Bài tập nâng cao Toán 8

BAØI 1: NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC
A. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN
A(B + C) = AB + AC
B. BÀI TẬP
Bài 1: 
Tính : 
a./ (- 4xy)(2xy2 – 3x2y)	b./ (- 5x)(3x3 + 7x2 – x)
Rut gọn:
A = x2(a – b) + b(1 – x) + x(bx + b) – ax(x + 1)
B = x2(11x – 2) + x2(x – 1) – 3x(4x2 - x – 2)
Tìm hệ số của x3 và x2 trong đa thức sau: 
Bài 2:	
Tính : 
Rut gọn và tính giá trị biểu thức: 
Tìm x, biết : 2x3(2x – 3) – x2(4x2 – 6x + 2) = 0
Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x và y:
M = 3x(x – 5y) + (y – 5x)(- 3y) – 3(x2 – y2) – 1.
Cho S = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5.Cm : xS – S = x6 - 1
Bài 3: 
Tính (3a3 – 4ab + 5c2)(- 5bc).
Rút gọn và tính giá trị biểu thức: 
A = 4a2( 5a – 3b) – 5a2(4a + b),với a = -2,b = -3.
Chứng tỏ biểu thức sau không phụ thuộc vào x: 
B = x(x2 + x + 1) – x2( x + 1) – x +5.
Tìm x,biết : x(x – 1) – x2 + 2x = 5
Tìm m,biết: ( x2 – x + 1)x – ( x + 1)x2 + m = - 2x2 + x + 5.
Bài 4: 
Rút gọn: 9y3 – y(1 – y + y2) – y2 + y
Tìm hệ số của x2 trong đa thức:
Tìm m, biết: 2 – x2(x2 + x + 1) = - x4 – x3 – x2 + m.
Chứng minh : khi a = 10, b = -5 giá trị biểu thức : 
A = a( 2b + 1) – b(2a – 1) bằng 5.
Tìm x,biết: 10( 3x – 2) – 3(5x + 2) + 5( 11 – 4x) = 25.
Bài 5: 
Tính : ( -a4x5)(- a6x + 2a3x2 – 11ax5).
Tính biểu thức : A = mx( x – y) + y3(x + y) tại x = -1,y = 1
Tìm x, biết: 8(x – 2) – 2(3x – 4) = 2.
Tìm hệ số của x2 trong đa thức : 
Q = 5x( 3x2 – x + 2) – 2x2( x – 2) + 15(x – 1).
BAØI 2: NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC
A. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN
B. BÀI TẬP
Bài 1: 
Tính : ( 2a – b)(4a2 + 2ab + b2).
Rút gọn và tính giá trị biểu thức:
Tìm x, biết : (3x + 2)(x – 1) – 3(x + 1)(x – 2) = 4
Tìm hệ số của x4 trong đa thức: P = ( x3 - 2x2 +x – 1)( 5x3 – x).
Bài 2:
Chứng minh: với a = - 3,5 giá trị biểu thức 
 bằng – 29.
Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x: 
Biết (x – 3)(2x2 + ax + b) = 2x3 – 8x2 + 9x – 9 .Tìm a,b.
 Bài 3: 
Tính :
a./ (2 + x)(2 – x)(4 + x2)	b./ ( x2 – 2xy + 2y2)(x – y)(x + y)
Tìm x,biết : x(x – 4) – ( x2 - 8) = 0
Tìm m sao cho: 2x3 – 3x2 + x + m = (x + 2)(2x2 – 7x + 15).
Bài 4:
Rút gọn : 
	A = ( 5x – 1)(x + 3) – ( x – 2)(5x – 4)
	B = (3a – 2b)( 9a2 + 6ab + 4b2).
Chứng minh biểu thức : n( 2n – 3) – 2n( n + 2)
 luôn chia hết cho 7,với mọi số nguyên n.
Biết : x4 – 3x +2 = ( x – 1)(x3 + bx2 + ax – 2).
Bài 5: 
Tìm m,biết : x4 – x3 + 6x – x + m = (x2 – x + 5)(x2 + 1).
Rút gọn : ( 2x – 1)(3x + 2)(3 – x).
Chứng minh: ( x – y)(x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4) = x5 – y5.
