Bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử Đại số Khối 8

C¸c ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư
C¸c ph­¬ng ph¸p c¬ b¶n
I/ Ph­¬ng ph¸p ®Ỉt nh©n tư chung
Ph­¬ng ph¸p .
T×m nh©n tư chung lµ nh÷ng ®¬n thøc, ®a thøc cã mặt trong tÊt cả c¸c h¹ng tư.
Ph©n tÝch mçi h¹ng tư thµnh tÝch nh©n tư chung vµ mét nh©n tư.
ViÕt nh©n tư chung ra ngoµi dÊu ngoỈc, viÕt c¸c nh©n tư cßn l¹i cđa mçi h¹ng tư vµo trong dÊu ngoỈc.
VÝ dơ: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư
–3xy + xy – 5xy
2x(y – z) + 5y(z – y)
10x(x + y) – 5(2x + 2y)y
Bµi làm
a) 3xy + xy – 5xy = xy(- 3 + xy – 5x)
b) 2x(y – x) + 5y(z – y) = 2x(y – z) – 5y(y – z) = (y – z)(2x – 5y)
c) 10x(x + y) – 5(2x + 2y)y = 10x(x + y) – 10y(x + y) = 10(x + y)(x – y) 
 = 10(x + y)(x + y)(x – y) = 10(x + y) (x – y)
Bµi tËp tù luyƯn
Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư
12xy – 12xy + 3x
15x – 30 y + 20z
x(y – 2007) – 3y(2007 - y)
x(y + 1) + 3(y2 + 2y + 1)
Bµi 2: TÝnh gi¸ trÞ cđa c¸c biĨu thøc sau
23,45 . 97,5 +23,45 . 5,5 -,23,45 . 3
2x(x – y) + 2x(y – x ) + 2x(z – x) (Víi x = 2006 ; y = 2007 ; z = 2008)
II) Ph­¬ng ph¸p dïng h»ng ®¼ng thøc
Ph­¬ng ph¸p
Sư dơng c¸c h»ng ®¼ng thøc ®Ĩ biÕn ®ỉi ®a thøc thµnh tÝch c¸c nh©n tư hoỈc luü thõa cđa mét ®a thøc ®¬n gi¶n.
Nh÷ng h»ng ®¼ng thøc :
(A + B) = A + 2AB + B
 (A - B) = A - 2AB + B
A – B = (A + B)(A – B)
(A + B) = A + 3AB + 3AB + B
(A - B) = A - 3AB + 3AB - B
A + B = (A + B)(A – AB + B)
A - B = (A - B)(A + AB + B)
(A + B + C) = A + B + C + 2AB + 2BC + 2CA
A – B = (A – B)(A + AB +  + AB + B)
 A – B = (A +B)(A - AB +  - B) 
 A + B = (A + B)(A – AB + AB-  +B)
 (A + B) = A + n AB - AB +  + AB + nAB+ B
 (A - B) = A - n AB +AB -  +(-1)B
VÝ dơ Ph©n tÝch ®a thøc tµnh nh©n tư
x + 6xy + 9y
 a – b 
(x – 3) - (2 – 3x)
 x – 3x + 3x - 1 
Bµi Lµm
x + 6xy + 9y = x + 2x3y + (3y) = (x + 3y)
a – b = (a) – (b) = (a + b) (a – b) = (a + b) (a + b) (a – b)
(x – 3) - (2 – 3x) = [(x – 3) + (2 – 3x)][(x – 3) – (2 – 3x)]= (- 2x – 1)(- 5 + 4x) 
x – 3x + 3x - 1 = (x – 1)
2.2/ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư
a + b + c – 3abc
(a + b + c) – a – b – c
Bµi Lµm
a) a + b + c – 3abc = (a + b) – 3ab(a + b) + c – 3abc 
 = ( a + b + c)[(a + b) – (a + b)c + c] – 3abc( a + b +c)
 = (a + b + c)( a + b + c – ab – bc – ca)
b) (a + b + c) – a – b – c
 = (a + b) + c + 3c(a + b)(a + b + c) – a – b –c 
 = 3(a + b)(ab + bc + ac + c) = 3(a + b)(b + c) (c + a)
Bµi tËp tù luyƯn
Bµi 3. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư
(x – 15) – 16
25 – (3 – x) 
(7x – 4) – ( 2x + 1)
9(x + 1) – 1
9(x + 5) – (x – 7)
49(y- 4) – 9(y + 2)
Bµi 4. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư
8x + 27y
(x + 1) + (x – 2)
1 – y + 6xy – 12xy + 8x
2004 - 16 
III/ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư, b»ng ph­¬ng ph¸p nhãm nhiỊu h¹ng tư.
