Bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số Lớp 8 - Chuyên đề: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình - Lương Hiền An

SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH -
 BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Định lí 1:Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D  thì số nghiệm của phương trình trên D : f(x) = k không nhiều hơn một và f(x) = f(y) khi và chỉ khi x = y với mọi x,y thuộc D.
Chứng minh:
Giả sử phương trình f(x) = k có nghiệm x=a, tức là f(a) = k. Do f đồng biến nên
* x > a suy ra f(x) > f(a) = k nên pt f(x) = k vô nghiệm
* x < a suy ra f(x) < f(a) = k nên pt f(x )= k vô nghiệm
Vậy pt f(x) = k có nhiều nhất là một nghiệm.
 Chú ý: 
* Từ định lí trên, ta có thể áp dụng vào giải phương trình như sau:
Bài toán yêu cầu giải pt: F(x)=0. Ta thực hiện các phép biến đổi tương đương đưa phương trình về dạng f(x) = k hoặc f(u) = f(v) ( trong đó u = u(x), v = v(x)) và ta chứng minh được f(x) là hàm luôn đồng biến (nghịch biến) 
Nếu là pt: f(x) = k thì ta tìm một nghiệm, rồi chứng minh đó là nghiệm duy nhất.
Nếu là pt: f(u) = f(v) ta có ngay u = v giải phương trình này ta tìm được nghiệm.
* Ta cũng có thể áp dụng định lí trên cho bài toán chứng minh phương trình có duy nhất nghiệm.
 Định lí 2: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và hàm số y = g(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D  thì số nghiệm trên D của pt: f(x)=g(x) không nhiều hơn một. 
Chứng minh:
Giả sử x = a là một nghiệm của pt: f(x) = g(x), tức là f(a) = g(a).
Ta giả sử f đồng biến còn g nghịch biến.
* Nếu x > a suy ra f(x) > f(a) = g(a) >g(x) dẫn đến pt f(x) = g(x) vô nghiệm khi x > a.
* Nếu x < a suy ra f(x )< f(a) = g(a) < g(x) dẫn đến pt f(x) = g(x) vô nghiệm khi x < a.
Vậy pt f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm.
 Chú ý: Khi gặp pt F(x) = 0 và ta có thể biến đổi về dạng f(x) = g(x), trong đó f và g khác tính đơn điệu. Khi đó ta tìm một nghiệm của pt và chứng minh đó là nghiệm duy nhất. 
Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
 .
 .
.
Giải:
1) VT là một hàm đồng biến và x = 1 là một nghiệm của phương trình nên theo định lí 1 ta có được x = 1 là nghiệm duy nhất. Vậy ta có cách giải như sau.
ĐK: 
Xét hàm số  , ta có f(x) là hàm liên tục trên D và hàm số f(x) luôn đồng biến.
Mặt khác, ta thấy f(1) = 4
* Nếu x > 1 suy ra f(x) > f(1) = 4 nên pt vô nghiệm
* Nếu x < 1 suy ra f(x) < f(1) = 4 nên pt vô nghiệm
Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
 Chú ý:
* Vì các hàm số y = ax + b với a > 0  là một hàm đồng biến và nếu f(x) là hàm đồng biến thì hàm ( với điều kiện căn thức tồn tại) cũng là một hàm đồng biến nên ta dẽ dàng nhận ra VT của pt là hàm đồng biến.
* Khi dự đoán nghiệm thì ta ưu tiên những giá trị của x sao cho các biểu thức dưới dấu căn nhận giá trị là số chính phương.
2) VT của pt là một hàm đồng biến và pt có nghiệm x = 1. Do đó pt này có nghiệm duy nhất x=1 ( Các giải tương tự như bài 1) 
3) Bài này có điểm khác, nếu làm như hai bài trên thì gặp khó khăn. Tuy nhiên nếu nhìn kĩ thì ta thấy các biểu thức dưới dấu căn ở hai vế có mối liên hệ là 
x + 2 = (x + 1) + 1 và 2x2 + 1 =(2x2) + 1, do vậy nếu đặt thì phương trình đã cho trở thành:
, trong đó là một hàm liên tục và f(t) luôn đồng biến. Do đó
Vậy phương trình có nghiệm x = 1, x = -1/2.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm duy nhất
.
Giải:
Để chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất trên D ta có thể tiến hành theo cách sau
 * Chứng minh phương trình f(x) = 0 luôn có nghiệm: Để chứng minh điều này, ta cần chứng chứng minh f(x) liên tục trên D và tồn tại hai số a,b sao cho f(a).f(b) < 0
 * Tiếp theo ta chứng minh f(x) là hàm luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến.
Trở lại bài toán:
Xét hàm số .Ta có f(x) là hàm liên tục trên R và f(0).f(2) < 0, dẫn đến pt f(x) = 0 luôn có nghiệm
Giả sử là nghiệm của phương trình f(x)=0, khi đó . 
Từ đây ta suy ra được . 
Do vậy ta chỉ cần khảo sát f(x) với x 1
Ta có f(x) là hàm đồng biến.
Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất.
Chú ý:
* Nếu chúng ta khảo sát ngay hàm f(x) thì chúng ta không thể có được f(x) là hàm đồng biến, do vậy ta cần hạn chế miền xác định của x. Điều này ta có được là nhờ vào bản thân của phương trình.
* Để chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất trên D ta còn có cách khác đó  là khảo sát hàm f(x) trên D, lập bảng biên thiên và từ bảng biến thiên ta suy ra được đồ thị của hàm f(x) chỉ cắt Ox tại một điểm.
 Ví dụ 3 : Giải các bất phương trình sau:
.
.
 Giải:
1) ĐK: .
Xét hàm số 
Ta dễ dàng chứng minh được f(x) là hàm nghịch biến và f(1) = 6. 
Do đó 
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của Bpt là: .
2) ĐK: .
Xét hàm số , ta có f(x) là hàm đồng biến 
Mặt khác: 
Do vậy Bpt 
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của Bpt là  
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:   
 Giải: 
Từ (2) ta suy ra được |x|,|y| 1.
, trong đó
với |t| 1, ta có f(t) là hàm nghịch biến và liên tục trên [-1;1]
nên . Thay x=y vào (2) ta có được nghiệm
 Chú ý: 
* Qua hai ví dụ trên ta thấy cả hai cùng chung một phương pháp, là một phương trình của hệ có dạng f(x) = f(y), dẫn đến ta khảo sát tính đơn điệu của hàm số f(t)
* Một chú ý khi sử dụng tính đơn điệu là chúng ta chỉ có được 
  khi f(t) liên tục và đơn điệu
 Bài tập:
  Bài 1: Giải các phương trình sau:  
Bài 2: Giải các bất phương trình sau