Bài giảng chủ đề tự chọn Đại số Lớp 8 - Lữ Ngọc Triệu

CHỦ ĐỀ 1. NHÂN CHIA ĐA THỨC 
1. Kiến thức cơ bản
Với A, B, C,  là các đơn thức tùy ý 
Ta có: 
Với A, B là các đa thức một biến thì luôn tồn tại hai đa thức Q và R sao cho 
( bậc của nhỏ hơn bậc của )
Nếu thì chia hết cho 
Nếu thì không chia hết cho 
2. Nâng cao
a. Định lý Bê – zu
Số dư trong phép chia đa thức cho đa thức đúng bằng .
b. Hệ quả của định lý Bê – zu
Nếu là nghiệm của đa thức thì chia hết cho .
* Đặc biệt:
Nếu tổng các hệ số của đa thức bằng thì là nghiệm của và chia hết cho .
Nếu có tổng các hệ số bậc chẳn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì là nghiệm của và chia hết cho 
3. Các ví dụ minh họa
VD. Thực hiện phép tính
(a) , ,
(c) , 
(e) , (f) .
Lời giải.
(f) 
- 
 - 
 -
 0
 Vậy: .
3. Bài tập tự luyện
Bài 1. Thực hiện phép tính
Bài 2. Thực hiện phép tính
Bài 3. Tính giá trị của các biểu thức sau
 tại ,
 tại và .
Hướng dẫn: Rút gọn các biểu thức rồi thay các giá trị vào biểu thức.
Bài 4. Tìm, biết:
,
,
Hướng dẫn: Nhân các đa thức với nhau rồi rút gọn các số hạng đồng dạng. 
Bài 5. Xác định để đa thức chia hết cho đa thức .
Hướng dẫn: Thực hiện chia đa thức cho được dư là , cho suy ra giá trị cần tìm hoặc sử dụng định lý Bê – zu, tính và cho suy ra giá trị của .
CHỦ ĐỀ 2
HẰNG ĐẲNG THỨC
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 
I. HẰNG ĐẲNG THỨC (5 tiết) 
A. Kiến thức cơ bản
* Lưu ý: 
B. Các ví dụ minh họa
VD1: Tính
Lời giải.
VD2. Đưa các biểu thức sau về dạng các hằng đẳng thức
Lời giải.
VD3. Tính giá trị của các biểu thức sau 
 tại ,
 tại 
 tại 
Hướng dẫn: Phương pháp chung để giải bài toán tìm giá trị của biểu thức đại số gồm các bước sau
Thực hiện thu gọn các biểu thức đã cho (phân tích thành nhân tử hoặc đưa về dạng hằng đẳng thức)
Thay biến bởi giá trị đã cho, lưu ý với các giá trị của biến đã cho là số âm, ta cần đặt trong dấu ngoặc
Thực hiện các phép tính (lũy thừa, nhân, chia, cộng và trừ)
Lời giải.
(a) Ta có 
Thay vào 
Ta được: 
Vậy giá trị của các biểu thức tại là .
(b) Ta có 
Thay vào 
Ta được: 
Vậy giá trị của các biểu thức tại là
(c) Ta có 
Thay vào 
Ta được: 
Vậy giá trị của các biểu thức tại là 
C. Bài tập tự luyện
Bài 6. Tính nhanh
Bài 7. Tính
Bài 8. Đưa các biểu thức sau về dạng các hằng đẳng thức
Bài 9. Tìm, biết:
II. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ (4 tiết)
A. Kiến thức cơ bản
* Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức. ta có thể viết bằng công thức sau:
* Cách giải :
Để giải được các bài toán dạng này ta dùng các phương pháp sau:
Đặt nhân tử chung,
Dùng hằng đẳng thức,
Nhóm hạng tử,
Phối hợp nhiều phương pháp.
Ngoài bốn phương pháp trên ta có thể sử dụng các phương pháp sau
Tách hạng tử,
Thêm bớt cùng một hạng tử,
Biến đổi,
Phương pháp đồng nhất hệ số( hay còn gọi là phương pháp hệ số bất định).
B. Các ví dụ minh họa
VD. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
Lời giải.
 .
C. Bài tập tự luyện
Bài 10. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
Bài 11. Tính giá trị của các biểu thức sau
tại và ,
 tại và ,
 tại ,
 tại và .
Bài 12. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
Hướng dẫn: Ở câu (a), (b) và (c) dùng phương pháp tách và nhóm hạng tử, riêng ở câu (d) dùng phương pháp thêm bớt hạng tử vào đa thức.
