Bài 1:(4 điểm)
a) Thực hiện phép tính:
b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì :
chia hết cho 10
Bài 2:(4 điểm)
Tìm x biết:
a.
b.
Bài 3: (4 điểm)
a) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo . Biết rằng tổng các bình phương của ba số đó bằng 24309. Tìm số A.
b) Cho . Chứng minh rằng:
Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng:
a) AC = EB và AC // BE
b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng
c) Từ E kẻ . Biết = 50o ; =25o .
Tính và
Bài 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A có , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:
a) Tia AD là phân giác của góc BAC
b) AM = BC
®Ò thi häc sinh giái To¸n Líp 7 §Ò sè 1: (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1. T×m gi¸ trÞ n nguyªn d¬ng: a) ; b) 27 < 3n < 243 Bµi 2. Thùc hiÖn phÐp tÝnh: Bµi 3. a) T×m x biÕt: b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = Khi x thay ®æi Bµi 4. HiÖn nay hai kim ®ång hå chØ 10 giê. Sau Ýt nhÊt bao l©u th× 2 kim ®ång hå n»m ®èi diÖn nhau trªn mét ®êng th¼ng. Bµi 5. Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( A = 1v), ®êng cao AH, trung tuyÕn AM. Trªn tia ®èi tia MA lÊy ®iÓm D sao cho DM = MA. Trªn tia ®èi tia CD lÊy ®iÓm I sao cho CI = CA, qua I vÏ ®êng th¼ng song song víi AC c¾t ®êng th¼ng AH t¹i E. Chøng minh: AE = BC §Ò sè 2: ®Ò thi häc sinh giái M«n To¸n Líp 7 (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1:(4 điểm) a) Thực hiện phép tính: b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: a. b. Bài 3: (4 điểm) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo . Biết rằng tổng các bình phương của ba số đó bằng 24309. Tìm số A. Cho . Chứng minh rằng: Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ . Biết = 50o ; =25o . Tính và Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: Tia AD là phân giác của góc BAC AM = BC Hết §¸p ¸n ®Ò 1to¸n 7 Bµi 1. T×m gi¸ trÞ n nguyªn d¬ng: (4 ®iÓm mçi c©u 2 ®iÓm) a) ; => 24n-3 = 2n => 4n – 3 = n => n = 1 b) 27 33 n = 4 Bµi 2. Thùc hiÖn phÐp tÝnh: (4 ®iÓm) = = Bµi 3. (4 ®iÓm mçi c©u 2 ®iÓm) a) T×m x biÕt: Ta cã: x + 2 0 => x - 2. + NÕu x - th× => 2x + 3 = x + 2 => x = - 1 (Tho¶ m·n) + NÕu - 2 x - 2x - 3 = x + 2 => x = - (Tho¶ m·n) + NÕu - 2 > x Kh«ng cã gi¸ trÞ cña x tho¶ m·n b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = Khi x thay ®æi + NÕu x < 2006 th×: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013 Khi ®ã: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = 1 => A > 1 + NÕu 2006 x 2007 th×: A = x – 2006 + 2007 – x = 1 + NÕu x > 2007 th× A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013 Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = 1 => A > 1. VËy A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 1 khi 2006 x 2007 Bµi 4. HiÖn nay hai kim ®ång hå chØ 10 giê. Sau Ýt nhÊt bao l©u th× 2 kim ®ång hå n»m ®èi diÖn nhau trªn mét ®êng th¼ng. (4 ®iÓm mçi) Gäi x, y lµ sè vßng quay cña kim phót vµ kim giê khi 10giê ®Õn lóc 2 kim ®èi nhau trªn mét ®êng th¼ng, ta cã: x – y = (øng víi tõ sè 12 ®Õn sè 4 trªn ®«ng hå) vµ x : y = 12 (Do kim phót quay nhanh gÊp 12 lÇn kim giê) Do ®ã: => x = (giê) VËy thêi gian Ýt nhÊt ®Ó 2 kim ®ång hå tõ khi 10 giê ®Õn lóc n»m ®èi diÖn nhau trªn mét ®êng th¼ng lµ giê Bµi 5. Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( A = 1v), ®êng cao AH, trung tuyÕn AM. Trªn tia ®èi tia MA lÊy ®iÓm D sao cho DM = MA. Trªn tia ®èi tia CD lÊy ®iÓm I sao cho CI = CA, qua I vÏ ®êng th¼ng song song víi AC c¾t ®êng th¼ng AH t¹i E. Chøng minh: AE = BC (4 ®iÓm mçi) D B A H C I F E M §êng th¼ng AB c¾t EI t¹i F ABM = DCM v×: AM = DM (gt), MB = MC (gt), = DMC (®®) => BAM = CDM =>FB // ID => IDAC Vµ FAI = CIA (so le trong) (1) IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2) Tõ (1) vµ (2) => CAI = FIA (AI chung) => IC = AC = AF (3) vµ E FA = 1v (4) MÆt kh¸c EAF = BAH (®®), BAH = ACB ( cïng phô ABC) => EAF = ACB (5) Tõ (3), (4) vµ (5) => AFE = CAB =>AE = BC §Ò sè 2: ®Ò thi häc sinh giái huyÖn M«n To¸n Líp 7 (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1:(4 điểm) a) Thực hiện phép tính: b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: a. b. Bài 3: (4 điểm) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo . Biết rằng tổng các bình phương của ba số đó bằng 24309. Tìm số A. Cho . Chứng minh rằng: Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ . Biết = 50o ; =25o . Tính và Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: Tia AD là phân giác của góc BAC AM = BC Hết §¸p ¸n ®Ò 2 to¸n 7 Bài 1:(4 điểm): a) (2 điểm) b) (2 điểm) = = = = 10( 3n -2n) Vậy 10 với mọi n là số nguyên dương. Bài 2:(4 điểm) a) (2 điểm) b) (2 điểm) Bài 3: (4 điểm) a) (2,5 điểm) Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A. Theo đề bài ta có: a : b : c = (1) và a2 +b2 +c2 = 24309 (2) Từ (1) = k Do đó (2) k = 180 và k = + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30. Khi đó ta có số A = a + b + c = 237. + Với k =, ta được: a = ; b =; c = Khi đó ta có só A =+( ) + () = . b) (1,5 điểm) Từ suy ra khi đó = Bài 4: (4 điểm) a/ (1điểm) Xét và có : AM = EM (gt ) = (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) Nên : = (c.g.c ) AC = EB Vì = = (2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) Suy ra AC // BE . b/ (1 điểm ) Xét và có : AM = EM (gt ) = ( vì ) AI = EK (gt ) Nên ( c.g.c ) Suy ra = Mà + = 180o ( tính chất hai góc kề bù ) + = 180o Ba điểm I;M;K thẳng hàng c/ (1,5 điểm ) Trong tam giác vuông BHE ( = 90o ) có = 50o = 90o - = 90o - 50o =40o = - = 40o - 25o = 15o là góc ngoài tại đỉnh M của Nên = + = 15o + 90o = 105o ( định lý góc ngoài của tam giác ) Bài 5: (4 điểm) a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) suy ra Do đó b) ABC cân tại A, mà (gt) nên ABC đều nên Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra . Tia BM là phân giác của góc ABD nên Xét tam giác ABM và BAD có: AB cạnh chung ; Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC §Ò sè 3: ®Ò thi häc sinh giái M«n To¸n Líp 7 (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn a biÕt C©u 2: T×m ph©n sè cã tö lµ 7 biÕt nã lín h¬n vµ nhá h¬n C©u 3. Cho 2 ®a thøc P = x + 2mx + m vµ Q = x + (2m+1)x + m T×m m biÕt P (1) = Q (-1) C©u 4: T×m c¸c cÆp sè (x; y) biÕt: C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt hoÆc lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau : A = +5 B = C©u 6: Cho tam gi¸c ABC cã ¢ < 900. VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c ®ã hai ®o¹n th¼ng AD vu«ng gãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC. Chøng minh: DC = BE vµ DC BE Gäi N lµ trung ®iÓm cña DE. Trªn tia ®èi cña tia NA lÊy M sao cho NA = NM. Chøng minh: AB = ME vµ ABC = EMA Chøng minh: MA BC §¸p ¸n ®Ò 3 to¸n 7 C©u 1: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn a biÕt 0 =>= 0; 1; 2; 3 ; 4 * = 0 => a = 0 * = 1 => a = 1 hoÆc a = - 1 * = 2 => a = 2 hoÆc a = - 2 * = 3 => a = 3 hoÆc a = - 3 * = 4 => a = 4 hoÆc a = - 4 C©u 2: T×m ph©n sè cã tö lµ 7 biÕt nã lín h¬n vµ nhá h¬n Gäi mÉu ph©n sè cÇn t×m lµ x Ta cã: => => -77 9x = -72 => x = 8 VËy ph©n sè cÇn t×m lµ C©u 3. Cho 2 ®a thøc P = x + 2mx + m vµ Q = x + (2m+1)x + m T×m m biÕt P (1) = Q (-1) P(1) = 12 + 2m.1 + m2 = m2 + 2m + 1 Q(-1) = 1 – 2m – 1 +m2 = m2 – 2m §Ó P(1) = Q(-1) th× m2 + 2m + 1 = m2 – 2m 4m = -1 m = -1/4 C©u 4: T×m c¸c cÆp sè (x; y) biÕt: => => x2 = 4.49 = 196 => x = 14 => y2 = 4.4 = 16 => x = 4 Do x,y cïng dÊu nªn: x = 6; y = 14 x = -6; y = -14 ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ta cã: => => -x = 5x -12 => x = 2. Thay x = 2 vµo trªn ta ®îc: =>1+ 3y = -12y => 1 = -15y => y = VËy x = 2, y = tho¶ m·n ®Ò bµi C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt hoÆc lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau : A = +5 Ta cã : 0. DÊu = x¶y ra x= -1. A 5. DÊu = x¶y ra x= -1. VËy: Min A = 5 x= -1. B = = = 1 + Ta cã: x 0. DÊu = x¶y ra x = 0 x + 3 