Bài 1: (3đ) Chứng minh rầng:
a) 85 + 211 chia hết cho 17
b) 1919 + 6919 chia hết cho 44
Bài 2:
a) Rút gọn biểu thức:
b) Cho . Tính
Bài 3:(3đ)
Cho tam giác ABC . Lấy các điểm D,E theo thứ tự thuộc tia đối của các tia BA, CA sao cho BD + CE = BC. Gọi O là giao điểm của BE và CD .Qua O vẽ đờng thẳng song song với tia phân giác của góc A, đờng thẳmg này cắt AC ở K. Chứng minh rằng AB = CK.
Bài 4 (1đ).
Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức sau (nếu có):
M = 4x2 + 4x + 5
Đề 1 Bài 1: (3đ) Chứng minh rầng: 85 + 211 chia hết cho 17 1919 + 6919 chia hết cho 44 Bài 2: Rút gọn biểu thức: Cho . Tính Bài 3:(3đ) Cho tam giác ABC . Lấy các điểm D,E theo thứ tự thuộc tia đối của các tia BA, CA sao cho BD + CE = BC. Gọi O là giao điểm của BE và CD .Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác của góc A, đường thẳmg này cắt AC ở K. Chứng minh rằng AB = CK. Bài 4 (1đ). Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức sau (nếu có): M = 4x2 + 4x + 5 Đáp án Bài 1 : (3đ) (1,5đ) Ta có: 85 + 211 = (23)5 + 211 = 215 + 211 =211(24 + 1)=211.17 Rõ ràng kết quả trên chia hết cho 17. (1,5đ) áp dụng hằng đẳng thức: an + bn = (a+b)(an-1 - an-2b + an-3b2 - - abn-2 + bn-1) với mọi n lẽ. Ta có: 1919 + 6919 = (19 + 69)(1918 – 1917.69 ++ 6918) = 88(1918 – 1917.69 + + 6918) chia hết cho 44. Bài 2 : (3đ) (1,5đ) Ta có: x2 + x – 6 = x2 + 3x -2x -6 = x(x+3) – 2(x+3) = (x+3)(x-2). x3 – 4x2 – 18 x + 9 = x3 – 7x2 + 3x2 - 21x + 3x + 9 =(x3 + 3x2) – (7x2 +21x) +(3x+9) =x2(x+3) -7x(x+3) +3(x+3) =(x+3)(x2 –7x +3) => = Với điều kiện x -1 ; x2 -7x + 3 0 b) (1,5đ) Vì Do đó : xyz(++)= 3 A B D M E C K Bài 3 : (3đ) Chứng minh : Vẽ hình bình hành ABMC ta có AB = CM . Để chứng minh AB = KC ta cần chứng minh KC = CM. Thật vậy xét tam giác BCE có BC = CE (gt) => tam giác CBE cân tại C => vì góc C1 là góc ngoài của tam giác BCE => mà AC // BM (ta vẽ) => nên BO là tia phân giác của . Hoàn toàn tương tự ta có CD là tia phân giác của góc BCM . Trong tam giác BCM, OB, CO, MO đồng quy tại O => MO là phân tia phân giác của góc CMB Mà : là hai góc đối của hình bình hành BMCA => MO // với tia phân giác của góc A theo gt tia phân giác của góc A còn song song với OK => K,O,M thẳng hàng. Ta lại có : mà (hai góc đồng vị) => cân tại C => CK = CM. Kết hợp AB = CM => AB = CK (đpcm) Bài 4: (1đ) Ta có M= 4x2 + 4x + 5 =[(2x)2 + 2.2x.1 + 1] +4 = (2x + 1)2 + 4. Vì (2x + 1)2 0 =>(2x + 1)2 + 4 4 ú M 4 Vậy giá trị nhỏ nhất của M = 4 khi x = - ------------------------------------------------- đề 2 Câu 1 . Tìm một số có 8 chữ số: thoã mãn 2 điều kiện a và b sau: a) b) Câu 2 . Chứng minh rằng: ( xm + xn + 1 ) chia hết cho x2 + x + 1. khi và chỉ khi ( mn – 2) 3. áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử: x7 + x2 + 1. Câu 3 . Giải phương trình: x = ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + . . . + 2006.2007). Câu 4 . Cho hình thang ABCD (đáy lớn CD). Gọi O là giao điểm của AC và BD; các đường kẻ từ A và B lần lượt song song với BC và AD cắt các đường chéo BD và AC tương ứng ở F và E. Chứng minh: EF // AB b). AB2 = EF.CD. c) Gọi S1 , S2, S3 và S4 theo thứ tự là diện tích của các tam giác OAB; OCD; OAD Và OBC Chứng minh: S1 . S2 = S3 . S4 . Câu 5 . Tìm giá trị nhỏ nhất: A = x2 - 2xy + 6y2 – 12x + 2y + 45. Đáp án Câu 1 . Ta có a1a2a3 = (a7a8)2 (1) a4a5a6a7a8 = ( a7a8)3 (2). Từ (1) và (2) => => ( a7a8)3 = a4a5a600 + a7a8 ú ( a7a8 )3 – a7a8 = a4a5a600. ú ( a7a8 – 1) a7a8 ( a7a8 + 1) = 4 . 25 . a4a5a6 do ( a7a8 – 1) ; a7a8 ; ( a7a8 + 1) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có 3 khả năng: . a7a8 = 24 => a1a2a3 . . . a8 là số 57613824. . a7a8 – 1 = 24 => a7a8 = 25 => số đó là 62515625 . a7a8 = 26 => không thoả mãn câu 2 . Đặt m = 3k + r với n = 3t + s với xm + xn + 1 = x3k+r + x3t+s + 1 = x3k xr – xr + x3t xs – xs + xr + xs + 1. = xr( x3k –1) + xs ( x3t –1) + xr + xs +1 ta thấy: ( x 3k – 1) ( x2 + x + 1) và ( x3t –1 ) ( x2 + x + 1) vậy: ( xm + xn + 1) ( x2 + x + 1) ( xr + xs + 1) ( x2 + x + 1) với r = 2 và s =1 => m = 3k + 2 và n = 3t + 1 r = 1 và s = 2 m = 3k + 1 và n = 3t + 2 mn – 2 = ( 3k + 2) ( 3t + 1) – 2 = 9kt + 3k + 6t = 3( 3kt + k + 2t) mn – 2 = ( 3k + 1) ( 3t + 2) – 2 = 9kt + 6k + 3t = 3( 3kt + 2k + t) => (mn – 2) 3 Điều phải chứng minh. áp dụng: m = 7; n = 2 => mn – 2 = 12 3. ( x7 + x2 + 1) ( x2 + x + 1) ( x7 + x2 + 1) : ( x2 + x + 1) = x5 + x4 + x2 + x + 1 Câu 3 . Giải PT: Nhân 2 vế với 6 ta được: O K E H F Câu 4 .a) Do AE// BC => A B BF// AD MặT khác AB// CD ta lại có D A1B1 C nên => EF // AB b). ABCA1 và ABB1D là hình bình hành => A1C = DB1 = AB Vì EF // AB // CD nên => AB 2 = EF.CD. c) Ta có: S1 = AH.OB; S2 = CK.OD; S3 = AH.OD; S4 = OK.OD. => ; => => S1.S2 = S3.S4 Câu 5. A = x2- 2xy+ 6y2- 12x+ 2y + 45 = x2+ y2+ 36- 2xy- 12x+ 12y + 5y2- 10y+ 5+ 4 = ( x- y- 6)2 + 5( y- 1)2 + 4 Giá trị nhỏ nhất A = 4 Khi: y- 1 = 0 => y = 1 x- y- 6 = 0 x = 7 --------------------------------------------- đề 3 Câu 1: a. Rút gọn biểu thức: A= (2+1)(22+1)(24+1).......( 2256 + 1) + 1 b. Nếu x2=y2 + z2 Chứng minh rằng: (5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (3x –5y)2 Câu 2: a. Cho (1) và (2) Tính giá trị của biểu thức A= b. Tính : B = Câu 3: Tìm x , biết : (1) Câu 4: Cho hình vuông ABCD, M ẻ đương chéo AC. Gọi E,F theo thứ tự là hình chiếu của M trên AD, CD. Chứng minh rằng: a.BM ^ EF b. Các đường thẳng BM, EF, CE đồng quy. Câu 5: Cho a,b, c, là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của P= (a+ b+ c) (). Đáp án Câu 1: a. ( 1,25 điểm) Ta có: A= (2-1) (2+1) (22+1) ........ + 1 = (22-1)(22+1) ......... (2256+1) = (24-1) (24+ 1) ......... (2256+1) ................ = [(2256)2 –1] + 1 = 2512 b, . ( 1 điểm) Ta có: (5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (5x – 3y )2 –16z2= 25x2 –30xy + 9y2 –16 z2 (*) Vì x2=y2 + z2 ị (*) = 25x2 –30xy + 9y2 –16 (x2 –y2) = (3x –5y)2 Câu 2: . ( 1,25 điểm) a. Từ (1) ị bcx +acy + abz =0 Từ (2) ị b. . ( 1,25 điểm) Từ a + b + c = 0 ị a + b = - c ị a2 + b2 –c2 = - 2ab Tương tự b2 + c2 – a2 = - 2bc; c2+a2-b2 = -2ac B = Câu 3: . ( 1,25 điểm) Û ị x= 2007 A Câu 4: a. ( 1,25 điểm) Gọi K là giao điểm CB với EM; B H là giao điểm của EF và BM ịD EMB =DBKM ( gcg) ị Góc MFE =KMB ị BH ^ EF E M K b. ( 1,25 điểm) D ADF = DBAE (cgc) ịAF ^ BE H Tương tự: CE ^ BF ị BM; AF; CE là các đường cao của DBEF ị đpcm Câu 5: ( 1,5 điểm) Ta có: D F C P = 1 + Mặt khác với mọi x, y dương. ị P / 3+2+2+2 =9 Vậy P min = 9 khi a=b=c. --------------------------------------- đề 4 Bài 1 (3đ): 1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2 + 7x + 12 b) a10 + a5 + 1 2) Giải phương trình: Bài 2 (2đ): Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức có giá trị nguyên Bài 3 (4đ): Cho tam giác ABC ( AB > AC ) 1) Kẻ đường cao BM; CN của tam giác. Chứng minh rằng: a) đồng dạng b) góc AMN bằng góc ABC 2) Trên cạnh AB lấy điểm K sao cho BK = AC. Gọi E là trung điểm của BC; F là trung điểm của AK. Chứng minh rằng: EF song song với tia phân giác Ax của góc BAC. Bài 4 (1đ): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: , ( x khác 0) Đáp án Bài 1 (3đ): 1) a) x2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4) (1đ) b) a10 + a5 + 1 = (a10 + a9 + a8 ) - (a9 + a8 + a7 ) + (a7 + a6 + a5 ) - (a6 + a5 + a4 ) + (a5 + a4 + a3 ) - (a3 + a2 + a ) + (a2 + a + 1 ) = (a2 + a + 1 )( a8 - a7 + a5 - a4 + + a3 - a+ 1 ) (1đ) 2) (+1) + ( + 1) = ( + 1) + ( + 1) (0,5đ) ( x + 100 )( + - - ) = 0 (0,25đ) Vì: + - - 0 Do đó : x + 100 = 0 x = -100 Vậy phương trình có nghiệm: x = -100 (0,25đ) Bài 2 (2đ): P = (0,5đ) x nguyên do đó x + 2 có giá trị nguyên để P có giá trị nguyên thì phải nguyên hay 2x - 1 là ước nguyên của 5 (0,5đ) => * 2x - 1 = 1 => x = 1 * 2x - 1 = -1 => x = 0 * 2x - 1 = 5 => x = 3 * 2x - 1 = -5 => x = -2 (0,5đ) Vậy x = thì P có giá trị nguyên. Khi đó các giá trị nguyên của P là: x = 1 => P = 8 x = 0 => P = -3 x = 3 => P = 6 x = -2 => P = -1 (0,5đ) Bài 3 (4đ): 1) a) chứng minh ABM đồng dạng CAN (1đ) b) Từ câu a suy ra: AMN đồng dạng ABC AMN = ABC ( hai góc tương ứng) (1,25đ) 2) Kẻ Cy // AB cắt tia Ax tại H (0,25đ) BAH = CHA ( so le trong, AB // CH) mà CAH = BAH ( do Ax