Bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số Lớp 8 - Chuyên đề: Tìm giá trị nhỏ nhất - Giá trị lớn nhất của một biểu thức

CHUYÊN ĐỀ: TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT _ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT 
	CỦA MỘT BIỂU THỨC	
A. KIẾN THỨC
Để giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất _ giá trị lớn nhất của một biểu thức P(x), cần nắm vứng một số kiến thức.
	_ Nếu với mọi x, x R mà P(x) k thì giá trị nhỏ nhất của P(x) là k, đặc biệt trong tập hợp các số không âm thì 0 là giá trị nhỏ nhất.
	_ Nếu với mọi x, x R mà P(x) k thì giá trị lớn nhất của P(x) là k, đặc biệt trong tập hợp các số không dương thì 0 là là giá trị lớn nhất.
	_ Nếu một phân thức có tử không đổi thì trị số tuyệt đối của phân thức đạt giá trị lớn nhất khi mẫu của nó đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị tuyệt đối của phân thức đạt giá trị nhỏ nhất khi mẫu của nó đạt giá trị lớn nhất.
B. BÀI TẬP:
Bài 1:
a/ Tìm giá trị nhỏ nhất của tam thức bật hai: f(x)= 5x2 - 2x + 1
b/ Tìm giá trị lớn nhất của tam thức bật hai: f(x) = - 3x2 + x – 2 
Giải:
a/ Ta có: f(x) = 5x2 - 2x + 1 	= 5
Vì với mọi x, xR thì nên ta có: với mọi x, xR
Vậy f(x) đạt giá trị nhỏ nhất là khi = 0 => x = 
Kl: f(x) đạt giá trị nhỏ nhất là khi x = 
b/ f(x) = - 3x2 + x – 2 
Vì 0 với mọi x, xR nên 
f(x) với mọi x, xR
Vậy f(x) đạt giá trị lớn nhất là khi 
Bài 2: a/ Tìm giá trị nhỏ nhất của P(x)= 
	b/ Tìm giá trị lớn nhất của Q(x)=.
Giải:
a/ Sử dụng phép chia đa thức, ta đưa P(x) về dạng: P(x)= 2 - 
	P(x) đạt GTNN khi đạt GTLN
 	Xét biểu thức 
	Vì 0 với mọi x, xR nên với mọi x, xR
Suy ra đạt giá trị lớn nhất khi x = và GTLN đó là 
Vậy P(x) đạt GTNN là: 
Kết quả: 
b/ Ta có: Q(x)== 3 + ; Q(x) lớn nhất khi lớn nhất.
 lớn nhất khi x2 + 4 đạt GTNN.
Vì x2 + 4 4, với mọi x, xR nên x2 + 4 đạt giá trị nhổ nhất là 4 khi x = 0
Vậy với x = 0, Q(x) đạt giá trị lớn nhất là 3 + 
Bài 3: Chứng minh định lí:
	Cho hai số dương x, y.
Nếu tổng x + y = a, với a là hằng số thì tích x.y đạt giá trị lớn nhất khi x = y.
Nếu tích x.y = b, với b là hằng số thì tổng x + y đạt giá trị nhỏ nhất khi x = y.
Giải:
1/ Từ BĐT Côsi ta suy ra, đới với hai số dương x, y, ta suy ra BĐT:
	xy
Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi x = y =
2/ Lí luận như câu 1, ta có : 
	. Dấu “=” chỉ xảy ra khi và chỉ khi x =y = 
Chú ý: Định lý này có một phát biểu dưới dạng hình học như sau:
Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất.
Trong các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi nhỏ nhất.
Bài 4:
a/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P(x)= 2x – x2 với 0 < x < 2.
b/ Tìm GTNN của Q(x)= , x > 0
Giải:
a/ Ta có 2x – x2 = x(2 – x) với 0 x > 0; 2 – x > 0
	Xét tổng x + (2 - x) = 2 = không đổi
	Vậy tích x(2 - x) lớn nhất khi x = 2 – x => x = 1
	GTLN của P(x) với 0 < x < 2 là: P(1) = 1 +1 = 2, ứng với giá trị x =1
b/ Ta có Q(x)= x > 0
	Xét tích x. = 4 = không đổi
Vậy tổng x + đạt giá trị nhỏ nhất khi x = => x2 = 4 => x = 2
Bài 5:
	Với giá trị nào của biến x thì biểu thức P(x)= (x – 1)(x + 2 )(x + 3)( x + 6) có GTNN?
	Tìm GTNN đó.
Giải
Ta biến đổi như sau:
	P(x) 	= (x – 1)(x + 2 )(x + 3)( x + 6) 
	= (x – 1)( x + 6) (x + 2)(x + 3)
	=
Ta có 2 cách giải quyết
Cách 1: 
Ta có P(x) 
Vì x2 + 5x 0, với mọi x, xR nên rõ ràng là P(x) -36 
P(x) đạt giá trị nhỏ nhất là – 36 với x2 + 5x = 0 ĩ x = 0 hoặc x = - 5 
Cách 2:
Ta xét biểu thức đơi của P(x) là – P(x) và được:
	P(x) 	= - 
	= 
Nếu đặt X	= ; Y = 
Thì tổng X + Y = - 12 = không đổi
Vậy tích X.Y lớn nhất khi X = Y	=> - P(x) lớn nhất khi: = 
ĩ 2x2 + 10 = 0 ĩ x = 0 hoặc x = - 5
Lúc đó - P(x) đạt giá trị 36.
Vậy P(x) đạt giá trị nhỏ nhất là – 36 khi x = 0 hoặc x = - 5 
BÀI TẬP TỰ GIẢI:
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của:
	a/ 	b/ Q(x) = 5x2 - 3x – 3 
Bài 2: Tìm GTLN của:
	a/ P(x) = - x2 – 7x +1	b/ Q(x) = - 2x2 + x – 8 
Bài 3: Tìm GTLN của 
	a/ P(x) = 	b/ Q(x) = x – x2 
Bài 4: Với giá trị dương nào của x thì biểu thức sau đạt GTNN:
	a/ 	b/