Bài tập bồi dưỡng môn Toán Lớp 8 - Giải toán bằng cách lập phương trình

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
I. Mục tiêu 
Làm cho học sinh nắm được nguyên tắc giải bài toán bằng cách lập phương trình 
Học sinh có kỹ năng biết chọn ẩn số , biểu diễn các số liệu có trong bài toán , biết dựa vào các quan hệ của bài để lập phương trình của bài toán .
Rèn cho học sinh có kĩ năng phân tích bài toán , tổng hợp , tính cẩn thận trong suy nghĩ và trình bày lời giải của bài toán .
II. Quy trình giảng dạy .	
Nhắc lại kiến thức cơ bản : 
Tóm tắt quá trình giải ( Theo sách giáo khoa lớp 8 )
 Bước 1 : Lập phương trình
 - Chọn ẩn và xác định điều kiện cho ẩn
 - Biểu thị số liệu chưa biết qua ẩn
 - Tìm mối liên quan giữa các số liệu để lập phương trình
 Bước 2 : Giải phương trình
 Bước 3 : Chọn kết quả thích hợp và trả lời 
Dựa vào cơ sở trên , xây dựng nên quy trình giải dạng toán trên sẽ được thực hiện qua các bước sau nhằøm giúp cho học sinh biết tìm hiểu nội dung bài toán , biết phân tích các mối liên hệ có trong bài toán để từ đó biết lập phương trình của bài toán . Sau đây là hệ thống các công việc mà học sinh cần phải làm khi tiến hành giải bài toán bằng cáh lập phương trình : 
Câu hỏi 1 : Bài toán thuộc dạng nào ?
 Câu hỏi 2 : Bài toán này có bao nhiêu đại lượng tham gia? Đó là những đại lượng nào , các đại lượng đó có liên quan với nhau bởi công thức nào ?
 Câu hỏi 3 : Trong các số liệu của bài toán , số liệu nào đã biết , số liệu nào chưa biết ?
 Câu hỏi 4 : Trong các số liệu chưa biết đó chung có liên quan gì với nhau ?
 Câu hỏi 5 : Bài toán yêu cầu tìm số liệu nào ?
 - Trong các số liệu chưa biết ta chọn số liệu nào là ẩn ? Xác lập điều kiện của ẩn ?
 Câu hỏi 6 : Trong bài toán còn những số liệu nào chưa biết ?
 Câu hỏi 7 : Em hãy dùng ẩn số và các số liệu đã biết để biểu thị các số liệu đó qua ẩn?
 Câu hỏi 8 : Trong các mối quan hệ giữa các số liệu chưa biếât , còn mối quan hệ nào mà ta chưa dùng đến không ? Em hãy nhắc lại quan hệ ấy .
 Câu hỏi 9 : Dựa vào mối quan hệ ấy , em hãy lập phương trình của bài toán 
Từ câu hỏi thứ 4 giáo viên có thể hướng dẫn học sinh kẻ bảng để biểu thị các số liệu có liên quan trong bài toán . Để điền đúng các giá trị trong bảng GV có thể hướng dẫn học sinh điền các giá trị đã biết vào trong bảng , còn các giá trị chưa biết là các ô trống ở trong bảng . Phần chọn ẩn số là sự lựa chọn một trong các số liệu chưa biết thể hiện ở trong bảng , nhưng thông thường bài toán yêu cầu tìm gì thì chọn số liệu ấy làm ẩn . Nhưng cũng có khi một số bài toán nên chọn ẩn số gián tiếp thì lời giải có phần đơn giản hơn , tôi sẽ trình bày chi tiết cách giải các bài toán bằng cách chọn ẩn số gián tiếp thông qua các ví dụ 4,5 . Từ câu hỏi thứ 6 trở đi GV vừa hỏi học sinh và vừa yêu cầu học sinh điền tiếp các số liệu chưa biết khác vào trong bảng , khi nào điền hết các số liệu ở trong bảng thì GV mới thực hiện câu hỏi 8 . Như vậy phần phân tích bài toán đã hoàn thành . 
Tiếp đó GV gọi học sinh căn cứ vào bảng để trình bày lại phần lập phương trình của bài toán cho hoàn chỉnh .
 Sau khi học sinh lập được phương trình của bài toán ,giáo viên nên kiểm tra và sửa chữa phần trình bày của học sinh .Rồi sau đó gọi một vài em lên giải phương trình của bài toán .Trong thời gian này giao viên tranh thủ kiểm tra việc làm bài của các học sinh khác.Trong quá trình hướng dẫn học sinh giải bài toán bằng cách lập phương trình , tôi thường xuyên nhắc đi nhắc lại hệ thông câu hỏi trên, và đã tập cho hocï sinh thói quen biết xem xét và phân tich bài toán để từ đó biết giải dạng toán trên.
MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG
 Ví dụ 1:
 Một dội máy kéo dự định mỗi ngày cày 40ha đất. Nhưng khi thực hiện mỗi ngày cày được 52 ha đất. Vì vậy không những cày xong trước thời hạn 2 ngày mà còn cày thêm 4 ha nữa .Tính diện tích ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch đã định .
 Hướng dẫn (Hệ thống câu hỏi đã nêu ở trên tôi không nhắc lại nữa ,trong phần này tôi chỉ nêu cách trả lời từng câu hỏi theo hệ thống câu hỏi đã nêu ở trên )
 @ Trả lời câu hỏi 1 :Đây là dạng toán về công việc 
 @ Trả lời câu hỏi 2 : Các dữ kiện của bài toán liên quan với nhau theo công thức : Khối lượng công việc = Năng suất ´ thời gian làm việc 
( Năng suất ở đây là số ha đất phải cày trong một ngày )
 Các đại lượng tham gia trong bài toán là : Khối lượng công việc dự định ,khối lượng công việc thực hiện , năng suất dự định , năng suất thực hiện, thời gian thực tế làm và thời gian dự định làm .
 @ Trả lời câu hỏi 3 : Năng suất dự định là 40 ha, năng suất thực tế là 52 ha.
 Số liệu chưa biết là : Khối lượng công việc dự định và thực tế ; thời 	 gian dự định , thời gian thực tế 
 @ Trả lời câu hỏi 4 : Khối lượng công việc thực tế hơn khối lượng công việc dự định là 4 ha, Thời gian dự định hơn thời gian thực tế là 2 ngày
Phần trả lời các câu hỏi tiếp sau tiến hành cùng một lúc với kẻ bảng như sau 
Khối lượng công việc
Năng suất
Thời gian
Dự định
x
40 ha
Thực hiện
x + 4
52 ha
 @ Trả lời câu hỏi 5 : Tìm diện tích ruộng phải cày theo dự định , do vậy ta chọn diện tích ruộng phải cày theo dự định là x ( x > 0 ;ha )
 @ Trả lời câu hỏi 6 và 7 : Diện tích ruộng mà đội đã cày được là x+ 4 (ha)
 Thời gian đội dự định cày là ( ngày)
Thời gian đội đã cày là ( ngày)
@ Trả lời câu hỏi 8 : Thời gian dự định nhiều hơn thực tế là 2 ngày chưa dùng đến
@ Trả lời câu hỏi 9 : Theo bài ra ta có phương trình 
GV gọi học sinh lên trình bày bước lập phương trình và giải phương trình . Sau đó hướng dẫn học sinh trả lời bài toán .
 Ví dụ 2 : Tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80 km .Biết thời gian đi ngược dòng nhiều hơn thời gian đi xuôi dòng là 1 giờ 40 phút . Tính vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng . Biết rằng vận tốc dòng nước là 4 km/h.
@Trả lời câu hỏi 1:Toán chuyển động đều có liên quan đến vận tốc của dòng nước
Trả lời câu hỏi 2: Công thức QĐ = VT . TG
 Cụ thể là : QĐ = VTxd. TGxd , QĐ = VTnd .TGnd; có 7 đại lượng tham gia trong bài toán này :vận tốc thật của ca nô, vận tốc của dòng nước , vận tốc ca nô đi xuôi dòng ,vận tốc ca nô đi ngược dòng ,thời gian đi xuôi dòng ,thời gian đi ngược dòng , quãng đường
@Trả lời câu hỏi 3 : Quãng đường là 80 km , vận tốc dòng nước là 4 km/h
 Số liệu chưa biết là :Vận tốc thật của canô ,vận tốc canô đi xuôi dòng ,vận tốc canô đi ngược dòng ,thời gian ca nô đi xuôi dòng ,thời gian ca nô đi ngược dòng
@ Trả lời câu hỏi 4: Vxd =Vt + Vdn ,Vnd = Vt - Vdn ,thời gian đi xuôi dòng và ngược dòng hết 8 giờ 20 phút =25/3 giờ, TGxd =QĐ : Vxd , TGnd = QĐ : Vnd
Hướng dẫn học sinh kẻ bảng và điền các giá trị thích hợp vào bảng .
