4y
x + 6x – y + 9
x + y – z – 9t – 2xy + 6zt
Bài Làm
a) x – 3xy + x – 3y = (x – 3xy) + (x – 3y) = x(x – 3y) + (x – 3y)= (x – 3y) (x + 1)
b) 7x – 7xy – 4x + 4y = (7x – 7xy) – (4x – 4y) = 7x(x – y) – 4(x – y)=(x – y) (7x – 4)
c)x + 6x – y + 9 = (x + 6x + 9) – y = (x + 3) - y= (x + 3 + y)(x + 3 – y)
d)x + y – z – 9t – 2xy + 6zt = (x – 2xy + y) – (z – 6zt + 9t)
 = (x – y) – (z – 3t) = (x – y + z – 3t)(x – y – z + 3t
2.2/ Phân tích đa thức thành nhân tử
xy + xy + xz + xz + yz + yz + 2xyz
xy + xy + xz + xz + yz + yz + 3xyz
Bài Làm
a) xy + xy + xz + xz + yz + yz + 2xyz 
= (xz + yz + 2xyz) + xy + xy + xz2 + yz 
= z(x + y) + xy(x + y) + z (x + y) = (x + y)(xz + yz + xy + z)
= (x + y) [(xz + xy) + (yz + z)]
= (x + y) [x(z + y) + z(z + y)]
= (x + y)(y + z)(x + z)
b) xy + xy + xz + xz + yz + yz + 3xyz
= (xy + xz + xyz) + ( xy + yz + xyz) + (xz + yz + xyz)
= x(xy + xz + yz) + y(xy + yz + xz) + z(xz + yz + xy)
= (xy + yz + xz)( x + y + z)
3. Bài Tập
Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử
x + 3x – 9x – 27
x + 3x – 9x – 9
x – 3x + 3x – 1 – 8y
BàI 6: Phân tích đa thức thành nhân tử.
x(y2 – z2) + y(z2 – y2) + z(x2 – y2) 
xy(x – y) – xz( x + z) – yz (2x + y – z )
x(y + z )2 + y(z + x) 2 + z(x + y) 2 – 4xyz 
yz(y +z) + xz(z – x) – xy(x + y)
IV/ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp
1. Phương pháp 
Vận dụng linh hoạt các phương pháp cơ bản đã biết và thường tiến hành theo trình tự sau :
- Đặt nhân tử chung 
- Dùng hằng đẳng thức 
- Nhóm nhiều hạng tử 
2. Vớ dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử 
5x - 45x 
3xy – 6x2y – 3xy – 6axy2 – 3a2xy + 3xy
Bài làm
a) 5x – 45x = 5x(x2 – 9) = 5x(x +3) (x – 3)
b) 3x2y – 6x2y – 3xy – 6axy2 – 3a2xy + 3xy
= 3xy(x2 – 2y – y2 – 2ay – a2 + 1)
= 3xy [( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)]
= 3xy [(x – 1) 2 – (y + a) 2]
= 3xy [(x – 1) + (y + a)] [(x – 1) – (y + a)]
= 3xy(x + y + a – 1) (x – y – a – 1)
3. Bài tập 
Bài 7. Phân tích đa thức thành nhân tử 
2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc 
8x(x + z) – y(z + 2x) – z(2x - y)
[(x2 + y2)(a2 + b2) + 4abxy] 2 – 4[xy(a2 + b2) + ab(x2 + y2)] 2
Bài 8. Phân tích đa thức thành nhân tử (x + y + z) – x – y - z
Hướng dẫn
(x + y + z ) – x – y - z
=[(x + y + z) – x] – (y + z) 
= (x + y + z – x) [(x+ y + z) 2 + (x + y + z)x + x2] – (y + z)(y2 – yz + z2) 
= (y+z)[ x2 + y2 + z2 +2xy + 2xz + 2yz +xy + xz + x2 + x2 – y2 + yz – z2] 
= (y + z)(3x2 + 3xy + 3xz + 3yz)
= 3(y +z)[x(x + y) + z(x+y)] 
= 3( x + y)(y + z)(x + z)
V/ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử
1. Phương pháp 
Ta phân tích một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử thích hợp, để xuất hiện những nhóm số hạng mà ta có thể phân tích thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức, đặt nhân tử chung
2. Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành thành nhân tử x2 – 6x + 8
Bài làm
Cách 1: x2 – 6x + 8 = (x2 – 2x) – (4x – 8) = x(x – 2) – 4(x – 2) = (x –2)(x – 4)
Cách 2: x2 – 6x + 8 = (x2 – 6x + 9) – 1 = (x – 3) 2 – 1 = (x –3 + 1)(x – 3 – 1) = (x – 2)(x – 4)
Cách 3: x2 – 6x + 8 = (x2 – 4) – 6x + 12 = (x – 2)(x + 2) – 6(x – 2) = (x – 2)(x + 2 – 6) = (x – 2)(x – 4)
Cách 4: x2 – 6x + 8 = (x2 – 16) – 6x + 24 = (x –4)(x + 4) – 6(x – 4) = (x – 4)(x + 4 –6) = (x –4)(x – 2)
Cách 5: x2 – 6x + 8 = (x2 – 4x + 4) – 2x + 4 = ( x – 2) 2 – 2(x – 2)= (x – 2)(x – 2 – 2) = (x – 2)(x – 4)
3. Bài tập 
Bài 9 : Phân tích đa thức thành nhân tử.
x2 + 7x +10
x2 – 6x + 5
3x2 – 7x – 6
10x2 – 29x + 10
Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử.
x + 4x2 – 29x + 24
x + 6x2 + 11x + 6
x2 – 7xy + 10y
4x2 – 3x – 1
VI/ Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử.
Phương pháp
Ta thêm hay bớt cùng một hạng tử vào đa thức đã cho để làm xuất hiện n nhóm số hạng mà ta có thể phân tích được thành nhân tử chung bằng các phương pháp: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, ...
Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử.
x + 64 = x + 64 + 16x – 16x= (x + 8) – (4x) = (x2 + 4x + 8)(x – 4x + 8) 
Phân tích đa thức thành nhân tử.
x + 4y 
x + x + 1
Bài làm
a) x + 4y= x + 4y + 4xy – 4xy= (x + 2y)2 – (2xy)2 = (x + 2y + 2xy)(x + 2y - 2xy)
b) x + x + 1 = (x + x + x) – (x + x + x) + (x + x + 1)
	 = x(x + x + 1) – x(x + x + 1) + (x + x +1)
	 = (x + x + 1)(x – x +1)
Bài tập 
Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử.
x + x + 1
x + x + 1
x + x + 1
x + 4
Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tử.
x + 5x + 3x – 9
x + 9x + 11x – 21
x – 7x + 6
Bài 13: Phân tích đa thức thành nhân tử.
x - 5x + 8x – 4
x – 3x + 2
x – 5x + 3x + 9
x + 8x + 17x + 10
x + 3x + 6x + 4
Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử.
x – 2x – 4
2x – 12x + 7x – 2
x + x + 4
x + 3x + 3x + 2
x + 9x + 26x + 24
2x – 3x + 3x + 1
3x – 14x + 4x + 3
* MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC
VII/ Phương pháp đặt biên số (đặt biên phụ)
Phương pháp
Một số bài toán phân tích đa thức thành nhân tử mà trong đa thức đã cho có biểu thức xuất hiện nhiều lần. Ta đặt biểu thức ấy là một biến mới. Từ đó viết đa thức đã cho thành đa thức mới dễ phân tích thành nhân tử hơn.
Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử.
6x – 11x + 3
(x + 3x + 1)(x + 3x – 3) –5
(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15
Bài Làm
6x – 11x + 3
- Đặt x2 = y
- Đa thức đã cho trở thành: 6y – 11y + 3 = (3y – 1)(2y – 3)
- Trả lại biến cũ: 
 6x – 11x + 3 = (3x – 1) (2x – 3) = ( x – 1)( x + 1)( x - )( x + )
(x + 3x + 1)(x + 3x – 3) –5
- Đặt x + 3x + 1 = y Þ x – 3x – 3 = y – 4
- Đa thức đã cho trở thành
 y(y – 4) – 5 = y – 4y – 5 = (y + 1)(y + 5)
- Trả lại biến cũ.
