Bài tập bồi dưỡng môn Toán học Lớp 8

Hằng đẳng thức: Dang 1: CM đẳng thức.
1) CMR tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 là một số chính phương. 2) Cho a+b+c=0. CMR: a3+b3+c3=3abc
3) Cho: a2+b2+c2=ab+bc+ca. CMR: a=b=c 4) CMR nếu a3+b3+c3=3abc thì a+b+c=0 hoặc a=b=c. 
5)CMR:2(a-b)(c-b)+2(b-a)(c-a)+2(b-c)(a-c)=(a-b)2+(b-c)2+(c-a)26)CMR:4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+y2z20 với mọi x, y, z.
7) Cho x2+y2=1. CMR biểu thức: A= 2 (x6+y6)-3(x4+y4) không phụ thuộc vào x, y. 8)CMR với mọi giá trị của x ta có:
 a) –x2+4x-5 0 c) (x2+2x+3) (x2+2x+4)+3> 0 d) ) (4x2-3x) (4+3x-4x2)-6< 0. 9) Cho x2=y2+4z2. CMR: (5x-3y+8z)(5x-3y-8z)= (3x-5y)2 10) CMR: nếu x+y+z= -3 thì (x+1)3+(y+1)3+(z+1)3=3(x+1)(y+1)(z+1)
11) CMR nếu x là tổng của 2 số chính phương thì 2x cũng là tổng của 2 số chính phương. 12) Cho x+y=a, x2+y2=b, x3+y3=c. CMR: a3-3ab+2c=0.13) CMR: 1991. 1996. 1989- 1993. 1988. 1995= 2005 . 2010. 2003- 2007. 2002. 2009.
14) CMR nếu: (x2+y2+z2) (a2+b2+c2)=(ax+by+cz)2 thì: .
15) CMR nếu a+b+c=0 thì: a) a3+a2c-abc+b2c+b3=0 b) (a2+b2+c2)2=2(a4+b4+c4).
Dạng 2: Tính giá trị biểu thức:
1) Cho x+y=2, x2+y2=10. Tính x3+y3
2) Cho a-b=m; ab=n. Tính theo m, n giá trị của biểu thức sau: A= (a+b)2 ; B= a2+b2; C= a3-b3
3) Cho a+b=p; a-b=q. Tính theo p, q giá trị của biểu thức sau: A= ab ; B= a3+b3.
4a) Cho x-y=7. Tính giá trị của biểu thức : A= x(x+2)+y(y-2)-2xy+37.
 b) Cho x+2y=5. Tính giá trị của biểu thức : B= x2+4y2-2x+10+4xy-4y.
5) Cho các biểu thức: P= (a+1)2+(b+1)2+(c+1)2+2(ab+bc+ca); Q= (a+b+c+1)2. Tính P-Q.
6) Cho x-y=7. Tính giá trị của các biểu thức: M= x3-3xy(x-y)-y3-x2+2xy-y2; N= x2(x+1)-y2(y-1)+xy-3xy(x-y+1)-95.
7) Cho x+y=5. Tính giá trị của biểu thức: P= 3x2-2x+3y2-2y+6xy-100;Q= x3+y3-2x2-2y2+3xy(x+y)-4xy+3(x+y)+10
8) Cho x2+x+1=a. Tính: B= x4+2x3+5x2+4x+4 theo a.
9a) Cho x+y=3 và x2+y2=5. Tính x3+y3; b) Cho x-y=5 và x2+y2=15. Tính x3-y3
Hằng đẳng thức: Dang 1: CM đẳng thức.
1) CMR tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 là một số chính phương. 2) Cho a+b+c=0. CMR: a3+b3+c3=3abc
3) CMR nếu a3+b3+c3=3abc thì a+b+c=0 hoặc a=b=c. 4) Cho: a2+b2+c2=ab+bc+ca. CMR: a=b=c
5)CMR:2(a-b)(c-b)+2(b-a)(c-a)+2(b-c)(a-c)=(a-b)2+(b-c)2+(c-a)26)CMR:4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+y2z20 với mọi x, y, z.
7) Cho x2+y2=1. CMR biểu thức: A= 2 (x6+y6)-3(x4+y4) không phụ thuộc vào x, y. 8)CMR với mọi giá trị của x ta có:
 a) –x2+4x-5 0 c) (x2+2x+3) (x2+2x+4)+3> 0 d) ) (4x2-3x) (4+3x-4x2)-6< 0. 9) Cho x2=y2+4z2. CMR: (5x-3y+8z)(5x-3y-8z)= (3x-5y)2 10) CMR: nếu x+y+z= -3 thì (x+1)3+(y+1)3+(z+1)3=3(x+1)(y+1)(z+1)
11) CMR nếu x là tổng của 2 số chính phương thì 2x cũng là tổng của 2 số chính phương. 12) Cho x+y=a, x2+y2=b, x3+y3=c. CMR: a3-3ab+2c=0. 13) CMR: 1991. 1996. 1989- 1993. 1988. 1995= 2005 . 2010. 2003- 2007. 2002. 2009.