Ph­¬ng ph¸p
Sư dơng tÝnh chÊt giao ho¸n, kÕt hỵp ®Ĩ nhãm c¸c h¹ng tư thÝch hỵp vµo tõng nhãm.
Áp dơng ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc kh¸c ®Ĩ gi¶i to¸n.
2. VÝ dơ
2.1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư 
x – 3xy + x – 3y
7x – 7xy – 4x + 4y
x + 6x – y + 9
x + y – z – 9t – 2xy + 6zt
Bµi Lµm
a) x – 3xy + x – 3y = (x – 3xy) + (x – 3y) = x(x – 3y) + (x – 3y)= (x – 3y) (x + 1)
b) 7x – 7xy – 4x + 4y = (7x – 7xy) – (4x – 4y) = 7x(x – y) – 4(x – y)=(x – y) (7x – 4)
c)x + 6x – y + 9 = (x + 6x + 9) – y = (x + 3) - y= (x + 3 + y)(x + 3 – y)
d)x + y – z – 9t – 2xy + 6zt = (x – 2xy + y) – (z – 6zt + 9t)
 = (x – y) – (z – 3t) = (x – y + z – 3t)(x – y – z + 3t
2.2/ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư
xy + xy + xz + xz + yz + yz + 2xyz
xy + xy + xz + xz + yz + yz + 3xyz
Bµi Lµm
a) xy + xy + xz + xz + yz + yz + 2xyz 
= (xz + yz + 2xyz) + xy + xy + xz2 + yz 
= z(x + y) + xy(x + y) + z (x + y) = (x + y)(xz + yz + xy + z)
= (x + y) [(xz + xy) + (yz + z)]
= (x + y) [x(z + y) + z(z + y)]
= (x + y)(y + z)(x + z)
b) xy + xy + xz + xz + yz + yz + 3xyz
= (xy + xz + xyz) + ( xy + yz + xyz) + (xz + yz + xyz)
= x(xy + xz + yz) + y(xy + yz + xz) + z(xz + yz + xy)
= (xy + yz + xz)( x + y + z)
3. Bµi TËp
Bµi 5: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư
x + 3x – 9x – 27
x + 3x – 9x – 9
x – 3x + 3x – 1 – 8y
BµI 6: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư.
x(y2 – z2) + y(z2 – y2) + z(x2 – y2) 
xy(x – y) – xz( x + z) – yz (2x + y – z )
x(y + z )2 + y(z + x) 2 + z(x + y) 2 – 4xyz 
yz(y +z) + xz(z – x) – xy(x + y)
IV/ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư b»ng c¸ch phèi hỵp nhiỊu ph­¬ng ph¸p
1. Ph­¬ng ph¸p 
VËn dơng linh ho¹t c¸c ph­¬ng ph¸p c¬ b¶n ®· biÕt vµ th­êng tiÕn hµnh theo tr×nh tù sau :
- §Ỉt nh©n tư chung 
- Dïng h»ng ®¼ng thøc 
- Nhãm nhiỊu h¹ng tư 
2. Ví dơ: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư 
5x - 45x 
3xy – 6x2y – 3xy – 6axy2 – 3a2xy + 3xy
Bµi lµm
a) 5x – 45x = 5x(x2 – 9) = 5x(x +3) (x – 3)
b) 3x2y – 6x2y – 3xy – 6axy2 – 3a2xy + 3xy
= 3xy(x2 – 2y – y2 – 2ay – a2 + 1)
= 3xy [( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)]
