Bồi dưỡng Đại số Lớp 12 - Chuyên đề: Giới hạn - Liên tục - Đạo hàm - Năm học 2008-2009 - Trần Công Diêu

lim
x
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN 
 PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN 
 Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com  THÁNG 4. 2009
   mùa thi 2009  Trang 
1 
2
20
ln (co s )lim (?)
ln (co s )x
a x aT
b x b
 
SỞ GD & ĐT KHÁNH HÒA 
TRƯỜNG THPT TÔ VĂN ƠN 
Trần Công Diêu 
 Phan Công Tuân Du 
Quản Trị Viên Diễn Đàn MS 
www.forum.mathscope.org 
Năm học 2008 - 2009 
lim
x
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN 
 PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN 
 Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com  THÁNG 4. 2009
   mùa thi 2009  Trang 
2 
BÀI VIẾT NÀY DÀNH TẶNG 
TRẦN LÊ PHƯƠNG TRANG 
11A1 KHTN THPT TÔ VĂN ƠN 
CÔ BÉ ĐÁNG YÊU VÀ DỄ THƯƠNG NHẤT! 
lim
x
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN 
 PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN 
 Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com  THÁNG 4. 2009
   mùa thi 2009  Trang 
3 
Phần 1. Các dạng bài toán về tính giới hạn hàm số 
 Kiến thức cơ bản cần nắm ( không nắm out lun, hehe ) 
 Giới hạn 
0
( )lim
( )x x
f x
g x
, trong đó ( ); ( )f x g x cùng dần tới 0 khi x dần tới 0x được gọi là giới hạn 
dạng 0
0
. Đây là dạng giới hạn thường gặp vì nó hay! 
@ Các bạn có thấy thiếu điều gì không? Đó là khái niệm về giới hạn đấy, cực kì hay nha, vì bài 
viết này chỉ nhằm luyện thi đại học nên những bài toán đi sâu vào giới hạn không được chúng tôi 
đề cập nhiều! Nói chung giải thành thạo những bài của đại học chỉ là phần ngoài của giới hạn 
thôi nhé, hấp dẫn còn ở đằng sau. Bạn đừng cười nhiều vì làm bài kiểm tra được điểm cao nha, 
bình thường thôi! 
 Khái niệm giới hạn dãy số:  1 2( ) , ,..., ;...n na a a a có giới hạn là số a nếu bắt đầu từ một chỉ 
số nào đó, mọi số hạng na đều nằm trong một lân cận bất kì của điểm a, tức là ở ngoài lân cận 
hoặc chỉ có một số hữu hạn số hạng hoặc không có số hạng nào của dãy. Kí hiệu lim nn a a  
Lân cận: ví dụ như cạnh nhà bạn có vài ngôi nhà khác chẵn hạn, vùng lân cận của đồng bằng sông 
hồng  ok chứ! Khái niệm này phù hợp với chương trình học sau này 
 Khái niệm giới hạn hàm số được xây dựng dựa trên khái niệm trên: x a thì ( ) ( )f x f a 
hay lim ( ) ( )
x a
f x f a

 
 Một số giới hạn cơ bản được dùng trong các kì thi: 
 
0
s inxlim 1
x x
 ; 
0
1lim 1
x
x
e
x

 
 
0
ln(1 )lim 1
x
x
x

 ; 
1
0 0
1lim 1 lim(1 )
x
x
x x
x e
x 
     
 
 
2
20 0
sin 1 coslim 1;lim , , 0
ax 2x x
ax ax a a R a
x 

    ( * )( cái này có được vì sao? ) 
@ Sau đây là các bài toán hay và thường gặp về giới hạn 
 Thí dụ 1. Tìm giới hạn 
3
0
2 1 8lim
x
x xT
x
  
 ( ĐHQGHN 1997 ) 
Lời giải. ( bạn đang cười vì : ‘ tôi làm nó quá nhiều ‘ ) 
Trước hết ta thêm bớt 2 trên tử rồi tách ra như sau 
3
0 0
2( 1 1) (2 8 )lim lim
x x
x xT
x x 
   
  tại sao lại là số 2? Đến đây chắc chắn bạn sẽ làm theo cách 
nhân lượng liên hiệp, ( ko hay cho lắm, nếu căn lớn hơn ). Bạn chú ý nhá: 
lim
x
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN 
 PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN 
 Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com  THÁNG 4. 2009
   mùa thi 2009  Trang 
4 
Đặt 31 ; 8u x v x    thì 2 31; 8 ; , 2x u x v u v     . Như vậy chúng ta có thể viết: 
 