BAØI 3+4+5: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ 
. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN
B. BÀI TẬP
Bài 1: 
Chứng minh : ( a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
Rút gọn: ( a +2)2 – ( a + 2)(a – 2)
Tìm x,biết : ( 2x + 3)2 – 4(x – 1)(x + 1) = 49
Tìm giá trị biểu thức: 
 Bài 2: 
Rút gọn biểu thức :
Chứng minh: (7x + 1)2 – (x + 7)2 = 48(x2 – 1)
Tìm x,biết : 16x2 - (4x – 5)2 = 15
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x2 + 2x + 3
Bài 3: 
Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào m: 
Chứng minh rằng hiệu của hai số nguyên liên tiếp là một số lẻ
Rút gọn biểu thức : P = (3x +4)2 – 10x – (x – 4)(x +4).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = x2 – 4x +5. 
Bài 4:
Chứng minh rằng: (x – y)2 – (x + y)2 = - 4xy
Chứng minh: (7n – 2)2 – (2n – 7)2 luôn luôn chia hết cho 9,
với mọi n là giá trị nguyên
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q = - x2 + 6x +1.
Chứng minh rằng nếu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 
thì ay – bx = 0
 Bài 5: 
CMR: nếu a + b + c = 2p thì b2 + c2 + 2bc – a2 = 4p(p – a).
CMR nếu a2 + b2 + c2 = ab +bc + ca thì a = b = c.
Tìm x,y biết : x2 + y2 – 2x + 4y + 5 = 0.
Bài 6:
Chứng minh : (a + b)3 – 3ab(a +b) = a3 + b3
Tính x3 + y3,biết x + y = 3 và xy = 2
Cho a + b = 1.Chứng minh : a3 + b3 = 1 – 3ab.
 Bài 7: 
Chứng minh : (a – b)3 + 3ab(a - b) = a3 + b3
Rút gọn: (x – 3)3 – (x + 3)3.
Cho a - b = 1.Chứng minh : a3 - b3 = 1 + 3ab.
Bài 8 :
Rút gọn :.
Tìm x,biết : x3 – 3x2 + 3x – 1 = 0.
Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x: 
 Bài 9 :
Rút gọn biểu thức : (x + 5)3 – x3 – 125.
Tìm x, biết : (x – 2)3 + 6(x + 1)2 - x3 + 12 = 0
Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x: 
 Bài 10:
Tìm x,biết : x3 + 6x2 + 12x +8 = 0
Cho a +b +c = 0.Chứng minh : a3 + b3 + c3 = 3abc.
Chứng minh rằng: (a + 2)3 – (a +6)(a2 +12) + 64 = 0,với mọi a.
Bài 11 :
Rút gọn biểu thức : 
A = (m – n)(m2 + mn + n2) - (m + n)(m2 - mn + n2)
Chứng minh: (a – 1)(a – 2)(1 + a + a2)(4 + 2a + a2) = a6 – 9a3 + 8
Tìm x, biết : (x +2 )(x2 – 2x + 4) – x(x -3)(x + 3) = 26.
Bài 12 :
Tính giá trị biểu thức: 
A = x(x – 2)(x + 2) – (x – 3)(x2 + 3x +9),với 
Tìm x,biết ( 4x + 1)(16x2 – 4x +1) – 16x(4x2 – 5) = 17.
Rút gọn : Q = (a2 – 1)(a2 – a +1)(a2 +a +1).
 Bài 13:
Tính giá trị biểu thức : 
Q = (2x – 1)(4x2 + 2x +1) – 4x(2x2 – 3),với x = 
Tìm x, biết : (x – 3)(x2 + 3x +9) – (3x – 17) = x3 – 12.
Cho x + y = 1 và xy = -1.Tính x3 + y3.
 Bài 14 :
Chứng tỏ biểu thức sau không phụ thuộc vào x.
Tìm x,biết: 5x – (4 – 2x + x2)(x + 2) + x(x – 1)(x + 1) = 0.
Cho x + y = 1.Tính giá trị biểu thức:Q = 2(x3 + y3) – 3(x2 + y2).
 Bài 15 :
Rút gọn biểu thức : A = (2x + 3y)(4x2 – 6xy + 9y2)
Tìm x, biết: (4x2 + 2x + 1)(2x – 1) – 4x(2x2 – 3) = 23.
Cho a – b = 1 và ab = 6.Tính a3 – b3.