= 3xy [(x – 1) 2 – (y + a) 2]
= 3xy [(x – 1) + (y + a)] [(x – 1) – (y + a)]
= 3xy(x + y + a – 1) (x – y – a – 1)
3. Bµi tËp 
Bµi 7. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư 
2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc 
8x(x + z) – y(z + 2x) – z(2x - y)
[(x2 + y2)(a2 + b2) + 4abxy] 2 – 4[xy(a2 + b2) + ab(x2 + y2)] 2
Bµi 8. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư (x + y + z) – x – y - z
H­íng dÉn
(x + y + z ) – x – y - z
=[(x + y + z) – x] – (y + z) 
= (x + y + z – x) [(x+ y + z) 2 + (x + y + z)x + x2] – (y + z)(y2 – yz + z2) 
= (y+z)[ x2 + y2 + z2 +2xy + 2xz + 2yz +xy + xz + x2 + x2 – y2 + yz – z2] 
= (y + z)(3x2 + 3xy + 3xz + 3yz)
= 3(y +z)[x(x + y) + z(x+y)] 
= 3( x + y)(y + z)(x + z)
V/ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư b»ng c¸ch t¸ch mét h¹ng tư thµnh hai hay nhiỊu h¹ng tư
1. Ph­¬ng ph¸p 
Ta ph©n tÝch mét h¹ng tư thµnh tỉng cđa nhiỊu h¹ng tư thÝch hỵp, ®Ĩ xuÊt hiƯn nh÷ng nhãm sè h¹ng mµ ta cã thĨ ph©n tÝch thµnh nh©n tư b»ng ph­¬ng ph¸p dïng h»ng ®¼ng thøc, ®Ỉt nh©n tư chung
2. VÝ dơ: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh thµnh nh©n tư x2 – 6x + 8
Bµi lµm
Cách 1: x2 – 6x + 8 = (x2 – 2x) – (4x – 8) = x(x – 2) – 4(x – 2) = (x –2)(x – 4)
Cách 2: x2 – 6x + 8 = (x2 – 6x + 9) – 1 = (x – 3) 2 – 1 = (x –3 + 1)(x – 3 – 1) = (x – 2)(x – 4)
Cách 3: x2 – 6x + 8 = (x2 – 4) – 6x + 12 = (x – 2)(x + 2) – 6(x – 2) = (x – 2)(x + 2 – 6) = (x – 2)(x – 4)
Cách 4: x2 – 6x + 8 = (x2 – 16) – 6x + 24 = (x –4)(x + 4) – 6(x – 4) = (x – 4)(x + 4 –6) = (x –4)(x – 2)
Cách 5: x2 – 6x + 8 = (x2 – 4x + 4) – 2x + 4 = ( x – 2) 2 – 2(x – 2)= (x – 2)(x – 2 – 2) = (x – 2)(x – 4)
3. Bµi tËp 
Bµi 9 : Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư.
x2 + 7x +10
x2 – 6x + 5
3x2 – 7x – 6
10x2 – 29x + 10
Bµi 10: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư.
x + 4x2 – 29x + 24
x + 6x2 + 11x + 6
x2 – 7xy + 10y
4x2 – 3x – 1
VI/ Ph­¬ng ph¸p thªm bít cïng mét h¹ng tư.
Ph­¬ng ph¸p
Ta thªm hay bít cïng mét h¹ng tư vµo ®a thøc ®· cho ®Ĩ lµm xuÊt hiƯn n nhãm sè h¹ng mµ ta cã thĨ ph©n tÝch ®­ỵc thµnh nh©n tư chung b»ng c¸c ph­¬ng ph¸p: §Ỉt nh©n tư chung, dïng h»ng ®¼ng thøc, ...