2 3 22 2 2 2
2 1 2 2 1 2 1 3lim lim lim lim
1 8 1 4 2 3 12 4u v u v
u vT
u v u v v   
 
      
    
(cách giải này có cái hay là 
chúng ta đã loại đi những dấu căn cồng kềnh, khi đổi biến thì nhớ đổi ‘cận’ của giới hạn). Ưu 
điểm hơn qua bài toán sau: 
 Thí dụ 2. Tìm giới hạn 
54
1
2 1 2lim
1x
x xT
x
  


( ĐHSPHN 1999 ) 
ĐS: 
7
10
T  , cách giải hoàn toàn tương tự bài 1 cái bạn thử xem nhen! 
Câu hỏi đặt ra là làm sao tìm được hệ số tự do thêm bớt vào ( trong bài 1 là số ‘2’ ấy ). Bạn xem 
bài toán tổng quát từ đó rút ra suy nghĩ nhé: 
( ) ( )
lim
n m
x a
f x g x
T
x a



 số bạn cần tìm là: 
( ) ( )n mf a g a nếu điều này không xảy ra thì có nghĩa bạn đang đối mặt với một bài toán khó 
hơn! Bạn nhìn lại thí dụ 1 và 2 điều này có đúng không. 
 Thí dụ 3. Tìm giới hạn 20
1 cos cos 2lim
x
x xT
x

 
Lời giải. Biến đổi và sử dụng công thức ( * ) 
2 2 2 20 0 0
1 cos 1 os2 1 cos 1 os2lim( cos . ) lim limcos .
x x x
x c x x c xT x x
x x x x  
   
    
2 21 2 5
2 2 2
   
Tổng quát: 
2 2 2
20
1 cos 2 ...cos 1 2 ...lim
2x
xco x nx n
x
   
 
 Thí dụ 4. Tìm giới hạn 
cos os3
20
os2lim
x c x
x
e c xT
x



 
Lời giải. Biến đổi như sau 
cos os3
2 20
1 1 os2lim( )
x c x
x
e c xT
x x


 
  bạn đang gặp lại dạng thêm bớt lúc đầu nhé! 
Vậy 1 2T T T  với 
cos os3 cos os3
1 2 cos os3 20 0
1 1 cos os3lim lim .
x c x x c x
x c xx x
e e x c xT
x x
 
 
   
   
 
cos os3
cos os3 2 20
1 1 os3 1 coslim
x c x
x c xx
e c x x
x x


     
 
o  
cos os3
cos os30 0
1 1lim lim 1; cos os3
x c x t
x c xx t
e e t x c x
t

 
 
    
 Thí dụ 5. Tính giới hạn 
0
ln(s inx cos )lim
x
xT
x

 
Lời giải. Biến đổi 
2
0 0
ln(s inx cos ) ln(1 sin 2 ) sin 2lim lim( . )
2 sin 2 2x x
x x xT
x x x 
 
  ( nhớ học công thức nhan 
các anh em ) 
lim
x
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN 
 PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN 
 Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com  THÁNG 4. 2009
   mùa thi 2009  Trang 
5 
o 
0 0
ln(1 sin 2 ) ln(1 )lim lim ; sin 2
sin 2x t
x t t x
x t 
 
  
o 
0 0
sin 2 sinlim lim ; 2
2x u
x t u x
x t 
  
Vậy 1.1 1T   ( chú ý phải trình bày cẩn thận các phép đổi cận thì giang hồ mới chấp nhận ví 
như ko được viết 
0
sin 2lim 0
2x
x
x
 ) 
 Thí dụ 6. Tìm giới hạn 3lim
1
x
x
xT
x
    
Lời giải. Thực hiện phép biến đổi 3 2lim lim 1
1 1
x x
x x
xT
x x 
            
Đặt 
2 1
1x t


, ta có 2 1;x t x t     vì vậy 
22 1 1
21 1 1lim 1 lim 1 1
t t
t t
T e
t t t
 
 
                        
 Thí dụ 7. Tìm giới hạn  3 3 2 2lim 3 1xT x x x x     
Lời giải. Thực hiện phép biến đổi đơn giản 
 3 3 2 2lim ( 3 ) ( 1 )xT x x x x x x       (cái này gợi cho ta sự thêm bớt đúng hem, nhưng nó 
mang đẳng cấp cao hơn rùi) 
o  
 
