Bài tập bồi dưỡng Toán Lớp 8 - Đoàn Văn Tố

Biên soạn : ĐOÀN VĂN TỐ - GVCTHB
	PHẦN II	
XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN QUÍ THẦY – CÔ ĐÃ CHO YÔI KIẾN THỨC ĐỂ VIẾT ĐƯỢC CHUYÊN ĐỀ NÀY !
----&----
 Tìm tất cả những số có hai chữ số sao cho tổng của mỗi số với một số mà các chữ số được viết theo thứ tự ngược lại là một số chính phương .
Hd : 
Số cần tìm có dạng ab thì a + b chia hết cho 11
Mà a, b là các chữ số nên 0 < a + b £ 18 	a + b = 11
 Tìm 4 chữ số tận cùng của số mà khi chia số ấy cho 8 và khi chia cho 125 thì được số dư tương ứng là 7 và 4 .
Hd : 
Gọi số thỏa điều kiện đề cho là a thì khi đó a - 7 chia hết cho 8 ; a - 4 chia hết cho 125
Suy ra 3 chữ số tận cùng của a - 4 và để ý là số được tạo bởi 3 chữ số tận cùng đó nếu bớt 7 phải chia hết cho 8.
 Chứng minh rằng tích 4 số tự nhiên chẵn liên tiếp chia hết cho 384 . 
Hd : 
Ta có 384 = 27 . 3
Tích 4 số chẵn liên tiếp sẽ có dạng : 24 .n.( n + 1).( n + 2 ).( n + 3 )
Ta cần chứng minh tích n.( n + 1).( n + 2 ).( n + 3 ) chia hết cho 23.3 hay chia hết cho 8 và cho 3 ( vì 8, 3 nguyên tố cùng nhau )
 Giải các phương trình sau trong miền số tự nhiên :
xy = x + y
xy = 10. ( x + y )
x + y + z = xyz
1 + x + x2 + x3 = 2y ( Dành cho học sinh Giỏi )
 Cho 8 số tự nhiên mỗi số có 3 chữ số. Chứng minh rằng trong 8 số đó tồn tại hai số viết liên tiếp nhau tạo thành một số có 6 chữ số chia hết cho 7.
Hd : 
Trong 8 số tự nhiên đó có ít nhất hai số chia 7 cùng dư, hay hiệu hai số đó chia hết cho 7
Gọi hai số có dạng : abc , mnp
Xét số có 6 chữ số abcmnp , ta có abcmnp = 1001 abc - ( abc - mnp )
 Cho a, b là hai số tự nhiên khác 0. Biết rằng trong 4 mệnh đề dưới đây :
a + 1 chia hết cho b
a = 2b + 5
a + b chia hết cho 3
a + 7b là số nguyên tố 
có 3 mệnh đề đúng, một mệnh đề sai . Hãy tìm mọi cặp số a và b có thể có.
Hd : 
Rõ ràng hai mệnh đề 3. và 4. mâu thuẩn ! 	 hoặc 3. hoặc 4. sai 
Nếu 3. đúng thì từ a = 2b + 5	a + b = 3b + 5	5 chia hết cho 3 : Vô lý !
Vậy mệnh đề 3. sai ! 	3 mệnh đề đúng là 1. , 2. , 3.
 Trong các số từ 100 đến 10 000 có bao nhiêu số có đúng 3 chữ số giống nhau .
Hd : Xét sơ đồ cây như sau 
	 Có 3 chữ số : aaa ( a ¹ 0 ; a = 1, ... , 9 )
81 số cho mỗi khả năng
(Bạn tự tìm !)
	Các số cần tìm có dạng : 	 aaab
	Có 4 chữ số : aaba
	 abaa
 Với mọi nỴN . Chứng minh rằng : 	 baaa	
n2 + 11n + 39 không chia hết cho 49
n2 + n + 2 không chia hết cho 15
Hd : 
a/ 	n2 + 11n + 39 = (n + 2) (n + 9) + 21
	n + 2 ; n + 9 có cùng số dư trong phép chia cho 7
b/ 	Chứng tỏ n2 + n + 2 không chia hết cho 3
 Thả 30 con cá vào một cái hồ và cho chúng ăn thịt lẫn nhau. Con cá được coi là no nếu nó ăn được 3 con cá khác ( no hoặc đói ). Hỏi số cá được coi là no lớn nhất là bao nhiêu ?
