Tuyển tập đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8

Đề 1
Bài 1: (3đ) Chứng minh rầng:
85 + 211 chia hết cho 17
1919 + 6919 chia hết cho 44
Bài 2: 
Rút gọn biểu thức: 
Cho . Tính 
Bài 3:(3đ)
Cho tam giác ABC . Lấy các điểm D,E theo thứ tự thuộc tia đối của các tia BA, CA sao cho BD + CE = BC. Gọi O là giao điểm của BE và CD .Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác của góc A, đường thẳmg này cắt AC ở K. Chứng minh rằng AB = CK.
Bài 4 (1đ).
Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức sau (nếu có):
M = 4x2 + 4x + 5
Đáp án
Bài 1 : (3đ)
(1,5đ) Ta có: 85 + 211 = (23)5 + 211 = 215 + 211 =211(24 + 1)=211.17
Rõ ràng kết quả trên chia hết cho 17.
(1,5đ) áp dụng hằng đẳng thức:
 an + bn = (a+b)(an-1 - an-2b + an-3b2 - - abn-2 + bn-1) với mọi n lẽ.
Ta có: 1919 + 6919 = (19 + 69)(1918 – 1917.69 ++ 6918) 
 = 88(1918 – 1917.69 + + 6918) chia hết cho 44.
Bài 2 : (3đ)
(1,5đ) Ta có: x2 + x – 6 = x2 + 3x -2x -6 = x(x+3) – 2(x+3) 
 = (x+3)(x-2).
x3 – 4x2 – 18 x + 9 = x3 – 7x2 + 3x2 - 21x + 3x + 9
=(x3 + 3x2) – (7x2 +21x) +(3x+9)
=x2(x+3) -7x(x+3) +3(x+3)
=(x+3)(x2 –7x +3)
=> = Với điều kiện x -1 ; x2 -7x + 3 0
b) (1,5đ) Vì
Do đó : xyz(++)= 3 
A
B
D
M
E
C
K
Bài 3 : (3đ) 
Chứng minh :
	Vẽ hình bình hành ABMC ta có AB = CM . 
Để chứng minh AB = KC ta cần chứng minh KC = CM. 
Thật vậy xét tam giác BCE có BC = CE (gt) => tam giác CBE cân tại C => vì góc C1 là góc ngoài của tam giác BCE => mà AC // BM (ta vẽ) => nên BO là tia phân giác của . Hoàn toàn tương tự ta có CD là tia phân giác của góc BCM . Trong tam giác BCM, OB, CO, MO đồng quy tại O => MO là phân tia phân giác của góc CMB
Mà : là hai góc đối của hình bình hành BMCA => MO // với tia phân giác của góc A theo gt tia phân giác của góc A còn song song với OK => K,O,M thẳng hàng.
Ta lại có : mà (hai góc đồng vị) => cân tại C => CK = CM. Kết hợp AB = CM => AB = CK (đpcm)
Bài 4: (1đ)
Ta có M= 4x2 + 4x + 5 =[(2x)2 + 2.2x.1 + 1] +4
= (2x + 1)2 + 4.
Vì (2x + 1)2 0 =>(2x + 1)2 + 4 4 ú M 4
Vậy giá trị nhỏ nhất của M = 4 khi x = -
-------------------------------------------------
đề 2
Câu 1 . Tìm một số có 8 chữ số: thoã mãn 2 điều kiện a và b sau:
a) b) 
Câu 2 . Chứng minh rằng: ( xm + xn + 1 ) chia hết cho x2 + x + 1.
khi và chỉ khi ( mn – 2) 3.
áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử: x7 + x2 + 1.
Câu 3 . Giải phương trình: 
 x = ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + . . . + 2006.2007).
Câu 4 . Cho hình thang ABCD (đáy lớn CD). Gọi O là giao điểm của AC và BD; các đường kẻ từ A và B lần lượt song song với BC và AD cắt các đường chéo BD và AC tương ứng ở F và E. Chứng minh:
EF // AB 
 b). AB2 = EF.CD. 
c) Gọi S1 , S2, S3 và S4 theo thứ tự là diện tích của các tam giác OAB; OCD; OAD Và OBC 
Chứng minh: S1 . S2 = S3 . S4 .
Câu 5 . Tìm giá trị nhỏ nhất: A = x2 - 2xy + 6y2 – 12x + 2y + 45.
