Bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi môn Hình học 8

BÀI TẬP HÌNH HỌC – BDHSG 8
(Ôn tập)
1/ Cho tam giác nhọn ABC với ba đường cao AD, BE, CF. Gọi H là trực tâm của . CMR: .
2/ Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB< AC). Gọi BD là đường phân giác trong của tam giác ABC, dựng đường trung trực của đoạn BD cắt đường thẳng AC tại M. 
CMR: Hai tam giác MAB và MBC đồng dạng.
Cho AD = 4cm và DC = 6cm. Tính MD.
3/ Cho ABC có 3 góc nhọn, Đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Trên HB và HC lần lượt lấy M và N sao cho . CMR: 
Các tam giác ABD và ACE đồng dạng. 
b) Tam giác AMN cân.
4/ Từ điểm D trên cạnh huyền BC của tam giác vuông ABC, vẽ DE vuông góc với AB tai E và DF vuông góc với AC tại F. CMR:
BE2 + ED2 + DC2 = BD2 + DF2 + FC2 . 
b) DB.DC = AE.BE + AF.CF.
5/ Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh BC và CD của tứ giác lồi ABCD. CMR: .
6/ Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Vẽ CE vuông góc với AB và CF vuông góc với AD. CMR: AB.AE + AD.AF = AC2.
7/ Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E, trên tia đối của CB lấy điểm F sao cho AE = CF.
CMR: Tam giác DEF vuông cân.
Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD, gọi I là trung điểm EF. CMR: O, C, I thẳng hàng.
8/ Cho hình thoi ABCD có góc B tù. Kẻ BM, BN lần lượt vuông góc các cạnh AD và CD tại M và N. Biết rằng , tính các góc của hình thoi ABCD.
9/ Cho tam giác ABC, đường phân giác trong của C cắt cạnh AB tại D. CMR: .
10/ Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Trên các cạnh AB, AD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho chu vi của tam giác AMN bằng 2. Tính .
11/ Cho tam giác ABC cân tại A có góc ở đỉnh bằng 200; cạnh đáy là a, cạnh bên là b. 
 CMR: a3 + b3 = 3ab2.
12/ Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Các đường thẳng DN và CM cắt nhau tại I.
C/m: tam giác CIN vuông.
Tính diện tích tam giác CIN theo a.
C/m: tam giác AID cân.
13/ Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh CD lấy một điểm M bất kỳ. Các tia phân giác của các góc BAM và DAM lần lượt cắt cạnh BC tại E và CD tại F. C/m: AM vuông góc EF.
14/ Cho tam giác ABC có . Dựng bên ngoài tam giác đều BCD. C/m: AD2 = AB2 + AC2.
15/ Cho tam giác ABC (BC< AB). Từ C vẽ đường vuông góc với phân giác BE tại F và cắt AB tại K, vẽ trung tuyến BD cắt CK tại G. C/m : DF đi qua trung điểm của GE.
16/ Trong tất cả các hình chữ nhật có chiều dài đường chéo không đổi là d. Hãy tìm hình có diện tích lớn nhất?
17/ Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác và x, y, z là độ dài các đường phân giác của tam giác đó CMR: .
18/ Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ BH vuông góc với AC tại H. Gọi M và K lần lượt là trung điểm của AH và CD. C/m: BM vuông góc MK.
19/ CMR: Trong các tam giác vuông có chiều cao ứng với cạnh huyền không đổi, tam giác vuông cân có chu vi nhỏ nhất.
20/ Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ một điểm M trong tam giác ta kẻ .Tìm vị trí của M sao cho tổng MI2 + MJ2 + MK2 nhỏ nhất.
21/ Cho hình bình hành ABCD. Gọi E và F là trung điểm của BC và CD. Đường chéo BD cắt AE và AF tại M và N. Tính SBNFC theo diện tích của hình bình hành đã cho.(SABCD = a2).
22/ Cho tam giác ABC. Về phía ngoài tam giác dựng các hình vuông ABDE và ACFG. Gọi H, I, K theo thứ tự là trung điểm của EB, BC, CG. C/m rằng: Tam giác IHK vuông.
23/ Trên các cạnh kéo dài của tam giác ABC ta lấy các đoạn AA’ = AB, BB’ = BC, CC’ = CA. CMR: Các tam giác ABC và A’B’C’có trọng tâm trùng nhau.
24/ Cho tam giác ABC. Một đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác cắt cạnh BC kéo dài về phía C và các cạnh CA, AB theo thứ tự A1, B1, C1. C/m rằng: .
25/ Cho hình thang ABCD (AB // CD), điểm M nằm trong tứ giác ABCD, vẽ các hình bình hành MDPA, MCQB. C/m rằng PQ // CD.