Bài tập ôn tập học kỳ II môn Toán Lớp 9

CHỦ ĐỀ : CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Cho hệ phương trình: 
(D) cắt (D’) 	 Hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
(D) // (D’) 	 Hệ phương trình vô nghiệm.
(D) (D’) 	 Hệ phương trình có vô số nghiệm. 
II. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài tập 1: Cho hệ phương trình (1)
Giải hệ phương trình (1) khi m = –1 .
Xác định giá trị của m để:
x = 1 và y = 1 là nghiệm của hệ (1).
Hệ (1) vô nghiệm.
Tìm nghiệm của hệ phương trình (1) theo m.
Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x, y) thỏa: x + y = 1.
HD: 1. Khi m = – 1, hệ (1) có nghiệm x = 1; y = 2.
	2a) Hệ (1) có nghiệm x = 1 và y = 1 khi m = 2.
	2b) Hệ (1) vô nghiệm khi: .
	 m = – 2: Hệ (1) vô nghiệm. 
Hệ (1) có nghiệm: x = ; y = .
Hệ (1) có nghiệm (x, y) thỏa: x + y = 1 + = 1
 m2 + m – 2 = 0 .
Vậy khi m = 1, hệ( 1 có nghiệm (x,y) thỏa: x + y = 1.
Bài tập 2: Cho hệ phương trình (1)
Giải hệ (1) khi k = 1.
Tìm giá trị của k để hệ (1) có nghiệm là x = – 8 và y = 7.
Tìm nghiệm của hệ (1) theo k.
HD: 1. Khi k = 1, hệ (1) có nghiệm x = 2; y = 1.
Hệ (1) có nghiệm x = –8 và y = 7 khi k = – 3 .
Hệ (1) có nghiệm: x = ; y = .
Bài tập 3: Cho hệ phương trình (1)
Giải hệ phương trình (1) khi m = –7 .
Xác định giá trị của m để:
x = – 1 và y = 4 là nghiệm của hệ (1).
Hệ (1) vô nghiệm.
Tìm nghiệm của hệ phương trình (1) theo m.
HD: 1. Khi m = – 7, hệ (1) có nghiệm x = 4; y = – 1.
	2a) Hệ (1) có nghiệm x = –1 và y = 4 khi m = .
	2b) Hệ (1) vô nghiệm khi: m = – 2. 
3. Hệ (1) có nghiệm: x = ; y = .
Bài tập 4: Cho hệ phương trình (1)
Giải hệ phương trình (1) khi m = 3 .
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x = và y = .
3. Tìm nghiệm của hệ phương trình (1) theo m.
HD: 1. Khi m = 3, hệ (1) có nghiệm x = ; y = .
	2a) Hệ (1) có nghiệm x = và y = khi m = .
	2b) Hệ (1) vô nghiệm khi: m = –2. 
Hệ (1) có nghiệm: x = ; y = .
Bài tập 5 : Cho hệ phương trình (1)
Giải hệ phương trình (1) khi m = –1.
Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x; y) thỏa .
HD: 	1. Khi m = –1, hệ(1) có nghiệm: x = 13 và y = – 9.
	2. Tìm:
Nghiệm của hệ (1) theo m: x = 12 – m ; y = m – 8 .
Theo đề bài: m < 8.
Bài tập 6: Cho hệ phương trình 
Giải hệ phương trình khi m = – 1.
Với giá trị nào của m thì hệ pt có nghiệm (x; y) thỏa .
HD: 	1. Khi m = – 1 , hệ pt có nghiệm: x = 1 và y = – 4.
	2. Tìm:
Nghiệm của hệ (1) theo m: x = 4m + 5 ; y = – 9 – 5m .
Theo đề bài: – 3 < m < – 1 .
Bài tập 7: Cho hệ phương trình : (1)
Giải hệ (1) khi m = 1.
Xác định giá trị của m để hệ (1):
Có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm duy nhất đó theo m.
Có nghiệm (x, y) thỏa: x – y = 2.
HD:	1. Khi m = 1, hệ (1) có nghiệm: x = – 2 ; y = 1.
	2a) Khi m 0, hệ (1) có nghiệm: .
	2b) m = .
Bài tập 8 : Cho hệ phương trình : ( m là tham số) (I).
Khi m = – 2, giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng.