Đáp án
Câu 1 . Ta có a1a2a3 = (a7a8)2 (1) a4a5a6a7a8 = ( a7a8)3 (2).
Từ (1) và (2) => 
=> ( a7a8)3 = a4a5a600 + a7a8 ú ( a7a8 )3 – a7a8 = a4a5a600.
ú ( a7a8 – 1) a7a8 ( a7a8 + 1) = 4 . 25 . a4a5a6 
do ( a7a8 – 1) ; a7a8 ; ( a7a8 + 1) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có 3 khả năng:
. a7a8 = 24 => a1a2a3 . . . a8 là số 57613824.
 . a7a8 – 1 = 24 => a7a8 = 25 => số đó là 62515625
 . a7a8 = 26 => không thoả mãn
	câu 2 . Đặt m = 3k + r với n = 3t + s với 
xm + xn + 1 = x3k+r + x3t+s + 1 = x3k xr – xr + x3t xs – xs + xr + xs + 1.
 = xr( x3k –1) + xs ( x3t –1) + xr + xs +1
 ta thấy: ( x 3k – 1) ( x2 + x + 1) và ( x3t –1 ) ( x2 + x + 1)
vậy: ( xm + xn + 1) ( x2 + x + 1) 
 ( xr + xs + 1) ( x2 + x + 1) với 
 r = 2 và s =1 => m = 3k + 2 và n = 3t + 1
 r = 1 và s = 2 m = 3k + 1 và n = 3t + 2
 mn – 2 = ( 3k + 2) ( 3t + 1) – 2 = 9kt + 3k + 6t = 3( 3kt + k + 2t)
 mn – 2 = ( 3k + 1) ( 3t + 2) – 2 = 9kt + 6k + 3t = 3( 3kt + 2k + t)
=> (mn – 2) 3 Điều phải chứng minh.
áp dụng: m = 7; n = 2 => mn – 2 = 12 3.
( x7 + x2 + 1) ( x2 + x + 1) 
( x7 + x2 + 1) : ( x2 + x + 1) = x5 + x4 + x2 + x + 1
Câu 3 . Giải PT: 
Nhân 2 vế với 6 ta được: 
 O K
E H F
Câu 4 .a) Do AE// BC => 	A	B
 BF// AD 
MặT khác AB// CD ta lại có
	D	A1B1	C
 nên => EF // AB
b). ABCA1 và ABB1D là hình bình hành => A1C = DB1 = AB
Vì EF // AB // CD nên => AB 2 = EF.CD.
c) Ta có: S1 = AH.OB; S2 = CK.OD; S3 = AH.OD; S4 = OK.OD.
=> ; => => S1.S2 = S3.S4
Câu 5. A = x2- 2xy+ 6y2- 12x+ 2y + 45
 = x2+ y2+ 36- 2xy- 12x+ 12y + 5y2- 10y+ 5+ 4
 = ( x- y- 6)2 + 5( y- 1)2 + 4 
Giá trị nhỏ nhất A = 4 Khi: y- 1 = 0 => y = 1
	x- y- 6 = 0 x = 7 
---------------------------------------------
đề 3
Câu 1: a. Rút gọn biểu thức:
	A= (2+1)(22+1)(24+1).......( 2256 + 1) + 1
b. Nếu x2=y2 + z2
Chứng minh rằng: (5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (3x –5y)2 
Câu 2: a. Cho (1) và (2)
Tính giá trị của biểu thức A= 
b. Tính : B = 
Câu 3: Tìm x , biết : 
 (1)
Câu 4: Cho hình vuông ABCD, M ẻ đương chéo AC. Gọi E,F theo thứ tự là hình chiếu của M trên AD, CD. Chứng minh rằng:
	a.BM ^ EF
	b. Các đường thẳng BM, EF, CE đồng quy.
Câu 5: Cho a,b, c, là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
P= (a+ b+ c) ().
Đáp án
Câu 1: a. ( 1,25 điểm) Ta có: 
	A= (2-1) (2+1) (22+1) ........ + 1
	 = (22-1)(22+1) ......... (2256+1)
	 = (24-1) (24+ 1) ......... (2256+1)
	................ 