14) CMR nếu: (x2+y2+z2) (a2+b2+c2)=(ax+by+cz)2 thì: .
15) CMR nếu a+b+c=0 thì: a) a3+a2c-abc+b2c+b3=0 b) (a2+b2+c2)2=2(a4+b4+c4).
Dạng 2: Tính giá trị biểu thức:
1) Cho x+y=2, x2+y2=10. Tính x3+y3
2) Cho a-b=m; ab=n. Tính theo m, n giá trị của biểu thức sau: A= (a+b)2 ; B= a2+b2; C= a3-b3
3) Cho a+b=p; a-b=q. Tính theo p, q giá trị của biểu thức sau: A= ab ; B= a3+b3.
4a) Cho x-y=7. Tính giá trị của biểu thức : A= x(x+2)+y(y-2)-2xy+37.
 b) Cho x+2y=5. Tính giá trị của biểu thức : B= x2+4y2-2x+10+4xy-4y.
5) Cho các biểu thức: P= (a+1)2+(b+1)2+(c+1)2+2(ab+bc+ca); Q= (a+b+c+1)2. Tính P-Q.
6) Cho x-y=7. Tính giá trị của các biểu thức: M= x3-3xy(x-y)-y3-x2+2xy-y2; N= x2(x+1)-y2(y-1)+xy-3xy(x-y+1)-95.
7) Cho x+y=5. Tính giá trị của biểu thức: P= 3x2-2x+3y2-2y+6xy-100; Q= x3+y3-2x2-2y2+3xy(x+y)-4xy+3(x+y)+10
8) Cho x2+x+1=a. Tính: B= x4+2x3+5x2+4x+4 theo a.
9a) Cho x+y=3 và x2+y2=5. Tính x3+y3; b) Cho x-y=5 và x2+y2=15. Tính x3-y3
Dạng 2: Tính giá trị biểu thức:
1) Cho x+y=2, x2+y2=10. Tính x3+y3
2) Cho a-b=m; ab=n. Tính theo m, n giá trị của biểu thức sau: A= (a+b)2 ; B= a2+b2; C= a3-b3
3) Cho a+b=p; a-b=q. Tính theo p, q giá trị của biểu thức sau: A= ab ; B= a3+b3.
4a) Cho x-y=7. Tính giá trị của biểu thức : A= x(x+2)+y(y-2)-2xy+37.
 b) Cho x+2y=5. Tính giá trị của biểu thức : B= x2+4y2-2x+10+4xy-4y.
5) Cho các biểu thức: P= (a+1)2+(b+1)2+(c+1)2+2(ab+bc+ca); Q= (a+b+c+1)2. Tính P-Q.
6) Cho x-y=7. Tính giá trị của các biểu thức: M= x3-3xy(x-y)-y3-x2+2xy-y2; N= x2(x+1)-y2(y-1)+xy-3xy(x-y+1)-95.
7) Cho x+y=5. Tính giá trị của biểu thức: P= 3x2-2x+3y2-2y+6xy-100; Q= x3+y3-2x2-2y2+3xy(x+y)-4xy+3(x+y)+10
8) Cho x2+x+1=a. Tính: B= x4+2x3+5x2+4x+4 theo a.
9a) Cho x+y=3 và x2+y2=5. Tính x3+y3; b) Cho x-y=5 và x2+y2=15. Tính x3-y3
Hằng đẳng thức: Dang 1: CM đẳng thức.
1) CMR tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 là một số chính phương. 2) Cho a+b+c=0. CMR: a3+b3+c3=3abc
3) CMR nếu a3+b3+c3=3abc thì a+b+c=0 hoặc a=b=c. 4) Cho: a2+b2+c2=ab+bc+ca. CMR: a=b=c
5)CMR: 2(a-b)(c-b)+2(b-a)(c-a)+2(b-c)(a-c)=(a-b)2+(b-c)2+(c-a)26)CMR:4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+y2z20 với mọi x, y, z.
7) Cho x2+y2=1. CMR biểu thức: A= 2 (x6+y6)-3(x4+y4) không phụ thuộc vào x, y. 8) CMR với mọi giá trị của x ta có:
 a) –x2+4x-5 0 c) (x2+2x+3) (x2+2x+4)+3> 0 d) ) (4x2-3x) (4+3x-4x2)-6< 0. 9) Cho x2=y2+4z2. CMR: (5x-3y+8z)(5x-3y-8z)= (3x-5y)2 10) MR: nếu x+y+z= -3 thì (x+1)3+(y+1)3+(z+1)3=3(x+1)(y+1)(z+1)
11) CMR nếu x là tổng của 2 số chính phương thì 2x cũng là tổng của 2 số chính phương. 12) Cho x+y=a, x2+y2=b, x3+y3=c. CMR: a3-3ab+2c=0. 13) CMR: 1991. 1996. 1989- 1993. 1988. 1995= 2005 . 2010. 2003- 2007. 2002. 2009.