2
3 3 2
33 2 3 2 23
3lim 3 lim
3 3x x
xD x x x
x x x x x x 
   
   
2
3 3
3lim 1
3 31 1 1
x
x x

 
     
 
o 2
2
1lim ( 1 ) lim
1x x
xDu x x x
x x x 
 
    
  
2
11 1lim
21 11 1
x
x
x x

  
 
  
Vậy 3
2
T D Du   
 Thí dụ 8. Tìm giới hạn T=
0
sin(s inx)lim
x x
 ( ĐH Bách Khoa HN 1997 ) – cùi bắp 
Lời giải. 
0 0
sin(s inx) s inx sin(s inx)lim lim . 1
s inxx xx x 
  
lim
x
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN 
 PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN 
 Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com  THÁNG 4. 2009
   mùa thi 2009  Trang 
6 
 Thí dụ 9. Tìm giới hạn 
 20
1 coslim
1 1x
xT
x


 
Lời giải. Ta thực hiện biến đổi sau 
   
2 2 2 2
2 2 20 0
2sin (1 1 ) 2sin (1 1 )
2 2lim lim
1 1 1 1x x
x xx x
T
xx x 
   
 
   
2 2
20
2sin (1 1 )
2lim 1
4
2
x
x x
x
 
 
 
 
 
 ( bạn 
trình bày chỗ này rõ ra nhé! ) 
 Thí dụ 10. Tính giới hạn sau 
2
0
1 os 2lim
sinx
c xT
x x

 ( ĐN 1997 ) 
Lời giải. 
22 2
0 0 2 0
1 os 2 sin 2 sin 2 4lim lim lim . 4
s inxsin sin 2x x x
c x x xT
x x x x x
x
  
         
 
 
Chỉ là những phép biến đổi khéo léo ở bạn đó! 
 Thí dụ 11. Tìm giới hạn sau 
0
1lim . os
x
T x c
x
 ( ĐH Giao Thông 1997 ) 
Lời giải. Bài này phải dùng pp đánh giá nói đúng hơn là nguyên lí kẹp của vaiơstrat ( hic sách 
giáo khoa 11 cho nhỏ bên cạnh nhà mượn rùi, ghi nhầm có gì bà con bỏ qua nhen ) 
Tóm tắt pp: Giả sử ta có : 
o ( ) ( ) ( );u x f x v x x D    ( tập xác định của ba hàm số này ) 
o lim ( ) lim ( ) ;
x a x a
u x v x Dieu a D
 
   
Thì lim ( ) ;
x a
f x Dieu a D

  
( ui khuya quá rồi, nhớ cô bé đáng yêu ghê, ngày mai viết tiếp, bé ơi ngủ đi đêm đã khuya rồi  
măm măm, tối thứ bảy, 29-3-2009 ) 
Tiếp nè: 
 1 1 1cos os cos 1x x c x x x x
x x x
         
0 0 0
1lim lim cos lim 0
x x x
x x x
x  
      
 
0
1lim cos 0
x
x
x
   
 
 Thí dụ 12. Tìm giới hạn sau 
0
1 1 sin 3
lim
1 cosx
x
T
x
 


 ( ĐHQG HN 1997 ) 
Lời giải. Biến đổi như sau 
lim
x
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN 
 PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN 
 Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com  THÁNG 4. 2009
   mùa thi 2009  Trang 
7 
0 0
1 1 sin 3 1 1 sin 3
lim lim
1 cos 1 cosx x
x x
T
x x 
   
 
 
 ( vì 1 sin 3 0x  ) 
3 2 2
2
0 0 0
4sin 3sin s inx 4sin 3 1 oslim lim lim 4sin 3
1 co s1 os 1 cosx x x
x x x c x x
a xc x  
  
   
 
2
0
lim 1 cos 4sin 3 3 2
x
x x

    
 Thí dụ 13. Tính giới hạn sau s inxlim
sinxx
xT
x



 ( ĐHGT 1998 ) 
Lời giải. Tiếp tục ý tưởng với nguyên lí kẹp của vaiơstrat, bắt đầu nào 
s inxs inx 1 1 s inx 1 s inx; 0 lim 0
x
x
x x x x x x x