	 = [(2256)2 –1] + 1
	 = 2512
b, . ( 1 điểm) Ta có: 
 (5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (5x – 3y )2 –16z2= 25x2 –30xy + 9y2 –16 z2 (*)
Vì 	x2=y2 + z2 ị (*) = 25x2 –30xy + 9y2 –16 (x2 –y2) = (3x –5y)2
Câu 2: . ( 1,25 điểm) a. Từ (1) ị bcx +acy + abz =0 
Từ (2) ị 
b. . ( 1,25 điểm) Từ a + b + c = 0 ị a + b = - c ị a2 + b2 –c2 = - 2ab
Tương tự b2 + c2 – a2 = - 2bc; c2+a2-b2 = -2ac
B = 
Câu 3: . ( 1,25 điểm)
 Û 
ị x= 2007	A	
Câu 4: a. ( 1,25 điểm) Gọi K là giao điểm CB với EM;	B
 H là giao điểm của EF và BM 
ịD EMB =DBKM ( gcg)
ị Góc MFE =KMB ị BH ^ EF E	 M K
b. ( 1,25 điểm) D ADF = DBAE (cgc) ịAF ^ BE H
Tương tự: CE ^ BF ị BM; AF; CE 
là các đường cao của DBEF ị đpcm
Câu 5: ( 1,5 điểm) Ta có: 	D F C
	P = 1 + 
Mặt khác với mọi x, y dương. ị P / 3+2+2+2 =9
Vậy P min = 9 khi a=b=c.
---------------------------------------
đề 4
Bài 1 (3đ):
 1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
	a) x2 + 7x + 12
	b) a10 + a5 + 1
 2) Giải phương trình: 
Bài 2 (2đ):
 Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức có giá trị nguyên
Bài 3 (4đ): Cho tam giác ABC ( AB > AC )
	1) Kẻ đường cao BM; CN của tam giác. Chứng minh rằng:
	a) đồng dạng 
	b) góc AMN bằng góc ABC
	2) Trên cạnh AB lấy điểm K sao cho BK = AC. Gọi E là trung điểm của BC; F là trung điểm của AK. 
	Chứng minh rằng: EF song song với tia phân giác Ax của góc BAC.
Bài 4 (1đ):
	Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 , ( x khác 0)
Đáp án
Bài 1 (3đ): 
1)	a) x2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4)	(1đ)
	b) a10 + a5 + 1 = (a10 + a9 + a8 ) - (a9 + a8 + a7 ) + (a7 + a6 + a5 ) - (a6 + a5 + a4 ) + (a5 + a4 + a3 ) - (a3 + a2 + a ) + (a2 + a + 1 ) = (a2 + a + 1 )( a8 - a7 + a5 - a4 + + a3 - a+ 1 )	(1đ)
2) 
(+1) + ( + 1) = ( + 1) + ( + 1)	(0,5đ)
 ( x + 100 )( + - - ) = 0	(0,25đ)
Vì: + - - 0
Do đó : x + 100 = 0 x = -100
	Vậy phương trình có nghiệm: x = -100	(0,25đ)
Bài 2 (2đ): 
P = 	(0,5đ)
	x nguyên do đó x + 2 có giá trị nguyên
để P có giá trị nguyên thì phải nguyên hay 2x - 1 là ước nguyên của 5 (0,5đ)
=> 	* 2x - 1 = 1 => x = 1
	* 2x - 1 = -1 => x = 0
	* 2x - 1 = 5 => x = 3
	* 2x - 1 = -5 => x = -2	(0,5đ)
	Vậy x = thì P có giá trị nguyên. Khi đó các giá trị nguyên của P là: 
	x = 1 => P = 8
	x = 0 => P = -3
	x = 3 => P = 6
	x = -2 => P = -1	(0,5đ)
Bài 3 (4đ): 	
1) a) chứng minh ABM đồng dạng CAN (1đ)
	b) Từ câu a suy ra: AMN đồng dạng ABC
AMN = ABC ( hai góc tương ứng)	(1,25đ)
2) Kẻ Cy // AB cắt tia Ax tại H	(0,25đ)
BAH = CHA	( so le trong, AB // CH)
mà CAH = BAH ( do Ax là tia phân giác)	(0,5đ)
Suy ra:
CHA =CAH nên CAH cân tại C
do đó :	 CH = CA	 => CH = BK và CH // BK	(0,5đ)
	BK = CA
	Vậy tứ giác KCHB là hình bình hành suy ra: E là trung điểm KH
Do F là trung điểm của AK nên EF là đường trung bình của tam giác KHA. Do đó EF // AH hay EF // Ax ( đfcm)	(0,5đ)
Bài 4 (1đ): 
	A = = + 
	 = 
	 A min = khi x - 2007 = 0 hay x = 2007 (0,5đ)
------------------------------------
đề 5
Câu 1 ( 3 điểm ) . Cho biểu thức A = 
	a, Tìm điều kiện của x để A xác định .
	b, Rút gọn biểu thức A .
	c, Tìm giá trị của x để A > O
Câu 2 ( 1,5 điểm ) .Giải phơng trình sau : 
Câu 3 ( 3,5 điểm): Cho hình vuông ABCD. Qua A kẽ hai đờng thẳng vuông góc với nhau lần lợt cắt BC tai P và R, cắt CD tại Q và S.