14) CMR nếu: (x2+y2+z2) (a2+b2+c2)=(ax+by+cz)2 thì: .
15) CMR nếu a+b+c=0 thì: a) a3+a2c-abc+b2c+b3=0 b) (a2+b2+c2)2=2(a4+b4+c4).
Dạng 2: Tính giá trị biểu thức:
1) Cho x+y=2, x2+y2=10. Tính x3+y3
2) Cho a-b=m; ab=n. Tính theo m, n giá trị của biểu thức sau: A= (a+b)2 ; B= a2+b2; C= a3-b3
3) Cho a+b=p; a-b=q. Tính theo p, q giá trị của biểu thức sau: A= ab ; B= a3+b3.
4a) Cho x-y=7. Tính giá trị của biểu thức : A= x(x+2)+y(y-2)-2xy+37.
 b) Cho x+2y=5. Tính giá trị của biểu thức : B= x2+4y2-2x+10+4xy-4y.
5) Cho các biểu thức: P= (a+1)2+(b+1)2+(c+1)2+2(ab+bc+ca); Q= (a+b+c+1)2. Tính P-Q.
6) Cho x-y=7. Tính giá trị của các biểu thức: M= x3-3xy(x-y)-y3-x2+2xy-y2; N= x2(x+1)-y2(y-1)+xy-3xy(x-y+1)-95.
7) Cho x+y=5. Tính giá trị của biểu thức: P= 3x2-2x+3y2-2y+6xy-100; Q= x3+y3-2x2-2y2+3xy(x+y)-4xy+3(x+y)+10
8) Cho x2+x+1=a. Tính: B= x4+2x3+5x2+4x+4 theo a.
9a) Cho x+y=3 và x2+y2=5. Tính x3+y3; b) Cho x-y=5 và x2+y2=15. Tính x3-y3
ằng đẳng thức: Dang 1: CM đẳng thức.
1) CMR tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 là một số chính phương. 2) Cho a+b+c=0. CMR: a3+b3+c3=3abc
3) CMR nếu a3+b3+c3=3abc thì a+b+c=0 hoặc a=b=c. 4) Cho: a2+b2+c2=ab+bc+ca. CMR: a=b=c
5)CMR:2(a-b)(c-b)+2(b-a)(c-a)+2(b-c)(a-c)=(a-b)2+(b-c)2+(c-a)26)CMR:4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+y2z20 với mọi x, y, z.
7) Cho x2+y2=1. CMR biểu thức: A= 2 (x6+y6)-3(x4+y4) không phụ thuộc vào x, y. 8) CMR với mọi giá trị của x ta có:
 a) –x2+4x-5 0 c) (x2+2x+3) (x2+2x+4)+3> 0 d) ) (4x2-3x) (4+3x-4x2)-6< 0. 9) Cho x2=y2+4z2. CMR: (5x-3y+8z)(5x-3y-8z)= (3x-5y)2 10) CMR: nếu x+y+z= -3 thì (x+1)3+(y+1)3+(z+1)3=3(x+1)(y+1)(z+1)
11) CMR nếu x là tổng của 2 số chính phương thì 2x cũng là tổng của 2 số chính phương. 12) Cho x+y=a, x2+y2=b, x3+y3=c. CMR: a3-3ab+2c=0. 13) CMR: 1991. 1996. 1989- 1993. 1988. 1995= 2005 . 2010. 2003- 2007. 2002. 2009.
14) CMR nếu: (x2+y2+z2) (a2+b2+c2)=(ax+by+cz)2 thì: .
15) CMR nếu a+b+c=0 thì: a) a3+a2c-abc+b2c+b3=0 b) (a2+b2+c2)2=2(a4+b4+c4).
Dạng 2: Tính giá trị biểu thức:
10) Tính giá trị biểu thức sau: A=(x-1)3-4x(x-1)(x+1)+3(x-1)(x2+x+1)+3(x-1)2 với x=-2/5. 11) Cho 3 số tự nhiên liên tiếp. Biết rằng tổng của 3 tích của 2 trong 3 số ấy là 242. Tìm các số đó. 12) Tìm 2 số tự nhiên lẻ liên tiếp biết rằng hiệu các bình phương của chúng là 40. 13) Tìm 4 số tự nhiên liên tiếp, biết rằng tích của chúng bằng 24. 