VÝ dơ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư.
x + 64 = x + 64 + 16x – 16x= (x + 8) – (4x) = (x2 + 4x + 8)(x – 4x + 8) 
Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư.
x + 4y 
x + x + 1
Bµi lµm
a) x + 4y= x + 4y + 4xy – 4xy= (x + 2y)2 – (2xy)2 = (x + 2y + 2xy)(x + 2y - 2xy)
b) x + x + 1 = (x + x + x) – (x + x + x) + (x + x + 1)
	 = x(x + x + 1) – x(x + x + 1) + (x + x +1)
	 = (x + x + 1)(x – x +1)
Bµi tËp 
Bµi 11: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư.
x + x + 1
x + x + 1
x + x + 1
x + 4
Bµi 12: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư.
x + 5x + 3x – 9
x + 9x + 11x – 21
x – 7x + 6
Bµi 13: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư.
x - 5x + 8x – 4
x – 3x + 2
x – 5x + 3x + 9
x + 8x + 17x + 10
x + 3x + 6x + 4
Bµi 14: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư.
x – 2x – 4
2x – 12x + 7x – 2
x + x + 4
x + 3x + 3x + 2
x + 9x + 26x + 24
2x – 3x + 3x + 1
3x – 14x + 4x + 3
* Một số phương pháp khác
VII/ Ph­¬ng ph¸p ®Ỉt biªn sè (®Ỉt biªn phơ)
Ph­¬ng ph¸p
Mét sè bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư mµ trong ®a thøc ®· cho cã biĨu thøc xuÊt hiƯn nhiỊu lÇn. Ta ®Ỉt biĨu thøc Êy lµ mét biÕn míi. Tõ ®ã viÕt ®a thøc ®· cho thµnh ®a thøc míi dƠ ph©n tÝch thµnh nh©n tư h¬n.
VÝ dơ : Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư.
6x – 11x + 3
(x + 3x + 1)(x + 3x – 3) –5
(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15
Bµi Lµm
6x – 11x + 3
- §Ỉt x2 = y
- §a thøc ®· cho trë thµnh: 6y – 11y + 3 = (3y – 1)(2y – 3)
- Tr¶ l¹i biÕn cị: 
 6x – 11x + 3 = (3x – 1) (2x – 3) = ( x – 1)( x + 1)( x - )( x + )
(x + 3x + 1)(x + 3x – 3) –5
- §Ỉt x + 3x + 1 = y Þ x – 3x – 3 = y – 4
- §a thøc ®· cho trë thµnh
 y(y – 4) – 5 = y – 4y – 5 = (y + 1)(y + 5)
- Tr¶ l¹i biÕn cị.
(x + 3x + 1)(x + 3x – 3) – 5 = (x + 3x + 1 + 1)(x + 3x + 1 – 5)
= (x + 3x + 2)(x + 3x – 4)= (x + 1)(x + 2)(x – 1)(x + 1)
(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = (x + 8x + 7)(x + 8x + 15) + 15
(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15
- §Ỉt x + 8x + 7 = y Þ x + 8x + 15 = y + 8
- §a thøc ®· cho trë thµnh : 
 y(y + 8) + 15 = y + 8y + 15 = y + 5y + 3y + 15= y(y + 5) + 3(y + 5) = (y + 5)(y + 3)
- Tr¶ l¹i biÕn cị
(x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) + 15 = (x + 8x +7 + 5)(x + 8x + 7 + 3)
= (x + 8x + 12)(x + 8x + 10) = (x + 8x + 10)(x + 2)(x + 6)
3. Bµi tËp 
Bµi 14: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư.
(x + x) – 2(x + x) – 15
(x + 3x + 1)(x + 3x + 2) – 6
(x + 4x + 8) + 3x(x + 4x + 8) + 2x
Bµi 15: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư
(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24
(4x + 1)(12x – 1)(3x + 2)(x + 1) – 4
4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) + 3x
3x – 4x + 2x – 8x + 2x – 4x + 3
VIII/ Ph­¬ng Ph¸p hƯ sè bÊt ®Þnh
Ph­¬ng Ph¸p: Sư dơng tÝnh chÊt: Hai ®a thøc cïng bËc b»ng nhau th× hƯ sè t­¬ng øng cđa chĩng ph¶i b»ng nhau.
a x + a x + ... + ax + ax + a = bx + bx + ... + bx + b x + b
Û a = b " i = 1; n
2. VÝ dơ: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư
2.1 Ví dụ 1: A = x + 11x + 30
	V× A lµ ®a thøc bËc 3, hƯ sè cao nhÊt lµ 1. Nªn nÕu A ph©n tÝch ®­ỵc th× A cã d¹ng.
