Bồi dưỡng Đại số Lớp 8 - Chuyên đề: Vận dụng hằng đẳng thức vào giải các bài toán cực trị - Nguyễn Thị Hồng Nhạn

 Vận dụng hằng đẳng thức 
 vào giảI các bài toán cực trị.
 + (a+b)2 = a2+ 2ab + b2
 + (a-b)2 = a2 - 2ab + b2
Vận dụng 1. Vận dụng tính chất của luỹ thừa bậc hai. A2 0
 + (a+b)20
 Suy ra: + (a+b)2+ K K Min[(a+b)2+ K] = K ; khi a = -b
 + K - (a+b)2 K Max[K- (a-b)2] = K ; khi a = -b
 + (a-b)2 0
 Suy ra: + (a-b)2+ K K Min [(a-b)2+ K] = K ; khi a = b.
 + K- (a-b)2 K Max [K- (a-b)2] = K ; khi a = b.
Bài toá1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 Giải: 
 Suy ra : Min C = -3 , khi 
Bài toán.2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
 A = (x + 2)2+ (x-1)2
 Giải: 
 A = x2+4x+4 + x2- 2x +1= 2(x2+x+5/2) = 2 ( x2+ 2x.1/2+ 1/4+ 9/4)
 = 2(x+1/2)2 + 9/2 
 Suy ra Min A= 9/2 khi x = -1/2.
Bài toán.3. Cho biểu thức P = x2 + xy + y2- 3x- 3y + 2009.
 Với giá trị nào của x ; y thì P có giá trị nhỏ nhất , tìm giá trị nhỏ nhất đó.
 Giải
 P = x2- 2x + 1+y 2- 2y + 1 + xy- x- y + 1 + 2006
 = ( x- 1)2 + (y- 1)2+ (x-1)(y-1) + 2006.
 = (x- 1)2+ 2(x- 1).(y- 1)+(y-1)2 + (y-1)2+ 2006
 .
 Suy ra Min P= 2006 khi y = 1; x= 1.
Bài toán .4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 P = (x- ay)2+ 6(x-ay) +x2 + 16y2- 8xy + 2x - 8y + 10 ; (x; y ; a : là các số nguyên)
 Giải: P = [(x-ay)2+6(x-ay)+9] + (x2- 8xy + 16y2)+2(x-4y)+1
 = (x-ay+3)2 + (x-4y)2+ 2(x-4y) + 1.
 = (x-ay+3)2 +(x-4y+1)2 0
 Suy ra Min P = 0 khi và chỉ khi 
(1) (a-4)y = 2 ; do x ; y ; a là số nguyên nên ta có: (a-4;y)={(1;2),(2;1),(-1;-2),(-2;-1)
Thế vào ta có (x;y;a)={(3;1;6),(7;2;5),(-5;-1;2),(-9;-2;3)}
Bài toán .5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 Giải: 
 Suy ra: Min M = -1/2, khi y= 1/4 ; x = 9/4.
Bài toán .6. Cho hàm số: ; với x khác 0.
 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên.
 Giải: 
 Suy ra Min f(x) = khi x= 2005.
Bài toán .7. Tìm giá trị nhỏ nhất của : .
 Giải: 
 Suy ra Min D= 3/4 khi x = 1.
Bài toán 8. Tìm x ; y để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất:
 D = 15- 10x- 10x2+ 24xy- 16y2.
 Giải:
 D = - (16y2- 24xy + 9x2)- (x2 + 10x + 25) + 35.
 = 35 – (4y- 3x)2- (x+ 5)2 35.
 Suy ra Max D = 35 khi x =-5 ; y = -15/4.
Bài toán 9. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
 Giải: 
 Suy ra Max G = 1/4 ; khi x= 1
Bài toán 10.Tìm giá trị nguyên lớn nhất của m sao cho BĐT sau đây luôn đúng 
 (x+1)(x+2)2(x+3) m.
 Giải: Ta có A = (x+1)(x+2)2(x+3) = (x2+4x+3)(x2+4x+4).
 = (x2+4x+3)2+(x2+4x+3) +1/4- 1/4. 
 = (x2+4x+3+1/2)2- 1/4 -1/4.
 Suy ra Min A =-1/4 khi x2+4x+3 = -1/2 x = -2+ hoặc x = -2- .
 Vì m A , m Min A = -1/4
 Suy ra giá trị nguyên lớn nhất của m là -1.
Bài toán 11. Cho x + y + z =3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức G = x2+ y2 + z2
 Giải: Từ x + y + z = 3 (x+y+z) 2 = 9
 Hay x2+ y2+ z2+ 2(xy + yz + xz) = 9; (1)
 Mà (x-y)2 0 x2+ y2 2xy , dấu “=” xảy ra khi x = y.
 (y-z)2 0 y2+ z2 2yz , dấu “=” xảy ra khi y = z.
 (z- x)20 z2 + x22zx , dấu “=” xảy ra khi z = x.
 Nên : 2(x2 + y2+ z2) 2(xy+yz+zx) hay x2+y2+z2 xy + yz + zx; (2)
 Từ (1) và (2) suy ra: 9 = x2+ y2+ z2 + 2(xy+yz+zx) 3(x2+y2+z2)
 Nên x2+y2+z2 3.
 Vậy Min G = 3 khi và chỉ khi x = y = z =1.
Bài toán 12. Cho hai số thực x, y thoả điều kiện: x2 + y2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x + y.
 Giải: Với x, y R ta có.
 (x+y)2 + (x-y)2 = x2 + 2xy + y2 + x2- 2xy + y2 = 2(x2+y2) = 2
 Do (x-y)2 0, với mọi x, y; dấu “=” xảy ra khi x = y.
 Suy ra (x+y)2 2 
 Khi x = y ta có x2 = y2 = 1/2 hoặc 
 Vậy Max (x+y) = 
 Min (x+y) =