1, Chứng minh AQR và APS là các tam giác cân.
2, QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS . Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật.
3, Chứng minh P là trực tâm SQR.
4, MN là trung trực của AC.
5, Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng.
Câu 4 ( 1 điểm): 
 Cho biểu thức A = . Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên 
Câu 5 ( 1 điểm) 
a, Chứng minh rằng 	
b, Cho	 Tính 
Đáp án
Câu 1 
	a, x # 2 , x # -2 , x # 0 
	b , A = 
	= 
	= 
	c, Để A > 0 thì 
Câu 2 . ĐKXĐ : 
 PT 
x =1 ; x = 2 ; x = - 2/ 3
Cả 3 giá trị trên đều thỏa mãn ĐKXĐ .
Vậy PT đã cho có tập nghiệm S = 
Câu 3: 
1, ADQ = ABR vì chúng là hai tam giác vuông (để ý góc có cạnh vuông góc) và DA=BD ( cạnh hình vuông). Suy ra AQ=AR, nên AQR là tam giác vuông cân. Chứng minh tợng tự ta có:	ARP=ADS
do đó AP = AS vàAPS là tam giác cân tại A.
2, AM và AN là đờng trung tuyến của tam giác vuông cân AQR và APS nên ANSP và AMRQ.
Mặt khác : = 450 nên góc MAN vuông. Vậy tứ giác AHMN có ba góc vuông, nên nó là hình chữ nhật.
3, Theo giả thiết: QARS, RCSQ nên QA và RC là hai đờng cao của SQR. Vậy P là trực tâm của SQR.
4, Trong tam giác vuông cân AQR thì MA là trung điểm nên AM =QR.
Trong tam giác vuông RCQ thì CM là trung tuyến nên CM = QR.
MA = MC, nghĩa là M cách đều A và C.
Chứng minh tơng tự cho tam giác vuông cân ASP và tam giác vuông SCP, ta có NA= NC, nghĩa là N cách đều A và C. Hay MN là trungtrực của AC
5, Vì ABCD là hình vuông nên B và D cũng cách đều A và C. Nói cách khác, bốn điểm M, N, B, D cùng cách đều A và C nên chúng phải nằm trên đờng trung trực của AC, nghĩa là chúng thẳng hàng. 
Câu 4 . Ta có ĐKXĐ x -1/2
	A = (x + 1) + vì x Z nên để A nguyên thì nguyên 
 Hay 2x+1 là ớc của 2 . Vậy :
 2x+1 = 2 x=1/2 ( loại ) 
	2x+1 = 1 x = 0
	2x+1 = -1 x = -1
	2x +1 = -2 x = -3/2 ( loại ) 
 KL : Với x = 0 , x= -1 thì A nhận giá trị nguyên
Câu 5. a, , Chứng minh 	 
Biến đổi vế phải đợc điều phải chứng minh.
b, Ta có thì
 (vì nên )
Theo giả thiết 
khi đó 
=====================
đề 6
Bài 1 : (2 điểm) Cho biểu thức :
M = 
a) Rút gọn 
b) Tìm giá trị bé nhất của M .