         ( các bạn nên thuộc giới hạn này 
nhé ) 
Vì vậy 
s inx s inx1 1s inxlim lim lim 1s inxs inxs inx 11
x x x
x
x x xT
x x
xx
  
        
    
 
 Thí dụ 14. Tính giới hạn sau 
3 2
0
2 1 1lim
sinxx
x xT

  
 ( ĐHQG HN 2000 ) 
Lời giải. Các bạn nhớ lại ý tưởng thêm bớt nhé, chúng ta thử mới biết là có giải được hay không? 
3 2
0
( 2 1 1) ( 1 1)lim
sinxx
x xT

    

3 2
0 0
( 2 1 1) ( 1 1)lim lim
sinx s inxx x
x x
 
   
  A B  
o   
   0 0
2 1 1 2 1 1 1 2l im lim . 1s inx2 1 1 s inx 2 1 1x x
x x
A
x x
x
 
   
  
   
o    
   
3 32 2 2 23
0 03 32 2 2 2 2 23 3
1 1 ( 1) 1 1 1lim lim 0sinx( 1) 1 1 sinx ( 1) 1 1x x
x x x xB
x x x x
x
 
           
        
 
o Vậy 1T  . 
Bạn đang nghĩ “ ôi sao mà biến đổi khéo léo quá vậy trời, liệu tui có làm được như vậy không? 
Huhu “. Tôi xin nói khẽ với bạn: “ thật đơn giản, chỉ cần bạn luyện tập tốt ( ko cần làm nhiều 
), nhưng bạn phải thật sự hiểu ý nghĩa và hình thức của các giới hạn cơ bản 
 Thí dụ 15. Tính giới hạn 
2
20
3 coslim
x
x
xT
x

 ( ĐHSP HN 2000 ) 
Lời giải. vẫn với câu nói: “ không thử sao biết “ – trừ khi bạn có công lực hàng khủng nhìn thấy 
 ... xo) = 0.. 
Nh­ vËy ®Þnh lý Roll lµ mét tr­êng hîp riªng cña ®Þnh lý Lagr¨ng. Tuy nhiªn cã thÓ chøng 
minh ®Þnh lý Roll trùc tiÕp nh­ sau: 
Hµm sè f(x) liªn tôc trªn [a; b] nªn ®¹t c¸c gi¸ trÞ max, min trªn ®o¹n [a; b] 
 gäi m = min f(x) , M = max f(x) 
 x ],[ ba x ],[ ba 
NÕu m = M th× f(x) = C lµ h»ng sè nªn  xo )b,a( ®Òu cã f’(xo ) = 0 
NÕu m < M th× Ýt nhÊt mét trong hai gi¸ trÞ max, min cña hµm sè f(x) ®¹t ®­îc t¹i ®iÓm nµo ®ã 
xo (a; b). 
VËy xo ph¶i lµ ®iÓm tíi h¹n cña f(x) trªn kho¶ng (a; b)  f’ (xo ) = 0. 
§Þnh lý ®­îc chøng minh . 
ý nghÜa h×nh häc cña ®Þnh lý Roll : Trªn cung AB cña ®å thÞ hµm sè 
 y = f(x), víi A(a; f(a)) , B(b; f(b)) vµ f(a) = f(b), tån t¹i ®iÓm C ( c; f(c) ) mµ tiÕp tuyÕn t¹i C 
song song víi Ox. 
NhËn xÐt : Tõ ®Þnh lý Roll cã thÓ rót ra mét sè hÖ qu¶ quan träng nh­ sau : 
Cho hµm sè y = f (x) x¸c ®Þnh trªn [a; b] vµ cã ®¹o hµm t¹i )b;a(x . 
 HÖ qu¶ 1 : NÒu ph­¬ng tr×nh f(x) = 0 cã n nghiÖm ph©n biÖt th×: 
ph­¬ng tr×nh f’ (x) = 0 cã Ýt nhÊt n – 1 nghiÖm ph©n biÖt . 
ph­¬ng tr×nh f )k( (x) = 0 cã Ýt nhÊt n – k nghiÖm ph©n biÖt, víi k = 2, 3, 4  
 HÖ qu¶ 2 : NÕu ph­¬ng tr×nh f(x) = 0 cã n nghiÖm ph©n biÖt th× ph­¬ng 
tr×nh : f(x) +  f’ (x) = 0 cã Ýt nhÊt n-1 nghiÖm ph©n biÖt , víi R 
lim
x
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN 
 PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN 
 Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com  THÁNG 4. 2009
   mùa thi 2009  Trang 
15
mµ 0 . 
 Thí dụ 29. Chứng minh rằng với mọi số thực , ,a b c thì phương trình 
cos3 cos 2 cos s inx 0a x b x c x    (1) luôn có nghiệm trong khoảng  0;2 
Lời giải. Lần đầu tiên tôi gặp bài toán này vào năm lớp 10, thật sự lời giải làm cho tôi thích nhất 
của bài toán này là dùng định lí lagrange 
Xét hàm số 1 1( ) 3 a sin 3 2 sin 2 sin cosf x x b x c x x     trên đoạn [0;2 ] . Rõ ràng hàm số này 
xác định và liên tục trên [0;2 ] , có đạo hàm tại mọi điểm thuộc  0;2 . Ngoài ra 
(0) (2 ) 1f f    . Theo định lí lagrange, tồn tại  0;2d  sao cho 
     