A = (x + a)(x + bx + c) = x + (a + b)x + (ab + c)x + ac
 Û x + 11x + 30 = x + (a + b)x + (ab + c)x + ac
§ång nhÊt hƯ sè, ta cã
Chän a = 2 c = 15; b = -2
VËy (x + 11x + 30) = (x + 2)(x – 2x + 15)
2.2 VÝ dơ 2: B = x – 14x + 15x – 14x +1
 V× B lµ ®a thøc bËc 4, hƯ sè cao nhÊt lµ 1 nªn nÕu B ph©n tÝch ®­ỵc thµnh nh©n tư th× B cã d¹ng:
B = (x + ax + b)(x + cx + d)
ÛB = x + (a + c)x + (ac + b + d)x + (ad + bc)x + bd
§ång nhÊt hƯ sè, ta cã:
 hoỈc 
Do vËy B = (x – x + 1)(x – 13x + 1) hoỈc B = (x – 13x + 1)(x – x + 1)
Bµi tËp
Bµi 16: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư
x + 4x + 5x + 2
2x – 3x –7x + 6x + 8
5x + 9x – 2x – 4x – 8
Bµi 17: T×m a, b, c
x – 2x + 2x – 2x + a = (x – 2x + 1)(x + bx + c)
x + 3x – x – 3 = (x – 2)( x + bx + c) + a
4x + 7x + 7x – 6 = (ax + b)(x + x +1) + c
IX/ Ph­¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng
Ph­¬ng ph¸p: Khi c¸c biÕn cã vai trß nh­ nhau trong ®a thøc th× ta xÐt gi¸ trÞ riªng.
VÝ dơ: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư.
2.1: Ví dụ 1: P = (x + y + z)- x – y – z
Bµi Lµm
Coi P lµ mét ®a thøc biÕn x
Khi ®ã nÕu x = -y th× P = 0 P M (x + y)
Trong P, vai trß cđa x, y, z b×nh ®¼ng nªn.
P M (x + z)
P M (y + z)
 P = (x + y)(x + z)(y + z).Q
Mµ P lµ ®a thøc bËc 2 ®èi víi biÕ x, y, z nªn Q lµ h»ng sè.
Víi x = 0 ; y = z = 1, ta cã Q = 3
VËy P = 3(x + y)(x + z)(y + z)
VÝ dơ 2:
M = a(b + c)(b - c) + b(c + a)(c - a) + c(a + b)(a - b) 
Bµi Lµm
Coi M lµ ®a thøc biÕn a
Khi a = b th× M = 0
ÞM M (a - b)
Trong M vai trß cđa a, b, c b×nh ®¼ng nªn : 
M M (b - c)
M M (c - a)
M = (a - b)(b –c)(c – a)N
V× M lµ ®a thøc bËc 3 ®èi víi biÕn a nªn N lµ ®a thøc bËc nhÊt ®èi víi a.
Nh­ng do a,b,c cã vai trß b×nh ®¼ng nªn:
N = (a + b + c)R (R lµ h»ng sè)
Þ M = (a - b)(b –c)(c – a)(a + b + c)R
Chän a = 0, b = 1, c = 2 Þ R = 1
VËy B = (a – b)(b – c)(c – a)(a + b + c)
Bµi tËp
Bµi 18: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư
A = ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a) 
X. Ph­¬ng ph¸p t×m nghiƯm cđa ®a thøc 
1. Ph­¬ng ph¸p
Cho ®a thøc f(x), a lµ nghiƯm cđa ®a thøc f(x) nÕu f(x) = 0. 
Nh­ vËy nÕu ®a thøc f(x) chøa nh©n tư (x - a) th× ph¶i lµ nghiƯm cđa ®a thøc.
Ta ®· biÕt r»ng nghiƯm nguyªn cđa ®a thøc nÕu cã ph¶i lµ ­íc cđa hƯ sè tù do.