Tính giá trị của tham số m để hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất và tính nghiệm duy nhất đó theo m. 
HD:	a) Khi m = – 2, hệ (I) có nghiệm: x = ; y = .
	b) 
Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi m 4.
Khi đó hệ(I) có nghiệm duy nhất: ;
CHỦ ĐỀ : VẼ ĐỒ THỊ & TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM
CỦA (P): y = ax2 VÀ (D): y = ax + b (a 0)
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1.Hàm số y = ax2(a0): 
Hàm số y = ax2(a0) có những tính chất sau:
Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0.
Nếu a 0.
Đồ thị của hàm số y = ax2(a0):
Là một Parabol (P) với đỉnh là gốc tọa độ 0 và nhận trục Oy làm trục đối xứng.
Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành. 0 là điểm thấp nhất của đồ thị.
Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành. 0 là điểm cao nhất của đồ thị.
Vẽ đồ thị của hàm số y = ax2 (a0):
Lập bảng các giá trị tương ứng của (P).
Dựa và bảng giá trị vẽ (P).
2. Tìm giao điểm của hai đồ thị :(P): y = ax2(a0) và (D): y = ax + b:
Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D): cho 2 vế phải của 2 hàm số bằng nhau đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0.
Giải pt hoành độ giao điểm:
+ Nếu > 0 pt có 2 nghiệm phân biệt (D) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
+ Nếu = 0 pt có nghiệm kép (D) và (P) tiếp xúc nhau.
+ Nếu < 0 pt vô nghiệm (D) và (P) không giao nhau.
3. Xác định số giao điểm của hai đồ thị :(P): y = ax2(a0) và (Dm) theo tham số m:
Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (Dm): cho 2 vế phải của 2 hàm số bằng nhau đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0.
Lập (hoặc) của pt hoành độ giao điểm.
Biện luận:
+ (Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi > 0 giải bất pt tìm m.
+ (Dm) tiếp xúc (P) tại 1 điểm = 0 giải pt tìm m.
+ (Dm) và (P) không giao nhau khi < 0 giải bất pt tìm m.
II. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài tập 1: Cho hai hàm số y = có đồ thị (P) và y = -x + m có đồ thị (Dm).
Với m = 4, vẽ (P) và (D4) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy. Xác định tọa độ các giao điểm của chúng.
Xác định giá trị của m để:
(Dm) cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng 1.
(Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
(Dm) tiếp xúc (P). Xác định tọa độ tiếp điểm. 
HD: 	1. Tọa độ giao điểm: (2 ; 2) và (– 4 ; 8).
	2a). m = .
	2b) = 1 + 2m > 0 .
	2c) m = tọa độ tiếp điểm (-1 ; ).
Bài tập 2: Cho hai hàm số y = – 2x2 có đồ thị (P) và y = – 3x + m có đồ thị (Dm).
Khi m = 1, vẽ (P) và (D1) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy. Xác định tọa độ các giao điểm của chúng.
Xác định giá trị của m để:
a) (Dm) đi qua một điểm trên (P) tại điểm có hoành độ bằng .
b) (Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
c) (Dm) tiếp xúc (P). Xác định tọa độ tiếp điểm.
HD: 	1. Tọa độ giao điểm: ( ;) và (1 ; – 2).
	2a). m = – 2.
	2b) m < .
	2c) m = tọa độ tiếp điểm ().
Bài tập 3: (TN.THCS: 2004 – 2005_ SGD & ĐT Bến Tre)
Cho hàm số y = – 2x2 có đồ thị (P).
Vẽ (P) trên một hệ trục tọa độ vuông góc..
Gọi A() và B(2; 1).
Viết phương trình đường thẳng AB.
Xác định tọa độ các giao điểm của đường thẳng AB và (P).
Tìm điểm trên (P) có tổng hoành độ và tung độ của nó bằng – 6.
HD:	2a). Đường thẳng AB có phương trình y = = 3x – 5.
2b). Tọa độ giao điểm: (1;– 2) và (; ).
3. Gọi M(xM; yM) là điểm trên (P) thỏa đề bài, ta có: xM + yM = – 6.
	 Mặt khác: M(xM; yM) (P) yM = – 2 nên: xM + yM = – 6 xM + (– 2) = – 6
 – 2 + xM + 6 = 0 .
