Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Năm học 2011-2012 - Nguyễn Trí Lợi

Chuyên đề
Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
******************************************************************
I. Phương pháp đặt nhân tử chung
1. Phương pháp
	+ Tìm nhân tử chung là những đơn thức, đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử. 
	+ Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một hạng tử.
	+ Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu
 ngoặc. (Dựa và tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng).
2. Ví dụ
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
5xy - x2y2 + 2x2y
2x(x-y) + 3y(y-x)
20xy(y+z) - 5(2y+2z)z2
Bài làm
5xy - x2y2 + 2x2y = xy(5-xy+2x)
b) 2x(x-y) + 3y(y-x) = 2x(x-y) - 3y(x-y) = (x-y)(2x-3y)
c) 20yz(y+z) - 5(2y+2z)z2 = 20yz(y+z) - 10(y+z)z2 = 10z(y+z)(2y-z)
3. Bài tập
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
12xy2 - 3xy + 3y
15x + 10y - 20z
x(y-2008) - 3y(y-2008)
x(y+1) + 3(y2+2y+1)
Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau.
85.12,7+5.3.12,7
x(x-y) + y(y-x) Với x=53 và y=3
2x3(x-y) + 2x3(y-x) + 2x3(z-x) Với x=2008; y=2009; z=2010
II. Phương pháp dùng hằng đẳng thức.
Phương pháp
Sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích các nhân tử hoặc dưới dạng luỹ thừa của một đa thức đơn giản.
* Môt số hằng đẳng thức
1. (A+B)2 = A2 + 2AB + B2
2. (A-B)2 = A2 - 2AB + B2
3. A2-B2 = (A-B).(A+B)
4. (A+B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 
5. (A-B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 
6. A3+B3 = (A+B)(A2-AB+B2)
7. A3-B3 = (A-B)(A2+AB+B2)
8. (A+B+C)2 = A2 + B2 + C2 +2AB + 2BC + 2AC
9. An-Bn = (A-B)(An-1+An-2B++ABn-2+Bn-1)
10. A2k-B2k = (A+B)(A2k-1-A2k-2B+-B2k-1)
11. A2k+1+B2k+1 = (A+B)(A2k-A2k-1B+A2k-2B2-+B2k)
12. (A+B)n = An + nAn-1B - An-2B2 ++A2Bn-1 + Bn
13. (A-B)n = An-nAn-1B + An-2B2 -+(-1)nBn 
2. Ví dụ
2.1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) x6 - y6
b) 9x2 + 6xy + y2
c) (3x+1)2 - (x+1)2
d) x3 - 3x2 + 3x - 1
Bài làm
x6 - y6 = (x3)2-(y3)2 = (x3-y3)(x3+y3) = [(x-y)(x2+xy+y2)][(x+y)( x2-xy+y2)]
9x2 + 6xy + y2 = (3x)2 + 2.(3x)y + y2 = (3x+y)2
(3x+1)2 - (x+1)2 = [(3x+1)-(x+1)][(3x+1)+(x+1)]= 2x(4x+2) = 4x(2x+1)
x3 - 3x2 + 3x - 1 = (x-1)3
2.2 Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) a3 + b3 + c3 - 3abc
b) (a+b+c)3 - a3 - b3 - c3
Bài làm
a3 + b3 + c3 - 3abc = (a+b)3 - 3ab(a+b) + c3 - 3abc = (a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2] - 3ab(a+b+c)
 =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)
(a+b+c)3 - a3 - b3 - c3 = (a+b)3 + c3 + 3c(a+b)(a+b+c) - a3 - b3 - c3
 = 3(a+b)(ab+bc+ac+c2) = 3(a+b)(b+c)(c+a)
Bài tập
Bài 3. Phân tích đa thức thành nhân tử.
(x-24)2 - 25
16 - (3-x)2
(7x-4)2 - (2x+1)2
49(y-4)2 - 9(y+2)2
Bài 4. Phân tích đa thức thành nhân tử.
8x3 + 27y3
(x-1)3 + (x+2)3
1 - y3+ 6xy2 - 12x2y +8x3
20082 - 16
III. phương pháP nhóm nhiều hạng tử.
Phương pháp
Sử dụng cac tích chất giao hoán, kết hợp để nhóm các hạng tử thích hợp vào từng nhóm.