Quãng đường
Vận tốc thật của ca nô 
Vân tốc dòng nước
Vận tốc đi của ca nô
Thời gian 
Đi xuôi dòng
80 km
x
4 km/h
x + 4 (km/h)
 (giờ)
Đi ngược dòng 
80 km
x
4 km/h
 x – 4 (km/h)
( giờ)
@Trả lời câu hỏi 5 :
	 Bài toán yêu cầu tìm vận tốc thật của ca nô .Do vậy ta chọn vận tốc thật của ca nô là ẩn số
 Gọi vận tốc thật của ca nô là x (x>4,km/h) (vận tốc canô > vận tốc dòng nước
@ Trả lời câu hỏi 6 :
	Các số liệu cần biểu diễn qua ẩn là : Vận tốc ca nô đi xuôi dòng , vận tốc ca nô đi ngược dòng,thời gian đi xuôi dòng ,thời gian đi ngược dòng 
@ Trả lời câu hỏi 7:
	Vận tốc ca nô đi xuôi dòng là x +4 (km/h)
	Vận tốc ca nô đi ngược dòng là x - 4 (km/h)
	Thời gian ca nô đi xuôi dòng là ( giờ)
	Thời gian ca nô đi ngược dòng là( giờ)
@ Trả lời câu hỏi 8:
	Thời gian đi ngược dòng nhiều hơn thời gian đi xuôi dòng là 1 giờ 40 phút là chưa dùng đến , dựa vào quan hệ này mà ta rút ra phương trình của bài toán
@ Trả lời câu hỏi 9:
	Theo bài ra ta có phương trình 
	Giáo viên hướng dẫn học sinh lập phương trình và giải phương trình của bài toán
 Ví dụ 3: Lúc 6 giờ sáng , một xe máy khởi hành từ A đến B . Sau đó 1 giờ một ô tô cũng xuất phát từ A đến B với vận tốc trung bình lớn hơn vận tốc trung bình của xe máy 20km/h . Cả hai xe đến B đồng thời vào lúc 9 giờ 30 phút sáng cùng ngày . Tính quãng đường AB .
	Bài toán thuộc dạng toán chuyển động đều , trong bài bày thời gian đi của mỗi xe đều đã biết . Thời gian đi của xe máy là 9g30’ – 6 g = 3 g 30’ = 3,5 giờ ; của ô tô là 9g30’ – 6 g – 1 g = 2,5 g . G V hướng dẫn học sinh phân tích bài toán thông qua việc kẻ bảng kết hợp việc điền các số liệu với các câu hỏi như đã nêu để cuối cùng điền được đầy đủ bảng sau :
Quãng đường
vận tốc
Thời gian
Xe máy
x
3,5 g
Oâ tô
x
2,5 g
	Quan hệ về vận tốc của hai xe ta có phương trình sau : 
Phần trình bày bài làm học sinh làm tương tự như các ví dụ trên .
	Hoặc GV có thể hướng dẫn học sinh đặt ẩn số gián tiếp đó là chọn vận tốc của xe máy là x ; rồi hướng dãn học sinh điền đầy đủ vào bảng sau : 
Quãng đường
vận tốc
Thời gian
Xe máy
3,5x
x
3,5 g
Oâ tô
2,5(x + 20) 
 x + 20 
2,5 g
Vì cùng đi trên một quãng đường nên ta có phương trình : 3,5 x = 2,5 (x + 20) 
Trong hai cách làm trên thì cách thứ 2 cách giải sẽ đơn giản hơn .
Ví dụ 4 : (ví dụ 3SGK trang 78) Hai đội dân công cùng sửa một con mương hết 24 ngày . Mỗi ngày phần việc làm được của đội I bằng phần việc đội II làm được . Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì mỗi đội sẽ sửa xong con mương trong bao nhiêu ngày ? 
	Bài toán thuộc dạng toán công việc , nhưng khối lượng công việc được coi là 1 đơn vị công việc ( Thực chất có thể coi khối lượng công việc là a , trong quá trình biến đổi đại lượng này sẽ bị triệt tiêu và không ảnh hưởng gì đến kết quả , để cho tiện lợi và thống nhất với khái niệm phân số ở lớp 6 ta coi khối lượng công việc là 1 đơn vị công việc được biểu thị bởi số 1 ). Tôi xin trình bày lại cách lập phương trình của bài toán ở SGK để các bạn tham khảo và đồng thời hướng dẫn học sinh chọn ẩn số gián tiếp để tiện việc so sánh .
