Bài tập Toán 8 – Chương IV: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Chương IV: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
š&›/
Tóm tắt lý thuyết
Một số tính chất của bất đẳng thức:
Với 3 số a, b và c, ta có:
Nếu a < b thì a + c < b + c	Nếu a £ b thì a + c £ b + c
Nếu a > b thì a + c > b + c	Nếu a ³ b thì a + c ³ b + c
Với 3 số a, b và c mà c > 0, ta có:
Nếu a < b thì a . c < b . c	Nếu a £ b thì a . c £ b . c
Nếu a > b thì a . c > b . c	Nếu a ³ b thì a . c ³ b . c
Với 3 số a, b và c mà c < 0, ta có:
Nếu a b . c	Nếu a £ b thì a . c ³ b . c
Nếu a > b thì a . c < b . c	Nếu a ³ b thì a . c £ b . c
Với 3 số a, b và c, ta có:
Nếu a < b và b < c thì a < c	(tính chất bắc cầu)
Bất phương trình bậc nhất một ẩn:
Bất phương trình dạng ax + b 0, ax + b £ 0, ax + b ³ 0) trong đó a và b là hai số đã cho, a ¹ 0, được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Quy tắc biến đổi bất phương trình:
Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một hạng tử của một bất phương trình từ vế này sang vế kia ta phải đổi dấu hạng tử đó.
Quy tắc nhân với một số: Khi nhân hai vế một bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải:
Giữ nguyên chiều (dấu) bất phương trình nếu số đó dương.
Đổi chiều (dấu) bất phương trình nếu số đó âm. (dấu “>” « “<” và “³” « “£”)
Để giải bất phương trình bậc nhất một ẩn thông thường ta làm như sau:
Trước tiên ta dùng quy tắc chuyển vế chuyển những hạng tử có chứa biến về một vế, những hạng tử không chứa biến về một vế (Chú ý: chỉ đổi dấu hạng tử, không đổi chiều bất phương trình).
Sau đó dùng quy tắc nhân với một số để tìm nghiệm của bất phương trình (Chú ý: khi nhân với số âm thì đổi chiều bất phương trình còn nếu nhân với số dương thì không). 
Chú ý: 	
Khi giải phương trình xong nhớ phải viết tập hợp nghiệm. 
Vd: 	“Vậy tập nghiệm của bất phương trình là {x | x > 5}” hay 
	“Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 5” cũng được.
	Nếu đề bài không yêu cầu biểu diễn tập nghiệm trên trục số thì không biểu diễn.
Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số x như sau: 
Một số tính chất của giá trị tuyệt đối:
½– x½ = ½x½
½x½2 = x2
½a½ + ½b½ ³ ½a + b½
½a½ - ½b½ £ ½a - b½
½a½.½b½ = ½a.b½
Do đó để giải một phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối ta quy về việc giải hai phương trình ứng với biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối âm hay dương. Sau khi giải xong từng phương trình kiểm tra lại nếu nghiệm thỏa điều kiện thì nhận không thì thôi.
Các dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối thường gặp và cách giải:
Dạng 1: ½A½ = B 	(1) 	(với B là một số thực không chứa biến)	
Nếu B < 0 : phương trình vô nghiệm
Nếu B > 0 : (1) Û A = B hoặc A = – B 
Dạng 2: ½A½ = B 	(2) 	(với B là một biểu thức có chứa biến)
Nếu A ³ 0 Û x 	(*)
(2) Û A = B Û x =  (đem nghiệm này so với điều kiện (*) nếu thỏa thì lấy)
Chú ý: Trường hợp ph/trình A = B có VSN thì phương trình (2) có nghiệm là (*). 
Nếu A < 0 Û x 	(**)
(2) Û – A = B Û x =  (đem nghiệm này so với điều kiện (**) nếu thỏa thì lấy)
Chú ý: Trường hợp ph/trình – A = B có VSN thì phương trình (2) có nghiệm là (**). 