(x + 3x + 1)(x + 3x – 3) – 5 = (x + 3x + 1 + 1)(x + 3x + 1 – 5)
= (x + 3x + 2)(x + 3x – 4)= (x + 1)(x + 2)(x – 1)(x + 1)
(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = (x + 8x + 7)(x + 8x + 15) + 15
(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15
- Đặt x + 8x + 7 = y Þ x + 8x + 15 = y + 8
- Đa thức đã cho trở thành : 
 y(y + 8) + 15 = y + 8y + 15 = y + 5y + 3y + 15= y(y + 5) + 3(y + 5) = (y + 5)(y + 3)
- Trả lại biến cũ
(x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) + 15 = (x + 8x +7 + 5)(x + 8x + 7 + 3)
= (x + 8x + 12)(x + 8x + 10) = (x + 8x + 10)(x + 2)(x + 6)
3. Bài tập 
Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử.
(x + x) – 2(x + x) – 15
(x + 3x + 1)(x + 3x + 2) – 6
(x + 4x + 8) + 3x(x + 4x + 8) + 2x
Bài 15: Phân tích đa thức thành nhân tử
(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24
(4x + 1)(12x – 1)(3x + 2)(x + 1) – 4
4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) + 3x
3x – 4x + 2x – 8x + 2x – 4x + 3
VIII/ Phương Pháp hệ số bất định
Phương Pháp: Sử dụng tính chất: Hai đa thức cùng bậc bằng nhau thì hệ số tương ứng của chúng phải bằng nhau.
a x + a x + ... + ax + ax + a = bx + bx + ... + bx + b x + b
Û a = b " i = 1; n
2. Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử
2.1 Ví dụ 1: A = x + 11x + 30
	Vì A là đa thức bậc 3, hệ số cao nhất là 1. Nên nếu A phân tích được thì A có dạng.
A = (x + a)(x + bx + c) = x + (a + b)x + (ab + c)x + ac
 Û x + 11x + 30 = x + (a + b)x + (ab + c)x + ac
Đồng nhất hệ số, ta có
Chọn a = 2 c = 15; b = -2
Vậy (x + 11x + 30) = (x + 2)(x – 2x + 15)
2.2 Ví dụ 2: B = x – 14x + 15x – 14x +1
 Vì B là đa thức bậc 4, hệ số cao nhất là 1 nên nếu B phân tích được thành nhân tử thì B có dạng:
B = (x + ax + b)(x + cx + d)
ÛB = x + (a + c)x + (ac + b + d)x + (ad + bc)x + bd
Đồng nhất hệ số, ta có:
 hoặc 
Do vậy B = (x – x + 1)(x – 13x + 1) hoặc B = (x – 13x + 1)(x – x + 1)
Bài tập
Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử
x + 4x + 5x + 2
2x – 3x –7x + 6x + 8
5x + 9x – 2x – 4x – 8
Bài 17: Tìm a, b, c
x – 2x + 2x – 2x + a = (x – 2x + 1)(x + bx + c)
x + 3x – x – 3 = (x – 2)( x + bx + c) + a
4x + 7x + 7x – 6 = (ax + b)(x + x +1) + c
IX/ Phương pháp xét giá trị riêng
Phương pháp: Khi các biến có vai trò như nhau trong đa thức thì ta xét giá trị riêng.
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử.
2.1: Ví dụ 1: P = (x + y + z) – x – y – z
Bài Làm
Coi P là một đa thức biến x
Khi đó nếu x = -y thì P = 0 P M (x + y)
Trong P, vai trò của x, y, z bình đẳng nên.
P M (x + z)
P M (y + z)
 P = (x + y)(x + z)(y + z).Q
Mà P là đa thức bậc 2 đối với biế x, y, z nên Q là hằng số.