là tia phân giác) (0,5đ) Suy ra: CHA =CAH nên CAH cân tại C do đó : CH = CA => CH = BK và CH // BK (0,5đ) BK = CA Vậy tứ giác KCHB là hình bình hành suy ra: E là trung điểm KH Do F là trung điểm của AK nên EF là đường trung bình của tam giác KHA. Do đó EF // AH hay EF // Ax ( đfcm) (0,5đ) Bài 4 (1đ): A = = + = A min = khi x - 2007 = 0 hay x = 2007 (0,5đ) ------------------------------------ đề 5 Câu 1 ( 3 điểm ) . Cho biểu thức A = a, Tìm điều kiện của x để A xác định . b, Rút gọn biểu thức A . c, Tìm giá trị của x để A > O Câu 2 ( 1,5 điểm ) .Giải phơng trình sau : Câu 3 ( 3,5 điểm): Cho hình vuông ABCD. Qua A kẽ hai đờng thẳng vuông góc với nhau lần lợt cắt BC tai P và R, cắt CD tại Q và S. 1, Chứng minh AQR và APS là các tam giác cân. 2, QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS . Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật. 3, Chứng minh P là trực tâm SQR. 4, MN là trung trực của AC. 5, Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng. Câu 4 ( 1 điểm): Cho biểu thức A = . Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên Câu 5 ( 1 điểm) a, Chứng minh rằng b, Cho Tính Đáp án Câu 1 a, x # 2 , x # -2 , x # 0 b , A = = = c, Để A > 0 thì Câu 2 . ĐKXĐ : PT x =1 ; x = 2 ; x = - 2/ 3 Cả 3 giá trị trên đều thỏa mãn ĐKXĐ . Vậy PT đã cho có tập nghiệm S = Câu 3: 1, ADQ = ABR vì chúng là hai tam giác vuông (để ý góc có cạnh vuông góc) và DA=BD ( cạnh hình vuông). Suy ra AQ=AR, nên AQR là tam giác vuông cân. Chứng minh tợng tự ta có: ARP=ADS do đó AP = AS vàAPS là tam giác cân tại A. 2, AM và AN là đờng trung tuyến của tam giác vuông cân AQR và APS nên ANSP và AMRQ. Mặt khác : = 450 nên góc MAN vuông. Vậy tứ giác AHMN có ba góc vuông, nên nó là hình chữ nhật. 3, Theo giả thiết: QARS, RCSQ nên QA và RC là hai đờng cao của SQR. Vậy P là trực tâm của SQR. 4, Trong tam giác vuông cân AQR thì MA là trung điểm nên AM =QR. Trong tam giác vuông RCQ thì CM là trung tuyến nên CM = QR. MA = MC, nghĩa là M cách đều A và C. Chứng minh tơng tự cho tam giác vuông cân ASP và tam giác vuông SCP, ta có NA= NC, nghĩa là N cách đều A và C. Hay MN là trungtrực của AC 5, Vì ABCD là hình vuông nên B và D cũng cách đều A và C. Nói cách khác, bốn điểm M, N, B, D cùng cách đều A và C nên chúng phải nằm trên đờng trung trực của AC, nghĩa là chúng thẳng hàng. Câu 4 . Ta có ĐKXĐ x -1/2 A = (x + 1) + vì x Z nên để A nguyên thì nguyên Hay 2x+1 là ớc của 2 . Vậy : 2x+1 = 2 x=1/2 ( loại ) 2x+1 = 1 x = 0 2x+1 = -1 x = -1 2x +1 = -2 x = -3/2 ( loại ) KL : Với x = 0 , x= -1 thì A nhận giá trị nguyên Câu 5. a, , Chứng minh Biến đổi vế phải đợc điều phải chứng minh. b, Ta có thì (vì nên ) Theo giả thiết khi đó ===================== đề 6 Bài 1 : (2 điểm) Cho biểu thức : M = a) Rút gọn b) Tìm giá trị bé nhất của M . Bài 2 : (2 điểm) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên A = Bài 3 : 2 điểm Giả ... ơng trình: Đặt y = x + 2 ta được phương trình: (y – 1)4 + (y +1)4 = 16 2y4 + 12y2 + 2 = 16 y4 + 6y2 -7 = 0 0.5 điểm Đặt z = y2 ta được phương trình: z2 + 6z – 7 = 0 có hai nghiệm là z1 = 1 và z2 = -7. 