Hd : 
	Số cá được coi là no lớn nhất là 9 con. Ta chứng minh số cá no lớn nhất là 9
	Gọi k là số cá no ; m là số cá còn lại ( Có thể no hoặc không ) 
	Ta có :	3k + m = 30	m chia hết cho 3	 m = 3n
	3k + 3n = 30	k + n = 10. Vì n ³ 1	k £ 9
 Chứng minh rằng :
A = 2 + 22 + 23 + 24 + ... + 2100 chia hết cho 31 
Hd : 
Ta có : 2 + 22 + 23 + 24 + 25 = 62 chia hết cho 31
Tổng A chia thành 100 : 5 = 20 ( nhóm ) ; mỗi nhóm đều chứa 2 + 22 + 23 + 24 + 25 chia hết cho 31.
 Giải phương trình sau đây trong miền số nguyên tố :
xy + 1 = z 
Hd : 
	x ³ 2 ; y ³ 2 	xy + 1 ³ 5	 z ³ 5 	 xy là số chẵn
	 x = 2. Tiếp đó xét số dư của phép chia y cho 2.
 Chứng minh rằng trong 5 số tự nhiên bất kỳ luôn có thể tìm được ra 3 số mà tổng của chúng chia hết cho 3 .
Hd : Có 2 trường hợp
Có ít nhất 3 số chia cho 3 cùng dư
Không có 3 số nào chia 3 cùng dư hay có 3 số chia 3 khác dư.
 Một xe tải chạy từ A và có thể đến B sau 6 giờ. Sau khi xe tải chạy được 2 giờ thì một xe Honda khởi hành từ B chạy về A và gặp xe tải sau 1 giờ 36 phút. Tính thời gian xe Honda chạy từ B về A ?
Hd : 1 giờ 36 phút = (giờ)
Trong 2 giờ xe tải chạy được (quãng đường AB)
Với quãng đường còn lại thì hai xe mất giờ mới gặp nhau
	 Với cả quãng đường AB hai xe muốn gặp nhau cần (giờ)
	 1 giờ hai xe chạy được (quãng đường AB)
	 1 giờ xe Honda chạy được (quãng đường AB)
 Thay các chữ cái a, b, c, d bằng các chữ số trong các phép tính sau :
	( ab + cd ).( ab - cd ) = 1994
	abc + ab + a = 1037
	900 : ( a + b ) = ab
	* * (1) . * * (2) = aaa ; trong đó * *(1) và * *(2) là hai số chẵn .
Hd : Dành cho Bạn đọc !
 Có bao nhiêu số có 4 chữ số chia hết cho 45 mà hai chữ số ở giữa của chúng là 97 .
 Cho a , bỴN sao cho ( a , b ) = 1. 
Chứng minh rằng phương trình ax + by = ab không có nghiệm trong N
Hd : 
Phương trình đã cho tương đương với ab - ax = by hay a. ( b - x ) = by
Vì ( a , b ) = 1 nên y chia hết cho a 
 Tìm các số nguyên tố p và k sao cho 7p + k và pk + 11 là các số nguyên tố . 
Hd : 
Các cặp số p, k cần tìm có thể là ( p , k ) = ( 2 , 3 ) = ( 3 , 2 ).
 Năm đấu thủ tham gia thi đấu đã giành thắng lợi. Có 3 người đạt được 15, 14 và 13 điểm được xếp hạng nhất, nhì, ba. Hỏi mỗi hạng có mấy người biết rằng tổng số điểm của cả 5 người là 69 điểm .
Hd : 
Một người hạng I ; hai người hạng II ; ba người hạng III
 Trong 12 đồng tiền có một đồng tiền giả. Hãy tìm đồng tiền đó bằng 4 phép cân với cân hai đĩa không có quả cân, nếu không biết nó nhẹ hơn hay nặng hơn các đồng tiền thật . 
Hd : 
Dành cho sự thông minh của Bạn !
 Ba người bạn A , B , C uống trà :
Nếu A uống thêm 5 chén thì bạn đã uống bằng tổng số chén của B , C
Nếu B uống thêm 9 chén thì bạn đã uống bằng tổng số chén của A , C
Họ của 3 người này là Nguyễn, Trần, Lê. Hãy xác định mỗi người uống bao nhiêu chén và có họ gì , biết rằng người có họ Nguyễn uống một số chén là bội của 3 , còn người họ Lê uống 11 chén .