	Vậy nghiệm của phương trình là: (lấy nghiệm của hai trường hợp trên). 
Dạng 3: ½A½ = ½B½ Û A = B hoặc A = – B (giải hai phương trình này tìm nghiệm nếu có). 
Dạng 4: 
½A½ + ½B½ +  + ½N½= 0 (1) 
Nghiệm của (1) là nghiệm chung của các phương trình (a), (b),  (n).
Dạng 5: Phương trình có chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối:
Tìm giá trị của ăn để biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối bằng 0. Các giá trị này khi biểu diễn lên trục số sẽ chia trục số thành nhiều khoảng giá trị của ẩn.
Cho ẩn lấy giá trị trên từng khoảng, trên từng khoảng đó dấu của biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối sẽ âm hoặc dương. Dựa vào đó mà bỏ dấu trị tuyệt đối. 
Giải phương trình, giá trị tìm được phải nằm trong khoảng đang xét mới nhận làm nghiệm. 
Nghiệm của phương trình là tất cả các nghiệm vừa tìm được trên từng khoảng.
BÀI TẬP
Một số tính chất của bất đẳng thức:
Các khẳng định sau đúng hay sai ? Vì sao ?
1.	a)	(–2) + 3 ³ 2	b)	– 6 £ 2.(–3)	c)	4 + (–8) < 15 + (–8)
	d)	x2 + 1 ³ 1 	e)	– 5 ³ – 5 	f)	– 4 + (–8)2 £ (–4) . ( –15)
	g)	15 –14	
2.	a)	(–6).5 < (–5).5	b)	(– 6).(–3) < (–3).(–3)	c)	(–2003).(–2005) £ (–2005).2004
Hãy nhân vào hai vế của mỗi bất đẳng thức số đặt trong dấu ngoặc kàm theo:
	a)	10 - 6 (3)	c)	12 > - 40 (- 3)
	e)	- 12 > - 8 (- 2)	f)	14 < 29 (2)	g)	- 6 £ - 5 (- 4)
Chuyển các khẳng định sau về bất đẳng thức và cho biết khẳng định đó đúng hay sai ?
Tổng của –3 và 1 nhỏ hơn hoặc bằng –2.
Hiệu của 7 và –15 nhỏ hơn 20.
Tích của –4 và 5 không lớn hơn –18.
Thương của 8 và –3 lớn hơn thương của 7 và –2. 
Cho a < b, hãy so sánh:
1.	a)	a + 1 và b + 1	b)	a – 2 và b – 2	c)	a – 5 và b – 5
	d)	2a + 1 và 2b + 1	e)	2a + 1 và 2b + 3 
2.	a)	2a và 2b	b)	2a và a + b	c)	 – a và – b 
	d)	5a và 5b	e)	- 3a và - 3b
Cho a < b, hãy chứng tỏ:
 	a)	3a + 1 - 2b - 5	c)	2a – 3 < 2b – 3 
	d)	2a – 3 < 2b + 5	e)	2a + 1 < 2b + 1	f)	4(a – 2) < 4(b – 2)
	g)	3 – 6a > 3 – 6b	h)	1 + a < 3 + b	h)	3a < 2 + 3b
	i)	4a + 1 1 – 5b	
Với m bất kỳ, hãy chứng tỏ:
	a)	1 + m < 2 + m	b)	m – 2 < 3 + m	c) 	a < a + 2
So sánh a và b nếu:
	a)	a + 5 - 3b	c)	5a – 6 ³ 5b – 6 
	d)	- 2a + 3 £ - 2b	
Số a và b là âm hay dương nếu:
	a)	12a - 5a 	
	d)	5b > 3b	e)	- 12b > 8b	f)	- 6b ³ 9b
Cho a > 0, b > 0, nếu a < b, hãy chứng tỏ:
	a)	a2 < ab và ab < b2	b)	a2 < b2 và a3 < b3	c) 
Với giá trị nào của a thì:
	a)	a2 ³ 0	b)	a2 > 0	c)	a2 = 0
	d)	a2 £ 0	e) 	a2 < 0
Chứng tỏ rằng với a và b là hai số bất kỳ thì:
 	a)	a2 + b2 – 2ab ³ 0	b)	
Bất phương trình bậc nhất một ẩn:
Chứng minh rằng các bất phương trình sau tương đương:
	a)	x3 – 2x2 – 1 £ x2 + x + 1	và	 x3 – 3x2 – x – 2 £ 0
	b)	- x2 + ax – a £ x3 + x2 + 1	và	x3 + 2x2 – ax + a + 1 ³ 0	
	c)	x2 + 2x + 5 ³ 3x – 7 + x2	và	x – 12 £ 0
	d)	x2 + x + 1 0
	e)	3x3 – 4x – 2 £ 0	và	 x3 – x – £ 0
	f)	x2 – 5 ³ 0	và 	2x2 – 6 ³ 4
Giải thích sự tương đương của các bất phương trình sau:
	a)	2x - 18
Chứng minh rằng các bất phương trình sau đây vô nghiệm:
	a)	x2 + 1 < 1	b)	x2 + 2x < 2x	c)	x2 – 2x + 3 < - 2x + 3
	d)	x2 + 2x + 2 £ 0	e)	4x2 - 4x + 5 £ 0	f)	x2 + x + 1 £ 0	
Chứng minh rằng mọi số thực x đều là nghiệm của các bất phương trình sau:
	a)	2x2 - 4x + 5 > 0	b)	3x2 + 2x + 1 ³ 0	c)	- x2 + 6x - 10 < 0
	d)	- x2 + 3x - 3 < 0	e)	f)	
Trong các bất phương trình sau, hãy cho biết bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất một ẩn:
	a)	2x – 3 0	c)	5x – 15 ³ 0
	d)	x2 > 0	e)	x2 + 1 £ 0	f)	3x + 2 > - 5 
Hãy viết thành bất phương trình và chỉ ra một nghiệm của nó từ các mệnh đề sau:
Tổng của một số nào đó và 5 nhỏ hơn 5.
Hiệu của 9 và một số nào đó nhỏ hơn -12.
Tổng của hai số nào đó và 3 lớn hơn 12.
Hiệu của 5 và 3 lần số đó nhỏ hơn 10.
Tổng của số nào đó với hai lần số đó không vượt quá -5.
Giải các bất phương trình sau:
1.	a)	x – 5 > 3	b)	x – 2x - 4x + 2
	d)	8x + 2 2x + 3	f)	x – 4 < - 8
	g)	x – 2 > 4	h)	3 – 4x ³ 19	i)	x + 3 > - 6
	j)	2x – 1 > 5	k)	3x – 2 < 4	l)	2 – 5x £ 17
	m)	3x + 2 > 8	n)	4x – 5 < 7	o)	- 2x + 1 < 7	
	p)	13 – 3x > - 2	q)	7x – 2,2 2,3 – 4x
2.	a)	3x - 5x + 6
3.	a)	0,3x > 0,6	b)	- 4x 4
	d)	3x - 6	f)	0,2x > 8 
	g)	1,5x > - 9	h)	1,2x - 6
	j)	 x 2	l) 	5 – x > 2
	m)	x > 3	n)	x 6
4.	a)	2x + > 	b)	6 – x 3
	d)	e)	f)	
	g)	h)	i) 	
Giải các bất phương trình sau:
1.	a)	8x + 3(x + 1) > 5x – (2x – 6)	b)	2x(6x – 1) > (3x – 2)(4x + 3)
	c)	(x – 1)2 x(x – 4) 
	e)	2x + 3 (3 + 2x) – (5 – 6x)