2 0 1 ( 1)' 0
2 0 2
f f
f d

 
   
  

cos3 cos 2 cos sin 0a d b d c d d     điều này có 
nghĩa d là một nghiệm của phương trình (1) suy ra đpcm. ( chú ý bài toán này còn có cách giải 
khác ) 
 Thí dụ 30. Giải phương trình   cos cos1 cos 2 4 3.4x xx   
Lời giải. Về bài toán này trước hết ta phải thực hiện đặt ẩn phụ  cos 1;1x y   Khi đó pt đã 
cho có dạng   1 2 4 4.4
1 1
y yy
y
   

  
(1) tới đây công việc cũng chưa hẳng là đã đơn giản hơn. 
Chúng ta sẽ dùng ý tưởng của định lí lagrange để giải phương trình này, từ định lí lagrange chúng 
ta thấy rằng phương trình đạo hàm cấp 1 ' 0f  có không quá k nghiệm thì phương trình 0f  
có không qua k+1 nghiệm, rồi từ đó bằng cách đoán nghiệm ta suy ra các nghiệm của phương 
trình. Những phương trình dùng tới định lí này thường có mặt trong các kì thi hsg! 
Ta có 
 2
6.4 ln 4'( ) 1
2 4
y
y
f y  

 ( các bạn kiểm tra lại phép tính đạo hàm này nhé ) 
 2'( ) 0 2 4 6.4 ln 4 0y yf y      nếu ta coi phương trình này là phương trình với biến là 4y 
thì rõ ràng nó là một pt bậc hai nên nó sẽ có không quá 2 nghiệm. Từ đó (1) sẽ có không quá 3 
nghiệm, ta đoán được 1 2 3
10; ; 1
2
y y y   là ba nghiệm của (1). Rồi từ đấy giải các pt lượng giác 
cơ bản 1cos 0;cos ;cos 1
2
x x x   suy ra kết quả! 
 Thí dụ 31. 
Cho n lµ sè nguyªn d­¬ng , cßn a, b, c lµ c¸c sè thùc tuú ý tho¶ m∙n hÖ thøc : 
2n
a

 + 
1n
b

 + 
n
c
 = 0 (1) 
CMR ph­¬ng tr×nh : 
 a 2x + bx + c = 0 
cã Ýt nhÊt mét nghiÖm trong ( 0; 1) . 
lim
x
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN 
 PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN 
 Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com  THÁNG 4. 2009
   mùa thi 2009  Trang 
16
Gi¶i : 
 XÐt hµm sè: f(x) = 
2n
ax 2n


+ 
1n
bx 1n


 +
n
cx n
 . 
Hµm sè f (x) liªn tôc vµ cã ®¹o hµm t¹i  xR . 
Theo gi¶ thiÕt (1) cã f(0) = 0 , f(1) = 0
n
c
1n
b
2n
a