Vậy có 2 điểm thỏa đề bài: M1(2; – 8 ) và M2().
Bài tập 4: (HK II: 2005 – 2006_ SGD & ĐT Bến Tre)
Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) và y = – 2x + có đồ thị (D).
 Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc.
 Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (D).
Tìm tọa độ những điểm trên (P) thỏa tính chất tổng hoành độ và tung độ của điểm đó bằng – 4.
HD:	2. Tọa độ giao điểm: (; ) và (1 ; ).
	3. Gọi M(xM; yM) là điểm trên (P) thỏa đề bài, ta có: xM + yM = – 4.
	 Mặt khác: M(xM; yM) (P) yM = nên: xM + yM = – 4 xM +() = – 4
 + xM + 4 = 0 .
Vậy có 2 điểm thỏa đề bài: M1() và M2(2; – 6).
Bài tập 5: (HK II: 2006 – 2007_ SGD & ĐT Bến Tre)
Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) và y = x + có đồ thị (D).
 Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc.
Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (D).
 Gọi A là điểm (P) và B là điểm (D) sao cho . Xác định tọa độ của A và B.
HD: 	2. Tọa độ giao điểm: () và ( ).
	3. Đặt xA = xB = t.
A(xA; yA) (P) yA = = t2.
B(xB; yB) (D) yB = xB + = t + 
Theo đề bài: 11.t2 = 8.( t + ) .
Với t = 2 .
Với t = .
Bài tập 6: (HK II: 2007 – 2008_ SGD & ĐT Bến Tre)
Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho hai điểm A(1; –2) và B(–2; 3).
Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A, B.
Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = –2x2.
Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ đã cho.
Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (d).
HD: 	1. Phương trình đường thẳng AB: y = x .
	2. Tọa độ giao điểm: (1; –2) và (; ).
Bài tập 7: (HK II: 2008 – 2009_ SGD & ĐT Bến Tre)
Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = –2x2 trên mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy.
Gọi (D) là đường thẳng đi qua điểm A(–2; –1) và có hệ số góc k.
Viết phương trình đường thẳng (D).
Tìm k để (D) đi qua B nằm trên (P) biết hoành độ của B là 1.
HD: 	2a). 
Phương trình đường thẳng (D) có dạng tổng quát: y = ax + b.
(D) có hệ số góc k (D): y = kx + b.
(D) đi qua A(–2; –1) –1 = k.( –2) + b b = 2k – 1.
Phương trình đường thẳng (D): y = kx + 2 k – 1.
2b) 
Điểm B(xB; yB) (P) B(1; – 2).
(D) đi qua B(1; –2) nên: –2 = k.1 +2k – 1 k = .
Bài tập 8: Cho hai hàm số y = x2 có đồ thị (P) và y = x + 2 có đồ thị (D).
Vẽ (P) và(D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy. Xác định tọa độ các giao điểm của chúng.
Gọi A là điểm thuộc (D) có hoành độ bằng 5 và B là điểm thuộc (P) có hoành độ bằng – 2. Xác định tọa độ của A, B.
Tìm tọa độ của điểm I nằm trên trục tung sao cho: IA + IB nhỏ nhất.
HD:	1. Tọa độ giao điểm: (2; 4) và (–1; 1).
	2. Tọa độ của A(5; 7) và B(– 2 ; 4)
	3. 
I(xI, yI) Oy I(0: yI).
IA + IB nhỏ nhất khi ba điểm I, A, B thẳng hàng.
Phương trình đường thẳng AB: y = x + .
I(xI, yI) đường thẳng AB nên: yI = .0 + = I(0; )
Bài tập 9: (HK II: 2009 – 2010_ SGD & ĐT Bến Tre)
Cho hàm số y = – x2 có đồ thị (P) và y = x – 2 có đồ thị (D).
Vẽ (P) và(D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc. Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (D) bằng phương pháp đại số.
Gọi A là một điểm thuộc (D) có tung độ bằng 1 và B là một điểm thuộc (P) có hoành độ bằng – 1. Xác định tọa độ của A và B.
Tìm tọa độ của điểm M thuộc trục hoành sao cho MA + MB nhỏ nhất.
HD:	a) Tọa độ giao điểm: (2; – 4) và (–1; 1).
	b) Tọa độ của A(3; 1) và B(– 1 ; – 1).
	c) 
yA = 1 > 0, yB = – 1 < 0 A, B nằm khác phía đối với trục Ox do đó MA + MB nhỏ nhất khi M, A, B thẳng hàng M là giao điểm của AB với truc Ox.