0.5 điểm y2 = 1 có 2 nghiệm y1 = 1 ; y2 = -1 ứng với x1 = -1 ; x2 = -3. y2 = -7 không có nghiệm. 0.5 điểm 2) 0.5 điểm = 0 0.5 điểm Vì 0.5 điểm Bài 3:(1,5 điểm) Ta có: a = 0,5điểm = ; 0.5 điểm Mặt khác a > 0. Do đó a không nguyên 0.5 điểm Bài 4:(3,5 điểm) Vẽ hình, viết giả thiết - kết luận đúng 0.5 điểm b c a d q p n m a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành 1 điểm b) MNPQ là hình vuông khi và chỉ khi AC = BD, ACBD 1 điểm c) SABCD =; SMNPQ =; 0.5 điểm 0.5 điểm ========================= đề 22 Bài 1 (3 điểm) a. Phân tích đa thức thành nhân tử. A = x4– 14x3 + 71x2 – 154x +120 b. Chứng tỏ đa thức A chia hết cho 24 Bài 2 ( 3 điểm) a. Tìm nghiệm nguyên tử của phương trình: b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = với x # 0 Bài 3 ( 1 điểm) Rút gọn biểu thức: P = Bài 4 ( 3 điểm ) Cho Tam giác ABC vuông cân ở A. Điểm M trên cạnh BC. Từ M kẻ ME vuông góc với AB, kẻ MF vuông góc với AC ( E AB ; F AC ) a. Chứng minh: FC .BA + CA . B E = AB2 và chu vi tứ giác MEAF không phụ thuộc vào vị trí của M. b. Tâm vị trí của M để diện tích tứ giác MEAF lớn nhất. c. Chứng tỏ đường thẳng đi qua M vuông góc với EF luôn đi qua một điểm cố định Đáp án Bài 1: a. A = x4 – 14x3+ 71x2- 154 x + 120 Kết quả phân tích A = ( x –3) . (x-5). (x-2). (x-4) ( 2điểm ) b. A = (x-3). (x-5). (x-2). (x-4) => A= (x-5). (x-4). (x-3). (x-2) Là tích của 4 số nguyên liên tiêp nên A 24 (1 điểm ) Bài 2: a. Tìm được nghiệm của phương trình x1 = 0; x2= -1 (1.5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B= với x # 0 giải và tìm được B max = 1/2 thì x = ( 1, 5 điểm ) Bài 3 Rút gọn biểu thức: P = ( 1điểm ) Bài 4: Giải a. chứng minh được F C . BA + CA. BE = AB2 (0,5 điểm ) + Chứng minh được chu vi tứ giác MEAF = 2 AB ( không phụ vào vị trí của M ) ( 0,5 điểm ) b. Chứng tỏ được M là trung điểm BC Thì diện tích tứ giác MEAF lớn nhất (1 điểm ) c. Chứng tỏ được đường thẳng MH EF luôn đi qua một điểm N cố định ( 1 điểm ) Đề 23 Cõu 1: (4đ) a, Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử A = ( x2 -2x)(x2-2x-1) - 6 b, Cho x Z chứng minh rằng x200 + x100 +1 x4 + x2 + 1 Cõu 2: (2đ) Cho x,y,z 0 thoả món x+ y +z = xyz và + + = Tớnh giỏ trị của biểu thức P = Cõu 3: (3đ) Tỡm x biết a, < 5x -4 b, + = Cõu 4: (3đ) a, Chứng minh rằng A = n3 + (n+1)3 +( n+2)3 9 với mọi n N* b, Cho x,y,z > 0 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P = Bài 5: (6đ) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A (AC > AB), đường cao AH (HBC). Trờn tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuụng gúc với BC tại D cắt AC tại E. Chứng minh rằng hai tam giỏc BEC và ADC đồng dạng. Tớnh độ dài đoạn BE theo . Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giỏc BHM và BEC đồng dạng. Tớnh số đo của gúc AHM Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: . Bài 6: (2 đ) Chứng minh rằng cỏc số tự nhiờn cú dạng 2p+1 trong đú p là số nguyờn tố , chỉ cú một số là lập phương của một số tự nhiờn khỏc.Tỡm số đú. Đề 23 Cõu1(4đ) a,đặt a = x2 -2x thỡ x2 -2x -1 = a-1 A = (x+1)(x-3)(x2-2x+2) b, A = x200 +x100 + 1= (x200-x2) + (x100-x4 )+ (x4+x2+1) =x2(x198-1)+x4(x96-1) + (x4 +x2+1) = x2((x6)33-1)+x4((x6)16-1) +(x4+x2=1)= x2(x6-1).B(x) +x4(x6-1).C(x) +(x4 +x2+1) dễ thấy x6-1 =( x3-1)(x3+1)= (x+1)(x-1)(x4 +x2+1) x4 + x2 + 1 A chia hết cho x4 + x2 + 1 .1đ 1đ 1đ 1đ Cau 2 :(2đ Cú (= + 2( (= p + 2 vậyP+2=3 suy ra P = 1 0.75đ 0,75đ 0.5đ Cõu 3: (3đ) giải 4-5x < 3x +2< 5x - 4 làm đỳng được x> 3 b, Cộng 1 vào mỗi phõn thức rồi đặt nhõn tử chung (x+100)() = 0 S = 1đ 0.5đ 1đ 0.5đ Cõu 4: 3đ a, = n3+(n3+3n2+3n+1)+(n3+6n2+12n+8) =3n3+9n2+15n+9 = 3(n3+3n2+5n+3) Đặt B= n3+3n2+5n+1 = n3+n2+ 2n2+2n + 3n+3 =n2(n+1) +2n(n+1) +3(n+1) = n(n+1)(n+2) + 3(n+1) Ta thấy n(n+1)(n+2) chia hết cho 3 ( vỡ tớch của 3 số tự nhiờn liờn tiếp ) 3(n+1) chia hết cho3 B chia hết cho 3 A =3B chia hết cho 9 b, Đặt y+z =a ; z+x =b ; x+y = c x+y+z = x = ; y = ; z= P = = = Min P = ( Khi và chỉ khi a=b=c x=y=z 0.5đ 0,5đ 0,5đ 0.5đ 1đ Cõu 5: (2đ) + Hai tam giỏc ADC và BEC cú: Gúc C chung. (Hai tam giỏc vuụng CDE và CAB đồng dạng) Do đú, chỳng dồng dạng (c.g.c). Suy ra:BEC=(vỡ tam giỏc AHD vuụng cõn tại H theo giả thiết). Nờn do đú tam giỏc ABE vuụng cõn tại A. Suy ra: 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ b) 2đ Ta cú: (do~) mà (tam giỏc AHD vuụng võn tại H) nờn (doABH Đồng dạng CBA) Do đú BHM đồng dạng BEC (c.g.c) suy ra: 0,5đ 1đ 0,5đ C) 2đ Tam giỏc ABE vuụng cõn tại A, nờn tia AM cũn là phõn giỏc gúc BAC. Suyra: , vỡ~nờn (DE//AH) Do đú: 1đ 1đ Cõu 6 Đặt: 2p+1=a3 (a >1) Ta cú 2p=(a-1)(a2+a+1) Vỡ p là số nguyờn tố nờn: Hoặc : a-1=2 suy ra p=13 ( thoả món) Hoặc: a2+a+1 =2 điều này khụng xảy ra vỡ a >1 Vởy trong cỏc số tự nhiờn cú dang 2p+1 (p là số nguyờn tố) chỉ cú 1 số là lập phương của một số tự nhiờn khỏc. 1đ 0,5đ 0,5đ Đề 24 Cõu 1: (4điểm) a. Cho: 3y-x=6 Tớnh giỏ trị biểu thức: A= b. Cho (a+b+c)2=a2+b2+c2 và a,b,c0. Chứng minh : Cõu 2: (3điểm) a. Tỡm x,y,x biết : b.Giải phương trỡnh : 2x(8x-1)2(4x-1)=9 Cõu 3: (3điểm) a. Chứng minh : a5 - a chia hết cho 30 với aZ b. Chứng minh rằng : x5 – x + 2 khụng là số chớnh phương với mọi xZ+ Cõu 4: (2điểm) Cho a,b,c>0 Chứng minh bất đẳng thức : Cõu 5: (6 điểm) cho tam giỏc ABC nhọn cú cỏc đường cao AA’ ;BB’;CC’ Cú trực tõm H a)tớnh tổng : Gọi AI là phõn giỏc của tam giỏc ABC IM; IN thứ tự là phõn giỏc của cỏc gúc AIC; AIB(MAC;NAB chứng minh: AN.BI.CM=BN.IC.AM c)Tam Giỏc ABC thỏa món Điều kiện gỡ thỡ biểu thức : đạt giỏ trị nhỏ nhất Cõu 6(2điểm) Chứng minh rằng nếu a,b,c là cỏc số hữu tỷ và ab+bc+ac=1 thỡ (1+a2)(1+b2)(1+c2) bằng bỡnh phương của số hữu tỉ. ..Hết. Đề 24 Bài Nội dung điểm Bài1 a) 2đ b) 2đ 3y-x=6 x=3y-6 Thay vào ta cú A=4 Vỡ: (a+b+c)2=a2+b2+c2 và a,b,c0. Đặt : chứng minh bài toỏnNếu x+y+z=0 thỡ: x3+y3+z3=3xyz đpcm 0,5đ 1,5đ 1đ 1đ Bài 2: a) 1,5đ b) 1,5đ . : =0 .phươngtrỡnh: 2x(8x-1)2(4x-1)=9 đặt :64x2-16x+0,5=k Ta cú pt : (k+0,5)(k-0,5)=72 Với k=8,5 Ta cú x= Với k=-8,5 phương trỡnh vụ nghiệm Vậy phương trỡnh cú 2nghiệm x=-1/4và x=1/2 1đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Bài 3 a) 1.5đ b) 1.5đ , cú: a5-a=a(a4-1)=a(a2-1)(a2+1)=a(a-1)(a+1)(a2-4+5) = a(a-1)(a+1)(a+2)(a-2)+5a(a-1)(a+1) vỡ a nguyờn nờn a(a-1)(a+1)(a+2)(a-2) là tớch 5 số nguyờn liờn tiếp nờn(2) 5a(a-1)(a+1)là tớch của 3số nguyờn liờn tiếp với 5 nờn chia hết cho 30 Từ (1); (2) suy rađpcm b,Từ bài toỏn trờn ta cú: x5-x x5-x+2 chia 5 dư 2 x5-x+2 cú tận cựng là 2 hoạc 7 (khụng cú số chớnh phương nào cú tận cựng là 2hoặc 7) Vậy: x5-x+2 khụng thế là số chớnh phương với mọi x 0, 75đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,75đ 0,5đ 0,25đ Cõu4 2đ đặt A= = = = tacú x+ >0 Nờn A8 đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1 1đ 0,5đ 0,5đ cõu 5 a) b. c) Ta cú : (1) Tương Tự: (2) (3) Từ (1); (2); (3) ta cú: = 1 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,75 đ 0,75 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ b) ỏp d ụng tớnh chất đường phõn giỏc vào cỏc tam giỏcABC, ABI, AIC: suy ra c)Vẽ Cx CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx -Chứng minh được gúc BAD vuụng, CD = AC, AD = 2CC’ - Xột 3 điểm B, C, D ta cú: BD BC + CD -BAD vuụng tại A nờn: AB2+AD2 = BD2 AB2 + AD2 (BC+CD)2 AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 -Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 (Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB=BC Tức tam giỏc ABCđều Cõu6 2đ cú 1+a2 =ab+ac+bc+a2 =(a+c)(a+b) Tương tự 1+b2 =(a+b)(b+c) 1+c2=(b+c)(a+c) đpcm 1đ 0,5đ 0,5đ Đề 25 Bài 1: (5 điểm) Cho biểu thức: a/ Thu gọn A b/ Tỡm cỏc giỏ trị của x để A<1 c/ Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để Acú giỏ trị nguyờn Bài 2: (3điểm) Cho a , b , c thỏa món điều kiện a2 + b2 + c2 = 1 Chứng