2. VÝ dơ: x3 + 3x - 4 
NÕu ®a thøc trªn cã nghiƯm lµ a ( ®a thøc cã chøa nh©n tư (x - a) th× nh©n tư cßn l¹i cã d¹ng x2 + bx = c suy ra - ac = - 4 suy ra a lµ ­íc cđa - 4 
VËy trong ®a thøc víi hƯ sè nguyªn nghiƯm nguyªn nÕu cã ph¶i lµ ­íc cđa h¹ng t­ kh«ng ®ỉi.
¦íc cđa (- 4) lµ : -1; 1; -2; 2; - 4; 4. sau khi kiĨm tra ta thÊy1 lµ nghiƯm cđa ®a thøc suy ra ®a thøc chøa nh©n tư (x - 1)
 Do vËy ta t¸ch c¸c h¹ng tư cđa ®a thøc lµm xuÊt hiƯn nh©n tư chung (x – 1)
* C¸ch 1:
x3 + 3x2 – 4 = x3 – x2 + 4x2 – 4 = x2(x – 1) + 4(x – 1) (x + 1)= (x – 1) (x2 + 4x + 4) = (x – 1) (x + 2)2
* C¸ch 2: 
x3 + 3x2 – 4 = x 3– 1 + 3x2 – 3 = (x3 – 1) + 3(x2 – 1) = (x – 1) (x2 + x + 1) + 3(x2 – 1)= (x – 1) (x + 2)2
	Chĩ ý: 
+ NÕu ®a thøc cã tỉng c¸c hƯ sè b»ng kh«ng th× ®a thøc chøa nh©n tư (x – 1).
+ NÕu ®a thøc cã tỉng c¸c hƯ sè cđa c¸c h¹ng tư bËc ch½n b»ng tỉng c¸c h¹ng tư bËc lỴ th× ®a thøc chøa nh©n tư (x + 1).
 VÝ dơ :
* §a thøc : x3 - 5x2 + 8x – 4 cã 1 - 5 + 8 - 4 = 0
Suy ra ®a thøc cã nghiƯm lµ 1 hay ®a thøc cã chøa thõa sè (x – 1)
*§a thøc : x3 – 5x2 + 3x + 9 cã (- 5) + 9 = 1 + 3
Suy ra ®a thøc cã nghiƯm lµ - 1 hay ®a thøc chøa thõa sè (x + 1). 
+NÕu ®a thøc kh«ng cã nghiƯm nguyªn nh­ng ®a thøc cã nghiƯm h÷u tû .
Trong ®a thøc víi hƯ sè nguyªn nghiƯm h÷u tû nÕu cã ph¶i cã d¹ng trong ®ã p lµ ­íc cđa h¹ng tư kh«ng ®ỉi, q lµ ­íc d­¬ng cđa h¹ng tư cao nhÊt.
 VÝ dơ: 2x3 – 5x2 + 8x – 3
 NghiƯm h÷u tû NÕu cã cđa ®a thøc trªn lµ :
 (- 1); 1 ; (-1/2) ; 1/2 ; (- 3/2) ; 3/2 ;- 3..
Sau khi kiĨm tra ta thÊy x =1/2 lµ nghiƯm nªn ®a thøc chøa nh©n tư (x - ) hay (2x - 1). Do ®ã ta t×m c¸ch t¸ch c¸c h¹ng tư cđa ®a thøc ®Ĩ xuÊt hiƯn nh©n tư chung (2x - 1).
2x3 – 5x2 + 8x – 3 = 2x3 – x2 – 4x2 + 2x + 6x – 3 
=x2 (2x – 1) – 2x(2x –1) + 3(2x –1)
=(2x – 1)(x2 – 2x + 3)
XI. Ph­¬ng ph¸p tÝnh nghiƯm cđa tam thøc bËc hai 
a) Ph­¬ng ph¸p: Tam thøc bËc hai ax2 +bx + c
NÕu b2 – 4ac lµ b×nh ph­¬ng cđa mét sè h÷u tû th× cã thĨ ph©n tÝch tam thøc thµnh thõa sè b»ng mét trong c¸c ph­¬ng ph¸p ®· biÕt .