	g)	(x + 2)2 (x – 2)(x + 8) + 26
	i)	x2 – x(x + 2) > 3x – 1	j)	2x – x(3x + 1) £ 15 – 3x(x + 2)
	k)	18 – 3x(1 – x) < 3x2 – 3x + 1	l)	(x + 1)(2x – 2) – 3 ³ 5x – (2x + 1)(3 – x)
	m)	x2 – 3x + 1 > 2(x – 1) – x(3 – x)	n)	(x – 1)2 + x2 £ (x + 1)2 + (x + 2)2 
2.	a)	b)	
	c)	d)	
	e)	f)	
	g)	h)	
	i)	j)	
	k)	l)	
	m)	n)	
Giải các bất phương trình sau và biểu diễn nghiệm trên trục số:
1.	a)	2x – 3 > 0	b)	2x – 4 0
	d)	3x + 4 < 0	e)	4 – 3x £ 0	f)	5 – 2x ³ 0
	g)	- x + 3 < 0	h)	- 3x + 12 ³ 0	i) 	6 – 4x £ 0
2.	a)	b)	c)	
	d)	e)	f)	
3.	a)	b)	
	c)	d)	
	e)	f)	
	g)	h)	
4.	a)	b)	
5.	a)	x(x – 1) 0
	c)	(x + 5)(7 – 2x) > 0	d)	(2x + 1)(x – 3) < 0
	e)	x2 – 6x 0
	g)	h)	
	i)	j)	
Tìm các giá trị của x sao cho:
Giá trị của biểu thức 2x – 5 không âm.
Giá trị biểu thức là âm.
Giá trị biểu thức là dương.
Giá trị biểu thức là không dương.
Giá trị của biểu thức - 3x không lớn hơn giá trị của biểu thức - 7x + 5.
Giá trị phân thức lớn hơn giá trị phân thức .
Giá trị phân thức nhỏ hơn giá trị phân thức .
Giá trị phân thức lớn hơn giá trị phân thức .
Giá trị phân thức không nhỏ hơn giá trị phân thức .
Tìm các nghiệm nguyên âm của các bất phương trình:
	a)	4x + 13 ³ 0	b)	3(2x – 3) < 2(5x + 2)
Tìm các nghiệm nguyên dương của các bất phương trình:
	a)	17 – 3x ³ 0	b)	x(x – 2) – 5x + 21 ³ (x – 2)2
Tìm các số tự nhiên n thỏa mãn mỗi bất phương trình sau:
	a)	4n – 19 £ 0	b)	17 – 6n ³ - 8
	c)	3(5 – 4n) + (27 + 2n) > 0	d)	(n + 2)2 – (n – 3)(n + 3) £ 40
Tìm tất cả các số nguyên thỏa mãn cả hai bất phương trình:
	a)	2x > - 9	và	7 – 3x < 0
	b)	16 – 3x > 0	và	4x – 3 ³ 0
	c)	7 – 3x > 0	và 	(x – 3)2 – 14 < (x – 2)2
Tìm tất cả các số nguyên x là nghiệm của bất phương trình đầu nhưng không là nghiệm của bất phương trình thứ hai:
	a)	3x +2 ³ 0	và	4 – 2x £ 0
	b)	3x – 4 0
	c)	3 – 2x £ 0	và	3x – 14 ³ 0
Tìm các số nguyên x nhỏ nhất thỏa mãn mỗi bất phương trình sau:
a)	0,2x + 3,2 > 1,5	b)	4,2 – (3 – 0,4x) > 0,1x + 0,5
Tìm các số nguyên x lớn nhất thỏa mãn mỗi bất phương trình sau:
a)	5,2 + 0,3x < - 0,5	b)	1,2 – (2,1 – 0,2x) < 4,4
So sánh hai số a và b nếu:
	a)	x 2 Û (a – b) < 2(a – b)
Với giá trị nào của m thì phương trình ẩn x: 
x – 3 = 2m + 4	có nghiệm dương.