Hd : 
Lập luận để chứng tỏ trường hợp Lê...B ; Lê...C là vô lí ! ( Vì khi đó không có số chén trà nào được uống là bội của 3 )
	Lê...A : uống 11 chén
	Nguyễn ...B : uống 9 chén
	Trần...C : uống 7 chén .
 Một công nhân có thể hoàn thành công việc được giao trong 3 giờ 20 phút. Một công nhân khác có thể hoàn thành công việc đó trong 4 giờ 10 phút. Nếu cùng làm, cả hai làm được 63 sản phẩm . Hỏi mỗi người làm được bao nhiêu sản phẩm ?
Hd : 
Năng suất của người thứ I so với người thứ II là : = 	 
Trong cùng một thời gian , số sản phẩm mỗi người làm được - tỉ lệ thuận với năng suất .
Do đó số sản phẩm người thứ I làm được là : = 35 ( sản phẩm ) 
 Có một bình đựng đầy dầu được chia làm hai phần: phần I còn thiếu lít thì được bình ; phần II gồm chỗ còn lại và lít. Tính dung tích của bình đó và tỉ số phần trăm giữa hai phần .
Hd : 
Phần II có 2 lít ; phần I có 2 lít.
Tỉ số phần trăm giữa 2 phần là 2 : 2 = 100%.
 Một người bơi ngược dòng sông A đến cầu X thì đánh mất phao , anh ta tiếp tục bơi trong 20 phút thì mới biết mất phao và quay lại tìm , đến cầu Y thì tìm được phao ; biết khoảng cách giữa hai cầu X, Y là 2 km. Tính vận tốc dòng sông A ? 
Hd : 
Giả sử vận tốc dòng sông không thay đổi . Người bơi cách phao 20 phút ( ngược dòng ) thì cũng đuổi kịp phao trong 20 phút ( xuôi dòng ).
Nhưng khi đuổi kịp phao thì vị trí người gặp phao tại cầu Y, do đó phao trôi trong 40 phút từ cầu X về cầu Y; do vận tốc phao chính là vận tốc dòng sông nên vận tốc dòng sông là :
2 . 60 : 40 = 3 ( giờ )
 Một xe tải khởi hành từ tỉnh A lúc 6 giờ và đến tỉnh B lúc 10 giờ 40 phút. Một xe Honda khởi hành từ tỉnh B lúc 6 giờ 20 phút và đến tỉnh A lúc 9 giờ 40 phút. Hỏi hai xe gặp nhau sau mấy giờ ?
Hd : 
Trong 1 giờ hai xe đi được ( quãng đường AB )
Khi xe Honda khởi hành thì xe Honda còn cách xe tải 1 - . = ( quãng đường AB )
Hai xe gặp nhau sau :	 ( Thời gian xe Honda đi gặp xe tải )
Hai xe gặp nhau lúc 7 giờ 25 phút.
 Cho 6 điểm trên mặt phẳng , trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Ta đánh số các điểm trên bằng các chữ số từ 1 đến 6. ( Tức ta có các điểm 1, 2, 3, 4, 5, 6 )
Hỏi có bao nhiêu tam giác khác nhau được xác định mà đỉnh của nó là 3 trong 6 điểm nói trên.
Tìm tam giác có tổng số điểm ở ba đỉnh là nhỏ nhất, lớn nhất.
Hỏi có bao nhiêu tam giác mà tổng số điểm ở ba đỉnh của nó chia hết cho3.
Hd : 
1/	 Có 20 tam giác.
2/ 	Tam giác ( 1, 2, 3 ) ; Tam giác ( 4, 5, 6 )
3/ 	Có 7 tam giác. 
 Có một số đội bóng tham gia thi đấu bóng đá theo thể thức vòng tròn . Biết trận thắng được 3 điểm, trận hòa được 1 điểm và trận thua được 0 điểm. Tổng kết giải , ban giám khảo nhận thấy tổng số điểm các trận đấu là 71 điểm và số trận thắng nhiều hơn số trận hòa là hai trận . Hỏi có bao nhiêu đội bóng tham dự giải ?
Hd : 
Nếu số trận thắng bằng số trận hòa thì tổng số điểm của các trận là 71 - 3 . 2 = 65 (điểm)
Tổng số điểm của một trận thắng và một trận hòa là : 3 + 2 = 5 (điểm)
Số trận hòa là 65 : 5 = 13 (trận)	 	Số trận thắng là 15 (trận) 
 Cho dãy phép tính 1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 6 : 7 : 8 : 9 . Hãy thêm dấu ngoặc vào dãy phép tính để được kết quả là :
Lớn nhất
Nhỏ nhất
Trong mỗi trường hợp hãy tính giá trị của phép tính đó .