Đường thẳng AB có dạng: y = ax + b. Đường thẳng AB đi qua hai điểm A, B 
 Đường thẳng AB: y = x – .
Tọa độ M là nghiệm của hệ pt: .
Vậy: M(1; 0).
Bài tập 10: Cho (P): y = x2 và (D): y = – x + 2.
Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy. Gọi A và B là các giao điểm của (P) và (D), xác định tọa độ của A, B.
Tính diện tích tam giác AOB (đơn vị đo trên trục số là cm).
CMR: Tam giác AOB là tam giác vuông.
HD:	1. Tọa độ giao điểm: (1; 1)và (– 2; 4).
	2. Gọi H, K là hình chiếu của A, B trên trục Ox, ta có:
OHA vuông tại H SOHA = OH.OA = .1. 1 = (cm2).
OKB vuông tại K SOKB = OK.KB = .2. 4 = 4 (cm2).
Gọi I là giao điểm của (D) với trục Ox yI = 0 xI = 2 I(2; 0).
IKB vuông tại K SIKB = BK.KI = .4. 4 = 8 (cm2).
SOAB = SIKB – (SOHA + SOKB ) = 8 – ( + 4) = 3,5 (cm2).
3. 
Phương trình đường thẳng OA: y = a’x (D’).
(D’) đi qua A(1; 1) a = 1 (D’): y = x.
(D) có a = – 1 và (D’) có a’ = 1 a. a’ = – 1 (D) (D’)
 OA AB OAB vuông tại A.
--------------------------------------------------------------------------------------------
CHỦ ĐỀ : CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Giải phương trình bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0  ... BN cắt nhau tại H.
CMR: Các tứ giác AHND và MHNC là những tứ giác nội tiếp.
Khi BM = . Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác AHND theo a.
Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn MN theo a.
HD:	1. CMR: Tứ giác AHND và MHNC nội tiếp: 
	+ ABM = BCN (c.g.c) 
	+ (ĐL tổng 3 góc của AHB)
 tại H .
+ Tứ giác AHND có: AHND là tứ giác nội tiếp.
+ Tứ giác MHNC có: MHNC là tứ giác nội tiếp.
2. Khi BM = . Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác AHND theo a:
+ Khi BM = CN = DN = .
+ AND vuông tại D = .
+ Diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác AHND:.
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của MN theo a:
+ Đặt x = BM = CN CM = a – x .
+ MCN vuông tại CMN2 = CM2 + CN2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 
MN2 đạt giá trị nhỏ nhất là khi 
MN đạt giá trị nhỏ nhất là khi 
Vậy giá trị nhỏ nhất của MN là khi BM = .
Bài 3: (HK II : 2009 – 2010_SGD & ĐT Bến Tre): 
Cho có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Đường cao BH và CK lần lượt cắt (O) tại E và F.
CMR: Tứ giác BKHC nội tiếp.
CMR: OA EF và EF // HK.
Khi là tam giác đều có cạnh bằng a. Tính diện tích hình viên phân chắn cung nhỏ BC của (O).
HD:
a) CMR: Tứ giác BKHC nội tiếp:
+ BH AC = 900 nhìn đoạn BC H đường tròn đường kính BC (1).
+ CK AB = 900 nhìn đoạn BC K đường tròn đường kính BC (2).
+ Từ (1) và (2) B, H, C, K đường tròn đường kính BC Tứ giác BKHC nội tiếp đường tròn đường kính BC.
b) CMR: OA EF và EF // HK:
+ Đường tròn đường kính BC có:
+ Đường tròn (O) có:
 (1)
	+ Mặc khác: OE = OF = R (2)
	Từ (1) và ( 2) OA là đường trung trực của EF .
+ Đường tròn đường kính BC có:
 (3)
+ Đường tròn (O) có:
 (4)
Từ (3) và (4) .
c) Khi là tam giác đều có cạnh bằng a. Tính diện tích hình viên phân chắn cung nhỏ BC của (O:
+ Gọi R là bán kính của (O) và h là chiều cao của đều, ta có:
h = 
O là trọng tâm của R = OA = h =
S(O) = R2 = (đvdt)
SABC = a.h = (đvdt)
Svp = ( S(O) – SABC ) = ( - )= (đvdt).