Bài 13. Tìm , biết
Bài 14. Tính giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) của các đa thức sau
Hương dẫn: Ở bài toán dạng này ta biến đổi các biểu thức về dạng hoặc , vậy ta có hai trường hợp:
TH1: Nếu ta biến đổi biểu thức về dạng 
nên: GTNN hay () khi 
TH2: Nếu ta biến đổi biểu thức về dạng 
nên: GTLN hay () khi 
CHỦ ĐỀ 3. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
A. Kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa
Phân thức đại số là biểu thức có dạng , với là những đa thức và khác đa thức 
* Đặc biệt: Mỗi đa thức cũng được coi là một phân thức với mẫu thức là 1
Hai phân thức bằng nhau: nếu 
2. Tính chất cơ bản của phân thức
 (M là đa thức khác 0)
 ( N là một nhân tử chung của A và B)
* Đặc biệt : (quy tắc đổi dấu)
3. Rút gọn phân thức
- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung,
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung (nếu có).
4. Quy đồng mẫu của nhiều phân thức
- Phân tích các mẫu thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung,
- Tìm nhân tử phụ của mỗi phân thức,
- Nhân tử và mẫu của mỗi phân thức cho nhân tử phụ tương ứng.
B. Bổ sung 
Phân số là một trường hợp đặc biệt của phân thức khi là những đa thức bậc 0. Vì vậy tính chất cơ bản của phân số là một trường hợp đặc biệt của tính chất cơ bản của phân thức đại số. 
C. Các ví dụ minh họa 
VD1: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng tỏ rằng:
Lời giải.
Ta có : 
Ta có : 
VD2: Rút gọn các phân thức sau
Lời giải.
Ta thấy và đều có nhân tử chung là 
 và đều có nhân tử chung là . 
Do đó bài này được giải như sau
 Ta có mà mẫu thức là như vậy không có nhân tử chung. Để làm xuất hiện nhân tử chung ở bài này ta dùng quy tắc đổi dấu . Ta giải như sau:
Ta cần phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử chung, cụ thể ta phân tích như sau
Tử thức ta nhóm hạng tử thứ nhất với thứ hai, hạng tử thứ ba với thứ tư (lưu ý về dấu)
Mẫu thức ta cũng nhóm tương tự. Do đó ta có lời giải sau:
VD3. Quy đồng mẫu thức của các phân thức sau 
Lời giải. 
Đây là bài đơn giản mẫu thức của hai phân thức đều là đơn thức do đó khi quy đồng ta cần chú ý phần biến và phần hệ số.
Phần hệ số ta tìm bội chung nhỏ nhất,
Biến số lấy biến có lũy thừa cao nhất xuất hiện trong đơn thức.
Ta có lời giải sau
MTC: 
Ta thấy mẫu thức của hai phân thức là những đơn thức do vậy khi giải bài này ta cần phân tích mẫu thức thành nhân tử
Từ đó ta có mẫu thức chung là 
Từ ta nhận thấy , vậy ta quy đồng mẫu như thế nào? (dùng quy tắc đổi dấu biến đổi phân thức thứ hai )
Ta có lời giải sau
MTC: 
Dùng hằng đẳng thức để phân tích thành nhân tử ()
MTC: 
D. Bài tập tự luyện 
Bài 15. Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng minh các đẳng thức sau:
Bài 16. Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau hãy đa thức A trong mỗi đẳng thức sau:
Bài 17. Rút gọn các phân thức
Bài 18. Quy đồng mẫu thức của các phân thức sau
5. Phép cộng, trừ, nhân và chia phân thức đại số.
* Các quy tắc
a. Qui tắc cộng
Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.
Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
 (với là tích của với nhân tử phụ tương ứng, là mẫu thức chung của hai phân thức)
b. Quy tắc trừ
Muốn trừ phân thức cho phân thức , ta cộng với phân thức đối của tức là .
c. Qui tắc nhân
Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau.
d. Qui tắc chia
Muốn chia phân thức cho đa thức khác 0 ta nhân với phân thức nghịch đảo của 
* Các ví dụ minh họa
VD1. Thực hiện phép tính
Lời giải.
VD2. Thực hiện phép tính
; 
Lời giải.
=
 ==
 = = 
 =
 ==
 = =.