Theo ®Þnh lý Roll tån t¹i xo  (0; 1) sao cho f’(xo ) = 0 mµ: 
 f’(x) = a 2nn1n cxbxx   
 f’(x 0 ) = 0 0cxbxax
1n
o
n
o
1n
o 
 
 o
2
o
1n
o bxax(x 
 +c) = 0 ( 0x o  ) 
 0cbxax o
2
o  
VËy ph­¬ng tr×nh a 0cbxx 2  cã nghiÖm )1;0(x o  . (®pcm) . 
 Thí dụ 32. 
Gi¶i ph­¬ng tr×nh : xxxx 5463  
Gi¶i : 
Ph­¬ng tr×nh ®∙ cho t­¬ng ®­¬ng víi : 
 xxxx 3456  (2). 
Râ rµng 0x o  lµ mét nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (2) . 
Ta phân tích như sau, phương trình tương đương với    5 1 5 3 1 3x xx x     , vì phương trình 
có bậc là biến nên chúng ta sẽ dùng một thủ thuật để xử lí như sau: 
Ta gäi  lµ nghiÖm bÊt kú cña ph­¬ng tr×nh (2). XÐt hµm sè : 
 f(x) =   x)1x( , víi x > 0, chú ý X này là X lớn nhen! 
Hµm sè f(x) x¸c ®Þnh vµ liªn tôc trªn ( 0; + ) vµ cã ®¹o hµm : 
 f’ (x) = 1)1x(  -  1x  
 = [ 11 x)1x(   ] 
Tõ (2) cã f(5) = f(3) . VËy tån t¹i c ( 3; 5) sao cho f’(c) = 0, hay lµ : 
  [ 11 c)1c(   ] = o 
   = o ,  = 1 . 
Thö l¹i thÊy 1 20; 1x x  ®Òu tho¶ m∙n ph­¬ng tr×nh (2). 
VËy ph­¬ng tr×nh ®∙ cho cã ®óng 2 nghiÖm lµ : 1 20; 1x x  
@ hichic, 3 tiếng rưỡi edit trong đẹp hơn nhiều rồi! – 3h30, 3.4.2009 
Phần 4. Sử dụng đạo hàm để tính giới hạn của hàm số ( bom nguyên 
tử ) 
lim
x
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN 
 PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN 
 Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com  THÁNG 4. 2009
   mùa thi 2009  Trang 
17
 Thí dụ 33. Tính giới hạn sau 
3 5
30
1 2 1lim
3 8 2 1x
x xT
x x
  

  
Lời giải. Với bài toán này mà làm theo những cách ở phần 1 thì cũng có vẻ hơi căn phải hong nè! 
Chúng ta giải bằng cách dùng đạo hàm 
Đặt 3 5( ) 1 2 1f x x x    dễ thấy (0) 0f  
Đặt 3( ) 3 8 2 1g x x x    dễ thấy (0) 0g  , chính những nhận đinh này gợi cho ta ý nghĩ về 
đạo hàm, như vậy chúng ta thực hiện những biến đổi sau, trước hết chia tử và mẫu cho x và đưa 
về dạng đạo hàm như sau 
0 0
( ) (0)
( ) 0lim lim ( ) (0)( )
0
x x
f x f
f x xT g x gg x
x
 

 


0
0
( ) (0)lim
0
( ) (0)lim
0
x
x
f x f
x
g x g
x






'(0)
'(0)
f
g

1
415
3 45
4

 

Việc tính đạo hàm tại 0x  của hai hàm f(x) và g(x) xin dành cho các bạn! 
@ Uhm, qua ví dụ này các bạn đã thấy sức mạnh của phương pháp đạo hàm trong giới hạn chưa, 
thật sự các ví dụ trong phần 1 điều có thể giải được bằng pp này! 
 Thí dụ 34. Tính giới hạn sau 
tan 2 os16
8
lim
os12
x c x
x
e eT
c x

 ( thầy Phú Khánh ) 
Lời giải. Đặt tan2( ) xf x e dễ thấy ( ) 1
8
f   ; os16( ) c xg x e dễ thấy ( ) 1
8
g   , tại sao chúng ta lại 
tính các giá trị tại 
8
 ? với nhận định này ta thực hiện biến đổi như sau 
tan 2 os16 tan 2 os16 tan 2 os16
8 8 8 8 8
1 ( 1) 1 1 8lim lim (lim lim ).lim
os12 os12 os12
8 8
x c x x c x x c x
x x x x x
xe e e e e eT
c x c x c xx x
    

     
     
   
 
tan 2
8
1lim '( )
8
8
x
x
e f
x






 (?) ; 
os16
8
1lim '( )
8
8
c x
x
e g
x






 ; 
8
18lim
os12 12x
x
c x



 (? ) các bạn tự tính nha, sau 
những gì các bạn được học thì việc tính là dễ dàng! 
Vậy 
3
eT  
 Thí dụ 35. Tính giới hạn sau 
2
2
32 20
ln(1 )lim
1xx
xT
e x