Cách làm ở SGK : Gọi số ngày mà một mình đội II phải làm để sửa xong con mương là x , ta có bảng số liệu sau 
Đội I
Đội II
Cả hai đội 
Số ngày
 x
24
Phần việc làm trong 1 ngày
Từ điều kiện của bài ta có phương trình : 
Cách làm khác : Hướng dẫn học sinh trả lời các câu hỏi như các ví dụ trên 
	Khối lượng công việc = Phần việc làm trong một ngày × Số ngày làm việc , mà ở đây khối lượng công việc được biểu thị bằng 1 , phần việc làm trong một ngày của mỗi đội chính là năng suất của đội đó . Do vậy năng suất của cả hai đội là 1/24 công việc . Nếùu chọn số ngày làm xong công việc của mỗi đội làm ẩn số thì ta thấy trong bảng số liệu thấy khuyết số ngày của đội I, song thực tế số ngày của đội I không liên qua đến dữ kiện nào của bài cho nên người ta bỏ qua . Chính điều này làm cho học sinh không thấy thoả mãn với những gì mà thầy cô giáo hướng dẫn ở trên . Nếu chọn ẩn số gián tiếp nó sẽ tránh được các thiếu sót ở trên . Dựa trên công thức trên ta gọi năng suất của đội II là x thì thời gian của mỗi đội được biểu thị bằng công thức 1 : năng suất . Với suy nghĩ đó ta hường dẫn học sinh lập bảng như sau .
Kl công việc
Năng suất
Thời gian làm xong công việc 
Làm chung
Thời gian
KL công việc đã làm
Đội I
1
1,5x
 1 : 1,5x
24
24 . 1,5x = 36x
Đội II
1
x
 1:x
24
24x
	Dựa vào điều kiện của bài ta có phương trình : 36x + 24x = 1
	Giải phương trình ta được x = 
Vậy thời gian một mình đội II làm xong công việc là 1 : = 60 ( ngày)
Vậy thời gian một mình đội I làm xong công việc là 1 : = 40 ( ngày)
Ví dụ 5 : Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 4 giờ và ngược dòng từ B đến A mất 5 giờ . Tính khoảng cách giữa hai bến , biết vận tốc của nước chảy là 2 km/h .
	Ở bài này nếu chọn ẩn số trực tiếp khi lập phương trình sẽ khó , vì nộâi dung để lập phương trình lại là số liệu không thể hiện trong bài . Đó là quan hệ giữa vận tốc của ca nô khi đi xuôi dòng và đi ngược dòng . Với bài này thì vậân tốc khi đi xuôi dòng hơn vận tốc đi ngược dòng bằng 2 lần vận tốc của dòng nước , cho nên Vxd - Vnd = 4 km/h . Do vậy nếu chọn quãng đường AB là x thì phương trình phải lập sẽ là : . Như vậy cách giải bằng cách chọn ẩn số trực tiếp là khó đối với học sinh , cho nên nhiều giáo viên hướng dẫn học sinh giải bằng cách chọn ẩn số gián tiếp . Việc phân tích cách giải tôi làm tương tự như ví dụ 2 cho nên tôi không tiện viết ra mà chỉ tập trung phân tích mối liên quan giữa các số liệu để dẫn đến việc lập phương trình .
	Ta biết QĐ = Vxd × TGxd = Vnd × TGnd , mà Vxd = Vt + Vdn = Vt + 2 và Vnd = Vt – Vdn = Vt – 2 . Mà thời gian đi xuôi dòng hay ngược dòng đã biết , vì vậy để tìm QĐ ta phải tìm Vxd hoặc Vnd . Mà hai đại lượng này lại liên quan đến vận tốc của ca nô khi nước yên lặng ( Vận tốc thực của ca nô) Do vậy chọn vận tốc của ca nô đi khi nước yên lặng là x (km/h , x > 2 ) . Hướng dẫn học sinh lập bảng như sau : 
Thời gian đi
Vt
Vdn
Vận tốc đi 
Quãng đường
Xuôi dòng
4
x
2
x + 2
4(x + 2)
Ngược dòng
5
x
2
x - 2
5(x – 2)
Vì ca nô cùng đi trên một đoạn đường nên ta có phương trình 
	4(x + 2) = 5( x – 2) . Giải phương trình ta được x = 18 ( km/h) 
	Quãng đường AB là 4(18 + 2) = 80 (km) .
Ví dụ 5 : Lan mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 120000 đ , trong đó tính cả 10000 đ tiền thuế giá trị gia tăng (VAT) , biết thuế VAT đối với loại hàng thứ nhất là 10% và đối với lạo hàng thứ hai là 8% . Hỏi không kể thuế VAT thì Lan phải trả mỗi loại hàng là bao nhiêu tiền ?