Với x = 0 ; y = z = 1, ta có Q = 3
Vậy P = 3(x + y)(x + z)(y + z)
Ví dụ 2:
M = a(b + c)(b - c) + b(c + a)(c - a) + c(a + b)(a - b) 
Bài Làm
Coi M là đa thức biến a
Khi a = b thì M = 0
ÞM M (a - b)
Trong M vai trò của a, b, c bình đẳng nên : 
M M (b - c)
M M (c - a)
M = (a - b)(b –c)(c – a)N
Vì M là đa thức bậc 3 đối với biến a nên N là đa thức bậc nhất đối với a.
Nhưng do a,b,c có vai trò bình đẳng nên:
N = (a + b + c)R (R là hằng số)
Þ M = (a - b)(b –c)(c – a)(a + b + c)R
Chọn a = 0, b = 1, c = 2 Þ R = 1
Vậy B = (a – b)(b – c)(c – a)(a + b + c)
Bài tập
Bài 18: Phân tích đa thức thành nhân tử
A = ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a) 
X. Phương pháp tìm nghiệm của đa thức 
1. Phương pháp
Cho đa thức f(x), a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(x) = 0. 
Như vậy nếu đa thức f(x) chứa nhân tử (x - a) thì phải là nghiệm của đa thức.
Ta đã biết rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ước của hệ số tự do.
2. Ví dụ: x3 + 3x - 4 
Nếu đa thức trên có nghiệm là a ( đa thức có chứa nhân tử (x - a) thì nhân tử còn lại có dạng x2 + bx = c suy ra - ac = - 4 suy ra a là ước của - 4 
Vậy trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm nguyên nếu có phải là ước của hạng tư không đổi.
Ước của (- 4) là : -1; 1; -2; 2; - 4; 4. sau khi kiểm tra ta thấy1 là nghiệm của đa thức suy ra đa thức chứa nhân tử (x - 1)
 Do vậy ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung (x – 1)
* Cách 1:
x3 + 3x2 – 4 = x3 – x2 + 4x2 – 4 = x2(x – 1) + 4(x – 1) (x + 1)= (x – 1) (x2 + 4x + 4) = (x – 1) (x + 2)2
* Cách 2: 
x3 + 3x2 – 4 = x 3– 1 + 3x2 – 3 = (x3 – 1) + 3(x2 – 1) = (x – 1) (x2 + x + 1) + 3(x2 – 1)= (x – 1) (x + 2)2
	Chú ý: 
+ Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng không thì đa thức chứa nhân tử (x – 1).
+ Nếu đa thức có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hạng tử bậc lẻ thì đa thức chứa nhân tử (x + 1).
 Ví dụ :
* Đa thức : x3 - 5x2 + 8x – 4 có 1 - 5 + 8 - 4 = 0
Suy ra đa thức có nghiệm là 1 hay đa thức có chứa thừa số (x – 1)
*Đa thức : x3 – 5x2 + 3x + 9 có (- 5) + 9 = 1 + 3
Suy ra đa thức có nghiệm là - 1 hay đa thức chứa thừa số (x + 1). 
+Nếu đa thức không có nghiệm nguyên nhưng đa thức có nghiệm hữu tỷ .
Trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ nếu có phải có dạng trong đó p là ước của hạng tử không đổi, q là ước dương của hạng tử cao nhất.
 Ví dụ: 2x3 – 5x2 + 8x – 3
 Nghiệm hữu tỷ Nếu có của đa thức trên là :
 (- 1); 1 ; (-1/2) ; 1/2 ; (- 3/2) ; 3/2 ;- 3..
Sau khi kiểm tra ta thấy x =1/2 là nghiệm nên đa thức chứa nhân tử (x - ) hay (2x - 1). Do đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung (2x - 1).
2x3 – 5x2 + 8x – 3 = 2x3 – x2 – 4x2 + 2x + 6x – 3 
=x2 (2x – 1) – 2x(2x –1) + 3(2x –1)
=(2x – 1)(x2 – 2x + 3)
XI. Phương pháp tính nghiệm của tam thức bậc hai 
a) Phương pháp: Tam thức bậc hai ax2 +bx + c
Nếu b2 – 4ac là bình phương của một số hữu tỷ thì có thể phân tích tam thức thành thừa số bằng một trong các phương pháp đã biết .