 Tìm các số tự nhiên x và y sao cho :
154x = ( 4x + 1 ). y
x .y = x + y + 192
 Tìm các chữ số a , b , c khác 0 thỏa mãn 	abbc = ab . ac . 7
 Một học sinh viết các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến abc phải dùng hết m chữ số . Biết rằng m chia hết cho abc . Tìm abc ?
 Tìm 3 số X , Y , Z. Biết rằng tổng các các chữ số của X bằng Y ; tổng các chữ số của Y bằng Z và X + Y + Z = 60 .
 Tìm các chữ số a , b , c , d , e thỏa mãn phép tính sau abcde = 45.abcde
 Tích của hai số tự nhiên là 3192 . Chữ số hàng đơn vị của thừa số thứ I nhiều hơn chữ số hàng trăm là 1 đơn vị . Nếu đổi chỗ hai chữ số đó cho nhau thì tích giữa số mới với thừa số thứ II là 3588. Tìm hai số đó ? ( Thi CTHB-96’ ) 
 Biết rằng abc là bội chung cuả 3 số ab , ac , ba . Chứng minh rằng :
a/ 	abc chia hết cho bc 
b/ 	abc chia hết cho 11
 Chứng minh rằng tổng bình phương của 3 số tự nhiên trong phép chia cho 8 không thể có số dư là 7. 
 Trong số các mệnh đề dưới đây; số lớn nhất của các mệnh đồng thời là đúng là bao nhiêu:
An là người thông minh .
An không học bơi .
An học bơi nhưng không thông minh .
Nếu An là người thông minh thì nó không học bơi .
An là người thông minh khi và chỉ khi nó học bơi .
Hoặc An là người thông minh hoặc là nó học bơi nhưng không đồng thời cả hai .
 Tích của một số có hai chữ số với số viết bằng chữ số của số đó nhưng viết theo thứ tự ngược lại là 2430. Tìm số ban đầu ? 
 Trong lớp có 33 học sinh, tổng số tuổi của chúng là 430. Liệu có thể tìm được 20 học sinh mà tổng số tuổi của chúng lớn hơn 260 được không ?
 Hd : 
 Sử dụng nguyên tắc Dirichlet.(Nhà Toán học Đức)
 Hãy tìm hai số có ba chữ số . Biết rằng tổng của chúng là bội của của 498 , thương của chúng là bội của 5 . 
 Tìm số tự nhiên k biết rằng trong 3 mệnh đề dưới đây có hai mệnh đề đúng và một mệnh đề sai :
k + 51 là số chính phương 
Chữ số tận cùng của k là 1 
k - 38 là số chính phương 
 Tìm số có 4 chữ số trong hệ đếm thập phân abcd , biết số đó thỏa mãn hai điều kiện sau đây :
bc .4 có tận cùng là cd
abcd - bc . 4 là một số chính phương 
( Báo Toán Học & Tuổi Trẻ )
 Giải phương trình nghiệm nguyên dương :
5x + 2 . 5y + 5z = 4500 ( x < y < z )
( Báo Toán Học & Tuổi Trẻ )
 Cho 3 số tự nhiên x , y , z thỏa mãn hệ thức :
( x - y )( y - z )( z - x ) = x + y + z 
Chứng minh rằng : x + y + z chia hết cho 27 . ( Đề Thi HSG Lớp 9 TPHCM )
 Số 3105 + 4105 chia hết cho 13 , 49 , 181 và 379 nhưng không chia hết cho 5 và 11 . Kiểm tra điều đó như thế nào ?
Hd : 
Nhận xét rằng xn + yn chia hết cho x + y khi n lẻ .
a/ 3105 + 4105 = (33)35 + (43)35 chia hết cho 33 + 43 = 7.13
Tương tự , ta chứng minh được 3105 + 4105 chia hết cho 49 , 181 , 379 .
b/ Ta có 43 º -1 (mod 5)
{ Điều này có nghĩa là 43 chia cho 5 dư -1 }
Þ 4105 º (-1)35 (mod 5) ; tương tự 3104 º 1 (mod 5) nên 3105 º 3 (mod 5)
Þ 3105 + 4105 º 2 (mod 5) : đpcm ----- Phần còn lại dành cho Bạn đọc !