	Biết a là giá tiền của loại hàng , b% là tiền thuế VAT thì số tiền để mua hàng tính cả thuế là a + b%.a . Do vậy từ điều kiện của bài thì số tiền để mua hai loại hàng là 120000 đ – 10000 đ = 110000 đ . Cho nên các đại lượng tham gia trong bài toán là : số tiền để mua mỗi loại hàng ; số tiền thuế để trả cho mỗi loại hàng .Do vậy ta có thể kẻ bảng gồm 4 ô chưa biết , trong đó ta có thể chọn số tiền trả cho việc mua loại hàng thứ nhất là x , rồi sau đó ta biểu thị các đại lượng chưa biết khác thông qua việc điền các số liệu vào bảng sau : 
Số tiền mua hàng
số tiền thuế VAT
Thứ nhất
x
10%x
thứ hai 
110000 - x
8%(110000 – x)
 Quan hệ về số tiền thuế phải trả là 10000 đ , để từ đó ta rút ra phương trình của bài toán 
	10% x + 8%(110000 – x) = 10000 
Sau đây là một số bài toán để vận dụng quy trình trên:
Bài toán 1
 	Một bể nước có dung tích 664 lít ,người ta mở vòi nước nóng mỗi phút chảy được 27 lit ,rồi sau đó khóa vòi nước nóng lại . Người ta mở tiếp vòi nước lạnh mỗi phút chảy được 
34 lít .Tổng số thời gian mở cả hai vòi chảy đầy bể là 22 phút .Hỏi người ta đã mở mỗi vòi trong bao lâu ?
Bài toán 2
	Một nhà máy dự định hoàn thành kế hoạch trong 30 ngày .Do không ngừng cải tiến kỹ thuật cho nên sau 28 ngày không những hoàn thành kế họch mà còn vượt mức 32 sản phẩm . Hỏi nhà máy đó đã sản xuất bao nhiêu sản phẩm ?
Bài toán 3
	Trong tuần đầu hai tổ công nhân sản xuất được 1500 bộ quần áo . Sang tuần thứ hai
tổ 1 vượt mức 25% ,tổ thứ 2 giảm mức 18% , do đó trong tuần này cả hai tổ sản xuất được 
1617 bộ quần áo .
Bài toán 4
	Lúc 4 giờ 30 phút ,một máy bay cất cánh từ thành phố A dến thành phố B với vận tốc 500 km/h .Khi đến thành phố B ,máy bay nghỉ lại 30 phút rồi quay trở về A với vận tốc 400 km/h . Nó tới A lúc 11 giờ 45 phút . Tính khoảng cách từ A đến B .
Bài toán 5
	Hai lớp 8A và 8B có cùng một số tiền để mua phần thưởng .Lớp 8A mua loại vở giá 1000 đ ; lớp 8B mua loại vở giá 1200 đ . Lớp 8B còn thừa 3000 đ và lớp 8A cong thừa 5000đ và mua nhiều hơn lớp 8B là 1 quyển vở .Hỏi mỗi lớp mua được bao nhiêu quyển vở?
Bài toán 6
	Trường THCS Lạc Long Quân đầu năm có số học sinh khối 7 gấp đôi số học sinh khối 9 .Cuối học kỳ I khối 7 có 30 em xin chuyển trường ; nhưng khối 9 nhận thêm 10 em , cho nên số học sinh khối 9 bằng 5/9 số học sinh khối 7 .Hỏi dàu năm mỗi khối có bao nhiêu học sinh ?
Bài toán 7
	Một ôtô đi từ Lạng sơn về Hà nội , sau khi đi được 43 km ôtô dừng lại 40 phú .Để về tới Hà nội kịp giờ đã định ôtô đi với vâïn tốc bằng 1,2 vận tốc trước.Tính vận tốc trước của ôtô . Biết rằng Lạng sơn cách Hà nội 163 km .
Bài toán 8	Một ôtô du lịch đi từ A đến B với vận tôc 50 km/h ,sau khi đi được 24 phút ôtô giảm vận tốc 10 km/h. Do đó dến B chậm mất 18 phút .Tính quãng đường từ A đến B.
Bài toán 9 : Hai thành phố A và B cách nhau 50 km . Một người đi xe đạp từ A đến B . Sau đó 1 giờ 30 phút một người đi xe máy cúng đi từ A và đến B sớm hơn người đi xe đạp 1 giờ . Tính vân tốc của mỗi xe . Biêt rằng vận tốc của người đi xe máy bằng 2,5 lân vận tốc của người đi xe đạp .
 Người viết : Phạm duy Hiển