Bài 2 : (2 điểm) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên 
	A = 
Bài 3 : 2 điểm
Giả ... ơng trình:
Đặt y = x + 2 ta được phương trình: 
(y – 1)4 + (y +1)4 = 16 2y4 + 12y2 + 2 = 16 
y4 + 6y2 -7 = 0	 0.5 điểm
Đặt z = y2 ta được phương trình: z2 + 6z – 7 = 0 có hai nghiệm là
 z1 = 1 và z2 = -7.	 0.5 điểm
y2 = 1 có 2 nghiệm y1 = 1 ; y2 = -1 ứng với x1 = -1 ; x2 = -3.
y2 = -7 không có nghiệm.	 0.5 điểm
	2) 	
	 0.5 điểm
	= 0 	 0.5 điểm
	Vì 	 0.5 điểm
Bài 3:(1,5 điểm) 	Ta có:
	a = 	 0,5điểm
	= ; 	 0.5 điểm
	Mặt khác a > 0. Do đó a không nguyên 	0.5 điểm
Bài 4:(3,5 điểm)
Vẽ hình, viết giả thiết - kết luận đúng	0.5 điểm
b
c
a
d
q
p
n
m
a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành	 	 1 điểm
b) MNPQ là hình vuông khi và chỉ khi AC = BD, ACBD	 1 điểm
c) 	SABCD =; 	SMNPQ =;	0.5 điểm
	0.5 điểm
=========================
đề 22
Bài 1 (3 điểm) 
a. Phân tích đa thức thành nhân tử.
A = x4– 14x3 + 71x2 – 154x +120
b. Chứng tỏ đa thức A chia hết cho 24
Bài 2 ( 3 điểm)
a. Tìm nghiệm nguyên tử của phương trình: 
b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = với x # 0 
Bài 3 ( 1 điểm) Rút gọn biểu thức: P = 
Bài 4 ( 3 điểm ) 
Cho Tam giác ABC vuông cân ở A. Điểm M trên cạnh BC. Từ M kẻ ME vuông góc với AB, kẻ MF vuông góc với AC ( E AB ; F AC )
a. Chứng minh: FC .BA + CA . B E = AB2 và chu vi tứ giác MEAF không phụ thuộc vào vị trí của M.
b. Tâm vị trí của M để diện tích tứ giác MEAF lớn nhất.
c. Chứng tỏ đường thẳng đi qua M vuông góc với EF luôn đi qua một điểm cố định
Đáp án
Bài 1: a. A = x4 – 14x3+ 71x2- 154 x + 120
Kết quả phân tích A = ( x –3) . (x-5). (x-2). (x-4)	( 2điểm )
 b. A = (x-3). (x-5). (x-2). (x-4)
=> A= (x-5). (x-4). (x-3). (x-2)
Là tích của 4 số nguyên liên tiêp nên A 24	(1 điểm )
Bài 2: a. 
Tìm được nghiệm của phương trình x1 = 0; x2= -1 (1.5 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
B= với x # 0 giải và tìm được B max = 1/2 thì x = 	 ( 1, 5 điểm )
Bài 3 Rút gọn biểu thức:
P = 	( 1điểm )
Bài 4: Giải a. chứng minh được
 F C . BA + CA. BE = AB2	(0,5 điểm )
+ Chứng minh được chu vi tứ giác 
MEAF = 2 AB 
 ( không phụ vào vị trí của M ) ( 0,5 điểm )
b. Chứng tỏ được M là trung điểm BC 
Thì diện tích tứ giác MEAF lớn nhất (1 điểm )
c. Chứng tỏ được đường thẳng
MH EF luôn đi qua một điểm N cố định ( 1 điểm )
Đề 23 
Cõu 1: (4đ)
a, Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử 
A = ( x2 -2x)(x2-2x-1) - 6 
b, Cho x Z chứng minh rằng x200 + x100 +1 x4 + x2 + 1 
Cõu 2: (2đ) 
Cho x,y,z 0 thoả món x+ y +z = xyz và + + = 
Tớnh giỏ trị của biểu thức P = 
Cõu 3: (3đ) Tỡm x biết
a, < 5x -4
b, + = 
Cõu 4: (3đ)
a, Chứng minh rằng A = n3 + (n+1)3 +( n+2)3 9 với mọi n N*
b, Cho x,y,z > 0 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức 
P = 
Bài 5: (6đ)
Cho tam giỏc ABC vuụng tại A (AC > AB), đường cao AH (HBC). Trờn tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuụng gúc với BC tại D cắt AC tại E.
Chứng minh rằng hai tam giỏc BEC và ADC đồng dạng. Tớnh độ dài đoạn BE theo .
Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giỏc BHM và BEC đồng dạng. Tớnh số đo của gúc AHM
Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: .
Bài 6: (2 đ) 
 Chứng minh rằng cỏc số tự nhiờn cú dạng 2p+1 trong đú p là số nguyờn tố , chỉ cú một số là lập phương của một số tự nhiờn khỏc.Tỡm số đú.