Bài 16: Ruùt goïn:
a) 	
b) 
c) 	
d) 
Bài 17: CM caùc bieåu thöùc sau khoâng phuï thuoäc vaøo bieán x, y:
	a) 	
	b) 
	c) 	
	d) 
Bài 18: Tìm x:
	a) 	
	b) 
	c) 	
	d) 
Bài 19:Chöùng minh bieåu thöùc luoân döông:
	a) A= 	
	b) 
	c) 	
	d) 
Bài 20: Tìm Min hoaëc Max cuûa caùc bieåu thöùc sau:
	a) 	
	b) 
Bài 21:Thu goïn:
	a) . . . . .
	b) . . . . .
ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
(Thùc hiÖn trong 6 tiÕt) 
A. ThÕ nµo lµ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ?
Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö lµ biÕn ®æi ®a thøc ®ã thµnh mét tÝch cña nh÷ng ®¬n thøc vµ ®a thøc kh¸c.
Bµi to¸n 1. 
 Trong c¸c c¸ch biÕn ®æi ®a thøc sau ®©y, c¸ch nµo lµ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ?T¹i sao nh÷ng c¸ch biÕn ®æi cßn l¹i kh«ng ph¶i lµ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ? 
	2x2 + 5x – 3 = x(2x + 5) - 3 (1)
	2x2 + 5x – 3 = x(2x + 5 -) (2) 
	2x2 + 5x – 3 = 2(x2 + x - ) (3)
	2x2 + 5x – 3 = (2x - 1)(x - 3) (4)
	2x2 + 5x – 3 = 2(x - )(x + 3) (5)
B. Nh÷ng ph­¬ng ph¸p nµo th­êng dïng ®Ó ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö?
	- Ph­¬ng ph¸p ®Æt nh©n tö chung.
	- Ph­¬ng ph¸p dïng h»ng ®¼ng thøc.
	- Ph­¬ng ph¸p nhãm nhiÒu h¹ng tö.
Mét sè ph­¬ng ph¸p kh¸c nh­ :
	- Ph­¬ng ph¸p t¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö.
	- Ph­¬ng ph¸p thªm bít cïng mét h¹ng tö.
	- Ph­¬ng ph¸p gi¶m dÇn luü thõa cña sè h¹ng cã bËc cao nhÊt.
	- Ph­¬ng ph¸p ®Æt Èn phô(®æi biÕn).
	- Ph­¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh.
	- Ph­¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng.
	- Ph­¬ng ph¸p t×m nghiÖm cña ®a thøc.
Ph­¬ng ph¸p 1: §Æt nh©n tö chung
Néi dung c¬ b¶n cña ph­¬ng ph¸p ®Æt nh©n tö chung lµ g× ? Ph­¬ng ph¸p nµy dùa trªn tÝnh chÊt nµo cña c¸c phÐp to¸n vÒ ®a thøc? Cã thÓ nªu ra mét c«ng thøc ®¬n gi¶n cho ph­¬ng ph¸p nµy kh«ng ?
NÕu tÊt c¶ c¸c h¹ng tö cña ®a thøc cã mét nh©n tö chung th× ®a thøc ®ã biÓu diÔn ®­îc thµnh mét tÝch cña nh©n tö chung ®ã víi mét ®a thøc kh¸c.
Ph­¬ng ph¸p nµy dùa trªn tÝnh chÊt ph©n phèi cña phÐp nh©n ®èi víi phÐp céng c¸c ®a thøc.
 C«ng thøc : AB + AC +  + AF = A(B + C + + F)
Ph­¬ng ph¸p: T×m nh©n tö chung.
- LÊy ¦CLN cña c¸c hÖ sè.
- LÊy c¸c biÕn chung cã mËt trong tÊt c¶ c¸c h¹ng tö.
- §Æt nh©n tö chung ra ngoµi ngoÆc theo c«ng thøc
 AB + AC +  + AF = A(B + C + + F)
Chó ý: 
- Ph­¬ng ph¸p nµy ¸p dông khi c¸c h¹ng tö cña ®a thøc cã nh©n tö chung.
- NhiÒu khi muèn cã nh©n tö chung ta ph¶i ®æi dÊu c¸c sè h¹ng b»ng c¸ch ®­a sè h¹ng vµo trong ngoÆc hoÆc ®­a vµo trong ngoÆc ®»ng tr­íc cã dÊu céng hoÆc trõ.