Nếu b2 – 4ac không là bình phương của một số hữu tỷ nào thì không thể phân tích tiếp được nữa .
b) Ví dụ: 2x2 – 7x + 3 Với a =2 , b =- 7 , c = 3
Xét b2 - 4ac = 49 - 4.2.3 =25 = 55
Suy ra Phân tích được thành nhân tử : 2x2 - 7x + 3 = ( x - 3)(2x - 1)
Chú ý: P(x) = ax2 + bx + c = 0 có nghiệm là x1 , x2 thì 
 P(x) =a( x - x1)(x - x2)
Phần 2: CÁC BÀI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I). Bài toán rút gọn biểu thức
1. Phương pháp
+Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử nhằm xuất hiện nhân tử chung.
+áp dụng tính chất cơ bản của phân thức đại số: Chia cả tử thức và mẫu thức cho nhân tử chung.
Þ Học sinh thấy được sự liên hệ chặt chẽ giữa các kiến thức giúp phát triển tư duy suy luận lôgic, sáng tạo. 
2)Ví dụ: Rút gọn biểu thức 
A =
B =
Bài Làm
a) A =
A =
A =
A =
b) MTC = x2 - 1 = (x + 1)(x - 1)
 B = 
 B = 
 B = 
3. Bài tập
Bài 19. Rút gọn biểu thức
A =
B =
C =
D =
Bài 20. Rút gọn biểu thức
A =
B =
Bài 21. Cho x2 - 4x + 1 = 0
 Tính giá trị của biểu thức A =
II) Bài toán giải phương trình bậc cao.
Phương pháp: áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để đưa về phương trình tích 
 AB = 0 hoặc A = 0 hoặc B = 0
Ví dụ: Giải phương trình
* Ví dụ 1: x3 - 7x2 + 15x - 25 = 0 
 x3 - 5x2 - 2x2 + 10x + 5x- 25 = 0 
x2(x- 5) - 2x(x - 5) + 5(x - 5) = 0
(x- 5)(x2- 2x + 5) = 0
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = {5}
* Ví dụ 2: 
(2x2 + 3x - 1) 2 - 5(2x2 + 3x + 3) + 24 = 0	(1)
Đặt: 2x2 + 3x - 1 = t	(*)
 Þ 2x2 + 3x + 3 = t + 4
Phương trình đã cho trở thành: t2 - 5(t + 4) + 24 = 0
Û t2 - 5t + 4 = 0
Û (t - 1)(t - 4) = 0
Û 
Û
+ Thay t = 1 vào (*), ta có: 2x2 + 3x - 1 = 1
Û 2x 2 + 3x - 2 = 0
Û (2x 2 + 4x) - x - 2 = 0
Û 2x(x + 2) - (x + 2) = 0
(x + 2) (2x - 1) = 0 
+ Thay t = 4 vào (*), ta có :
2x2 + 3x - 1 = 4
Û 2x 2 + 3x - 5 = 0
Û (x - 1)( 2x +5) = 0
Û 
Vậy phương trình (1) có tập nghiệm: S = { -2; ;; 1} 	
* Ví Dụ 3:
 (x + 1)(x + 2)(x + 4)(x + 5) = 40 (1)
Û (x + 1)(x + 5)(x + 2)(x + 4) = 40
Û (x2 + 6x + 5)(x2 + 6x + 8) = 40
Đặt x2 + 6x + 5 = t (*)
 Þ x2 + 6x + 8 = t + 3
Phương trình đã cho trở thành: t(t + 3) = 40
Û t2 + 3t – 40 = 0
Û (t – 5)(t + 8) = 0
 Û 
Thay t = 5 vào (*), ta có: x2 + 6x + 5 = 5
 Ûx2 + 6x = 0
 Ûx(x + 6) = 0 Û
Thay t = -8 vào (*), ta có: x2 + 6x + 5 = - 8
 Û x2 + 6x + 13 = 0
	 	 Ûx2 + 2x + + = 0
	 Û (x + )2 + = 0 (Vô lý)
Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {0; -6}
Ví dụ 4: Giải phương trình đối xứng bậc chẵn
 x + 3x + 4x + 3x + 1 = 0 (4)
Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình (4)
 Þ Chia hai vế của (4) cho x ¹ 0, ta được
 x + 3x + 4 + 3 + = 0
(x2 +) + 3(x + ) + 4 = 0 
 Đặt x + = t (*)
Þ x + = t – 2
Phương trình đã cho trở thành : t + 3t + 2 = 0
 (t + 1)(t + 2) = 0
Thay t = - 1 vào (*), ta được : x + = -1 x + x + 1 = 0 (Vô nghiệm)
Thay t = - 2 vào (*), ta được : x + = - 2 x + 2x + 1 = 0 (x + 1) = 0 x = -1
Vậy phương trình (4) có tập nghiệm S = {-1}
 *Ví dụ 5: Giải Phương trình đối xứng bậc lẻ
 x – x + 3x + 3x – x + 1 = 0 (5)
Có x = - 1 là 1 nghiệm của phương trình (5).