 Tìm hai số nguyên tố x , y trong phương trình sau đây :
	x2 - 2y = 1
Hd : 
Biến đổi phương trình đã cho thành :
	x2 - 1 = 2y Û ( x - 1 )( x + 1 ) = 2y
Þ ( x - 1 )( x + 1 ) ch.h.cho 2 và do ( x + 1 ) - ( x - 1 ) = 2
Þ x + 1 , x - 1 là hai số cùng chẵn . 
 Người ta viết liên tiếp dãy các số tự nhiên từ 1 như sau :
	12345....
Hỏi chữ số thứ 427 là chữ số mấy ?
 Chứng minh rằng nếu x2 + y2 chia hết cho 3 thì x và y đều chia hết cho 3 . ( x, yỴN )
 Người ta viết liên tiếp hai số 21971 và 51971. Hỏi số tạo thành có bao nhiêu chữ số ?
Hd : 
Mời Bạn xem hướng dẫn trong Chuyên đề “ Chữ số tận cùng của Lũy thừa “
 Cho A = 	 ( n ³ 1) 	
Hãy so sánh tổng các chữ số của A với tổng các chữ số của A2 .
Hd :
A = 10n - 1	Þ A2 = (10n - 1)2 = 102n - 2.10n + 1 = 10n (10n - 2) + 1
Þ	A2 = + 1
 Chứng minh rằng khi m , nỴ N thì ta có các khẳng định sau đây :
( n2 + 4n + 3 )8 , với n lẻ 
( n3 + 3n2 - n - 3 )48 , với n lẻ
( 4n + 15n - 1 )3 ,"n
( 10n + 18n - 28 )27 ,"n
( n4 + 6n3 + 11n2 + 6n )24 ,"n
( n3 + 5n )6 ,"n
Nếu ( n , 6 ) = 1 và n ³ 5 thì ( n2 - 1 )24
( m2 + n2 ).( m2 - n2 ).mn30 ,"m,n
( m3 + n3 )6 Û ( m + n )6 
( 25n + 1 ) 100 ,"n
Hd :Dùng các tính chất của Hằng đẳng thức và tính chất chia có dư sau : “ Nếu a chia cho b dư r thì an chia cho b có dư bằng dư của rn chia cho b “. Ví dụ : 4 chia 3 dư 1 à 4n chia 3 dư 1
LUYỆN THI SỐ HỌC
 ( Dành cho Lớp 6 CT )
Bài 1: 
Tìm hai số tự nhiên khác 0 sao cho tổng của tổng, hiệu, thương ( số lớn đối với số bé ) của hai số đó là 34 . 
( Đề thi HSG Q.5 - 1983 )
Bài 2: 
Chứng minh rằng không tồn tại các số tự nhiên x , y thỏa mãn : 2x2 + y2 = 1999
Hd : Dùng phản chứng
Bài 3: 
Có tồn tại hai số tự nhiên n , m thỏa mãn hệ thức sau đây không :
m2 + 1994 = n2
( Từ đó đưa ra nhận xét và phát huy bài toán mới )
Bài 4:
Cho một số bất kỳ có 6 chữ số chia hết cho 7 . Chứng minh rằng nếu chuyển chữ số tận cùng của số đó lên đầu hay chuyển chữ số đầu tiên xuống tận cùng ta vẫn được số chia hết cho 7 .
Bài 5:
Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 2p + p2 cũng là một số nguyên tố .
Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho các số 4p2 + 1 ; 6p2 + 1 đồng thời là số nguyên tố.
Bài 6: Chứng minh rằng :
Bài 7:
Với mọi số tự nhiên n , chứng minh rằng :
n2 + 3n + 5 không chia hết cho 121
n2 + 8n + 15 không chia hết cho n + 4
n2 + 11n + 39 không chia hết cho 49
n2 + n + 2 không chia hết cho 15
n4 + 6n3 + 11n2 + 6n chia hết cho 24
Bài 8:
Chứng minh rằng nếu a và b là hai số chính phương lẻ liên tiếp thì 
( a - 1 ).( b - 1 ) chia hết cho 192
Bài 9:
Cho hiệu abc - cba = mnp . Chứng tỏ rằng mnp + pnm = 1089
Bài 10:
Với một số tiền cho trước bạn Nam có thể mua được 50 kg gạo hoặc 90 kg sắn. Do bạn mua cả 2 loại nên mua được tất cả 78 kg. Hỏi bạn đã mua mỗi loại bao nhiêu kg ?