 14) Tính nhanh: a) A=1002-992+982-972+..+22-12 b) B= (502+482++22)-(492+472++11)
c) C=(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) d)D= -12+22-32+42 -.-992+1002 e) E=(1,2345)4+(0,7655)4-(1,2345)3(0,7655)2-(1,2345)2(0,7655)3+(4,938)(3,062). 15) So sánh: a) A=332 và B=(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1) b) A=1999.2001 và B= 20002 c) A=3n+1+4.2n-1-81.3n-3-8.2n-2+1 và D=(2n+1)2 +(2n-1)2 -2(4n+1) với n∈Z+ d)A =(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)
 và B={[(22)2]2}2 e) A=2004.2006(20052+1) và B=20054. 16) Tìm x, biết: a) 9x2-6x-3=0 b) x3+9x2+27x+19=0 
 c) x(x-5)(x+5)-(x+2)(x2-2x+4)=3 d) x8+x6-x4-2x3-x2-2x+4=0. 17) Tìm x, y, z biết: x2+2x+y2-6y+4z2-4z+11=0 
 18) Cho a+b=1. Tính a3+3ab+b3 19) Cho m,n là các số nguyên dương. Hãy so sánh giá trị của 2 biểu thức sau: 
 A=2m3+3n3 và B=4mn2. 20) Tìm các số tự nhiên n sao cho: A=n1975+n1973+1 có giá trị là số nguyên tố. 
 21) Tìm tất cả các giá trị của x, y thoả mãn: a) y2+2y+4x-2x+1+2=0 b) 5x2+5y2+8xy-2x+2y+2=0. 22) Cho x, y, z liên hệ bởi x2-y=a, y2-z=b, z2-x=c. Tính giá trị của biểu thức sau theo a, b, c: A= x3(z-y2)+y3(x-z2)+z3(y-x2)+xyz(xyz-1) 
 23) Tính: (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca). 24) Tính: (b-c)3+ (c-a)3+(a-b)3-3(b-c)(c-a)(a-b). 25) Cho x+y+z=a; x2+y2+z2=b2; x3+y3+z3=c3 Tính x, y, z theo a, b, c. 26) Cho a+b+c=0; a2+b2+c2=1. Tính a4+b4+c4 
 27) Cho x2+y2+z2+t2=1; xy+yz+zt+tx=1. Tìm ( x, y, z, t) 28) Cho a+b+c=0; ab+bc+ca=0. Tính giá trị biểu thức: 
 A= (a-1)2003+b2004+(c+1)2005 29) Cho . Tính: A=
Dạng 2: Tính giá trị biểu thức:
10) Tính giá trị biểu thức sau: A=(x-1)3-4x(x-1)(x+1)+3(x-1)(x2+x+1)+3(x-1)2 với x=-2/5. 11) Cho 3 số tự nhiên liên tiếp. Biết rằng tổng của 3 tích của 2 trong 3 số ấy là 242. Tìm các số đó. 12) Tìm 2 số tự nhiên lẻ liên tiếp biết rằng hiệu các bình phương của chúng là 40. 13) Tìm 4 số tự nhiên liên tiếp, biết rằng tích của chúng bằng 24. 
 14) Tính nhanh: a) A=1002-992+982-972+..+22-12 b) B= (502+482++22)-(492+472++11)
c) C=(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) d)D= -12+22-32+42 -.-992+1002 e) E=(1,2345)4+(0,7655)4-(1,2345)3(0,7655)2-(1,2345)2(0,7655)3+(4,938)(3,062). 15) So sánh: a) A=332 và B=(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1) b) A=1999.2001 và B= 20002 c) A=3n+1+4.2n-1-81.3n-3-8.2n-2+1 và D=(2n+1)2 +(2n-1)2 -2(4n+1) với n∈Z+ d)A =(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)
 và B={[(22)2]2}2 e) A=2004.2006(20052+1) và B=20054. 16) Tìm x, biết: a) 9x2-6x-3=0 b) x3+9x2+27x+19=0 
 c) x(x-5)(x+5)-(x+2)(x2-2x+4)=3 d) x8+x6-x4-2x3-x2-2x+4=0. 17) Tìm x, y, z biết: x2+2x+y2-6y+4z2-4z+11=0 
 18) Cho a+b=1. Tính a3+3ab+b3 19) Cho m,n là các số nguyên dương. Hãy so sánh giá trị của 2 biểu thức sau: 
 A=2m3+3n3 và B=4mn2. 20) Tìm các số tự nhiên n sao cho: A=n1975+n1973+1 có giá trị là số nguyên tố. 
 21) Tìm tất cả các giá trị của x, y thoả mãn: a) y2+2y+4x-2x+1+2=0 b) 5x2+5y2+8xy-2x+2y+2=0. 22) Cho x, y, z liên hệ bởi x2-y=a, y2-z=b, z2-x=c. Tính giá trị của biểu thức sau theo a, b, c: A= x3(z-y2)+y3(x-z2)+z3(y-x2)+xyz(xyz-1) 
 23) Tính: (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca). 24) Tính: (b-c)3+ (c-a)3+(a-b)3-3(b-c)(c-a)(a-b). 25) Ch ... 5 29) Cho . Tính: A=
Dạng 2: Tính giá trị biểu thức:
10) Tính giá trị biểu thức sau: A=(x-1)3-4x(x-1)(x+1)+3(x-1)(x2+x+1)+3(x-1)2 với x=-2/5. 11) Cho 3 số tự nhiên liên tiếp. Biết rằng tổng của 3 tích của 2 trong 3 số ấy là 242. Tìm các số đó. 12) Tìm 2 số tự nhiên lẻ liên tiếp biết rằng hiệu các bình phương của chúng là 40. 13) Tìm 4 số tự nhiên liên tiếp, biết rằng tích của chúng bằng 24. 