* Bài tập tự luyện 
Bài 19. Thực hiện phép tính
Hướng dẫn: Câu a, b, c các phân thức có cùng mẫu ta thực hiện theo quy tắc (cộng tử và giữ nguyên mẫu thức). Ở câu d ta nên phân tích mẫu thức thứ nhất và thứ ba thành nhân tử sau đó quy đồng mẫu ba phân thức rồi thực hiện như ba câu trên.
Bài 20. Thực hiện phép tính
Bài 21. Dùng quy tắc đổi dấu để tìm mẫu thức chung rồi thực hiện phép tính
Bài 22. Làm tính cộng các phân thức 
Bài 23. Làm tính chia
	a/ 	 c/ 
	b/ 	 d/ 
6. Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức đại số 
a. Kiến thức
Biểu thức hữu tỉ là những biểu thức là một phân thức hoặc biểu thị một dãy các phép toán trên phân thức. 
Biến đổi biểu thức hữu tỉ là dùng các phép tính cộng, trừ, nhân và chia dể đưa biểu thức hữu tỉ về phân thức.
Giá trị của phân thức: để tìm giá trị của một phân thức trước hết phải tìm điều kiện của biến để giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0, đó là điều kiện để giá trị của phân thức xác định.
b. Ví dụ minh họa
Cho phân thức A = 
 (a) Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức A được xác định
 (b) Rút gọn A
 (c) Tìm x để A = -1
Lời giải. (a) Để giá trị biểu thức A được xác định thì 
Vậy để giá trị của biểu thức A được xác định thì 
(b) 
(c) .
c. Bài tập tự luyện
Bài 24. Cho phân thức A = 
 (a) Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức A được xác định
 (b) Rút gọn A
 (c) Cho A = -3. Tính giá trị của biểu thức 
Bài 25. Cho phân thức A = 
 (a) Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức A được xác định
 (b) Rút gọn A
 (c) Tìm x để A = 4
Bài 26. Cho phân thức A = 
 (a) Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức A được xác định
 (b) Rút gọn A
 (c) Tìm để A = - 4
CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
* MỤC TIÊU
- Nắm được các khái niệm về các dạng phương trình bậc nhất một ẩn
+ Phương trình bậc nhất một ẩn và các phương trình đưa được về dạng phương trình bậc nhất một ẩn.
+ Phương trình tích.
+ Phương trình chứa ẩn ở mẫu.
- Nhận dạng và giải được các dạng phương trình trên và giải bài toán bằng cách lập phương trình.
I. Phương trình bậc nhất một ẩn
1. Định nghĩa
Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng , với . 
2. Cách giải
Tập nghiệm của phương trình (*) là .
Đối với phương trình đưa được về dạng phương trình bậc nhất một ẩn ta sử dụng các phép biến đổi tương đương (quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân), đưa phương trình đã cho về dạng với là hằng số,.
Khi đó phương trình có nghiệm duy nhất là .
3. Ví dụ minh họa
VD1. Giải các phương trình sau
Lời giải.
 Vậy tập nghiệm của phương trình là 
 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 
VD2. Giải các phương trình sau
Lời giải.
Vậy tập nghiệm của phương trình là .
 Vậy tập nghiệm của phương trình là .
4. Bài tập tự luyện
Bài 27. Giải các phương trình
Bài 28. Giải các phương trình
II. Phương trình tích
1. Định nghĩa
Phương trình tích là phương trình có dạng 
2. Cách giải
Ngoài ra ta dùng các phép biến đổi tương đương, đặt nhân tử chung để đưa phương trình về dạng rồi suy ra nghiệm của phương trình.
3. Ví dụ minh họa
VD1. Giải phương trình
Lời giải.
 Vậy tập nghiệm của phương trình là 
Vậy tập nghiệm của phương trình là 
VD2. Giải các phương trình sau
Lời giải.
Vậy tập nghiệm của phương trình là 
Vậy tập nghiệm của phương trình là 
Vậy tập nghiệm của phương trình là 
Vậy tập nghiệm của phương trình là 
4. Bài tập tự luyện
Bài 29. Giải các phương trình
 Bài 30. Giải các phương trình
Hướng dẫn: 
 Câu (a) phân tích sau đó đặt nhân tử chung.
 Câu (b) dùng hằng đẳng thức phân tích vế phải thành nhân tử để xuất hiện nhân tử chung.
 Câu (c) làm tương tự câu (b).
 Câu (d) phân tích thành nhân tử bằng cách phân tích hoặc , sau đó nhóm hạng tử rồi đặt nhân tử chung.
III. Phương trình chứa ẩn ở mẫu
1. Khái niệm
Phương trình chứa ẩn ở mẫu là phương trình có dạng trong đó là những đa thức.