3 ( 2 vÕ d¬ng ) 4 1+ 1+ 4 B 5 DÊu = x¶y ra x = 0 VËy : Max B = 5 x = 0. C©u 6: a/ XÐt ADC vµ BAF ta cã: DA = BA(gt) AE = AC (gt) DAC = BAE ( cïng b»ng 900 + BAC ) => DAC = BAE(c.g.c ) => DC = BE XÐt AIE vµ TIC I1 = I2 ( ®®) E1 = C1( do DAC = BAE) => EAI = CTI => CTI = 900 => DC BE b/ Ta cã: MNE = AND (c.g.c) => D1 = MEN, AD = ME mµ AD = AB ( gt) => AB = ME (®pcm) (1) V× D1 = MEN => DA//ME => DAE + AEM = 1800 ( trong cïng phÝa ) mµ BAC + DAE = 1800 => BAC = AEM ( 2 ) Ta l¹i cã: AC = AE (gt) ( 3). Tõ (1),(2) vµ (3) => ABC = EMA ( ®pcm) c/ KÐo dµi MA c¾t BC t¹i H. Tõ E h¹ EP MH XÐt AHC vµ EPA cã: CAH = AEP ( do cïng phô víi gPAE ) AE = CA ( gt) PAE = HCA ( do ABC = EMA c©u b) => AHC = EPA => EPA = AHC => AHC = 900 => MA BC (®pcm) §Ò sè 4: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1 ( 2 ®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh : a- b- C©u 2 ( 2 ®iÓm) T×m sè nguyªn a ®Ó lµ sè nguyªn T×m sè nguyªn x,y sao cho x-2xy+y=0 C©u 3 ( 2 ®iÓm) Chøng minh r»ng nÕu a+c=2b vµ 2bd = c (b+d) th× víi b,d kh¸c 0 CÇn bao nhiªu sè h¹ng cña tæng S = 1+2+3+ ®Ó ®îc mét sè cã ba ch÷ sè gièng nhau . C©u 4 ( 3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã gãc B b»ng 450 , gãc C b»ng 1200. Trªn tia ®èi cña tia CB lÊy ®iÓm D sao cho CD=2CB . TÝnh gãc ADE C©u 5 ( 1®iÓm) T×m mäi sè nguyªn tè tho¶ m·n : x2-2y2=1 §¸p ¸n ®Ò 4 C©u Híng dÉn chÊm §iÓm 1.a Thùc hiÖn theo tõng bíc ®óng kÕt qu¶ -2 cho ®iÓm tèi ®a 1§iÓm 1.b Thùc hiÖn theo tõng bíc ®óng kÕt qu¶ 14,4 cho ®iÓm tèi ®a 1§iÓm 2.a Ta cã : = v× a lµ sè nguyªn nªn lµ sè nguyªn khi lµ sè nguyªn hay a+1 lµ íc cña 3 do ®ã ta cã b¶ng sau : a+1 -3 -1 1 3 a -4 -2 0 2 VËy víi ath× lµ sè nguyªn 0,25 0,25 0,25 0,25 2.b Tõ : x-2xy+y=0 Hay (1-2y)(2x-1) = -1 V× x,y lµ c¸c sè nguyªn nªn (1-2y)vµ (2x-1) lµ c¸c sè nguyªn do ®ã ta cã c¸c trêng hîp sau : HoÆc VËy cã 2 cÆp sè x, y nh trªn tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi 0,25 0,25 0,25 0,25 3.a V× a+c=2b nªn tõ 2bd = c (b+d) Ta cã: (a+c)d=c(b+d) Hay ad=bc Suy ra ( §PCM) 0,5 0,5 3.b Gi¶ sö sè cã 3 ch÷ sè lµ =111.a ( a lµ ch÷ sè kh¸c 0) Gäi sè sè h¹ng cña tæng lµ n , ta cã : Hay n(n+1) =2.3.37.a VËy n(n+1) chia hÕt cho 37 , mµ 37 lµ sè nguyªn tè vµ n+1<74 ( NÕu n = 74 kh«ng tho¶ m·n ) Do ®ã n=37 hoÆc n+1 = 37 NÕu n=37 th× n+1 = 38 lóc ®ã kh«ng tho¶ m·n NÕu n+1=37 th× n = 36 lóc ®ã tho¶ m·n VËy sè sè h¹ng cña tæng lµ 36 0,25 0,25 0,5 4 KÎ DH Vu«ng gãc víi AC v× ACD =600 do ®ã CDH = 300 Nªn CH = CH = BC Tam gi¸c BCH c©n t¹i C CBH = 300 ABH = 150 Mµ BAH = 150 nªn tam gi¸c AHB c©n t¹i H Do ®ã tam gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i H VËy