NÕu b2 – 4ac kh«ng lµ b×nh ph­¬ng cđa mét sè h÷u tû nµo th× kh«ng thĨ ph©n tÝch tiÕp ®­ỵc n÷a .
b) VÝ dơ: 2x2 – 7x + 3 Víi a =2 , b =- 7 , c = 3
XÐt b2 - 4ac = 49 - 4.2.3 =25 = 55
Suy ra Ph©n tÝch ®­ỵc thµnh nh©n tư : 2x2 - 7x + 3 = ( x - 3)(2x - 1)
Chĩ ý: P(x) = ax2 + bx + c = 0 cã nghiƯm lµ x1 , x2 th× 
 P(x) =a( x- x1)(x - x2)
PhÇn 2: CÁC BÀI TOÁN ÁP DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ.
I). Bµi to¸n rĩt gän biĨu thøc
1. Ph­¬ng ph¸p
+Ph©n tÝch tư thøc vµ mÉu thøc thµnh nh©n tư nh»m xuÊt hiƯn nh©n tư chung.
+¸p dơng tÝnh chÊt c¬ b¶n cđa ph©n thøc ®¹i sè: Chia c¶ tư thøc vµ mÉu thøc cho nh©n tư chung.
Þ Häc sinh thÊy ®­ỵc sù liªn hƯ chỈt chÏ gi÷a c¸c kiÕn thøc giĩp ph¸t triĨn t­ duy suy luËn l«gic, s¸ng t¹o. 
2)VÝ dơ: Rĩt gän biĨu thøc 
A =
B =
Bµi Lµm
a) A =
A =
A =
A =
b) MTC = x2 - 1 = (x + 1)(x - 1)
 B = 
 B = 
 B = 
3. Bµi tËp
Bµi 19. Rĩt gän biĨu thøc
A =
B =
C =
D =
Bµi 20. Rĩt gän biĨu thøc
A =
B =
Bµi 21. Cho x2 - 4x + 1 = 0
 TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc A =
II) Bµi to¸n gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc cao.
Ph­¬ng ph¸p: ¸p dơng ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư ®Ĩ ®­a vỊ ph­¬ng tr×nh tÝch 
 AB = 0 hoỈc A = 0 hoỈc B = 0
VÝ dơ: Gi¶i ph­¬ng tr×nh
* VÝ dơ 1: x3 - 7x2 + 15x - 25 = 0 
 x3 - 5x2 - 2x2 + 10x + 5x- 25 = 0 
x2(x- 5) - 2x(x - 5) + 5(x - 5) = 0
(x- 5)(x2- 2x + 5) = 0
VËy ph­¬ng tr×nh ®· cho cã tËp nghiƯm S = {5}
* VÝ dơ 2: 
(2x2 + 3x - 1) 2 - 5(2x2 + 3x + 3) + 24 = 0	(1)
§Ỉt: 2x2 + 3x - 1 = t	(*)
 Þ 2x2 + 3x + 3 = t + 4
Ph­¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh: t2 - 5(t + 4) + 24 = 0
Û t2 - 5t + 4 = 0
Û (t - 1)(t - 4) = 0
Û 
Û
+ Thay t = 1 vµo (*), ta cã: 2x2 + 3x - 1 = 1
Û 2x 2 + 3x - 2 = 0
Û (2x 2 + 4x) - x - 2 = 0
Û 2x(x + 2) - (x + 2) = 0
(x + 2) (2x - 1) = 0 
+ Thay t = 4 vµo (*), ta cã :
2x2 + 3x - 1 = 4
Û 2x 2 + 3x - 5 = 0
Û (x - 1)( 2x +5) = 0
Û 
VËy ph­¬ng tr×nh (1) cã tËp nghiƯm: S = { -2; ;; 1} 	
* VÝ Dơ 3:
 (x + 1)(x + 2)(x + 4)(x + 5) = 40 (1)
Û (x + 1)(x + 5)(x + 2)(x + 4) = 40