 14) Tính nhanh: a) A=1002-992+982-972+..+22-12 b) B= (502+482++22)-(492+472++11)
c) C=(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) d)D= -12+22-32+42 -.-992+1002 e) E=(1,2345)4+(0,7655)4-(1,2345)3(0,7655)2-(1,2345)2(0,7655)3+(4,938)(3,062). 15) So sánh: a) A=332 và B=(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1) b) A=1999.2001 và B= 20002 c) A=3n+1+4.2n-1-81.3n-3-8.2n-2+1 và D=(2n+1)2 +(2n-1)2 -2(4n+1) với n∈Z+ d)A =(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)
 và B={[(22)2]2}2 e) A=2004.2006(20052+1) và B=20054. 16) Tìm x, biết: a) 9x2-6x-3=0 b) x3+9x2+27x+19=0 
 c) x(x-5)(x+5)-(x+2)(x2-2x+4)=3 d) x8+x6-x4-2x3-x2-2x+4=0. 17) Tìm x, y, z biết: x2+2x+y2-6y+4z2-4z+11=0 
 18) Cho a+b=1. Tính a3+3ab+b3 19) Cho m,n là các số nguyên dương. Hãy so sánh giá trị của 2 biểu thức sau: 
 A=2m3+3n3 và B=4mn2. 20) Tìm các số tự nhiên n sao cho: A=n1975+n1973+1 có giá trị là số nguyên tố. 
 21) Tìm tất cả các giá trị của x, y thoả mãn: a) y2+2y+4x-2x+1+2=0 b) 5x2+5y2+8xy-2x+2y+2=0. 22) Cho x, y, z liên hệ bởi x2-y=a, y2-z=b, z2-x=c. Tính giá trị của biểu thức sau theo a, b, c: A= x3(z-y2)+y3(x-z2)+z3(y-x2)+xyz(xyz-1) 
 23) Tính: (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca). 24) Tính: (b-c)3+ (c-a)3+(a-b)3-3(b-c)(c-a)(a-b). 25) Cho x+y+z=a; x2+y2+z2=b2; x3+y3+z3=c3 Tính x, y, z theo a, b, c. 26) Cho a+b+c=0; a2+b2+c2=1. Tính a4+b4+c4 
 27) Cho x2+y2+z2+t2=1; xy+yz+zt+tx=1. Tìm ( x, y, z, t) 28) Cho a+b+c=0; ab+bc+ca=0. Tính giá trị biểu thức: 
 A= (a-1)2003+b2004+(c+1)2005 29) Cho . Tính: A=
Dạng 3: CM chia hết và tìm số dư.
1)CM 2) 3)Tìm số dư khi chia 19631964 cho 7 4) CM với "n > 1 thì A =nn–n2+n-1
5)CMR: x2000 +x2002+1 6)Tìm ĐK của các số hữu tỉ sao cho Đẳng thức:ax19+bx94+cx1994 
7)CMR: 2139+3921 8)CMR:"n ∈N thì 3n+2+42n+1 9)Tìm số dư khi chia 222555 cho 7 10)CMR 11)Cho x, y, z là các số nguyên ≠0. CMR nêu a = x2-yz; b=y2-xz; c=z2-xy thì ax + by +cz a+b+c 
12)Cho x, y, z là các số nguyên đôi 1 khác nhau: CMR 
13)CM tổng các lập phương của 3 số nguyên liên tiếp thì 14)Xác định số hưỡ tỉ a để đa thức: 
15)CMR "x∈Zthì 16)a)CMR: a=BSb+r thì an=BSb +nn(a,r∈Z. b)Tìm số dư trong phép chia 19931992 cho9. c) Tìm số dư trong phép chia 19931992 cho15. 17)Tìm số tận cùng của các số:A=19921993; B=19931992
18)CMR: A=x9999+ x8888+..+ x1111+1 19)CMR: A= 22225555+ 55552222
20)CMR: A=202n+162n-32n-1323 21)CMR: n2(n2-1) 12
Dạng 3: CM chia hết và tìm số dư.