ADB = 450+300=750 0,5 0,5 1,0 1,0 5 Tõ : x2-2y2=1suy ra x2-1=2y2 NÕu x chia hÕt cho 3 v× x nguyª ... trÞ cña biÓu thøc m -1 chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2m + 1. b) 2) Chøng minh r»ng: chia hÕt cho 30 víi mäi n nguyªn d¬ng. C©u 3: (2 ®iÓm) a) T×m x, y, z biÕt: ; vµ b) Cho . BiÕt f(0), f(1), f(2) ®Òu lµ c¸c sè nguyªn. Chøng minh f(x) lu«n nhËn gi¸ trÞ nguyªn víi mäi x nguyªn. C©u 4: (2,5 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän, ®êng cao AH. ë miÒn ngoµi cña tam gi¸c ABC ta vÏ c¸c tam gi¸c vu«ng c©n ABE vµ ACF ®Òu nhËn A lµm ®Ønh gãc vu«ng. KÎ EM, FN cïng vu«ng gãc víi AH (M, N thuéc AH). a) Chøng minh: EM + HC = NH. b) Chøng minh: EN // FM. C©u 5: (1 ®iÓm) Cho lµ sè nguyªn tè (n > 2). Chøng minh lµ hîp sè. §Ò sè 17: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) TÝnh nhanh: C©u 2: (2 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc víi b) T×m x nguyªn ®Ó chia hÕt cho C©u 3: ( 2 ®iÓm) a) T×m x, y, z biÕt vµ b) Mét « t« ph¶i ®i tõ A ®Õn B trong thêi gian dù ®Þnh. Sau khi ®i ®îc nöa qu·ng ®êng « t« t¨ng vËn tèc lªn 20 % do ®ã ®Õn B sím h¬n dù ®Þnh 15 phót. TÝnh thêi gian « t« ®i tõ A ®Õn B. C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC, trung tuyÕn AM. Trªn nöa mÆt ph¼ng chøa ®Ønh C bê lµ ®êng th¼ng AB dùng ®o¹n AE vu«ng gãc víi AB vµ AE = AB. Trªn nöa mÆt ph¼ng chøa ®Ønh B bê lµ ®êng th¼ng AC dùng ®o¹n AF vu«ng gãc víi AC vµ AF = AC. Chøng minh r»ng: a) FB = EC b) EF = 2 AM c) AM ^ EF. C©u 5: (1 ®iÓm) Chøng tá r»ng: §Ò sè 18: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) a) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: b) TÝnh tæng: C©u 2: (2 ®iÓm) 1) T×m x biÕt: 2) Trªn qu·ng ®êng KÐp - B¾c giang dµi 16,9 km, ngêi thø nhÊt ®i tõ KÐp ®Õn B¾c Giang, ngêi thø hai ®i tõ B¾c Giang ®Õn KÐp. VËn tèc ngêi thø nhÊt so víi ngêi thø hai b»ng 3: 4. §Õn lóc gÆp nhau vËn tèc ngêi thø nhÊt ®i so víi ngêi thø hai ®i lµ 2: 5. Hái khi gÆp nhau th× hä c¸ch B¾c Giang bao nhiªu km ? C©u 3: (2 ®iÓm) a) Cho ®a thøc (a, b, c nguyªn). CMR nÕu f(x) chia hÕt cho 3 víi mäi gi¸ trÞ cña x th× a, b, c ®Òu chia hÕt cho 3. b) CMR: nÕu th× (Gi¶ sö c¸c tØ sè ®Òu cã nghÜa). C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã AB < AC. Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC, tõ M kÎ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi tia ph©n gi¸c cña gãc A, c¾t tia nµy t¹i N, c¾t tia AB t¹i E vµ c¾t tia AC t¹i F. Chøng minh r»ng: a) AE = AF b) BE = CF c) C©u 5: (1 ®iÓm) §éi v¨n nghÖ khèi 7 gåm 10 b¹n trong ®ã cã 4 b¹n nam, 6 b¹n n÷. §Ó chµo mõng ngµy 30/4 cÇn 1 tiÕt môc v¨n nghÖ cã 2 b¹n nam, 2 b¹n n÷ tham gia. Hái cã nhiÒu nhÊt bao nhiªu c¸ch lùa chän ®Ó cã 4 b¹n nh trªn tham gia. §Ò sè 19: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: b) Chøng tá r»ng: C©u 2: (2 ®iÓm) Cho ph©n sè: (x Î Z) a) T×m x Î Z ®Ó C ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt, t×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã. b) T×m x Î Z ®Ó C lµ sè tù nhiªn. C©u 3: (2 ®iÓm) Cho . Chøng minh r»ng: C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC (AB = AC), tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc B vµ C c¾t AC vµ AB lÇn lît t¹i E vµ D. a) Chøng minh r»ng: BE = CD; AD = AE. b) Gäi I lµ giao ®iÓm cña BE vµ CD. AI c¾t BC ë M, chøng minh r»ng c¸c DMAB; MAC lµ tam gi¸c vu«ng c©n. c) Tõ A vµ D vÏ c¸c ®êng th¼ng vu«ng gãc víi BE, c¸c ®êng th¼ng nµy c¾t BC lÇn lît ë K vµ H. Chøng minh r»ng KH = KC. C©u 5: (1 ®iÓm) T×m sè nguyªn tè p sao cho: ; lµ c¸c sè nguyªn tè. §Ò sè 20: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) a) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: ; b) T×m c¸c sè nguyªn tè x, y sao cho: 51x + 26y = 2000. C©u 2: ( 2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng: 2a - 5b + 6c 17 nÕu a - 11b + 3c 17 (a, b, c Î Z). b) BiÕt Chøng minh r»ng: C©u 3: ( 2 ®iÓm) B©y giê lµ 4 giê 10 phót. Hái sau Ýt nhÊt bao l©u th× hai kim ®ång hå n»m ®èi diÖn nhau trªn mét ®êng th¼ng. C©u 4: (2 ®iÓm) Cho DABC vu«ng c©n t¹i A. Gäi D lµ ®iÓm trªn c¹nh AC, BI lµ ph©n gi¸c cña DABD, ®êng cao IM cña DBID c¾t ®êng vu«ng gãc víi AC kÎ tõ C t¹i N. TÝnh gãc IBN ? C©u 5: (2 ®iÓm) Sè 2100 viÕt trong hÖ thËp ph©n t¹o thµnh mét sè. Hái sè ®ã cã bao nhiªu ch÷ sè ? §Ò sè 21: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc b) Chøng minh r»ng: C©u 2: (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng víi mçi sè nguyªn d¬ng n th×: chia hÕt cho 6. b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: C©u 3: (2 ®iÓm) Mét « t« ph¶i ®i tõ A ®Õn B trong thêi gian dù ®Þnh. Sau khi ®i ®îc nöa qu·ng ®êng « t« t¨ng vËn tèc lªn 20 % do ®ã ®Õn B sím h¬n dù ®Þnh 10 phót. TÝnh thêi gian « t« ®i tõ A ®Õn B. C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC, M lµ trung ®iÓm cña BC. Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa C cã bê AB, vÏ tia Ax vu«ng gãc víi AB, trªn tia ®ã lÊy ®iÓm D sao cho AD = AB. Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa B cã bê AC vÏ tia Ay vu«ng gãc víi AC. Trªn tia ®ã lÊy ®iÓm E sao cho AE = AC. Chøng minh r»ng: a) DE = 2 AM b) AM ^ DE. C©u 5: (1 ®iÓm) Cho n sè x1, x2, , xn mçi sè nhËn gi¸ trÞ 1 hoÆc -1. Chøng minh r»ng nÕu x1. x2 + x2. x3 + + xn x1 = 0 th× n chia hÕt cho 4. §Ò sè 22: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: b) Chøng minh r»ng tæng: Bµi 2: (2 ®iÓm) a) T×m c¸c sè nguyªn x tho¶ m·n. b) Cho p > 3. Chøng minh r»ng nÕu c¸c sè p, p + d , p + 2d lµ c¸c sè nguyªn tè th× d chia hÕt cho 6. Bµi 3: (2 ®iÓm) a) §Ó lµm xong mét c«ng viÖc, mét sè c«ng nh©n cÇn lµm trong mét sè ngµy. Mét b¹n häc sinh lËp luËn r»ng nÕu sè c«ng nh©n t¨ng thªm 1/3 th× thêi gian sÏ gi¶m ®i 1/3. §iÒu ®ã ®óng hay sai ? v× sao ? b) Cho d·y tØ sè b»ng nhau: TÝnh Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c nhän ABC, AB > AC ph©n gi¸c BD vµ CE c¾t nhau t¹i I. a) TÝnh c¸c gãc cña DDIE nÕu gãc A = 600. b) Gäi giao ®iÓm cña BD vµ CE víi ®êng cao AH cña DABC lÇn lît lµ M vµ N. Chøng minh BM > MN + NC. Bµi 5: (1 ®iÓm) Cho z, y, z lµ c¸c sè d¬ng. Chøng minh r»ng: §Ò sè 23: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) a) T×m x biÕt: b) T×m tæng c¸c hÖ sè cña ®a thøc nhËn ®îc sau khi bá dÊu ngoÆc trong biÓu thøc: A(x) = Bµi 2: (2 ®iÓm) Ba ®êng cao cña tam gi¸c ABC cã ®é dµi b»ng 4; 12; x biÕt r»ng x lµ mét sè tù nhiªn. T×m x ? Bµi 3: (2 ®iÓm) Cho . CMR biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nguyªn: Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A cã gãc B =. Trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm E sao cho gãc EBA= . Trªn tia ®èi cña tia EB lÊy ®iÓm D sao cho ED = BC. Chøng minh tam gi¸c CED lµ tam gi¸c c©n. Bµi 5: (1 ®iÓm) T×m c¸c sè a, b, c nguyªn d¬ng tho¶ m·n : vµ §Ò sè 24: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh b) T×m x biÕt Bµi 2: (2 ®iÓm) Chøng minh r»ng: NÕu Th× Bµi 3: (2 ®iÓm) Hai xe m¸y khëi hµnh cïng mét lóc tõ A vµ B, c¸ch nhau 11km ®Ó ®i ®Õn C (ba ®Þa ®iÓm A, B, C ë cïng trªn mét ®êng th¼ng). VËn tèc cña ngêi ®i tõ A lµ 20 km/h. VËn tèc cña ngêi ®i tõ B lµ 24 km/h. TÝnh qu·ng ®êng mçi ngêi ®· ®i. BiÕt hä ®Õn C cïng mét lóc. Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã gãc A kh¸c 900, gãc B vµ C nhän, ®êng cao AH. VÏ c¸c ®iÓm D, E sao cho AB lµ trung trùc cña HD, AC lµ trung trùc cña HE. Gäi I, K lÇn lît lµ giao ®iÓm cña DE víi AB vµ AC. TÝnh sè ®o c¸c gãc AIC vµ AKB ? Bµi 5: (1 ®iÓm) Cho x = 2005. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: §Ò sè 25: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1 . ( 2®) Cho: . Chøng minh: . C©u 2. (1®). T×m A biÕt r»ng: A = . C©u 3. (2®). T×m ®Ó AÎ Z vµ t×m gi¸ trÞ ®ã. a). A = . b). A = . C©u 4. (2®). T×m x: a) = 5 . b). ( x+ 2) 2 = 81. c). 