áp dụng các phương pháp phân tích đa thức khác để giải toán.
Ví dụ
Phân tích đa thức thành nhân tử.
x2 - x - y2 - y
7x2 - 7xy - 4x + 4y
x2 - 2xy - z2 + y2
xy(x+y) + yz(y+z) + xz(x+z) + 2xyz
Bài làm
x2 - x - y2 - y = (x2-y2) - (x+y) = (x+y)(x-y) - (x+y) = (x+y)(x-y-1)
Cách 1: 7x2 - 7xy - 4x + 4y = (7x2 - 7xy) - (4x - 4y)
 = 7x(x-y) - 4(x-y) = (x-y)(7x-4)
 Cách 2: 7x2 - 7xy - 4x + 4y = (7x2 - 4x) - (7xy - 4y) = x(7x-4) - y(7x-4) = (x-y)(7x-4)
x2 - 2xy - z2 + y2 = (x2 - 2xy + y) - z2 = (x-y)2 - z2 = (x-y-z)(x-y+z)
xy(x+y) + yz(y+z) + xz(x+z) + 2xyz = [xy(x+y)+xyz)] + [yz(y+z)+xyz)]+xz(x+z)
 = xy(x+y+z) +yz(x+y+z) + xz(x+z)= y(x+y+z)(x+z) = xz(x+z)= (x+z)(xy+y2+yz+xz)
 = (x+z)(x+y)(y+z)
- Phân tích đa thức thành nhân tử
x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 2xyz
x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 3xyz
Bài làm
x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 2xyz= (x2z + y2z + 2xyz) + x2y + xy2 + x2z + yz2 
 = z(x+y)2 + xy(x+y) + z2(x+y) = (x+y)(xz+yz+xy+z2)= (x+y)[(xz+xy)+(yz+z2)] 
 = (x+y)[x(z+y)+z(y+z)]= (x+y)(x+z)(y+z)
x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 3xyz= (x2y+ x2z+xyz) + (xy2+y2z+xyz) + (xz2+yz2+xyz)
= x(xy+xz+yz) + y(xy+yz+xz) + z(xz+yz+xy)= (x+y+z)( xy+xz+yz)
Bài tập
Bài 5. Phân tích đa thức thành nhân tử
x4 + 3x2 - 9x - 27
x4 + 3x3 - 9x - 9
a3 - a2x - ay + xy
Bài 6. Phân tích đa thức thành nhân tử
x(y2 - z2) + y(z2 - y2) + z(x2 - y2)
xy(x - y) - xz(x - z) - yz(2x + y - z)
x(y + z)2 + y(z + x)2 + z(x + y)2 - 4xyz
yz(y + z) + xz(z - x) - xy(x + y)
IV. Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp
Phương pháp
Vận dụng linh hoạt các phương pháp đã biết và thương tiến hành theo trình tự sau:
Đặt nhân tử chung
Dùng hằng đẳng thức
Nhóm nhiều hạng tử
Ví dụ.
 Phân tích đa thức thành nhân tử
3x3 - 27x
x3 - x + 3x2y + 3xy2 + y3 - y
Bài làm
3x3 - 27x = 3x(x2 - 9) = 3x(x - 3)(x + 3)
x3 - x + 3x2y + 3xy2 + y3 - y= (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 ) - (x + y)
= (x + y)3 - (x + y) = (x + y)[(x + y)2 - 1)]= (x + y)(x + y - 1)(x + y + 1)
Bài tập
Bài 7. Phân tích đa thức thành nhân tử.
2a2b + 4ab2 - a2c + ac2 - 4b2c + 2bc2 - 4abc
8x3(x+z) - y3z+2x) - z3(2x-y)
[(x2+y2)(a2+b2) + 4abxy]2 - 4[(a2+b2) + ab(x2+y2)]2
Bài 8. Phân tích đa thức thành nhân tử.