VÝ dô 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
a) 3x2 + 12xy. 
b) 5x(y + 1) - 2(y + 1). 
c) 14x2(3y - 2) + 35x(3y - 2) + 28y(2 - 3y).
Gi¶i
a) 3x2 + 12xy = 3x(x + 4y).
b) 5x(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)(5x - 2).
c) 14x2(3y - 2) + 35x(3y - 2) + 28y(2 – 3y)
 = 14x2(3y - 2) + 35x(3y - 2) - 28y(3y - 2)
 = (3y - 2) (14x2 + 35x - 28y).
Ph­¬ng ph¸p 2: Dïng h»ng ®¼ng thøc
Néi dung c¬ b¶n cña ph­¬ng ph¸p dïng h»ng ®¼ng thøc lµ g× ?
 NÕu ®a thøc lµ mét vÕ cña h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí nµo ®ã th× cã thÓ dïng h»ng ®¼ng thøc ®ã ®Ó biÓu diÔn ®a thøc nµy thµnh mét tÝch c¸c ®a thøc.
Ph­¬ng ph¸p dïng h»ng ®¼ng thøc:
- NhËn d¹ng c¸c h»ng ®¼ng thøc.
- KiÓm tra xem cã ph¶i ®óng lµ h»ng ®¼ng thøc kh«ng.
Chó ý: NhiÒu khi ph¶i ®æi dÊu míi ¸p dông ®­îc h»ng ®¼ng thøc.
VÝ dô 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. 
a) x2 – 4x + 4. b) 8x3 + 27y3. c) 9x2 - (x - y)2.
Gi¶i
a) x2 – 4x + 4 = (x - 2)2
b) 8x3 + 27y3 = (2x + 3y)(4x2 – 6xy + 9y2)
c) 9x2 – (x - y)2 = [3x – (x –y)][3x + (x - y)] = (3x –x +y)(3x + x - y) 
 = (2x + y)(4x - y).
VÝ dô 2
a, (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3
HD: nhãm 2 h¹ng tö ®Çu à a3 + b3
 = 3(x – z)(x- y)(z – y)
b, (x2 +y2)3 + (z2- x2) – (y2 + z2)3
= 3(x2 + y2)(y2 + z2)(x – z)(x + z)
c, a3 + b3 + c3 – 3abc
= (a + b)3 + c3 – 3ab(a +b + c)
= (a + b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc)
d, x3 + y3 – z3 + 3xyz
= (x + y)3 – z3 – 3xy( x + y – z) = .....
Ph­¬ng ph¸p 3: Nhãm nhiÒu h¹ng tö
Néi dung c¬ b¶n cña ph­¬ng ph¸p nhãm nhiÒu h¹ng tö lµ g× ?
 Nhãm nhiÒu h¹ng tö cña mét ®a thøc mét c¸ch hîp lÝ ®Ó cã thÓ ®Æt ®­îc nh©n tö chung hoÆc dïng ®­îc h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí.
Chó ý: 
- Mét ®a thøc cã thÓ cã nhiÒu c¸ch nhãm
 - Sau khi nhãm ta cã thÓ ¸p dông ph­¬ng ph¸p ®Æt nh©n tö chung, ph­¬ng ph¸p dïng h»ng ®¼ng thøc ®Ó xuÊt hiÖn nh©n tö chung míi hoÆc h»ng ®¼ng thøc míi.
VÝ dô 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
a) x2 - 2xy + 5x - 10y. b) x(2x -3y) - 6y2 + 4xy. c) 8x3 + 4x2 - y3 - y2
Gi¶i
a) x2 – 2xy + 5x – 10y = ( x2 – 2xy) + ( 5x – 10y)
 = x(x – 2 y) + 5 (x – 2y) = (x – 2 y)(x + 5)
b) x(2x – 3y) – 6y2 + 4xy = x(2x – 3y) + (4xy - 6y2 
 = x(2x – 3y) + 2y(2x - 3y) 
 = (2x – 3y)(x + 2y)
c) 8x3 + 4x2 – y3 – y2 = (8x3 - y3) + (4x2 – y2) 
 = (2x -y)( x2 + xy + y2) + (2x – y)( 2x +y) 
 = (2x -y)( x2 + xy + y2 + 2x +y).