2. Cách giải
Để giải phương trình này ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Đặt điều kiện xác định phương trình (ĐKXĐ).
Bước 2. Quy đồng rồi khử mẫu thức.
Bước 3. Giải phương trình vừa tìm được. 
Bước 4. Loại các giá trị không thõa mãn ĐKXĐ. Các giá trị thỏa mãn ĐKXĐ chính là các nghiệm của phương trình đã cho.
3. Ví dụ minh họa
VD. Giải các phương trình sau
Lời giải. 
 (a). ĐKXĐ: 
Vậy tập nghiệm của phương trình là 
(b) ĐKXĐ: 
Vì không thõa mãn ĐKXĐ nên phương trình vô nghiệm
Vậy tập nghiệm của phương trình là 
4. Bài tập tự luyện
Bài 31. Giải phương trình
Bài 32. Giải phương trình
IV. Giải bài toán bằng cách lập phương trình
1. Cách giải
Giải bài toán bằng cách lập phương trình ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Lập phương trình:
Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn;
Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;
Lập phương trình biễu thị mối liên hệ giữa các đại lượng.
Bước 2. Giải phương trình.
Bước 3. Nhận định kết quả và trả lời. 
2. Ví dụ minh họa
VD1. Năm nay tuổi mẹ gấp 4 lần tuổi em của Nam. Nam tính sau 5 năm nữa thì tuổi của mẹ chỉ còn 3 lần tuổi em của Nam thôi. Hỏi năm nay em của Nam bao nhiêu tuổi?
Lời giải.
Phân tích: Tuổi mẹ = 4 (tuổi con)
Sau năm năm thì tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con tức là : tuổi mẹ + 5 = 3(tuổi con + 5) do đó bài toán được giải như sau
Gọi là tuổi của con ()
Nên tuổi của mẹ là 
Sau 5 năm thì tuổi mẹ là và tuổi con là 
Theo giả thiết bài toán ta có phương trình sau : (*)
.
Vậy năm nay em của Nam được tuổi.
VD2. Tử số của một phân số lớn hơn mẫu của nó 20 đơn vị. Sau khi tăng cả tử và mẫu của nó thêm 5 đơn vị thì được một số nguyên là 2. Tìm phân số bân đầu?
Lời giải.
Phân tích: Tử = mẫu + 20 hoặc mẫu = tử - 20 
Sau khi tăng cả tử và mẫu của nó thêm 5 đơn vị thì được một số nguyên là 2 tức là 
 (tử +5):(mẫu +5) = 2
Do đó ở bài toán này ta có thể giải theo 2 cách (đặt ẩn là tử hoặc đặt ẩn là mẫu)
Cách 1. Gọi là tử số, 
 Nên mẫu số là 
Theo giả thiết ta có phương trình (ĐKXĐ: )
Vậy tử số là và mẫu là . Nên phân số cần tìm là 
Cách 2. Gọi là mẫu số, 
 Nên tử số là 
 Theo giả thiết ta có phương trình (ĐKXĐ: )
 Vậy mẫu số là và tử số là . Nên phân số cần tìm là 
3. Bài tập tự luyện
Bài 33. Tìm hai số, biết rằng: 
Tổng của hai số đó là 80 và hiệu của chúng là 14.
Tổng của hai số bằng 90 và số này gấp đôi số kia.
Bài 34. Mẫu số của một phân số lớn hơn tử của nó 4 đơn vị. Nếu tăng cả tử và mẫu của nó thêm 5 đơn vị thì được một phân số mới là . Tìm phân số ban đầu?
Bài 35. Trong một buổi lao độn, lớp 8A gồm 40 học sinh chia thành hai nhóm: nhóm thứ nhất trồng cây và nhóm thứ hai vệ sinh. Nhóm trồng cây dông hơn nhóm làm vệ sinh 8 người Hỏi nhóm trồng cây có bao nhiêu người?
Bài 36. Ông của Bình hơn Bình 58 tuổi. Nếu cộng tuổi của bố và hai lần tuổi của Bình thì bằng tuổi của ông và tổng số tuổi của cả ba người là 130. Hãy tính tuổi của Bình.
CHỦ ĐỀ VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN SỐ
1. Khái niệm 
Bất phương trình dạng ( hoặc ) trong đó là hai số đã cho, , được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
2. Phương pháp giải
Để giải các bất phương trình bậc nhất một ẩn, ta sử dụng các phép biến đổi tương đương (quy tắc chuyển vế, quy tắc cộng, quy tắc nhân).