 (x+y+z)3 - x3 - y3 - z3
 Hướng dẫn
	(x+y+z)3 - x3 - y3 - z3 = [(x+y+z)3 - x3 ] - (y3 + z3)
 = (x + y + z - x)[(x + y + z)2 + (x + y + z)x + x2] - (y + z)(y2 - yz + z2)
= (y + z)(x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2xz + xy + xz + x2 + x2 - y2+ yz - z2)
= (y + z)(3x2 + 3xy + 3xz + 3yz) = 3(x + y)(y + z)(x + z)
V. phương pháp tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử.
1. Phương pháp
Trong phương pháp này ta tách một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử thích hợp, để làm xuất hiện những nhóm số hạng mà ta có thể phân tích thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức
Ví dụ.Phân tích đa thức sau thành nhân tử. x3 - 7x - 6
Bài làm
Cách 1: x3 - 7x - 6 = x3 - x - 6x - 6 = x(x2 - 1) - 6(x + 1) = (x + 1)(x2 - x - 6)
= (x + 1)(x2 - 4 - x - 2) = (x + 1)[(x - 2)(x + 2) - (x+2)] = (x + 1)(x + 2)(x - 3)
Cách 2: x3 - 7x - 6
	= x3 - 4x - 3x - 6 = x(x2 - 4) - 3(x + 2) = (x + 2)(x2 - 2x - 3)
	= (x + 2)(x2 - 1 - 2x - 2) = (x + 2)[(x - 1)(x + 1) - 2(x + 1)]
= (x + 2)(x + 1)(x - 3)
Bài tập
Bài 9. Phân tích đa thức thành nhân tử.
x2 - 2x - 3
x2 - 6x + 5
x2 - 10x + 16
x2 + 14x + 48
Bài 10. Phân tích đa thức thành nhân tử.
x3 + 4x2 - 29x + 24
x3 + 6x2 + 11x + 6
x2 -7xy + 10y
x8 + x + 1
VI. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử.
Phương pháp.
Trong phương pháp này ta thêm hay bớt cùng một hạng tử vào đa thức đã cho để làm xuất hiện các nhóm số hạng mà ta có thể phân tích được thành nhân tử bằng các phương pháp: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đảng thức
Ví dụ
 Phân tích đa thức thành nhân tử.
x3 - 7x - 6 = x3 + 8 - 7x - 14 = (x + 2)(x2 - 2x + 4) - 7(x + 2)
= (x + 2)(x2 - 2x - 3) = (x + 2)(x2 - 2x + 1 - 4) = (x + 2)[(x - 1)2 - 4]
= (x + 2)(x - 1 - 2)(x - 1 + 2) = (x + 2)(x - 3)(x + 1)
2.2. Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x4 + 4y4 b) x8 + x +1
Bài làm
x4 + 4y4 = x4 + 4x2y2 + 4y4 - 4x2y2 = (x2 + 2y2)2 - 4x2y2 =(x2 + 2y2 – 2xy)(x2 + 2y2 + 2xy)
x8 + x +1 = x8 - x2 + x2 + x + 1 = x2(x4 - 1) + (x2 + x + 1) = x2(x2 - 1)(x2 + 1) + (x2 + x + 1) 
 = x2(x - 1)(x3 + 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)= (x2 + x + 1)(x6 - x5 + x3 - x2 + 1)
Bài tập
Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử.
x5 + x4 + 1
x8 + x7 + 1
x8 + 4
Bài 12. Phân tích đa thức thành nhân tử
x3 + 5x2 + 3x – 9
x3 + 9x2 + 11x – 21
x16 + x8 – 2
Bài 13. Phân tích đa thức thành nhân tử.
x3 – 5x2 + 8X -4
x3 – 3x = 2
x3 – 5x2 + 3x + 9
x3 + 8x2 + 17x + 10
x3 +3x2 + 6x + 4
Một số phương pháp khác
VII. Phương pháp đặt biến số (đặt biến phụ)
Phương pháp
Một số bài toán phân tích đa thức thành nhân tử mà trong đa thức đã cho có biểu thức xuất hiện nhiều lần. Ta đặt biểu thức ấy là một biến mới. Từ đó viết đa thức thành đa thức dưới biến mới dễ phân tích thành nhân tử hơn.
Ví dụ.
 Phân tích đa thức thành nhân tử.