Đề 23
Cõu1(4đ)
a,đặt a = x2 -2x thỡ x2 -2x -1 = a-1 
A = (x+1)(x-3)(x2-2x+2)
b, A = x200 +x100 + 1= (x200-x2) + (x100-x4 )+ (x4+x2+1)
=x2(x198-1)+x4(x96-1) + (x4 +x2+1) = x2((x6)33-1)+x4((x6)16-1) +(x4+x2=1)= x2(x6-1).B(x) +x4(x6-1).C(x) +(x4 +x2+1) 
dễ thấy x6-1 =( x3-1)(x3+1)= (x+1)(x-1)(x4 +x2+1) x4 + x2 + 1 
A chia hết cho x4 + x2 + 1 
.1đ
1đ
1đ
1đ
Cau 2 :(2đ
Cú (= + 2(
(= p + 2 vậyP+2=3
suy ra P = 1
0.75đ
0,75đ
0.5đ
Cõu 3: (3đ)
 giải 4-5x < 3x +2< 5x - 4
làm đỳng được x> 3 
b, Cộng 1 vào mỗi phõn thức rồi đặt nhõn tử chung 
(x+100)() = 0 S = 
1đ
0.5đ
1đ
0.5đ
Cõu 4: 
3đ
a, = n3+(n3+3n2+3n+1)+(n3+6n2+12n+8)
=3n3+9n2+15n+9 = 3(n3+3n2+5n+3)
Đặt B= n3+3n2+5n+1 = n3+n2+ 2n2+2n + 3n+3
=n2(n+1) +2n(n+1) +3(n+1) = n(n+1)(n+2) + 3(n+1)
Ta thấy n(n+1)(n+2) chia hết cho 3 ( vỡ tớch của 3 số tự nhiờn liờn tiếp )
3(n+1) chia hết cho3 B chia hết cho 3 A =3B chia hết cho 9
b, Đặt y+z =a ; z+x =b ; x+y = c x+y+z = 
 x = ; y = ; z= 
P = = = 
 Min P = ( Khi và chỉ khi a=b=c x=y=z 
0.5đ
0,5đ
0,5đ
0.5đ
1đ
Cõu 5: (2đ)
+ Hai tam giỏc ADC và BEC cú: 
 Gúc C chung. 
 (Hai tam giỏc vuụng CDE và CAB đồng dạng)
 Do đú, chỳng dồng dạng (c.g.c). 
Suy ra:BEC=(vỡ tam giỏc AHD vuụng cõn tại H theo giả thiết).
Nờn do đú tam giỏc ABE vuụng cõn tại A.
 Suy ra: 
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,5 đ
b)
2đ
Ta cú: (do~)
mà (tam giỏc AHD vuụng võn tại H)
nờn (doABH Đồng dạng CBA)
Do đú BHM đồng dạng BEC (c.g.c)
 suy ra: 
0,5đ
1đ
0,5đ
C)
2đ
Tam giỏc ABE vuụng cõn tại A, nờn tia AM cũn là phõn giỏc gúc BAC.
Suyra: , 
vỡ~nờn (DE//AH)
Do đú: 
1đ
1đ
Cõu 6
Đặt: 2p+1=a3 (a >1) Ta cú 2p=(a-1)(a2+a+1)
Vỡ p là số nguyờn tố nờn:
Hoặc : a-1=2 suy ra p=13 ( thoả món)
Hoặc: a2+a+1 =2 điều này khụng xảy ra vỡ a >1
Vởy trong cỏc số tự nhiờn cú dang 2p+1 (p là số nguyờn tố) chỉ cú 1 số là lập phương của một số tự nhiờn khỏc.