2x – 5 = m + 8	có nghiệm âm.
Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn các biểu thức sau:
	a)	A = 3x + 2 + ½5x½	trong hai trường hợp: x ³ 0 và x < 0.
	b)	B = ½-4x½ - 2x + 12	trong hai trường hợp: x £ 0 và x > 0.
	c)	C = ½x – 4½ - 2x + 12	khi x > 5
	d)	D = 3x + 2 + ½x + 5½ 	
	e)	E = ½1 + 4x2½- 2x – 4x2 
	f)	g)	
	h)	i)	
Giải các phương trình sau:
1.	a)	½2x½ = x – 6	b)	½- 5x½ - 16 = 3x	c)	½4x½ = 2x + 12
	d)	½- 3x½ = x – 8	e)	½0,5x½ = 3 – 2x	f)	½- 2x½ = 3x + 4
	g)	½5x½ = x – 12	h)	½- 2,5x½ = 5 + 1,5x	i)	 ½- 3,5x½ = 1,5x + 5
	j)	½2x½ = 3x – 2	k)	½3x½ = x + 8	l)	½- 2x½ = 4x + 18
2.	a)	½x – 5½ = 3	b)	½2x – 5½ = 4	c)	½x + 6½ = 1
	d)	½3 – 7x½ = 2	e)	½x – 5½ = 2	f)	½8x – 5x½ = 2
	g)	½x – 2½ = - 3	h)	½4x + 3½ = 0	i)	½x – 7½ = 2
	j)	½5x – 2x½ = 1	k)	½3x + 2½ = 0	l) ½3212x – 1994½= - 5	
3.	a)	½x - 7½ = 2x + 3	b)	½x + 4½ = 2x – 5	c)	½x + 3½ = 3x – 1
	d)	½9 + x½ = 2x	e)	½x – 1½ = 3x + 2	f)	½x + 6½ = 2x + 9
	g)	½7 – x½ = 5x + 1	h)	½x – 4½ + 3x = 5	i)	½3x – 2½ = 2x
	j)	½4 + 2x½ = - 4x	k)	½2x – 3½ = - x + 21	l)	½3x – 1½ = x – 2
	m)	½2x – 3½ = x	n)	½x – 3½ = 4 – x	o)	½3x – 4½ = - x + 4
	p)	½x – 7½- 3 = x	q)	½x + 8½ = x	r)	½x – 8½ = x½
	s)	½2x – 5½ = x + 1	t)	½5 – 2x½ = 1 – x	u)	½2 – x½ = 0,5x – 4 
	v)	½x + 15½ = 3x – 1 	w)	½x – 5½ = 3x	x)	½x + 2½ = 2x – 10 	
4.	a)	½2x – 3½ = 2x – 3	b)	½5x – 4½ = 4 – 5x	
	c)	½2x + 3½ = 2x + 2	d)	½5x – 3½ = 5x – 5 	
	e)	½x2 – 3x + 3½ = - x2 + 3x – 1 	f)	½x2 – 9½ = x2 – 9 
5.	a)	½5x½ - 3x – 2 = 0	b)	x – 5x + ½- 2x½- 3 = 0	
	e)	½3 – x½+ x2 – (4 + x)x = 0	f)	(x – 1)2 + ½x + 21½- x2 – 13 = 0
6.	a)	b)	
	c)	d)	
7.	a)	½2 – x½=½2x – 3½	b)	½x + 3½ = 5 – x½
	c)	½2x – 1½ = ½2 – 3x½	d)	½2x½ = ½x(x – 2)½
	e)	½x(x + 1)½ = ½3 – x½	f)	½3x – 1½-½2x + 3½ = 0
8*.	a)	½x – 1½+½2 - x½ = 3	b)	½x + 3½+½x – 5½ = 3x – 1 
	c)	½x½ - 2½x – 1½+3½x – 2½ = 4	d)	½x – 1½+½x+2½+½x – 3½ = 14
	e)	½1 – x½-½x – 2½-½x – 3½ = 0,5	f)	½x – 3½ + ½x + 2½ = 7	
	g)	½x½ + ½1 – x½ = x + ½x – 3½	h)	½x – 3½+½x – 11½= 8
9.	a)	½5x – 3½ = 2x2	b)	½2x – 3½ = (2x – 3)2
10.	a)	½x + 2½ + ½2x – 1½ = 0	b)	½1 – 2x½ + ½7x – 6½ + ½0,5 – 7,5x½= 0
	c)	½x3 – 2x – 4½+½3x3 – 7x2 + 2x - 12½ = 0
Các bài ôn tập:
Cho m > n, chứng minh:
 	a)	m + 2 > n + 2	b)	- 2m 2n – 5 	