Ph­¬ng ph¸p 4: Phèi hîp nhiÒu ph­¬ng ph¸p
Khi cÇn ph©n tÝch mét ®a thøc thµnh nh©n tö, chØ ®­îc dïng riªng rÏ tõng ph­¬ng ph¸p hay cã thÓ dïng phèi hîp c¸c ph­¬ng ph¸p ®ã ?
 Cã thÓ dïng phèi hîp c¸c ph­¬ng ph¸p ®· biÕt.
VÝ dô 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
	a) a3 - a2b - ab2 + b3 b) ab2c3 + 64ab2 c) 27x3y - a3b3y.
Gi¶i
	a) a3 – a2b – ab2 + b3 = a2(a – b) – b2(a - b) = (a - b)(a2 - b2) = (a - b) 2 (a + b). 
	b) ab2c3 + 64ab2 = ab2(c3+64) = ab2(c3+ 43) = ab2(c + 4)(c2 – 4c + 16). 
	c) 27x3y – a3b3y = y(27x3 – a3b3) = y(3 - ab) (9x2 – 3ab + a2b2).
KiÕn thøc N©ng cao.
Ph­¬ng ph¸p 5: Ph­¬ng ph¸p t¸ch
Khi ph©n tÝch ®a thøc : ax2 + bx + c thµnh nh©n tö
C¸ch 1: T¸ch ax2 + bx + c = a x2 + b1x + b2x + c 
 Víi b = b1+ b2 vµ b1.b2 = a.c
C¸ch 2: T¸ch ax2 + bx + c = X2 - B2
VÝ dô 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
2x2 - 3x + 1.
6x2  ... 	g) (2y – 1)2 – (y + 3)2 = 0	h) 2y2 -11y = 0 	i) (2y - 3)(y +1)+ y(y - 2) = 3(y +2)2 	 j) (y - 2y + 1) – 9 = 0 
Bµi 3 
a) 	b) 	c)	d) 	
e) 	f) 	g) = 3x - 2 h) 
i) 
Bài 4 
a) 	b/ ( x – 2 ) (x – 6 ) = 0 	c / 
d) 	f/ 	 	g) 
h) = 2	i) 	 	j) 
k) 	l) 	m) 
n) 	o) 	p) 
p) q) 
DẠNG II: Giải bất phương trình và biểu diễn tập hợp nghiệm trên trục số
Bài 1: Giải bất phương trình sau và biểu diễn tập hợp nghiệm trên trục số
a) 	b)3x – (7x + 2) > 5x + 4 	c) - < 1
d) 	e) 2x + 5 7	f)2x – 3 ≥ 0 
g) 	h)	i) – 4 + 2x < 0.
j) 	k) 2x + 3( x – 2 ) < 5x – ( 2x – 4 ) 
l) 	m) 2(2x - 3 )( x + 4 ) < ( x - 2 )2 + 1	
n) 	o) x(x - 2) – (x + 1)(x + 2) 9 - 2x
q) 3x + 4 > 2x +3 .	r) 3x- 	s) 4x - 8 3(3x - 1 ) - 2x + 1
t) 	u) 3x – (7x + 2) > 5x + 4 	v) 
Bài 2
a) Tìm x sao cho giá trị biểu thức 2-5x nhỏ hơn giá trị biểu thức 3(2-x)
b) Cho A = .Tìm giá trị của x để A dưong
c) Tìm x để phân thức : không âm
d) Chứng minh rằng : 2x2 + 4x +3 > 0 với mọi x 
DẠNG III: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Bài 1 Hiệu của hai số bằng 50.Số này gấp ba lần số kia. Tìm hai số đó ?
Bài 2 Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 4 giờ, và ngược dòng từ bến B đến bến A mất 5h. Tính khoảng cách giữa hai bến , biết vận tốc dòng nước là 2km/h.
Bài 3 Khu vườn hình chữ nhật có chu vi 82m .Chiều dài hơn chiều rộng 11m .Tính diện tích khu vườn.
Bài 4 Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 30 km/h. Đến B người đó làm việc trong một giờ rồi quay về A với vận tốc 24 km/h. Biết thời gian tổng cộng hết 5 giờ 30 phút. Tính quãng đường AB
Bài 5 Một người đi xe đạp từ A đén B với vận tốc trung bình 12km/h . Khi đi về từ B đến A . Người đó đi với vận tốc trung bình là 10 km/h, nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 15 phút . Tính độ dài quảng đường AB ? 