1)CM 2) 3)Tìm số dư khi chia 19631964 cho 7 4) CM với "n > 1 thì A =nn–n2+n-1
5)CMR: x2000 +x2002+1 6)Tìm ĐK của các số hữu tỉ sao cho Đẳng thức:ax19+bx94+cx1994 
7)CMR: 2139+3921 8)CMR:"n ∈N thì 3n+2+42n+1 9)Tìm số dư khi chia 222555 cho 7 10)CMR 11)Cho x, y, z là các số nguyên ≠0. CMR nêu a = x2-yz; b=y2-xz; c=z2-xy thì ax + by +cz a+b+c 
12)Cho x, y, z là các số nguyên đôi 1 khác nhau: CMR 
13)CM tổng các lập phương của 3 số nguyên liên tiếp thì 14)Xác định số hưỡ tỉ a để đa thức: 
15)CMR "x∈Zthì 16)a)CMR: a=BSb+r thì an=BSb +nn(a,r∈Z. b)Tìm số dư trong phép chia 19931992 cho9. c) Tìm số dư trong phép chia 19931992 cho15. 17)Tìm số tận cùng của các số:A=19921993; B=19931992
18)CMR: A=x9999+ x8888+..+ x1111+1 19)CMR: A= 22225555+ 55552222
20)CMR: A=202n+162n-32n-1323 21)CMR: n2(n2-1) 12
Dạng 4:Tìm Min, Max
1)tìm min:A= 2001x2+ 2002x+2003. 2)Tìm MaxA=-(x-1)2+2(∣x-1∣+1) 3)tìm min A = x2+2x+5 4)tìm Max A=x-x2
5)Tìm gtrị nhỏ nhất của: a)A=x2+5x+8 b)B=x(x-6) c)C=x2+3x+7 d)D=(x-2)(x-5)(x2-7x-10)
6)Tìm gtrị lớn nhất của đẳng thức:A=5-8x-x2 B=-3x(x+3)-7 C=11-10x-x2 D=∣x-4∣(2-∣x-4∣)
7)Tìm x, y sao cho:a)A=2x2+9x2-6xy-6x-12y+2004 có gtrị nhỏ nhất. b)B=-x2+2xy-4y2+2x+10y-8 có gtrị lớn nhất
8)Tìm Min của: A=(x2-3x+1) (x2-3x-1) B=(x-)(x+5)(x2+4x+5) 9)Tìm Max C=-4-x2+6x D=∣x-3∣(2-∣x-3∣) E=-x2-4x-y2+2y 10)Tìm Max A=x2-x+1 B=(x-2)(x-4)+3 C=2x2-4xy+4y2+2x+5
Dạng 4:Tìm Min, Max
1)tìm min:A= 2001x2+ 2002x+2003. 2)Tìm MaxA=-(x-1)2+2(∣x-1∣+1) 3)tìm min A = x2+2x+5 4)tìm Max A=x-x2
5)Tìm gtrị nhỏ nhất của: a)A=x2+5x+8 b)B=x(x-6) c)C=x2+3x+7 d)D=(x-2)(x-5)(x2-7x-10)
6)Tìm gtrị lớn nhất của đẳng thức:A=5-8x-x2 B=-3x(x+3)-7 C=11-10x-x2 D=∣x-4∣(2-∣x-4∣)
7)Tìm x, y sao cho:a)A=2x2+9x2-6xy-6x-12y+2004 có gtrị nhỏ nhất. b)B=-x2+2xy-4y2+2x+10y-8 có gtrị lớn nhất
8)Tìm Min của: A=(x2-3x+1) (x2-3x-1) B=(x-)(x+5)(x2+4x+5) 9)Tìm Max C=-4-x2+6x D=∣x-3∣(2-∣x-3∣) E=-x2-4x-y2+2y 10)Tìm Max A=x2-x+1 B=(x-2)(x-4)+3 C=2x2-4xy+4y2+2x+5
Dạng 4:Tìm Min, Max
1)tìm min:A= 2001x2+ 2002x+2003. 2)Tìm MaxA=-(x-1)2+2(∣x-1∣+1) 3)tìm min A = x2+2x+5 4)tìm Max A=x-x2
5)Tìm gtrị nhỏ nhất của: a)A=x2+5x+8 b)B=x(x-6) c)C=x2+3x+7 d)D=(x-2)(x-5)(x2-7x-10)
6)Tìm gtrị lớn nhất của đẳng thức:A=5-8x-x2 B=-3x(x+3)-7 C=11-10x-x2 D=∣x-4∣(2-∣x-4∣)
7)Tìm x, y sao cho:a)A=2x2+9x2-6xy-6x-12y+2004 có gtrị nhỏ nhất. b)B=-x2+2xy-4y2+2x+10y-8 có gtrị lớn nhất
8)Tìm Min của: A=(x2-3x+1) (x2-3x-1) B=(x-)(x+5)(x2+4x+5) 9)Tìm Max C=-4-x2+6x D=∣x-3∣(2-∣x-3∣) E=-x2-4x-y2+2y 10)Tìm Max A=x2-x+1 B=(x-2)(x-4)+3 C=2x2-4xy+4y2+2x+5
Dạng 4:Tìm Min, Max
1)tìm min: A= 2001x2+ 2002x+2003. 2)Tìm MaxA=-(x-1)2+2(∣x-1∣+1) 
 3)tìm min A = x2+2x+5 4)tìm Max A=x-x2
5)Tìm gtrị nhỏ nhất của: a)A=x2+5x+8 b)B=x(x-6) c)C=x2+3x+7 d)D=(x-2)(x-5)(x2-7x-10)
6)Tìm gtrị lớn nhất của đẳng thức:A=5-8x-x2 B=-3x(x+3)-7 C=11-10x-x2 D=∣x-4∣(2-∣x-4∣)
7)Tìm x, y sao cho: a)A=2x2+9x2-6xy-6x-12y+2004 có gtrị nhỏ nhất. 