Û (x2 + 6x + 5)(x2 + 6x + 8) = 40
§Ỉt x2 + 6x + 5 = t (*)
 Þ x2 + 6x + 8 = t + 3
Ph­¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh: t(t + 3) = 40
Û t2 + 3t – 40 = 0
Û (t – 5)(t + 8) = 0
 Û 
Thay t = 5 vµo (*), ta cã: x2 + 6x + 5 = 5
 Ûx2 + 6x = 0
 Ûx(x + 6) = 0 Û
Thay t = -8 vµo (*), ta cã: x2 + 6x + 5 = - 8
 Û x2 + 6x + 13 = 0
	 	 Ûx2 + 2x + + = 0
	 Û (x + )2 + = 0 (V« lý)
VËy ph­¬ng tr×nh (1) cã tËp nghiƯm S = {0; -6}
VÝ dơ 4: Gi¶i ph­¬ng tr×nh ®èi xøng bËc ch½n
 x + 3x + 4x + 3x + 1 = 0 (4)
Ta thÊy x = 0 kh«ng lµ nghiƯm cđa ph­¬ng tr×nh (4)
 Þ Chia hai vÕ cđa (4) cho x ¹ 0, ta ®­ỵc
 x + 3x + 4 + 3 + = 0
(x2 +) + 3(x + ) + 4 = 0 
 §Ỉt x + = t (*)
Þ x + = t – 2
Ph­¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh : t + 3t + 2 = 0
 (t + 1)(t + 2) = 0
Thay t = - 1 vµo (*), ta ®­ỵc : x + = -1 x + x + 1 = 0 (V« nghiƯm)
Thay t = - 2 vµo (*), ta ®­ỵc : x + = - 2 x + 2x + 1 = 0 (x + 1) = 0 x = -1
VËy ph­¬ng tr×nh (4) cã tËp nghiƯm S = {-1}
 *VÝ dơ 5: Gi¶i Ph­¬ng tr×nh ®èi xøng bËc lỴ
 x – x + 3x + 3x – x + 1 = 0 (5)
Cã x = - 1 lµ 1 nghiƯm cđa ph­¬ng tr×nh (5).
Do ®ã (5) Û (x + 1)(x – 2x + 5x – 2x + 1) = 0
Gi¶i ph­¬ng tr×nh ®èi xøng bËc ch½n.
x4 – 2x3 + 5x2 – 2x + 1 = 0 (5’)
Ta thÊy x = 0 kh«ng lµ nghiƯm cđa (5’). Chia c¶ 2 vÕ cđa (5’) cho x¹ 0, ta cã: 
 x – 2x + 5 - 2 + = 0 Û (x + ) – 2(x + ) + 5 = 0
§Ỉt (x + ) = t (*) 
Þ (x + ) = t – 2
(5’) Û t – 2t +3 = 0
 Û (t – 1) + 2 = 0 ( v« nghiƯm)
VËy Ph­¬ng tr×nh (5) cã tËp nghiªm S = {-1} 
Bµi tËp: 
Bµi 22: Gi¶i ph­¬ng tr×nh
2x + 3x +6x +5 =0
x – 4x – 19x + 106x – 120 = 0
4x + 12x + 5x – 6x – 15 = 0
x + 3x + 4x + 2 = 0
Bµi 23: gi¶i ph­¬ng tr×nh
x(x + 1) (x – 1)(x+ 2) = 24
(x – 4)(x – 5)(x – 6)(x – 7) = 1680
(2x + 1)(x+ 1)(2x + 3) = 18
12x + 7)(3x + 2)(2x + 1) = 3
Bµi 24: gi¶i ph­¬ng tr×nh
(x – 6x + 9) – 15(x – 6x + 10) = 1
(x + x + 1) +(x + x + 1) – 12 = 0
(x + 5x) – 2x – 10x = 24
Bµi 25: gi¶i ph­¬ng tr×nh
x- 2x + 4x – 3x + 2 = 0
x – 3x + 4x – 3x + 1 = 0
2x – 9x + 14x – 9x + 2 = 0
 x + x + x + x +x+ x + 1 = 0
Bµi 26: gi¶i ph­¬ng tr×nh: x + 2x + 3x + 3x + 2x + 1 = 0