1đ
0,5đ
0,5đ
Đề 24 
 Cõu 1: (4điểm)
a. Cho: 3y-x=6 Tớnh giỏ trị biểu thức: A= 
b. Cho (a+b+c)2=a2+b2+c2 và a,b,c0. Chứng minh : 
Cõu 2: (3điểm) 
a. Tỡm x,y,x biết : 
 b.Giải phương trỡnh : 2x(8x-1)2(4x-1)=9
Cõu 3: (3điểm)
a. Chứng minh : a5 - a chia hết cho 30 với aZ
b. Chứng minh rằng : x5 – x + 2 khụng là số chớnh phương với mọi xZ+
Cõu 4: (2điểm)
Cho a,b,c>0 Chứng minh bất đẳng thức :
 Cõu 5: (6 điểm)
cho tam giỏc ABC nhọn cú cỏc đường cao AA’ ;BB’;CC’ Cú trực tõm H
a)tớnh tổng : 
Gọi AI là phõn giỏc của tam giỏc ABC IM; IN thứ tự là phõn giỏc của cỏc gúc AIC; AIB(MAC;NAB chứng minh: AN.BI.CM=BN.IC.AM
c)Tam Giỏc ABC thỏa món Điều kiện gỡ thỡ biểu thức : 
đạt giỏ trị nhỏ nhất
Cõu 6(2điểm)
 Chứng minh rằng nếu a,b,c là cỏc số hữu tỷ và ab+bc+ac=1 thỡ 
 (1+a2)(1+b2)(1+c2) bằng bỡnh phương của số hữu tỉ. 
 ..Hết. 
Đề 24
Bài
 Nội dung
điểm
Bài1
a)
2đ
b)
2đ
 3y-x=6 x=3y-6 
Thay vào ta cú A=4
Vỡ: (a+b+c)2=a2+b2+c2 và a,b,c0. 
 Đặt : chứng minh bài toỏnNếu x+y+z=0 thỡ: x3+y3+z3=3xyz đpcm
0,5đ
1,5đ
1đ
1đ
Bài 2:
a)
1,5đ
b)
1,5đ
. : =0
.phươngtrỡnh: 
2x(8x-1)2(4x-1)=9 
đặt :64x2-16x+0,5=k
Ta cú pt : (k+0,5)(k-0,5)=72
Với k=8,5 Ta cú x= 
Với k=-8,5 phương trỡnh vụ nghiệm 
Vậy phương trỡnh cú 2nghiệm x=-1/4và x=1/2
1đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Bài 3
a)
1.5đ
b)
1.5đ
, cú: a5-a=a(a4-1)=a(a2-1)(a2+1)=a(a-1)(a+1)(a2-4+5)
 = a(a-1)(a+1)(a+2)(a-2)+5a(a-1)(a+1) 
vỡ a nguyờn nờn a(a-1)(a+1)(a+2)(a-2) là tớch 5 số nguyờn liờn tiếp nờn(2) 
 5a(a-1)(a+1)là tớch của 3số nguyờn liờn tiếp với 5 nờn chia hết cho 30
Từ (1); (2) suy rađpcm
b,Từ bài toỏn trờn ta cú: x5-x x5-x+2 chia 5 dư 2
 x5-x+2 cú tận cựng là 2 hoạc 7 (khụng cú số chớnh phương nào cú tận cựng là 2hoặc 7) Vậy:
x5-x+2 khụng thế là số chớnh phương với mọi x
0, 75đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,75đ
0,5đ
0,25đ
Cõu4
2đ
đặt A= = = = 
tacú x+ >0 Nờn A8 đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1
1đ
0,5đ
0,5đ
cõu 5
a)
b.
c)
Ta cú : (1)
Tương Tự: (2)
(3) 
Từ (1); (2); (3) ta cú: =
1 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,75 đ
0,75 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
 b) ỏp d ụng tớnh chất đường phõn giỏc vào cỏc tam giỏcABC, ABI, AIC:
 suy ra 
c)Vẽ Cx CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx 
-Chứng minh được gúc BAD vuụng, CD = AC, AD = 2CC’ 
- Xột 3 điểm B, C, D ta cú: BD BC + CD 
-BAD vuụng tại A nờn: AB2+AD2 = BD2 
 AB2 + AD2 (BC+CD)2 
 AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2
 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 
Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2
 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 
-Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 
(Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB=BC 
 Tức tam giỏc ABCđều
Cõu6
2đ
 cú 1+a2 =ab+ac+bc+a2 =(a+c)(a+b) 
 Tương tự 1+b2 =(a+b)(b+c)
 1+c2=(b+c)(a+c) đpcm 
1đ
0,5đ
0,5đ
Đề 25 
Bài 1: (5 điểm)
Cho biểu thức:
a/ Thu gọn A
b/ Tỡm cỏc giỏ trị của x để A<1
c/ Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để Acú giỏ trị nguyờn
Bài 2:
(3điểm) Cho a , b , c thỏa món điều kiện a2 + b2 + c2 = 1
Chứng minh : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ 0
Bài 3 (4 điểm):
 a) Giải phương trỡnh:
 b) Cho đa thức P(x) = x2+bx+c, trong đú b và c là cỏc số nguyờn. Biết rằng đa thức 
 x4 + 6x2+25 và 3x4+4x2+28x+5 đều chia hết cho P(x). Tớnh P(1)
Bài 4 (6 điểm):
Cho hỡnh chữ nhật cú AB= 2AD, gọi E, I lần lượt là trung điểm của AB và CD. Nối D với E. Vẽ tia Dx vuụng gúc với DE, tia Dx cắt tia đối của tia CB tại M.Trờn tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho DM = EK. Gọi G là giao điểm của DK và EM.