 b)B=-x2+2xy-4y2+2x+10y-8 có gtrị lớn nhất
8)Tìm Min của: A=(x2-3x+1) (x2-3x-1) B=(x-)(x+5)(x2+4x+5) 9)Tìm Max C=-4-x2+6x D=∣x-3∣(2-∣x-3∣) E=-x2-4x-y2+2y 10)Tìm Max A=x2-x+1 B=(x-2)(x-4)+3 C=2x2-4xy+4y2+2x+5
Dạng 4:Tìm Min, Max 1)tìm min:A= 2001x2+ 2002x+2003. 2)Tìm MaxA=-(x-1)2+2(∣x-1∣+1) 
 3)tìm min A = x2+2x+5 4)tìm Max A=x-x2
5)Tìm gtrị nhỏ nhất của: a)A=x2+5x+8 b)B=x(x-6) c)C=x2+3x+7 d)D=(x-2)(x-5)(x2-7x-10)
6)Tìm gtrị lớn nhất của đẳng thức:A=5-8x-x2 B=-3x(x+3)-7 C=11-10x-x2 D=∣x-4∣(2-∣x-4∣)
7)Tìm x, y sao cho: a)A=2x2+9x2-6xy-6x-12y+2004 có gtrị nhỏ nhất. 
 b)B=-x2+2xy-4y2+2x+10y-8 có gtrị lớn nhất
8)Tìm Min của: A=(x2-3x+1) (x2-3x-1) B=(x-)(x+5)(x2+4x+5) 9)Tìm Max C=-4-x2+6x D=∣x-3∣(2-∣x-3∣) E=-x2-4x-y2+2y 10)Tìm Max A=x2-x+1 B=(x-2)(x-4)+3 C=2x2-4xy+4y2+2x+5
 Qui nạp: 1) CMR tổng các lập phương của 3 số nguyên dương liên tiếp thì chia hết cho 9. 2) CMR: Với mọi nZ+ thì: a) Sn=(n+1)(n+2)(n+n) chia hết cho 2n b) 32n+1+40n-6764 c) 33n+2+5.23n+119 d) 2n+2.3n+5n-425
 e) n4+6n3+11n2+6n24 f) 7n+2+82n+157. 3) CMR: Với mọi nZ+ thì số gồm 3n chữ số 13
 4) CMR: Với mọi nZ+ thì: a) Sn= 1.2+2.3+..+ n(n+1)= b) Sn= 12+22+..+n2= c) Sn= 1.4+2.7+..+n(3n+1)=n(n+1)2 d)Sn=
 e) Sn= f) Sn= 
g) Sn=-1+3-5+7-.+(-1)n(2n-1)=(-1)n.n h) Sn=1.1!+2.2!++n.n!=(n+1)!-1 
 5) CMR với mọi số nguyên dương n3 thì 2n>2n+1 6) CMR: Với mọi nZ+ ta có: a) 
 b) Sn=1+ c) Sn= d) n2>n+5 (n3)
Bất đẳng thức: 1) CM BĐT:a) a2+b2+c2ab+bc+ca b)a3+b3ab(a+b)
Phương trình bậc nhất 1 ẩn
1)Các cặp pt sau có tương đương không?a) (x-1)2+2=(x-2)2 và 2x3-x2+2x-1=0 b) và c)2x+7=10 và x2-2x+11=x2-4x+14 d) x+1=0 và x3+1=0. 2) CMR các pt sau vô nghiệm: a) 2x2+5x+10=x2+5x-11 b) 2x2-6x+7=0 c) 3) a)Tìm giá trị của m để pt : (3x+5)(11+3m)-7(x+2)=115 có nghiệm x=1. 
 b) Tìm giá trị của n để pt: 2(x+n)(x+2)-3(x-1)(x2+1)=15 có nghiệm x=-1. c)Tìm giá trị của p để pt: +x2-x+2p=x3+3x-2 có 1 nghiệm bằng nửa nghiệm của pt: x(x-2)+12=(x+1)(x+2) 4)Với các giá trị nào của m thì các cặp pt sau tương đương: a)mx+3=2x và (x-1)(x+1)-x(x+2)=3 b)5x+m=4x+(1-m) và c)(m+1)x-8=2x+m và mx-3x=2 (m3) 5) Tìm các giá trị của m để cho: a)Pt 2mx= có nghiệm bằng -5 b) Pt 6x-5m=3+3mx có nghiệm số gấp 3 nghiệm số của pt (x+1)(x-1)-(x+2)2=3 6)a) Giải pt (a-1)x+3(a-1)=0(ẩn x). Có nhận xét gì về số nghiệm của pt khi a=1 b) Cũng hỏi tương tự với pt (a-1)x-2a-2=1 7) Cho pt: (m là hằng số). Tìm giá trị của m để pt (1) có nghiệm.
