Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 6 - Bài giảng 4: Bội chung và bội chung nhỏ nhất - Tạ Phạm Hải

Bài giảng 4: BC và BCNN
Kiểm tra bài cũ : Tìm BCNN ( 24 ; 30 ) , từ đó tìm tập BC( 24; 30 )
Chú ý : Nếu số tự nhiên A chia cho số tự nhiên B ( B ạ 0 ) được thương là Q và dư R thì ta viết :
	A = B.Q + R , ở đó 0 Ê R < B
	* Nếu R = 0 thì A = BQ , ta nói A chia hết cho B hay B chia hết A hoặc cũng nói B là ước của A hay A là bội của B
	* Nếu R ạ 0 thì A – R = BQ chứng tỏ A – R chia hết cho B
	Ví dụ : 2007 chia cho 5 dư 2 , vậy 2007 – 2 = 2005 chia hết cho 5
 Kết luận 1 : Nếu A là bội của B thì A có dạng A = Bk , k ∈ N 
 Kết luận 2 : Nếu A chia cho B dư R thì A – R chia hết cho B
 Bài tập 1 :
	u Tìm số tự nhiên A có 3 chữ số biết A chia cho 5 , 7 , 8 đều dư 2 và biết rằng A chia hết cho 3 
	v Số học sinh của một trường THCS là một số tự nhiên nhỏ nhất có 4 chữ số chia cho 5 , hoặc 6 , hoặc 7 đều dư 1 . Hỏi trường đó có bao nhiêu học sinh ?
	w Tìm số tự nhiên nhỏ hơn 400 mà khi chia số đó cho 2 , 3 , 4 , 5 , 6 đều dư 1 nhưng chia cho 7 thì không dư .
	x Một đơn vị bộ đội khi xếp hàng , mỗi hàng 20 người , hoặc 25 người , hoặc 30 người thì đều dư 15 người , nhưng nếu xếp mỗi hàng 41 người thì vừa đủ ( không có hàng nào thiếu người ,không còn ai ở ngoài hàng ) . Hỏi đơn vị đó có bao nhiêu người ? Biết rằng đơn vị đó chưa đến 1000 người
 y Tìm số tự nhiên xấp xỉ 1000 , biết số đó chia cho 12 , 18 , 21 đều dư 5 
 z Có 100 quyển vở và 90 bút chì đem thưởng đều cho một số học sinh . Thưởng xong còn thừa lại 4 vở và 18 bút chì không đủ chia đều . Tính số học sinh được thưởng , và mỗi em được thưởng bao nhiêu vở và bao nhiêu bút chì?
Xem lời giải câu u :
áp dụng kết luận ta có A – 2 chia hết cho 5 , 7, 8 . Vậy A – 2 là bội chung của 5 ,7 , 8 . Bội chung nhỏ nhất của 5 , 7 , 8 là 280 . Vậy BC ( 5 , 7 , 8 ) = 280.k với k ẻ N .Vậy A – 2 = 280.k với k ẻ N . Ta có bảng sau	
 k
 1
 2
 3
 4
 A – 2 
 280
 560
 840
 1120
 A
 282
 562
 842
 1122
	Từ bảng trên chỉ có 282 là chia hết cho 3
	Vậy đáp số : A = 282
Xem lời giải câu w :
	 Gọi số phải tìm là A , áp dụng kết luận ta có A – 1 chia hết cho 2 , 3 , 4 , 5 , 6 . Vậy A – 1 là bội chung của 2 , 3 , 4 , 5 , 6 . Ta có bội chung nhỏ nhất của 2 , 3 , 4 , 5 , 6 bằng 60 .
 Vậy BC( 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ) = 60.k với k ẻ N . Vậy A – 1 = 60.k với k ẻ N 
Ta có bảng sau :
 k
 1
 2
 3
 4
 5
 6 
 7
 A – 1 
 60
 120
 180
 240
 300 
 360
 420
 A
 59
 119
 179
 239
 299
 359
 419
	Từ bảng trên chỉ có số 119 là chia hết cho 7 . Vậy đáp số là 119
Câu hỏi : 
Lời giải của câu u và của câu w có gì giống nhau và khác nhau ?
Để giải loại bài tập như trên ta cần ghi nhớ điều gì ?
 Hãy áp dụng cách giải trên để làm những câu còn lại
Kết luận 3 : 
A = BQ + R thì A + n = BQ + ( R + n ) , nếu R + n ⋮ B thì A + n ⋮ B
Bài tập : Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có chia cho 8 dư 6 , chia cho 12 dư 10 , chia cho 15 dư 13 và chia hết cho 23
	Gợi ý :
Gọi A là số cần tìm . A = 8n + 6 , A = 12m + 10 , A = 15 x + 13
Suy ra A + 2 chia hết cho 8 , 12 , 15 nên A + 2 là BSC ( 8 , 12 , 15 ) = ?
Kết hợp với A chia hết cho 23 , A nhỏ nhất trong các số có tính chất như vậy để lập bảng tìm A
 Bài tập 2
1. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có ba chữ số , biết rằng khi chia số đó cho 18 ; 30 ; 45 thì có dư lần lượt là 8 ; 20 ; 35 .
2. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có chia cho 8 dư 6 , chia cho 12 dư 10 , chia cho 15 dư 13 và chia hết cho 23
Giải câu 1
 Gọi số phải tìm là A , ta có :
	A = 18.n + 8 A + 10 = 18.n + 18 chia hết cho 18
	A = 30.m + 20	 A + 10 = 30.m + 30 chia hết cho 30
	A = 45.k + 35	 A + 10 = 45.k + 45 chia hết cho 45
	( Với n , m , k là các số tự nhiên )
 Vậy A + 10 là bội số chung của 18 , 30 , 45 . 
Mà BCNN ( 18,30,45) = 90 , nên BC ( 18, 30, 45 ) = 90 x , với x ∈ N*
Do đó ta có A + 10 = 90x. Vì A là số nhỏ nhất có 3 chữ số nên 1 < x < 3 .Vậy x = 2 ị A + 10 = 180 ị A = 170
	Đáp số : Số phải tìm là 170 
Gợi ý câu 2:
Gọi A là số cần tìm . A = 8n + 6 , A = 12m + 10 , A = 15 x + 13
Suy ra A + 2 chia hết cho 8 , 12 , 15 nên A + 2 là BSC ( 8 , 12 , 15 ) = ?
Kết hợp với A chia hết cho 23 , A nhỏ nhất trong các số có tính chất như vậy để lập bảng tìm A
Hãy áp dụng cách giải trên để giải những bài tập sau :
Tìm số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số biết rằng khi chia số đó cho 4 dư 3 , chia cho 5 dư 4 , chia cho 6 dư 5 .
Tìm số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số , sao cho số đó chia cho 30 thì dư 7 và chia cho 40 thì dư 17
Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 8 , 10 , 15 , 20 theo thứ tự dư 5 , 7 , 12 , 17 và chia hết cho 41
 Bài tập 3 : Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, biết rằng khi chia số đó cho 131 thì dư 112 , chia cho 132 thì dư 98 .
Giải :
Cách 1 : Gọi số phải tìm là B , ta có :
	B = 131.n + 112	
	B = 132.m + 98	; với n , m ẻ N* 
 ị 132.B = 132.( 131.n + 112 ) = 132.132.n + 14784
 131.B = 131.( 132.m + 98 ) = 131.132.m + 12838 
 ị 132.B – 131.B = 131.132.( n – m ) + ( 14784 – 12838 )
	B = 131.132.( n – m ) + 1946
	Do B chỉ là số có 4 chữ số nên n – m = 0 . Vậy B = 1946
	Đáp số : Số phải tìm là 1946
 Cách 2 : Gọi số cần tìm là B , ta có :
	B = 131.n + 112	
	B = 132.m + 98	; với n , m ẻ N* 
 ị 131.n + 112 = 132.m + 98 Û 131.n + 14 = 132.m Û 131.n = 132.m – 14 Û 131.n = 131.m + ( m – 14 ) ị ( m – 14 ) 131 . Vậy : m – 14 = 131.k , với k ẻ N* , hay m = 131.k + 14 , với k ẻ N*
	Do B = 132.m + 98 nên thay m = 131.k + 14 vào ta được :
	 B = 132.( 131.k + 14 ) + 98 = 132.131.k + 132.14 + 98
	Hay :	B = 132.131.k + 1946
	Do B chỉ là số có 4 chữ số nên k = 0 và B = 1946
	Đáp số : Số phải tìm là 1946
Ap dụng cách làm trên để giải các bài tập sau :
 1.Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có ba chữ số , biết rằng khi chia số đó cho 11 thì dư 5 ; chia cho 13 thì dư 8
	2.Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia số đó cho 17 thì dư 5 , chia cho 19 thì dư 12
	3. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia số đó cho 29 thì dư 5 , chia cho 31 thì dư 28
	4. Tìm số tự nhiên có 4 chữ số , biết rằng khi chia số đó cho 8 thì dư 7 ; chia cho 125 thì dư 4 
 Bổ xung kiến thức : Cho các số tự nhiên a và b , nếu a = km và b = kn thì khi đó :
	BCNN(a,b) = kBCNN(m,n)
 	Ví dụ : Cho a = 4.15 và b = 4.21 , khi đó BCNN( 60 , 84) = 420 và BCNN( 15 , 21) = 105 rõ ràng 420 = 4.105 , ở đây k = 4
 Vậy từ kiến thức trên ta cũng có : nếu a ⋮ k và [ a,b ] ⋮ k thì b ⋮ k
Bài tập về nhà :
 1. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 4 chữ số chia cho 12 thì dư 10 , chia cho 18 thì dư 16 và chia cho 27 thì dư 25 .
 2. Nếu xếp một số sách vào từng túi 10 cuốn thì vừa hết ,vào từng túi 12 cuốn thì dư 2 cuốn , vào từng túi 18 cuốn thì dư 8 cuốn . Tìm số sách đó biết rằng số sách đó trong khoảng từ 715 đến 1000 cuốn
3.Ba con tàu cập bến theo lịch như sau : Tàu 1 cứ 15 ngày cập bến một lần , Tàu 2 cứ 20 ngày cập bến một lần , tàu 3 cứ 12 ngày cập bến một lần . Lần đầu cả 3 tàu cùng cập bến vào ngày thứ 6. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày , cả 3 tàu lại cùng cập bến vào ngày thứ 6 ?
Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số biết rằng khi chia số đó cho 18 , 30 , 45 thì dư lần lượt là 8 , 20 , 35 
Tìm số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số biết rằng khi chia số đó cho 4 thì dư 3 , cho 5 thì dư 4 , cho 6 thì dư 5
Tìm số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số, sao cho số đó chia cho 30 thì dư 7 và chia cho 40 thì dư 17