Bài 4: (Đề thi thử TS vào lớp 10_2009 – 2010 _THCS An Hóa)
	Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Qua B vẽ đường thẳng vuông góc với tia DE tại H, đường thẳng này cắt tia DC tại F.
CMR: Năm điểm A, B, H, C, D cùng nằm trên một đường tròn.
CMR: DE.HE = BE.CE.
Tính độ dài đoạn thẳng DH theo a khi E là trung điểm của BC.
CMR: HC là tia phân giác của .
HD:
a) CMR: Năm điểm A, B, H, C, D cùng thuộc một đường tròn:
+ = 900 nhìn đoạn BD A đường tròn đường kính BD (1)
+ = 900 nhìn đoạn BD H đường tròn đường kính BD (2)
+ = 900 nhìn đoạn BD C đường tròn đường kính BD (3)
 Từ (1), (2) và (3) A, B, H, C, D đường tròn đường kính BD.
b) CMR: DE.HE = BE.CE:
+DEC vàBEH có:
DEC BEH (g.g)
 DE.HE = BE.CE.
c) Tính độ dài đoạn thẳng DH theo a khi E là trung điểm của BC:
Khi E là trung điểm của BC .
DEC vuông tại C 
	 DE =.
Từ: DE.HE = BE.CE (cmt) 
.
DH = DE + EH = + = .
d) CMR: HC là tia phân giác của :
 + Đường tròn đường kính BD có: 
 Mà: 
+ Mặc khác: (2)
	+ Từ (1) và (2) HC là tia phân giác của .
Bài 5:
Một hình vuông ABCD nội tiếp trong đường tròn Tâm O bán kính R . Một điểm M di động trên cung ABC , M không trùng với A,B và C, MD cắt AC tại H.
CMR:Tứ giác MBOH nội tiếp được trong đường tròn và DH.DM = 2R2 .
CMR: MD.MH = MA.MC.
MDC và MAH bằng nhau khi M ở một vị trí đặc biệt M’. Xác định điểm M’. Khi đó M’D cắt AC tại H’. Đường thẳng qua M’ và vuông góc với AC cắt AC tại I. Chứng minh rằng I là trung điểm của H’C .
HD:
	1. CMR: Tứ giác MBOH nội tiếp dược đường tròn: 
+ ABCD là hình vuông BD ^ AC (1)
+ (O) có: nội tiếp chắn đường tròn (2)
+ Từ (1) và (2)
Þ MBOH là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BH.
* CMR: DH.DM = 2R2:
có:
 DOH DMB (g.g)
(đpcm).
2. CMR: MD.MH = MA.MC:
	+ (O,R) có:
CD = AD (ABCD là hình vuông) .
	+ MDC và MAH có:
	 MDC MAH (g.g).
	3. Chứng minh rằng I là trung điểm của H’C:
+ Khi DMDC = DMAH Þ MD = MA 
+ (O,R) có:
MD = MA (1)
Do:CD = BA (2)
Từ (1) và (2) M là điểm chính giữa 
Hay M’là điểm chính giữa .
	+ Do DMDC = DMAH DM’DC = DM’AH’ Þ M’C = M’H’
Þ DM’H’C cân tại M 	 (3)
	+ Do M’I AC M’I H’C 	(4)
Từ (3) và (4) M’I là đường là đường trung tuyến của DM’H’C Þ IH’ = IC
Hay I là trung điểm của H’C (đpcm).
Bài 6: (TS lớp 10_2009 – 2010 _Bến Tre):
Cho hai đường tròn (O; 20cm) và (O’; 15cm) cắt nhau tại A và B. Biết AB = 24cm và O và O’ nằm về hai phía so với dây chung AB. Vẽ đường kính AC của đường tròn (O) và đường kính AD của đường tròn (O’).
CMR: Ba điểm C, B, D thẳng hàng.
Tính độ dài đoạn OO’.
Gọi EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’) (E, F là các tiếp điểm). CMR: Đường thẳng AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng EF.
HD:
a) CMR: Ba điểm C, B, D thẳng hàng:
+ (O) cónội tiếp chắn nửa đường tròn
 đường kính AC = 900 (1)
+ (O’) cónội tiếp chắn nửa đường tròn
 đường kính AD = 900 (2)
+ Từ (1) và (2) = + = 1800
 Ba điểm C, B, D thẳng hàng.
b) Tính độ dài đoạn OO’:
+ (O) và (O’) cắt nhau tại A và B OO’ là đường
trung trực của AB.
+ Gọi H là giao điểm của OO’ và AB OO’ AB tại H; HA = HB = AB = 12 (cm).
+ AHO vuông tại H = (cm).
+ AHO’ vuông tại H = (cm).
Suy ra: OO’ = OH + O’H = 16 + 9 = 25 (cm).
c) CMR: Đường thẳng AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng EF:
+ Gọi K là giao điểm của AB và EF.
+ OEK vuông tại E 	(1)
+ OHK vuông tại H 	(2)
+ Từ (1) và (2) KE2 = (OH2 + HK2) – OE2 = 162 + HK2 – 202 = HK2 – 144 (*).
+ O’FK vuông tại F 	(3)
+ O’HK vuông tại H 	(2)
+ Từ (3) và (4) KF2 = (O’H2 + HK2) – O’F2 = 92 + HK2 – 152 = HK2 – 144 (**).
+Từ (*) và (**) 
	Mà: 
 AB đi qua trung điểm của EF (đpcm).
Bài 7: (TS lớp 10_2010 – 2011 _Bến Tre):
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Từ A và B lần lượt kẻ hai tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt tại C và D.
	1. CMR:
	a) Tứ giác AOMC nội tiếp.
	b) CD = CA + DB và = 900.
	c) AC. BD = R2.
	2. Khi = 600. Chứng tỏ là tam giác đều và tính diện tích của hình quạt tròn chắn cung MB của nửa đường tròn đã cho theo R.
HD:
	1a) CMR: Tứ giác AOMC nội tiếp:
	+ Ax là tiếp tuyến tại A = 900 (1)
	+ CD là tiếp tuyến tại M = 900 (2)
	Từ (1) và (2) + = 1800AOMC là tứ giác nội tiếp
	đường tròn đường kính OC.
	1b) CMR: CD = CA + DB và = 900:
	+ Hai tiếp tuyến CA và CM cắt nhau tại C CA = CM và OC là 
	tia phân giác của (1)
+ Hai tiếp tuyến DB và DM cắt nhau tại D DB = DM và OD là 
	tia phân giác của (2)
	Suy ra: CD = CM + MD = CA + DB 
	+ (O,R)có:
	 = 900.
	1c) CMR: AC. BD = R2:
	2. Khi = 600. Chứng tỏ là tam giác đều và tính diện tích của hình quạt tròn chắn cung MB của nửa đường tròn đã cho theo R:
	+ Nửa (O, R) có:
(1)
có DB = DM cân tại D (2)
Từ (1) và (2) đều.
+ Nửa (O, R) có:
Squạt = (đvdt).
Bài 8:
Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O và hai tiếp tuyến MA và MB đến đường tròn (O), ở đây A, B là các tiếp điểm và C nằm giữa M, D. 
CMR: MA2 = MC. MD.
Gọi I là trung điểm của CD. CMR: 5 điểm M, A, O, I, B cùng nằm trên một đường tròn.
Gọi H là giao điểm của AB và MO. CMR: Tứ giác CHOD nội tiếp được đường tròn. Suy ra AB là phân giác của .
Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O). CMR: 3 điểm A, B, K thẳng hàng.
HD:
	a) CMR:MA2 = MC. MD:
	+ và có:
	 (g.g)
	 (đpcm)).
	b) CMR:5 điểm M, A, O, I, B cùng nằm trên một đường tròn:
	+ (O) có:
I là trung điểm của dây CD nhìn đoạn OM	(1)
 (T/c tiếp tuyến) nhìn đoạn OM	(2)
 (T/c tiếp tuyến) nhìn đoạn OM	(3)
Từ (1), (2) và (3) 5 điểm M, A, I, O, B đường tròn đường kính OM.
c) CMR: Tứ giác CHOD nội tiếp được đường tròn. Suy ra AB là phân giác của :
+ vuông tại A MA2 = MO. MH
	 Mà: 
	 MO. MH = MC. MD 
	+ và có:
	 (c.g.c)
	Suy ra: Tứ giác CHOD nội tiếp được đường tròn (đpcm)
	* CMR: AB là phân giác của :
	+ có OC = OD = R cân tại O
 (1)
+ Mặc khác: 	(2)
Từ (1) và (2) 
	Suy ra: HA là tia phân giác của AB là tia phân giác của (đpcm).
d) Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O). CMR: 3 điểm A, B, K thẳng hàng:
+ Gọi K là giao điểm của 2 tiếp tuyến tại C và D của (O)
+ (T/c tiếp tuyến) nhìn đoạn OK	(1)
+ (T/c tiếp tuyến) nhìn đoạn OK	(2)
Từ (1), (2) Tứ giác OCK nội tiếp đường tròn đường kính OK
	 Tứ giác OKCH nội tiếp đường tròn đường kính OK
	 = 900(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
	 3 điểm A, B, K thẳng hàng (đpcm).
Bài 9: 
Cho hình vuông cạnh a , lấy điểm M bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B,C). Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng DM tại H, kéo dài BH cắt đường thẳng DC tại K.
	1. Chứng minh: BHCD là tứ giác nội tiếp.
	2. Chứng minh: KM ^ DB.
	3. Chứng minh: KC . KD = KH . KB.
4. Kí hiệu SABM , SDCM là diện tích của tam giác ABM, tam giác DCM. CMR: (SABM + SDCM ) không đổi. Xác định vị trí của M trên BC để S2ABM + S2DCM đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó theo a.
HD:
	1. CMR: BHCD là tứ giác nội tiếp:
+ = 900 nhìn đoạn BD H đường tròn đường kính BD (1)
+ = 900 nhìn đoạn BD C đường tròn đường kính BD (2)
 Từ (1) và (2) B, H, C, D đường tròn đường kính BD.
2. Chứng minh: KM ^ DB:
+ có :
M là trực tâm của KM là đường cao thứ ba KM ^ DB
3. Chứng minh: KC . KD = KH . KB:
+ và có: (g.g)
	 KC . KD = KH . KB (đpcm).
	4. CMR: (SABM + SDCM ) không đổi:
	+ vuông tại B SABM = = 	(1)
	+ vuông tại C SDCM = = 	(2)
	Từ (1) và (2) SABM + SDCM = +
= 	
	+ Vì a là không đổi không đổi (SABM + SDCM ) không đổi.
	* Xác định vị trí của M trên BC để S2ABM + S2DCM đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó theo a:
	+ Đặt x = BM CM = a – x 
+ Ta có: = 
	= 
	= 
	= 
	= 
	= 
	+ Giá trị nhỏ nhất của là khi : = 0 
	Vậy khi M là trung điểm của BC thì đạt giá trị nhỏ nhất là .
Bài 10: (TS lớp 10_2008 – 2009 _Bến Tre):
Cho điểm A ở ngoài đường tròn (O, R). Gọi AB, AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (B và C là hai tiếp điểm). Từ A vẽ một tia cắt đường tròn tại E và F (E nằm giữa A và F).
CMR: và đồng dạng. Suy ra AC2 = AE. AF.
Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh 5 điểm A, B, O, I, C cùng nằm trên một đường tròn.
Từ E vẽ đường thẳng vuông góc với OB cắt BC tại M. Chứng minh tứ giác EMIC nội tiếp được trong đưởng tròn. Suy ra tứ giác MIFB là hình thang.
Giả sử cho OA = R. Tính theo R phần diện tích tứ giác ABOC nằm ở ngoài hình tròn (O)
HD:
	a) CMR: và đồng dạng. Suy ra AC2 = AE. AF:
	+ và có: 
 (g.g)
	 AC2 = AE. AF (đpcm).
b) Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh 5 điểm A, B, O, I, C cùng nằm trên một đường tròn:
+ (O) có:
I là trung điểm của dây EF 
nhìn đoạn OA	(1)
 (T/c tiếp tuyến) 
 nhìn đoạn OA	(2)
 (T/c tiếp tuyến
 ) nhìn đoạn OA	(3)
Từ (1), (2) và (3) 5 điểm , A,B, O, I, C đường tròn đường kính OA.
c) Từ E vẽ đường thẳng vuông góc với OB cắt BC tại M. Chứng minh tứ giác EMIC nội tiếp được trong đưởng tròn. Suy ra tứ giác MIFB là hình thang:
+