Do đó (5) Û (x + 1)(x – 2x + 5x – 2x + 1) = 0
Giải phương trình đối xứng bậc chẵn.
x4 – 2x3 + 5x2 – 2x + 1 = 0 (5’)
Ta thấy x = 0 không là nghiệm của (5’). Chia cả 2 vế của (5’) cho x¹ 0, ta có: 
 x – 2x + 5 - 2 + = 0 Û (x + ) – 2(x + ) + 5 = 0
Đặt (x + ) = t (*) 
Þ (x + ) = t – 2
(5’) Û t – 2t +3 = 0
 Û (t – 1) + 2 = 0 ( vô nghiệm)
Vậy Phương trình (5) có tập nghiêm S = {-1} 
Bài tập: 
Bài 22: Giải phương trình
2x + 3x +6x +5 =0
x – 4x – 19x + 106x – 120 = 0
4x + 12x + 5x – 6x – 15 = 0
x + 3x + 4x + 2 = 0
Bài 23: giải phương trình
x(x + 1) (x – 1)(x+ 2) = 24
(x – 4)(x – 5)(x – 6)(x – 7) = 1680
(2x + 1)(x+ 1)(2x + 3) = 18
12x + 7)(3x + 2)(2x + 1) = 3
Bài 24: giải phương trình
(x – 6x + 9) – 15(x – 6x + 10) = 1
(x + x + 1) +(x + x + 1) – 12 = 0
(x + 5x) – 2x – 10x = 24
Bài 25: giải phương trình
x- 2x + 4x – 3x + 2 = 0
x – 3x + 4x – 3x + 1 = 0
2x – 9x + 14x – 9x + 2 = 0
 x + x + x + x +x+ x + 1 = 0
Bài 26: giải phương trình: x + 2x + 3x + 3x + 2x + 1 = 0
D. Kết luận chung
 Phân tích đa thức thành nhân tử là một vấn đề rộng lớn trải suốt chương trình học của học sinh, nó liên quan kết hợp với các phương pháp khác tạo nên sự lôgic chặt chẽ của toán học. Các phương pháp được nêu từ dễ đến khó từ đơn giản đến phức tạp giúp học sinh hiểu sâu hơn và phát triển có hệ thống các kỹ năng, kỹ xảo phân tích .
 Qua đó giúp học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính chính xác, năng lực nhận xét, phân tích phán đoán, tổng hợp kiến thức.
 Trong năm qua tôi đã vận dụng phương pháp dạy phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh và thấy rằng các em rất hào hứng trong quá trình tìm tòi lời giải hay và hợp lý nhất, kể cả các bài tập vận dụng rút gọn biểu thức thì ý nghĩa của việc phân tích các đa thức tử và mẫu của các phân thức rất quan trọng, nó không những giúp việc rút gọn từ phân thức (nếu có thể) mà còn giúp việc tìm tập xá định, tìm mẫu thức chung của biểu thức .
 Số học sinh nắm vững các phương pháp cơ bản phân tích đa thức thành nhân tử vào vận dụng được vào các bài tập là 95%
 Trên đây là một số suy nghĩ của tôi về vấn đề phát triển tư duy của học sinh qua việc dạy giải bài toán phân tích đa thức hành nhân tử.
 Rất mong sự góp ý chân thành của các đồng nghiệp .
Xin chân thành cảm ơn !