	d)	4 – 3m 3n + 2	f)	2 – 4m < 3 – 4n
Kiểm tra xem x = - 2 là nghiệm của bất phương trình nào sau đây:
	a)	- 3x + 2> - 5	b)	10 – 2x < 2	c)	x2 – 5 < 1
	d)	½x½ 2	f)	x + 1 > 7 – 2x
Giải các bất phương trình sau:
	a)	3 – 2x > 4	b)	3x + 4 < 2
	c)	(x – 3)2 < x2 – 3	d)	(x – 3)(x + 3) < (x + 2)2 + 3
	e)	- x2 – 5 x – 5
	g)	(x – 2)2 ³ ((x – 3)(x + 1)	h)	(x2 + 1)(x – 6) £ (x – 2)3	
Giải các bất phương trình sau và biểu diễn nghiệm trên trục số:
1.	a)	x – 1 1
	c)	0,2x < 0,6	d)	4 + 2x < 5	
	e)	2(3x – 1) – 2x < 2x + 1	f)	4x – 8 ³ 3(3x – 2) + 4 – 2x
	g)	3(x – 2)(x + 2) 5x2 + 16x + 2
2.	a)	b)	
	c)	d)	
	e)	f)	
	g)	h)	
	i)	j)	
	k)	l)	
	m)	n)	 	
Tìm các giá trị của x sao cho:
Giá trị của biểu thức 5 – 2x là số dương.
Giá trị của biểu thức x + 3 nhỏ hơn giá trị của biểu thức 4x - 5.
Giá trị của biểu thức 2x + 1 không nhỏ hơn giá trị của biểu thức x + 3.
Giá trị của biểu thức x2 + 1 không lớn hơn giá trị của biểu thức (x - 2)2.
Giá trị của biểu thức không lớn hơn giá trị của biểu thức .
Giá trị của biểu thức không nhỏ hơn giá trị của biểu thức .
Giá trị của biểu thức không nhỏ hơn giá trị của biểu thức .
Tìm tất cả các số nguyên thỏa mãn cả hai bất phương trình:
	và	
Cho biểu thức: 
Tìm điều kiện xác định của biểu thức.
Rút gọn biểu thức.
Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức có giá trị dương.
Cho biểu thức: 
Tìm điều kiện xác định của biểu thức.
Rút gọn biểu thức.
Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức có giá trị âm.
Cho biểu thức: 
Tìm điều kiện xác định của biểu thức.
Rút gọn biểu thức.
Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức có giá trị dương.
Cho biểu thức: 
Tìm điều kiện xác định của biểu thức.
Rút gọn biểu thức.
Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức có giá trị dương.
Cho biểu thức: 
Tìm điều kiện xác định của biểu thức.
Rút gọn biểu thức.
Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức có giá trị âm.
Cho biểu thức: 
Tìm điều kiện xác định của biểu thức.
Rút gọn biểu thức.
Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức có giá trị không âm.
Cho biểu thức: 
Tìm điều kiện xác định của biểu thức.
Rút gọn biểu thức.
Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức có giá trị âm.