6x4 – 11x2 + 3
(x2 + x + 1)2(x2 + x + 2) – 12
(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24
Bài làm
Đặt x2 = y. Đa thức đã cho trở thành: 6y2 – 11y + 3 = (3y – 1)(2y – 3)
Trả lại biến cũ: 6y2 – 11y + 3 = (3x2 – 1)(2x2 – 3)
 = (x – 1)( x + 1)(x - )(x + )
(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24 = (x2 + 7x + 10)(x2 +7x + 12) -24
Đặt x2 + 7x + 11 = t . Suy ra: x2 + 7x + 10 = t – 1
 x2 +7x + 12 = t + 1
(x2 + 7x + 10)(x2 +7x + 12) -24 = (t – 1)(t + 1) – 24 = t2 – 25 = (t – 5)(t + 5)
Trả lại biến cũ: 
(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24 = (x2 + 7x + 11 – 5)( x2 + 7x + 11 + 5)
= (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6)( x2 + 7x + 16)
3. Bài tập
Bài 14. Phân tích đa thức thành nhân tử.
(x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 15 
(x2 + 2x)2 + 9x2 + 18x + 20
(x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2 
Bài 15. Phân tích đa thức thành nhân tử.
(4x + 1)(12x – 1)(3x + 2)(x + 1) – 4
4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) – 3x2 
(x2 + 1)4 + 9(x2 + 1)3 + 21(x2 + 1)2 – x2 – 31
3x6 – 4x5 + 2x4 – 8x3 + 2x2 – 4x + 3
VIII. Phương pháp hệ số bất định
Phương pháp
Sử dụng tính chất: Hai đa thức cùng bậc bằng nhau thì hệ số tương ứng của chúng phải bằng nhau. 
Ví dụ.
 Phân tích đa thức thành nhân tử.
A = x3 + 11x + 30
Vì A là đa thức bậc 3, hệ số cao nhất là 1. Nên nếu A phân tích được thì A có dạng: 
A = (x + a)(x2 + bx + c) = x3 + (a + b)x2 + (ab + c)x + ac
Û x3 + 11x + 30 = x3 + (a + b)x2 + (ab + c)x + ac
Đồng nhất hệ số ta có: 
Chọn a=2 ị c = 15; b = -2
Vậy x3 + 11x + 30 = (x + 2)(x2 -2x + 15)
B = x4 – 14x3 + 15x2 – 14x + 1
Vì B là đa thức bậc 4, có hệ số cao nhất là 1. Nên nếu phân tích được thành nhân tử thì B có dạng:
B = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) 
Û B = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd 
Đồng nhất hệ số, ta có:
 hoặc 
Do vậy B = (x2 – x + 1)(x2 -13x + 1)
Hoặc B = (x2 – 13x + 1)(x2 – x + 1)
Bài tập
Bài 16. Phân tích đa thức thành nhân tử.
x3 + 4x2 + 5x + 2
2x4 – 3x3 – 7x2 + 6x + 8
5x4 + 9x3 – 2x2 – 4x – 8
Bài 17. Tìm các số a, b, c.
x4 - 2x3 + 2x2 – 2x + a = (x2 – 2x + 1)(x2 + bx + c)
x3 + 3x2 – x – 3 = (x – 2)(x2 + bx + c) + a
4x3 + 7x2 + 7x – 6 = (ã + b)(x2 + x + 1) + c
IX. Phương pháp xét giá trị riêng
1. Phương pháp
	Khi các biến có vai trò như nhau trong đa thức thì ta xét giá trị riêng.
2. Ví dụ. 
Phân tích đa thức thành nhân tử.
P = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 .
Coi P là một đa thức của biến x.
Khi đó nếu x = -y thì P = 0 ị P (x + y)
Trong P vai trò của x, y, z như nhau nên:
P (x + z)
P (y + z)
ị P = (x + y)(x + z)(y + z).Q
Mà P là đa thức bậc hai đối với biến x, y, z nên Q là hằng số.