1)Các cặp pt sau có tương đương không?a) (x-1)2+2=(x-2)2 và 2x3-x2+2x-1=0 b) và c)2x+7=10 và x2-2x+11=x2-4x+14 d) x+1=0 và x3+1=0. 2) CMR các pt sau vô nghiệm: a) 2x2+5x+10=x2+5x-11 b) 2x2-6x+7=0 c) 3) a)Tìm giá trị của m để pt : (3x+5)(11+3m)-7(x+2)=115 có nghiệm x=1. b) Tìm giá trị của n để pt: 2(x+n)(x+2)-3(x-1)(x2+1)=15 có nghiệm x=-1. c)Tìm giá trị của p để pt: +x2-x+2p=x3+3x-2 có 1 nghiệm bằng nửa nghiệm của pt: x(x-2)+12=(x+1)(x+2) 4)Với các giá trị nào của m thì các cặp pt sau tương đương: a)mx+3=2x và (x-1)(x+1)-x(x+2)=3 b)5x+m=4x+(1-m) và c)(m+1)x-8=2x+m và mx-3x=2 (m3) 5) Tìm các giá trị của m để cho: a)Pt 2mx= có nghiệm bằng -5 b) Pt 6x-5m=3+3mx có nghiệm số gấp 3 nghiệm số của pt (x+1)(x-1)-(x+2)2=3 6)a) Giải pt (a-1)x+3(a-1)=0(ẩn x). Có nhận xét gì về số nghiệm của pt khi a=1 b) Cũng hỏi tương tự với pt (a-1)x-2a-2=1 7) Cho pt: (m là hằng số). Tìm giá trị của m để pt (1) có nghiệm.
1)Các cặp pt sau có tương đương không?a) (x-1)2+2=(x-2)2 và 2x3-x2+2x-1=0 b) và c)2x+7=10 và x2-2x+11=x2-4x+14 d) x+1=0 và x3+1=0. 2) CMR các pt sau vô nghiệm: a) 2x2+5x+10=x2+5x-11 b) 2x2-6x+7=0 c) 3) a)Tìm giá trị của m để pt : (3x+5)(11+3m)-7(x+2)=115 có nghiệm x=1. b) Tìm giá trị của n để pt: 2(x+n)(x+2)-3(x-1)(x2+1)=15 có nghiệm x=-1. c)Tìm giá trị của p để pt: +x2-x+2p=x3+3x-2 có 1 nghiệm bằng nửa nghiệm của pt: x(x-2)+12=(x+1)(x+2) 4)Với các giá trị nào của m thì các cặp pt sau tương đương: a)mx+3=2x và (x-1)(x+1)-x(x+2)=3 b)5x+m=4x+(1-m) và c)(m+1)x-8=2x+m và mx-3x=2 (m3) 5) Tìm các giá trị của m để cho: a)Pt 2mx= có nghiệm bằng -5 b) Pt 6x-5m=3+3mx có nghiệm số gấp 3 nghiệm số của pt (x+1)(x-1)-(x+2)2=3 6)a) Giải pt (a-1)x+3(a-1)=0(ẩn x). Có nhận xét gì về số nghiệm của pt khi a=1 b) Cũng hỏi tương tự với pt (a-1)x-2a-2=1 7) Cho pt: (m là hằng số). Tìm giá trị của m để pt (1) có nghiệm.
 7) Giải các pt sau: a) 
Chia đa thức: 
Định lí BơDu: Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x-a đúng bằng f(a).
Hệ quả: Nếu a là nghiệm của f(x) thì f(x) chia hết cho x-a. Đặc biệt: Nếu tổng các hệ số của đa thức f(x)=0 thì 1 là nghiệm và f(x) chia hết cho x-1. Nếu f(x) có tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ só bậc lẻ thì -1 là nghiệm và f(x) chia hết cho x+1.
âp dụng hệ quả của đ/lí Bơ du vào việc phân tích đa thức thành nhân tử. Nếu f(x) có nghiệm x=a thì khi phân tích f(x) thành nhân tử , tích sẽ chứa nhân tử x-a.
Cách nhẩm nghiệm nguyên, nghiệm hữu tỷ của f(x) với hệ số nguyên: Nếu f(x) có nghiệm nguyên thì nghiệm là ước của số hạng tự do. Nếu f(x) có nghiệm hữu tỷ thì nghiệm có dạng p/q (p, q)=1 trong đó p là ước của số hạng tự do q là ước dương của hệ só cao nhất.
Bài tập: 1) Tìm nN để -7xn+1y6 4x5yn 2) CMR giá trị của A0 A=