 
 ( Đề thử sức số 3 tạp chí TH & TT ) 
Lời giải. Chúng ta biến đổi như sau 
2
2 2
32 2 2 2 2
2 23 32 2 2 20 0 0
ln(1 ) ln(1 ) 1lim lim . 1: lim
1 1
x
x xx x x
x x x e xT
x xe x e x

   
   
  
   
lim
x
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN 
 PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN 
 Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com  THÁNG 4. 2009
   mùa thi 2009  Trang 
18
Lúc này ta đặt 
22
3 2
( ) (0) 1
( ) 1 (0) 1
xf x e f
g x x g
  
   
 rồi bằng cách làm như các ví dụ trên các bạn sẽ tính ra 
được kết quả sau 
3
7
T  
 Thí dụ 36. Tính giới hạn sau 
3 2
0
2 1 1lim
sinxx
x xT

  
 ( thầy Trần Phương ) 
Lời giải. Đặt 3 2( ) 2 1 1f x x x    dễ thấy (0) 0f  vì vậy ta có thể viết lại bài toán như sau 
(?) 
 Thí dụ 37. Tính giới hạn sau 
2ax 2
20
.cos 1lim
x
e axT
x

 với a là hằng số cho trước 
Lời giải. Biến đổi bài toán như sau 
2 2ax 2 ax 2
2 20 0
.cos 1 .cos 1lim lim
x x
e ax e axT a
x ax 
 
  
Đặt 
2ax 2( ) .cos 1f x e ax  dễ thấy (0) 0f  Vì vậy 
0
( ) (0)lim '(0)
0x
f x fT f a
x

  

. Vậy T a , rất mong các bạn kiểm tra lại kết quả để tự các bạn 
là người hoàn thiện bài toán. 
@ Rõ ràng sự kết hợp của đạo hàm và các giới hạn cơ bản đã tạo nên một công cụ cực mạnh, 
theo tôi nghĩ là có thể giải được khá nhiều bài giới hạn trong chương trình, bạn có thử suy nghĩ 
như tôi không, khi ra đề người ra đề xuất phát từ đâu, tôi xin nhắc nhỏ cho bạn chỉ từ các giới 
hạn cơ bản, đạo hàm và những phép biến đổi khéo léo! 
  Lời cuối cùng: Sau khoảng 9 tiếng chúng tôi đã hoàn thành xong bài viết này, vì thời gian 
là có hạn và mùa thi đã đến gần nên chúng tôi không thể trình bày hết các vấn đề của Giới hạn, 
liên tục và đạo hàm. Chúng tôi hi vọng với bài viết ngắn này, trong kì thi sắp tới các bạn sẽ làm 
tốt hơn về phần này, và các bạn đang học 11 sẽ có thêm một kiến thức nhỏ để chuẩn bị cho việc 
học đội tuyển. Chúng tôi rất tiếc là không thể thực hiện được ý định như ý muốn là viết thêm phần 
5, một phần chúng tôi rất tâm đắc, đó là sử dụng tính liên tục để giải phương trình, bất phương 
trình, chứng minh sự tồn tại nghiệm, giải phương trình hàm,và phần giới hạn trong dãy số 
Nhưng chúng tôi không còn nhiều thời gian nữa, lời cuối chúng tôi xin chúc các bạn thi tốt 
trong kì thi sắp tới và những kì thi sau này. Dù đã rất cố gắng nhưng sai xót là không thể tránh 
khỏi, hi vọng nhận được nhiều sự đóng góp từ các ban. Với bài viết này chúng tôi hi vọng kiến 
3 2
0 0 0 0
(0) 0
2 1 1 ( ) (0) s inx ( ) (0) s inxlim lim : lim : lim '(0) 1
s inx 0 0x x x x
f
x x f x f f x fT f
x x x x   

            
lim
x
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN 
 PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN 
 Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com  THÁNG 4. 2009
   mùa thi 2009  Trang 
19
thức về toán sơ cấp của bản thân ngày càng vững vàng hơn. Xin chào và hẹn gặp lại các bạn ở 
những chuyên đề khác khi chúng tôi rời ghế nhà trường THPT .. 
Hết 
.$................. 
8h43’pm- 3.4.2009 
Gởi lời đến Phương Trang: anh chúc em học thật giỏi, luôn xinh đẹp và dễ thương, chúc em mọi 
điều hạnh phúc. Em hãy vững tin trên cuộc sống nha! ♥