a/ Tớnh số đo gúc DBK.
b/ Gọi H là chõn đường vuụng gúc hạ từ K xuống BM. Chứng minh bốn điểm A, I, G, H cựng nằm trờn một đường thẳng.
Bài 5: (2 điểm)
 Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh: x6+3x2+1=y3
Đề 25
BÀI
 NỘI DUNG
Bài 1
a)
b)
c) 
A= ĐKXĐX{0;1;-1}
A=
A=
Tacú:1-A=>0 khi x-1<0 suy ra x<1
Kết hợp với điều kiện xỏc định ta cú:A<1 khi:x<1 và x≠0;-1
A= 1+
Vỡ x nguyờn nờn x-1 nguyờn để A là số nguyờn thỡ x-1là ước của 1
Hoặc x-1=1 suy ra x=2
Hoặc x-1=-1 suy ra x=0 (loai)
 Vởy x=2 là giỏ trị cần tỡm
1đ
0,5đ
0,5đ
1đ
0,5đ
1đ
0,5đ
Bài 2:
Đặt A= abc+2(1+a+b+c+ab+ac+bc) vỡ a2+b2+c2=1
Nếu abc >0 ta cú:A=abc+a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+2(a+b+c) +1
A=(a+b+c+1)2+abc(1)
Nếu: abc<0 ta cú:
A=2(1+a+b+c+ab+ac+bc+abc)-abc
Biến đổi được :A=(1+a)(1+b)(1+c) +(-abc)
Vỡ ỡ a2+b2+c2=1nờn -1 nờn (1+a)(1+b)(1+c)
Và -abc nờn A (2)
Từ 1 và (2) suy ra abc+2(1+a+b+c+ab+ac+bc)
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0;5đ
0,5đ
0,5đ
Bài 3:
a)
b)
Biến đổi phương trỡnh về:
Đkxđ: y {3; }
3y+1=-2y+6
 y=1(thoả món) vậyphương trỡnh cú nghiệm duy nhất y=1
Từ giả thiết chỉ ra: 14x2-28x +70 chia hết cho x2+bx+c 
(x2-2x+5 )(x2+bx+c) mà b; c là cỏc số nguyờn nờn b=-2; c=5
Khi đú P(1) =12-2.1+5 =4
0,75đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,75đ
0,75đ
0,5đ
Bài 4:
b)
Chứng minh Tam Giỏc BEC đồng dạngTam giỏc DCM theo tỉ số 1/2
Từ đú chứng minh:CK=ED (1)
EB=BC (2) 
=1350 (3)
từ: (1);(2);(3)suy ra: 
Chứng minh tứ giỏc DEKM là hinhchữ 
nhật 
Suy ra tam giỏc CKM vuụng cõn tại M 
H là trung điểm củaCM
AI//DM (cựng vuụng gúc với DE) HI//DM (T/c đường trung bỡnh) nờn A; ;I;H thẳng hàng (1)
Cỏc tam giỏc CIH; CHK vuụng cõn tại Cvà H nờn KH= CI =DI
Mà DI//KH nờn tứ giỏc DIKH là hỡnh bỡnh hành
Lại cú tứ giỏc DEKM là hỡnh chữ nhật
Do đú EM; DK; IH đồng qui tại G là trung điểm của DK 
vậy: GIH (2)
Tử (1); (2) ta cú A;I;G;H thẳng hàng
0,5đ
0,5đ
1đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0.5đ
0,25đ
0,5đ
Bài 5:
Với x≠ 0 ta cú 3x4>0; 3x2>0 ta cú
(x2)3 <y3<(x+1)3 nờn phương trỡnh vụ nghiệm
Với x=0 ta cú y3=1 suy ra y=1
Phương trỡnh cú nghiệm nguyờn duy nhất(x;y)=(0;1)
0,5đ
1,0đ
0,25đ
0, 25đ