Bài 6 Lúc 7giờ. Một ca nô xuôi dòng từ A đến B cách nhau 36km rồi ngay lập tức quay về bên A lúc 11giờ 30 phút. Tính vận tốc của ca nô khi xuôi dòng. Biết rằng vận tốc nước chảy là 6km/h ( 2đ)
Bài 7 Một người đi xe đạp từ địa điểm A đến địa điểm B với vận tốc 15km/h và 
sau đó quay trở về từ B đến A với vận tố12km/h.
Cả đi lẫn về mất 4giờ30 phút .Tính chiều dài quãng đường ?
Bài 8 Tổng số học sinh của hai lớp 8A và 8B là 78 em. Nếu chuyển 2 em tờ lớp 8A qua lớp 8B thì số học sinh của hai lớp bằng nhau. Tính số học sinh của mỗi lớp?
Bài 9 Hai thùng dầu A và B có tất cả 100 lít .Nếu chuyển từ thùng A qua thùng B 18 lít thì số lượng dầu ở hai thùng bằng nhau. Tính số lượng dầu ở mỗi thùng lúc đầu.
Bài 10 Tổng của hai chồng sách là 90 quyển . Nếu chuyển từ chồng thứ hai sang chồng thứ nhất 10 quyển thì số sách ở chồng thứ nhất sẽ gấp đôi chồng thứ hai . Tìm số sách ở mỗi chồng lúc ban đàu . 
Bài 11 Một xe ô tô đi từ A đến B hết 3g12ph .Nếu vận tốc tăng thêm 10km/h thì đến B sớm hơn 32ph. Tính quãng đường AB và vận tốc ban đầu của xe ?
Bài 12 Lúc 7 giờ sáng, một chiếc canô xuôi dòng từ bến A đến bến B, cách nhau 36km, rồi ngay lập tức quay trở về và đến bến A lúc 11 giờ 30 phút. Tính vận tốc của ca nô khi xuôi dòng, biết rằng vận tốc nước chảy là 6km/h.
Bài 13 Một người đi từ A đến B ,nếu đi bằng xe máy thì mất thời gian là 3giờ 30 phút , còn đi bằng ô tô 
thì mất thời gian là 2 giờ 30 phút .Tính quãng đường AB ,biết rằng vận tốc ôtô lớn hơn vận tốc xe máy là 20 km /h .Bài 14 Một đoàn tàu đi từ A đến B với vận tốc 45 km/h. Lúc về đoàn tàu đó đi với vận tốc 35 km/h, nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 12 phút. Tính quãng đưòng AB. 
Bài 15 Một xe máy đi từ A đến B với vận tốc 25km/h. Lúc về người đó đi với vận tốc 30km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 20’ . Tính quảng đường AB
Bài 16 Một bạn học sinh đi học từ nhà đến trường với vận tốc trung bình 4 km/h . Sau khi đi được 2/3 quãng đường bạn ấy đã tăng vận tốc lên 5 km/h . Tính quãng đường từ nhà đến trường của bạn học sinh đó , biết rằng thời
 gian bạn ấy đi từ nhà đến trường là 28 phút 
Bài 17 Một hình chữ nhật có độ dài một cạnh bằng 5cm và độ dài đường chéo bằng 13cm . Tính diện tích của hình chữ nhật đó .
Bài 18 Có 15 quyển vở gồm hai loại : loại I giá 2000 đồng một quyển , loại II giá 1500 đồng một quyển . Số tiền mua 15 quyển vở là 26000 đồng . Hỏi có mấy quyển vở mỗi loại ? 
DẠNG IV: Các bài toán hình học phẳng
Bài 1 Cho tam giác ABC vuông tại A. AB = 15cm, AC = 20cm.Vẽ tia Ax//BC và tia By vuông góc với BC tại B, tia Ax cắt By tại D.
a, Chứng minh ∆ ABC ~ ∆ DAB	b. Tính BC, DA, DB.
C. AB cắt CD tại I. Tính diện tích ∆ BIC
Bài 2 Cho hình chữ nhật có AB = 8cm; BC = 6cm. Vẽ đường cao AH của tam giác ADB
a/ Chứng minh tam giác AHB đồng dạng tam giác BCD
b/ Chứng minh AD2 = DH.DB 	c/ Tính độ dài đoạn thẳng DH, AH
Bài 3 Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6cm, AC = 8 cm. Trên tia đối của AB lấy điểm D sao cho AD = 1/3AB. Kẻ DH vuông góc với BC.
 a/ Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBD
 b/ Tính BC, HB, HD, HC
 c/ Gọi K là giao điểm của DH và AC. Tính tỉ số diện tích của AKD và ABC
Bài 4 Cho tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của BC. Lấy các điểm D,E theo thứ tự thuộc các cạnh AB, AC sao cho góc DME bằng góc B.
 a/ Chứng minh BDM đồng dạng với CME
 b/ Chứng minh BD.CE không đổi.
 c/ Chứng minh DM là phân giác của góc BDE.
Bài 5 Cho vuông tại A có đường cao AH .Cho biết AB=15cm, AH=12cm
\a) Chứng minh đồng dạng
\b) Tính độ dài đoạn thẳng HB;HC;AC .
 \c) Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho CE=5cm ;trên cạnh BC lấy điểm F sao cho 
 CF = 4cm.Chứng minh CEF vuông. 
\d) Chứng minh :CE.CA = CF
Bài 6 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm, BC = 6cm. AH là đường cao của ADB.
 a) Chứng minh tam giác AHB đồng dạng tam giác BCD
 b) Chứng minh AD2 = DH.DB
 c) Tính độ dài đoạn thẳng DH, AH
Bài 7 Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH.
 a) Tìm AD ? Biết AB=6cm AC= 8cm
 b) Chứng minh : đồng dạng với 
 c) Chứng minh : DF. EC = FA.AE .
Bài 8 : Cho hình thang ABCD (AB // CD) có góc và AD = 3cm, AB = 5cm, BC = 4cm.
Chứng minh tam giác DAB đồng dạng với tam giác CBD.
Tính độ dài của DB, DC.
Tính diện tích của hình thang ABCD, biết diện tích của tam giácABD bằng 5cm2.
Bài 9 Cho vuông tại A,vẽ đường cao AH của .
a) Chứng minh đồng dạng với 
b) Tính độ dài BC,AH,BH. Biết AB=15cm,AC=20cm
c) Gọi E,Flà hai điểm đối xứng của H qua AB và AC. Tính diện tích tứ giác EFCB
Bài 11 Cho ABC có AB=12cm, AC= 15cm, BC = 16cm. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM =3cm. Từ M kẻ đường thẳng // với BC cắt AC tại N, cắt trung tuyến AI tại K .
a/ Tính độ dài MN 
b/ Chứng minh K là trung điểm của MN 
c/ Trên tia MN lấy điểm P sao cho MP= 8cm . Nối PI cắt AC tại Q c/m đồng dạng với 
Bài 12 Cho hình thang ABCD cóÂ ==90º. Hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại I. Chứng minh : 
a / ΔABD ~ ∆DAC Suy ra AD2 = AB . DC
b/ Gọi E là hình chiếu của B xuống DC và O là trung điểm của BD .
 Chứng minh ba điểm A, O , E thẳng hàng.
c/ Tính tỉ số diện tích hai tam giác AIB và DIC.?
Chứng minh tam giác DAB đồng dạng với tam giác CBD.
Tính độ dài của DB, DC.
Bài 15 Cho hình thang ABCD ( AB // CD ) có góc DAB bằng góc DBC và 
AD= 3cm, AB = 5cm, BC = 4cm.
 a/ Chứng minh tam giác DAB đồng dạng với tam giác CBD.
 b/ Tính độ dài của DB, DC.
 c/ Tính diện tích của hình thang ABCD, biết diện tích của tam giácABD bằng 5cm2.
Bài 16 Cho tam giác ABC, có Â = 900, BD là trung tuyến. DM là phân giác của góc
 ADB, DN là phân giác của góc BDC (MAB, NBC).
 a/ Tính MA biết AD = 6, BD = 10, MB = 5.
 b/ Chứng minh MN // AC
 c/ Tinh tỉ số diện tích của tam giác ABC và diện tích tứ giác AMNC.
Bài 17 Cho tam giác ABC cân tại A . Vẽ các đường cao BH và CK ( HAC , K AB)
 a/ Chứng minh 	 CHB theo tí số đồng dạng bằng 1.
 b/ Chứng minh KH // BC
 c/Cho biết BC = a , AB = AC =b . Tính độ dài đoạn thẳng HK theo a và b.
Bài 18 Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 3cm, AC = 5cm , đường phân giác AD. Đường vuông góc với DC cắt AC ở E . 
Chứng minh rằng tam giác ABC và tam giác DEC đồng dạng . 
Tính độ dài các đoạn thẳng BC , BD 
Tính độ dài AD
Tính diện tích tam giác ABC và diện tích tứ giác ABDE
Bài 19 Cho tam giác ABC vuông tai A có AB = 6 cm; AC = 8cm. Trên một nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B vẽ tia Ax song song với BC. Từ C vẽ CD Ax ( tại D )
1) Chứng minh hai tam giác ADC và CAB đồng dạng. 
2) Tính DC. 
3) BD cắt AC tại I. Tính diện tích tam giác BIC. 
Bài 20 Cho rABC vuông tại A có AB = 9cm ; BC = 15cm . Lấy M thuộc BC sao cho CM = 4cm , vẽ Mx vuông góc với BC cắt AC tại N.
a/Chứng minh rCMN đồng dạng với rCAB , suy ra CM.AB = MN.CA .
b/Tính MN .
c/Tính tỉ số diện tích của rCMN và diện tích rCAB . 
S
 Bài 21 Cho hình thang cân ABCD có AB// CD và AB< CD, đường chéo BD vuông góc với cạnh bên BC.Vẽ Đường cao BH.
a/ Chứng minh BDC HBC b/ Cho BC =15; DC =25.Tính HC, HD
c/ Tính diện tích hình thang ABCD
2)Cho hình thoi có độ dài hai đường chéo là d1= 6 cm và d2= 8 cm.Tìm diện tích S và chiều cao h của hình thoi đó? ( 1đ )
Bài 22 cho vuông tại A có AB> AC , M là điểm tuỳ ý trên BC . Qua M kẻ 
 và cắt AB tại I cắt CA tại D .
 a) Chứng minh 
 B) Chứng minh : BI .BA =BM . BC 
 C) Cho góc ACB = và . Tính 
DẠNG V: Các bài toán hình học ko gian
Bài 1Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB = 20 cm, cạnh bên SA= 24 cm.
 a/ Tính chiều cao SO rồi tính thể tích của hình chóp
 b/ Tính diện tích toàn phần của hình chóp
Bài 2 Cho hình lăng trụ đứng đáy là tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông là 3cm và 4cm.Thể tích hình lăng trụ là 60cm.Tìm chiều cao của hình lăng trụ ?
Bài 3 Một hình hộp chữ nhật có chiều dài là 10cm , chiều rộng là 8cm , chiều cao là 5cm . Tính thể tích hình hộp chữ nhật đó .
Bài 4 a) Một hình hộp chữ nhật có chiều dài là 10cm , chiều rộng là 8cm , chiều cao là 5cm . Tính thể tích hình hộp chữ nhật đó
	b) Cho hình hộp chữ nhật có các kích thước là 3 cm; 4 cm; 5cm . 
 Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình hộp chữ nhật đó là 
Bài 5 Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước 3cm,4cm,và 6cm.Tính diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật 
Bài 6 Tính diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng có chiều cao 6m đáy là tam giác vuông có 2 cạnh góc vuông là 3cmvà 4cm .
Bài 7 Một hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông ( như hình vẽ ). Độ dài hai cạnh góc vuông của đáy là 5cm, 12cm , chiều cao của lăng trụ là 8cm. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình lăng trụ đó 
Bài 8 Một lăng trụ đứng có chiều cao 6 cm, đáy là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông lần lượt là 3cm và 4 cm
 a) Tìm diện tích xung quanh của hình lăng trụ. 
 b) Tìm thể tích của hình lăng trụ 
Bài 9 Cho hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh của tứ giác đáy bằng 4 cm và độ dài đường cao bằng 6 cm . Tính thể tích hình chóp đều đó . 
DẠNG VI: Các bài toán rút gọn biểu thức
Bài 1:
a) 	b) 	c) 
d) 	e)