5 x + 5 x+ 2 = 650 C©u 5. (3®). Cho r ABC vu«ng c©n t¹i A, trung tuyÕn AM . E Î BC, BH,CK ^ AE, (H,K Î AE). Chøng minh r MHK vu«ng c©n. §Ò sè 26: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2®) Rót gän A= C©u 2 (2®) Ba líp 7A,7B,7C cã 94 häc sinh tham gia trång c©y. Mçi häc sinh líp 7A trång ®îc 3 c©y, Mçi häc sinh líp 7B trång ®îc 4 c©y, Mçi häc sinh líp 7C trång ®îc 5 c©y,. Hái mçi líp cã bao nhiªu häc sinh. BiÕt r»ng sè c©y mçi líp trång ®îc ®Òu nh nhau. C©u 3: (1,5®) Chøng minh r»ng lµ mét sè tù nhiªn. C©u 4 : (3®) Cho gãc xAy = 600 vÏ tia ph©n gi¸c Az cña gãc ®ã . Tõ mét ®iÓm B trªn Ax vÏ ®êng th¼ng song song víi víi Ay c¾t Az t¹i C. vÏ Bh ^ Ay,CM ^Ay, BK ^ AC.Chøng minh r»ng . a, K lµ trung ®iÓm cña AC. b, BH = c, ®Òu C©u 5 (1,5 ®) Trong mét kú thi häc sinh giái cÊp HuyÖn, bèn b¹n Nam, B¾c, T©y, §«ng ®o¹t 4 gi¶i 1,2,3,4 . BiÕt r»ng mçi c©u trong 3 c©u díi ®©y ®óng mét nöa vµ sai 1 nöa: a, t©y ®¹t gi¶i 1, B¾c ®¹t gi¶i 2. b, T©y ®¹t gi¶i 2, §«ng ®¹t gi¶i 3. c, Nam ®¹t gi¶i 2, §«ng ®¹t gi¶i 4. Em h·y x¸c ®Þnh thø tù ®óng cña gi¶i cho c¸c b¹n. §Ò sè 27: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1: (3 điểm): Tính Bài 2: (4 điểm): Cho chứng minh rằng: a) b) Bài 3:(4 điểm) Tìm biết: a) b) Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: Tia AD là phân giác của góc BAC AM = BC Bài 6: (2 điểm): Tìm biết: --------------------------------------------------------- §Ò sè 28: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1. TÝnh Bµi 2. T×m gi¸ trÞ nguyªn d¬ng cña x vµ y, sao cho: Bµi 3. T×m hai sè d¬ng biÕt: tæng, hiÖu vµ tÝch cña chóng tû lÖ nghÞch víi c¸c sè 20, 140 vµ 7 Bµi 4. T×m x, y tho¶ m·n: = 3 Bµi 5. Cho tam gi¸c ABC cã gãc ABC = 500 ; gãc BAC = 700 . Ph©n gi¸c trong gãc ACB c¾t AB t¹i M. Trªn MC lÊy ®iÓm N sao cho gãc MBN = 400. Chøng minh: BN = MC. §Ò sè 29: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn a biÕt C©u 2: T×m ph©n sè cã tö lµ 7 biÕt nã lín h¬n vµ nhá h¬n C©u 3: Trong 3 sè x, y, z cã 1 sè d¬ng , mét sè ©m vµ mét sè 0. Hái mçi sè ®ã thuéc lo¹i nµo biÕt: C©u 4: T×m c¸c cÆp sè (x; y) biÕt: C©u 5: TÝnh tæng: C©u 6: Cho tam gi¸c ABC cã ¢ < 900. VÏ ra phÝa ngãi tam gi¸c ®ã hai ®o¹n th¼ng AD vu«ng gãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC. Chøng minh: DC = BE vµ DC BE Gäi N lµ trung ®iÓm cña DE. Trªn tia ®èi cña tia NA lÊy M sao cho NA = NM. Chøng minh: AB = ME vµ Chøng minh: MA BC §Ò sè 30: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: So s¸nh c¸c sè: a. B =251+ b. 2300 vµ 3200 C©u 2: T×m ba sè a, b, c biÕt a tØ lÖ thuËn víi 7 vµ 11; b vµ c tØ lÖ nghÞch víi 3 vµ 8 vµ 5a - 3b + 2c = 164 C©u 3: TÝnh nhanh: C©u 4. Cho tam gi¸c ACE ®Òu sao cho B vµ E ë hai nöa mÆt ph¼ng ®èi nhau cã bê AC. Chøng minh tam gi¸c AED c©n. TÝnh sè ®o gãc ACD?
Tài liệu đính kèm: