Bài toán xác định một đa thức Đại số Lớp 8 - Năm học 2008-2009

 Bài toán xác định một Đa Thức
Việc tìm tòi lời giảI bài toán xác định một đa thức thường gây lúng túng cho HS . Nguyên nhân chính là hs được trang bị đầy đủ các kiến thức cần thiêt nhưng rời rạc ởcác khối lớp và thường thiếu bài tập áp dụng . Bài viết này nhằm củng cố kiến thức về đa thức về đa thức trong chương trình toán từ lớp 7 đến lớp 9 đặc biêt chương trình HSG lớp 8 
1, Một vài kiến thức cơ bản để giảI loại toán này : 
 Định lý Bơ-du : phần dư của phép chia đa thức f(x) cho nhị thưc x – a bằng giá trị của đa thức tại x = a , tức là f(x) = (x –a)g(x) + f(a) 
 Thực vậy , giả sử f(x) = (x –a)g(x) + r thì f(a) = r 
Phương Pháp hệ số bất định 
 Giả sử f(x) = a3x3 + a2x2 + a1x + a0
 g(x) = b3x3 + b2x2 + b1x + b0
Nếu f(x) = g(x) với ít nhất 4 giá trị phân biệt của x thì a3=b3 , a2=b2 , a1=b1 , a0=b0 .
 Chứng minh : giả sử với 4 giá trị phân biệt x1 , x2 , x3 , x4 có :
f(x1)=g(x1) (1) f(x2)=g(x2) (2)
f(x3)=g(x3) (3) f(x4)=g(x4) (4)
 Đặt c3=a3 – b3 , c2=a2 – b2 , c1=a1 – b1 , c0=a0 – b0 .
Trừ theo vế của (1) và (2) được :
C3(x31 – x32 ) + C2(x12 – x22) + C1(x1 – x2) = 0
Vì x1 – x2 0 nên 
C3(x13 +x1x3+x32) + C2(x1 + x2) + C1 = 0 (5)
Tương tự từ (1) và (3) có 
C3(x12 + x1x3 + x32 ) + c2(x1+x3)+c1 = 0 (6)
 Trừ theo tong vế của (5) và (6) rồi chia cho x2 – x3 0 được c2+c3(x1+x2+x3)=0 (7)
Tương tự từ (1) , (2) , (4) có :
 C2+c3(x1 + x2 + x4) = 0 (8)
Trừ theo từng vế của (7) và (8) được c3(x3 – x4) = 0 c3=0 vì x3 – x4 0 . Thay c3 =0 vào (8) được c2 = 0 . Từ đó và (6) được c1 =0 . Thay vào (1) được a0 = b0 suy ra đpcm . 
 2. Một số dạng toán thường gặp 
 Dạng 1 : Xác định đa thức bậc n ( n = 2,3) khi biết (n + 1) giá trị của đa thức 
 Bài toán 1 : Xác định đa thức bậc ba biết f(0) =1 ; f(1) = 0 ; f(2) = 5;f(3)= 22
Lời giải : Gọi đa thức cần tìm là :
 F(x) = ax3 + b2 + cx + d
Theo bài ra ta có : f(0) = 1 d=1
f(1) = 0a+b+c = -1 (1)
f(2) = 54a+2b+c=2 (2)
f(3) = 229a + 3b +c =7 (3)
 Giải hệ phương trình (1) , (2) , (3) được a=1, b=0, c=-2 . Vậy f(x)=x3-2x+1 
 Chú ý rằng để xác định đa thức bậc n thì cần biết n+1 giá trị đa thức , còn nếu chỉ biết n giá trị thì đa thức tìm được có hệ số phụ thuộc một tham số . Chẳng hạn ở bài toán 1 nếu bỏ đi điều kiện f(3) = 22 thì khi giải hệ phương trình (1) (2) và d =1 ta được f(x) =ax3+(3-3a)x2+(2a- 4)x+1 với a tham số .
Dạng 2 : Xác định đa thức dư khi biết một số phép chia khác 
 Bài toán 2 : Đa thức f(x) khi chia cho x+1 dư 4 , khi chia cho x2+1 dư 2x+3 . Tìm đa thức dư khi chia f(x) cho (x+1)(x2+1) . 
 Lời giải : Theo định lí Bơ-du ta có f(-1) = 4 (4) . Do bậc của đa thức chia (x+1)(x2+1) là 3 nên đa thức dư có dạng bậc hai ax2+bx+c . 
Giả sử 
 f(x) = (x+1)(x2+1).q(x)+ax2+bx+c
 = [(x+1).q(x)+a].(x2+1)+bx+c-a (5) 
Mà f(x) chia cho (x2+1) dư 2x+3 (6)
Từ (4) , (5), (6) có b=2 (7) , c - a =3 (8),
a – b + c =4 (9). 
Giải hệ phương trình (7)(8)(9) suy ra đa thức dư cần tìm là . Chú ý rằng để tìm đa thức dư khi chia f(x) cho g(x) ở điều kiện để bài ta biết phép chia f(x) cho các đa thức thương của g(x) .
 Dạng 3: Xác định đa thức khi biết điều kiện của các hệ số 
 Bài toán 3 : Tìm các đa thức f(x) có tất cả các hệ số đều là số nguyên không âm nhỏ hơn 8 và thoả mãn : f(x) =2003. 
 Lời giải : Xét đa thức 
F(x) = anxn+an-1xn-1++a1x+a0 với a0,a1,,an-1,an đều là các số nguyên không âm và nhỏ hơn 8. Do f(8) = 2003 nên an8n+an-18n-1++a18+a0 = 2003. ở đây a0 , a1 ,..., an-1 , an là các chữ số của năm 2003 cho 8 được dư a0 =3 , lại lấy thương chia cho 8 , liên tiếp như thế , ta được đa thức cần tìm là :
 F(x) = 3x3+7x2+2x+3 
 Bài toán tổng quát là : Tìm các đa thức f(x) sao cho tất cả các hệ số đều là số nguyên không âm nhỏ hơn a và biết f(a) = b , trong đó a,b là các số đã cho.
 Dạng 4: Xác định đa thức thoả mãn một hệ thức đối với f(x) 
 Bài toán 4 : Tìm các đa thức f(x) bậc nhỏ hơn 4 và thoả mãn hệ thức sau với ít nhất 4 giá trị phân biệt của x :
 3f(x) – f(1-x) = x2+1 (10)
 Lời giải : Giả sử f(x) = a3x3 +a2x2 +a1x + a0 
 Sử dụng phương pháp hệ số bất định ta có :
4a3x3 =0a3 =0 suy ra 2a2x2 =x2 a2 = , từ đó có (4a1+1)x = 0 a1 =- và 2a0 - = 1 a0 = . Vậy f(x) 
Các bạn hãy chứng minh phương pháp hệ số bất định đối với hai đa thức có bậc 4 , bậc 5 và tìm thêm các dạng khác của bài toán xác định đa thức .
Dạng 5: Tìm giá trị của một đa thức 
Bài toán 5: Đa thức bậc 4 có hệ số cao nhất là 1 và thoả mãn f(1) = 5 , f(2)=11, f(3) =21 .Tính f(-1) + f(5) 
Lời giảI : Nhận xét g(x) = 2x2 + 3 thoả mãn f(1) =5 , f(2) = 11 , f(3) =21 
Q(x) = f(x) – g(x) là đa thức bậc 4 có 3 nghiệm x=1, x=2 , x=3. 
Vậy Q(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-a) ta có : 
f(-1) = Q(-1) + 2.(-1)2 + 3 = 29 + 24a 
f(5) = Q(5) + 2,(5)2 +3 =173 +24a Suy ra f(-1) + f(5) = 202 
Bài toán 6 : Đa thức P(x) bậc 4 có hệ số cao nhất là 1 
Giả sử P( 1) = 0 , P (3) = 0 , P (5) = 0 , Hãy tính giá trị cúa biểu thức 
Q = P(-2) +7 P(6) ( Trích đề thi Olympic lớp 8 (08-09) 
 Hương Sơn Hà Tĩnh
Lời giảI : Vì P(1) = 0 , P(3) = 0, P(5) = 0 nên đa thức P(x) nhận 1; 3 ; 5 làm nghiệm . VậyP(x) = (x-1)(x-3)(x-5)(x-a). Từ đó suy ra P(-2) = 210 + 105a và 
7P(6) = 630 – 105a vậy Q = P(-2) + 7P(6) = 840 
Các bạn có thể giảI thêm các bài tập sau : Đa thức bậc 4 có hệ số cao nhất là 1 và thoả mãn g(-1) = 5 ; g(2) = 11 ; g (4) = 35 . Tính P = G(-1) +4G(5) 
Chúc các bạn thành công và học thật giỏi 
	Hương Sơn ngày 10-5-2009