Với x = 0; y = z = 1, ta có Q = 3
Vậy P = 3(x + y)(x + z)(y + z)
b) M = a(b + c)(b2 – c2) + b(c + a)(c2 – a2) + c(a + b)(a2 – b2)
- Coi M là đa thức của biến a
- Khi a = b thì M = 0 ị M (a – b)
- Trong M vai trò của a, b, c như nhau nên:
M (b – c)
M (c – a)
ị M = (a – b)(b – c)(c – a).N
Vì M là đa thức bậc 3 đối với biến a nên N là đa thức bậc nhất đói với biến a ...  của 2 đường chéo. Qua O kẻ đường thẳng song song với 2 đáy cắt BC ở I cắt AD ở J.
CMR : 	a) = + 
	b) = + 
+ Bài 2: Cho DABC, phân giác AD (AB < AC). trên tia đối của tia DA lấy điểm I sao cho = .
CMR: 	a) AD . DI = BD . DC
	b) AD2 = AB . AC - BD . DC
Dạng 3: 	Chứng minh quan hệ song song
I. Mục tiêu chung :
- Học sinh vận dụng định nghĩa tam giác đồng dạng, các trường hợp đồng dạng của tam giác, định lý Ta lét đảo, để giải quyết các bài toán về chứng minh quan hệ song song.
- Thông bao các bài tập khắc sâu các kiến thức về tam giác đồng dạng, định lý Ta – lét đảo.
- Rèn kỹ năng tư duy, suy luận lô gic, sáng tạo khi giải bài tập.
II. Kiến thức áp dụng.
- Định nghĩa tam giác đồng dạng.
- Các trường hợp đồng dạng của tam giác.
- Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.
* Ví dụ minh họa:
+ Ví dụ 1:
	Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi M là trung điểm của CD, E là giao điểm của MA và BD; F là giao điểm của MB và AC.
Chứng minh rằng EF / / AB
 A B	ABCD (AB // CD)
	DM = MC 
	 E F	gt	MA ầ DB = 
	MB ầ AC	= 
	KL	EF // AB
 D M C
Định hướng giải:
- Sử dụng trường hợp đồng dạng của tam giác
- Định nghĩa hai tam giác đồng dạng
- Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song (định lý Ta lét đảo)
Sơ đồ phân tích: 
AB // CD (gt)	AB // CD (gt)
ò	ò
 AB // DM 	 AB // MC
ò	ò
DMED P D AEB	GT	DMFC P DBFA
 ò	 ò	 ò
 = ; 	 MD = MC	 = 
 ò
	 = 
 ò
EF // AB (Định lý Ta lét đảo)
+ Ví dụ 2:
Cho D ABC có các góc nhọn, kẻ BE, CF là hai đường cao. Kẻ EM, FN là hai đường cao của DAEF.
Chứng minh MN // BC
Sơ đồ phân tích
DAMF P DAFC (g.g);	DAFN P DABE
ò	 ò
 = 	 = 	 A
ò M N
 . = . F E
	ò
 = B C
ò
MN // BC (định lý Ta – lét đảo)
+ Ví dụ 3: Cho DABC, các điểm D, E, F theo thứ tự chia trong các cạnh AB, BC, CA theo tỷ số 1 : 2, các điểm I, K theo thứ tự chia trong các đoạn thẳng ED, FE theo tỉ số 1 : 2. Chứng minh rằng IK // BC.
Gọi M là trung điểm của AF
Gọi N là giao điểm của DM và EF A
I
K
F
Xét D ADM và D ABC có : D M N
 = = Góc A chung 
ịDADM P DABC (c.gc) B E C
ị = mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên DM // BC
ị MN // EC mà MF = FC nên EF = FN
Ta có : = . = . = (1)
mà = (gt) (2)
Từ 91) và (2) ị = Suy ra IK // DN (định lý Ta – lét đảo)
Vậy IK // BC.
* Bài tập đề nghị:
Cho tứ giác ABCD, đường thẳng đi qua A song song với BC cắt BD. Đường thẳng đi qua B và song song với AD cắt AC ở G. Chứng mi9nh rằng EG // DC
Dạng 4 : 	Chứng minh tam giác đồng dạng
I. Các ví dụ và định hướng giải:
+ Ví dụ: 
B
F
D
A
E
 3,6
 C
 2,4
Cho DABC; AB = 4,8cn; AC = 6,4cm; BC = 3,6cm
Trên AB lấy điểm D sao cho AD = 3,2cm, trên AC 
lấy điểm E sao cho AE = 2,4cm, kéo dài ED cắt CB ở F.
CMR : D ABC P DAED
DFBD P DFEC
Tính ED ; FB?
Bài toán cho gì?
Dạng toán gì? 
Để chứng minh 2 D đồng dạng có những phương
 pháp nào?
Bài này sử dụng trường hợp đồng dạng thứ mấy?
Sơ đồ chứng minh:
a) 	 GT
 	 ò
	 chung 
	 = = 2
 ò
DABC P DAED (c.g.c)
DABC P D AED (câu a)
b) ò
	 = ; = 	
 ò
	 = 
	 chung
 ò
DFBD P DFEC (g.g)
c) Từ câu a, b hướng dẫn học sinh thay vào tỷ số đồng dạng để tính ED và FB.
A
E
C
M
B
D
1
1
+ Ví dụ 2: Cho DABC cân tại A; BC = 2a; M là trung điểm của BC. Lấy các điểm D và E trên AB; AC sao cho = .
a) CMR : DBDM P DCME
b)	 DMDE P DDBM
c) BD . CE không đổi 
? Để chứng minh DBDM P DCME ta cần chứng minh điều gì.
? Từ gt đ nghĩ đến 2D có thể P theo trường hợp nào (g.g)
? Gt đã cho yếu tố nào về góc. ( = )
? Cần chứng minh thêm yếu tố nào ( = )
Hướng dẫn sơ đồ 
gt	góc ngoài DDBM
 ò ò
 	 = ; = + ; = + 
DABC cân 
 ò 	 ò
 = 	; 	 = 
 ò
DBDM P DCME (gg)
Câu a	 gt
 ò ò
b)	 = ; CM = BM
 ò
 = 
 ò
 = (gt) ; 
 ò
	DDME P DDBM (c.g.c)
c) Từ câu a : DBDM P DCME (gg)
ị ị BD . CE = Cm . BM
Mà CM = BM = = a
ị BD . CE = (không đổi)
Lưu ý: 	Gắn tích BD . CB bằng độ dài không đổi
	Bài đã cho BC = 2a không đổi 
A
Q
F
B
M
D
N
C
P
E
	Nên phải hướng cho học sinh tính tích BD. CE theo a 
+ Ví dụ 3: Cho DABC có các trung điểm
của BC, CA, AB theo thứ tự là D, E, F.
Trên cạnh BC lấy điểm M và N sao 
cho BM = MN = NC. Gọi P là 
giao điểm của AM và BE; 
Q là giao điểm của CF và AN.
CMR: a) F, P, D thẳng hàng; D, Q, E thẳng hàng.
 b) DABC P DDQP
* Hướng dẫn 
a) Giáo viên hướng dẫn học sinh chứng minh 3 điểm thẳng hàng có nhiều phương pháp. Bài này chọn phương pháp nào?
- Lưu ý cho học sinh bài cho các trung điểm đ nghĩ tới đường trung bình D.
đ Từ đó nghĩ đến chọn phương pháp: CM cho 2 đường thẳng PD và FP cùng // AC
ịF, P, D thẳng hàng 
PD là đường trung bình DBEC đ PD // AC
FP là đường trng bình DABE đ FP // AC
Tương tự cho 3 điểm D, Q, E
PD = . EC = . = 
 (Đơn vị EF // AB)
 (so le trong PD // AC)
 = 4 
 = 4 	
 ò ò	
	; 
 ò
DABC P DDQP (c.g.c)
Dạng chứng minh tam giác đồng dạng.
II. Bài tập đề nghị
+ Bài 1: Cho DABC, AD là phân giác ; AB < AC. Trên tia đối của DA lấy điểm I sao cho . Chứng minh rằng.
DADB P DACI; DADB P DCDI
AD2 = AB. AC - BD . DC
+ Bài 2: Cho DABC; H, G, O lần lượt là trực tâm, trọng tâm, giao điểm 3 đường trung trực của D. Gọi E, D theo thứ tự là trung điểm của AB và AC.
Chứng minh : 
D OED P D HCB
D GOD P D GBH
Ba điểm O, G, H thẳng hàng và GH = 2OG
+ Bài 3: Cho DABC có Ab = 18cm, AC = 24cm, BC = 30cm. Gọi M là trung điểm BC. Qua M kẻ đường vuông góc với BC cắt AC, AB lần lượt ở D, E.
CMR : DABC P DMDC
Tính các cạnh DMDC
Tính độ dài BE, EC
+ Bài 4: Cho DABC; O là trung điểm cạnh BC.
Góc = 600; cạnh ox cắt AB ở M; oy cắt AC ở N.
Chứng minh: DOBM P DNCO
Chứng minh : DOBM P DNOM
Chứng minh : MO và NO là phân giác của và 
Chứng minh : BM. CN = OB2	
Dạng 5: Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau 
Ví dụ 1: Bài 20 T 68 – SGK
Cho hình thang ABCD (AB// CD). Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Đường thẳng a qua O và song song với đáy của hình thang cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự tại E và F.
Chứng minh rằng : OE = Oì
D
E
A
B
F
C
Định hướng 
H:Bài cho đường thẳng EF // AB (và CD)
TL: Các tam giác đồng dạng và các đoạn thẳng tỷ lệ 
H: EO và đoạn nào trên hình vẽ sẽ thường lập được tỷ số?
TL: .
H: Vậy OF trên đoạn nào? (gợi ý)
TL: 
Sơ đồ giải 
OE = OF
í
 = 
í
 = ; = ; =
í í í
DAEC DBOF DAOB
P P P
DADC DBDC DCOD
 í í
 EF // DC AB // CD
í
gt
H: Vậy để chứng minh đoạn thẳng bằng nhau (OE = OF) ta sẽ đưa về chứng minh điều gì?
TL : = (1) 
H: OE; DC là cạnh của những tam giác nào? (DAEO; DADC, các tam giác này đã đồng dạng chưa? Vì dao?
H: Đặt câu hỏi tương tự cho OF , DC.
H: lập tỷ số bằng = 
TL: = ; = 
H: Vậy để chứng minh (1) ta cần chứng minh điều gì?
TL: = 
H: Đây là tỷ số có được từ cặp tam giác đồng dạng nào?
TL: D AOB; D COD
H: Hãy chứng minh điều đó.
Ví dụ 2: Bào 10 – T67 – SGK:
Cho hình thang ABCD (AB // CD) đường thẳng song song với đáy Ab cắt các cạnh bên và các đường chéo AD, BD, AC và BC theo thứ tự tại các điểm M, N, P, Q.
CMR: MN = PQ
Định hướng giải: Đây là bài tập mở rộng hơn so với ví dụ 1.
Từ hệ quả của định lý Talet cho ta các tam giác đồng dạng và ta chứng minh được:
D
M
A
B
Q
C
P
N
O
E
	 = 
	 = 
	 = (kéo dài AD cắt BC tại E
 rồi chứng minh 
	ị = ị MN = PQ
Ví dụ 3: Bài 32 – T77 – SGK
Trên một cạnh của góc xoy ( ạ 1800), đặt các đoạn thẳng OA = 5cm, OB = 16cm. Trên cạnh thứ nhất của góc đó, đặt các đoạn thẳng OC = 8cm, OD = 10cm.
a) Chứng minh hai tam giác OCB và OAD đồng dạng.
x
y
D
I
C
A
B
b) Gọi giao điểm các cạnh AB và BC là I, CMR: Hai tam giác IAB và IBC có các góc bằng nhau từng đôi một.
 5
 O
 8
 10
ị = 	ị DOBC P D ODA
Góc O chung 	
DIAB và DICD ta dễ nhìn thấy không bằng nhau. Do đó để chứng minh chúng có các góc bằng nhau từng đôi một ta đi chứng minh đồng dạng.
Vì DOBC P DODA nên = (1)
Mặt khác ta có (đối đỉnh)
ị DBAI P DDCI (g.g)
ị 
Ví dụ 4: Bài 36 – T72 – SGK
Hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 4cm, CD = 16cm và BD = 8cm
Chứng minh : Ta chỉ xét chứng minh 
Xét DBAD và DDBC có AB // CD do đó : 
 (so le trong )
D
A
B
C
ị ( cùng bằng ) 
ị DBAD P DDBC (c.g.c) 
ị 
Ví dụ 4: Bài 60 – T77 – SBT
Tam giác ABC có hai trung tuyến AK và CL cắt nhau tại O. Từ một điểm P bất kỳ trên cạnh AC, vẽ các đường thẳng PE song song với AK, PF song song với CL ( E thuộc BC, F thuộc AB) các trung tuyến Ak, CL cắt đoạn thẳng EF theo thứ tự tại M, N
Chứng minh rằng các đoạn thẳng FM, MN, NE bằng nhau.
L
B
K
E
C
P
A
M
N
O
Định hướng giải:
Từ giả thiết cho song song ta suy ra 
các tỷ lệ thức và tam giác đồng dạng
Ta có : 
 = (1) 
 = (cùng )
ị = (2) ( ta có trung tuyến )
Từ (1) và (2) suy ra : = ị FM = FE
Tương tự ta cũng có EN = EF và do đó suy ra MN = EF
Vậy FM = MN = NE
Tóm lại: Tam giác đồng dạng có nhiều ứng dụng trong giải toán. Khi ứng dụng để chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau thì các phương pháp thường dùng ở đây là : 
* Đưa 2 đoạn thẳng cần quy bằng nhau về là tử của 2 tỷ số có cùng mẫu.
* Chứng minh các đoạn thẳng cùng bằng một độ dài nào đó.
* Đưa 2 góc cần chứng minh bằng nhau về là 2 góc tương ứng của 2 tam giác đồng dạng.
* Chứng minh 2 tỷ số bằng nhau sau đó chứng minh tử bằng nhau suy ra 2 đoạn thẳng ở mẫu bằng nhau.
Dạng 6 : toán ứng dụng thực tế 
I. Mục tiêu chung:
- Học sinh biết vận dụng kiến thức về tam giác đồng dạng để xác định được các chiều cao, các khoảng cách... mà không cần đo trực tiếp.
- Rèn kỹ năng nhận biết hình (đọc hình) kỹ năng vẽ hình, kỹ năng tư duy và óc tưởng tượng.
III. Các kiến thức áp dụng:
- Các trường hợp đồng dạng của tam giác.
- Định nghĩa hai tam giác đồng dạng.
* Ví dụ minh họa: M 
+ Ví dụ 1: 
Để đo khoảng cách giữa 2 điểm A và M, 
trong đó M không tới được, người ta tiến hành
 đo và tính khoảng cách (như hình vẽ)
 AB ^ BM; BH ^ AM. Biết Ah = 15m; AB = 35m. B H
Giải : Xét D AMB và D ABH có ; 
 = = 900 (gt) ; chung A
ị DAMB P DABH (gg) 
ị = ị AM = = 81,7(m) 
Vậy khoảng cách giữa 2 điểm A và M gần bằng 81,7 mét 
+ Ví dụ 2: A
Một ngọn đèn đặt trên cao ở vị trí A,
 hình chiếu vuông góc của nó trên mặt đất là H.
 Người ta đặt một chiếc cọc dài 1,6m, 
thẳng đứng ở 2 vị trí B và C thẳng hàng với H. B’ C’ 
Khi đó bóng cọc dài 0,4m và 0,6m I
Biết BC = 1,4m. Hãy tính độ cao AH. 
Giải D b B H C c E 
Giải 	 d
Gọi BD, CE là bóng của cọc và B’ ; C’ là tương ứng của đỉnh cao. Đặt BB’ = CC’ = a ; BD = b ; CE = c ; BC = d ; Ah = x. Gọi I là giao điểm của AH và B’C’. 
ị ị 
ị (x – a) (b + d + c) = x.d
ị x = = a(1+ ) 
Thay số ta được AH = 1,6 (1 + ) = 3,84(m) 
Vậy độ cao AH bằng 3,84 mét A
Bài tập đề nghị: B C 
Một giếng nước có đường kính DE = 0,8m (như hình vẽ). 
Để xác định độ sâu BD của giếng, người ta đặt 
một chiếc gậy ở vị trí AC, A chạm miệng giếng, 
AC nhìn thẳng tới vị trí E ở góc của đáy giếng. 
Biết AB = 0,9m; BC = 0,2m. Tính độ sâu BD của giếng. D E