Ta có (*)
Nếu thì (*) .
Nếu thì (*) .
Đối với các dạng khác () ta cũng thực hiện tương tự.
3. Các ví dụ 
VD1. Giải các bất phương trình sau 
 (a); (b) ; 
 (c); (d) . 
Hướng dẫn Đây là những bài toán đơn giản ta chỉ cần áp dụng các quy tắc biến đổi tương đương (quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân) để suy ra nghiệm của bất phương trình.
Lời giải. (a) .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 
(b) .
Vậy nghiệm của bất phương trình là 
 (c) 
 .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 
(d) 
 .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 
	Ngoài việc học sinh giải được bất phương trình thì việc biểu diễn nghiệm của bất phương trình trên trục số là một kĩ năng rất quan trọng nên trong phần tiếp theo tôi đưa thêm một số ví dụ về giải và biểu diễn nghiệm của bất phương trình trên trục số.
VD2. Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm của chúng trên trục số
 (a); (b) ; 
 (c) ; (d) . 
 Hướng dẫn. Ở câu (c) và (d) học sinh sẽ lúng túng hoặc không giải được nên giáo viên cần hướng dẫn học sinh biến đổi (quy đồng cùng mẫu dương rồi khử mẫu) về dạng hoặc , rồi áp dụng các quy tắc đã học để tìm nghiệm. Khi biểu diễn nghiện trên trục số cần lưu ý các trường hợp lớn hơn “>” và lớn hơn hoặc bằng “”, hoặc nhỏ hơn “<” và nhỏ hơn hoặc bằng “”.
Lời giải. (a) .
.
0
)
-4
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là .
Biểu diễn nghiệm trên trục số
(b) 
Vậy nghiệm của bất phương trình là 
Biểu diễn nghiệm trên trục số
.
0
(
6
(c) 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 
Biểu diễn nghiệm trên trục số
.
0
[
3
(d) 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 
Biểu diễn nghiệm trên trục số 
.
0
]
4. Bài tập tự luyện
Bài 37. Giải các bất phương trình và biểu diễn nghiệm của chúng trên trục số
 (a) ; 	(b) ;	(c) ; 
(d);	(e); (f); 
(g) ; (h) ;	 (i). 
* Dạng toán về bất phương trình quy về bất phương trình bậc nhất một ẩn 
1. Phương pháp giải
Để học sinh giải tốt các dạng này giáo viên cần cho học sinh nắm vững các qui tắc biến đổi tương đương. Ngoài ra học sinh cần nắm được các quy tắc nhân chia đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử, qui đồng mẫu. 
2. Các ví dụ 
VD1. Giải các bất phương trình sau và biểu diễn nghiệm của chúng trên trục số
 (a) ; (b) . 
Hướng dẫn. Ở bài toán này ta chỉ cần áp dụng quy tắc chuyển vế để đưa bất phương trình trên về dạng bất phương trình bậc nhất một ẩn, sau đó suy ra nghiệm của bất phương trình.
Lời giải. (a) 
	Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: 
Biểu diễn nghiệm trên trục số
.
0
)
5
(b) 
 .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 
.
0
(
Biểu diễn nghiệm trên trục số 
VD2. Giải các bất phương trình sau và biểu diễn nghiệm của chúng trên trục số
 (a) ; 	
(b) ;
Hướng dẫn. Ở bài toán này học sinh không thể nhận dạng được ngay đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn nên giáo viên cần hướng dẫn học sinh biến đổi (quy đồng 2 vế của bất phương trình về cùng mẫu dương rồi khử mẫu) các bất phương trình trên về dạng bất phương trình bậc nhất một ẩn. 
Lời giải. (a) Quy đồng mẫu 2 vế của bất phương trình ta được 
	Vậy tập nghiệm của bất phương trình là .
Biểu diễn nghiệm trên trục số 
.
0
)
-1
(b) Tương tự như câu (a) ta quy đồng mẫu 2 vế của bất phương trình rồi khử mẫu. 
 Ta có 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 
Biểu diễn nghiệm trên trục số
.
0
[
 3. Bài tập tự luyện
Bài 38. Giải các bất phương trình sau và biểu diễn nghiệm của chúng trên trục số
(a) ; 	(b) ;
(c) ; (d) . 
(e) ; 	(f) ; 
(g) ; 	(h) . 
Bài 39. Giải các bất phương trình sau và biểu diễn nghiệm của chúng trên trục số
 (a) (b) 
 (c) (d)