minh : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ 0 Bài 3 (4 điểm): a) Giải phương trỡnh: b) Cho đa thức P(x) = x2+bx+c, trong đú b và c là cỏc số nguyờn. Biết rằng đa thức x4 + 6x2+25 và 3x4+4x2+28x+5 đều chia hết cho P(x). Tớnh P(1) Bài 4 (6 điểm): Cho hỡnh chữ nhật cú AB= 2AD, gọi E, I lần lượt là trung điểm của AB và CD. Nối D với E. Vẽ tia Dx vuụng gúc với DE, tia Dx cắt tia đối của tia CB tại M.Trờn tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho DM = EK. Gọi G là giao điểm của DK và EM. a/ Tớnh số đo gúc DBK. b/ Gọi H là chõn đường vuụng gúc hạ từ K xuống BM. Chứng minh bốn điểm A, I, G, H cựng nằm trờn một đường thẳng. Bài 5: (2 điểm) Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh: x6+3x2+1=y3 Đề 25 BÀI NỘI DUNG Bài 1 a) b) c) A= ĐKXĐX{0;1;-1} A= A= Tacú:1-A=>0 khi x-1<0 suy ra x<1 Kết hợp với điều kiện xỏc định ta cú:A<1 khi:x<1 và x≠0;-1 A= 1+ Vỡ x nguyờn nờn x-1 nguyờn để A là số nguyờn thỡ x-1là ước của 1 Hoặc x-1=1 suy ra x=2 Hoặc x-1=-1 suy ra x=0 (loai) Vởy x=2 là giỏ trị cần tỡm 1đ 0,5đ 0,5đ 1đ 0,5đ 1đ 0,5đ Bài 2: Đặt A= abc+2(1+a+b+c+ab+ac+bc) vỡ a2+b2+c2=1 Nếu abc >0 ta cú:A=abc+a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+2(a+b+c) +1 A=(a+b+c+1)2+abc(1) Nếu: abc<0 ta cú: A=2(1+a+b+c+ab+ac+bc+abc)-abc Biến đổi được :A=(1+a)(1+b)(1+c) +(-abc) Vỡ ỡ a2+b2+c2=1nờn -1 nờn (1+a)(1+b)(1+c) Và -abc nờn A (2) Từ 1 và (2) suy ra abc+2(1+a+b+c+ab+ac+bc) 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0;5đ 0,5đ 0,5đ Bài 3: a) b) Biến đổi phương trỡnh về: Đkxđ: y {3; } 3y+1=-2y+6 y=1(thoả món) vậyphương trỡnh cú nghiệm duy nhất y=1 Từ giả thiết chỉ ra: 14x2-28x +70 chia hết cho x2+bx+c (x2-2x+5 )(x2+bx+c) mà b; c là cỏc số nguyờn nờn b=-2; c=5 Khi đú P(1) =12-2.1+5 =4 0,75đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,75đ 0,75đ 0,5đ Bài 4: b) Chứng minh Tam Giỏc BEC đồng dạngTam giỏc DCM theo tỉ số 1/2 Từ đú chứng minh:CK=ED (1) EB=BC (2) =1350 (3) từ: (1);(2);(3)suy ra: Chứng minh tứ giỏc DEKM là hinhchữ nhật Suy ra tam giỏc CKM vuụng cõn tại M H là trung điểm củaCM AI//DM (cựng vuụng gúc với DE) HI//DM (T/c đường trung bỡnh) nờn A; ;I;H thẳng hàng (1) Cỏc tam giỏc CIH; CHK vuụng cõn tại Cvà H nờn KH= CI =DI Mà DI//KH nờn tứ giỏc DIKH là hỡnh bỡnh hành Lại cú tứ giỏc DEKM là hỡnh chữ nhật Do đú EM; DK; IH đồng qui tại G là trung điểm của DK vậy: GIH (2) Tử (1); (2) ta cú A;I;G;H thẳng hàng 0,5đ 0,5đ 1đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0.5đ 0,25đ 0,5đ Bài 5: Với x≠ 0 ta cú 3x4>0; 3x2>0 ta cú (x2)3 <y3<(x+1)3 nờn phương trỡnh vụ nghiệm Với x=0 ta cú y3=1 suy ra y=1 Phương trỡnh cú nghiệm nguyờn duy nhất(x;y)=(0;1) 0,5đ 1,0đ 0,25đ 0, 25đ
Tài liệu đính kèm: