Sáng kiến kinh nghiệm Rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử Đại số Lớp 8 - Năm học 2011-2012

Mục lục :
Trang 2 Đặt vấn đề
Trang 3 đến trang 12 giải quyết vấn đề
Trang 13 kết luận
Trang 14 Tài liệu tham khảo
A.Đặt vấn đề
Năm học 2011 -2012 tôi được nhà trường phân công giảng bộ môn toán lớp 8. Qua thực tế dạy học kết hợp với dự giờ của các giáo viên trong trường, thông qua các kỳ thi khảo sát chất lượng và kiểm tra 1 tiết của các em học sinh, bản thân tôi nhận thấy các em học sinh chưa có kỹ năng thành thạo khi làm các dạng bài tập như: Quy đồng mẫu thức, giải các loại phương trình, rút gọn, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất vì lý do để giải được các loại bài tập này cần phải có kỹ năng phân tích các đa thức thành nhân tử.
 Để giúp đỡ các em học sinh tiếp cận và khai thác lời giải các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử và các bài toán áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử trong quá trình giải, cũng như nhằm nâng cao kiến thức cần thiết giúp các em học tốt môn toán và đồng thời phát huy được trí tuệ của học sinh. Qua quá trình giảng dạy bộ môn Toán 8 tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến và giải pháp thực hiện về việc “ Rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử ” nhằm giúp các em nắm vững một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, một số bài tập nâng cao, một số bài tập có áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, thấy được đó là công cụ đắc lực trong giải một số loại toán. Và qua đó cũng nhằm phát huy trí lực của học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học
B. Giải quyết vấn đề
I.Nội dung thực hiện
1. Phương pháp đặt nhân tử chung
	Khi phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp này thường làm như sau:
Tìm nhân tử chung 
Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung, các nhân tử khác.
Viết nhân tư chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử ở trong dấu ngoặc với dấu của chúng.
Khi phân tích bằng phương pháp này ta dựa vào tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng các đa thức: A.B + A.C =A.(B +C)
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 + x3 + 2x2 + x + 1
Giải: 
 x4 + x3 + 2x2 + x + 1 = (x4 + 2x2 + 1) + (x3 + x)
 = (x2 + 1)2 + x (x2 + 1) = (x2 + 1)(x2 + x + 1)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
 P = x2(y - z) + y2 (z - x) + z2 (x - y)
Giải:
Cách 1: Khai triển các hạng tử cuối rồi nhóm các hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung y – z.
 P = x2(y - z)/ + y2z – xy2 + xz2 – yz2
 = x2 (y - z) + yz (y - z) – x(y2 – z2)
 = (y - z)(x2 + yz – xy - xz)
 = (y - z)[ x (x - y) – z (x - y)]
 = (y - z)(x – y )(x - z)
Cách 2: Tách z – x thành – [ (y - z) + (x - y) ], ta có :
P = x2 (y - z) – y2 [(y - z) + (x - y)] + z2 (x - y)
= (y - z) (x2 – y2 ) – (x - y)(y2 – z2)
= ( y - z)(x + y)( x - y) /-/ (x - y)(y + z)(y - z)
= (y - z)(x - y)(x + y – y - z)
= (y – z )(x - y)(x – z )
2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức 
	áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử. Kiến thức cơ bản là :
 2.1 Bình phương của một tổng : ( A + B )2= A2+ 2AB +B2
 2.2 Bình phương của một hiệu: ( A - B )2= A2- 2AB +B2
 2.3 Hiệu hai bình phương: A2- B2 =( A + B ).( A - B )
2.4 Lập phương của một tổng: ( A + B )3= A3+ 3A2B +3AB2+ B3
2.5 Lập phương của một hiệu: ( A - B )3= A3- 3A2B + 3AB2- B3
2.6 Tổng hai lập phương : A3+ B3 =( A +B ).(A2 - AB + B2 )
2.7 Hiệu hai lập phương : A3 - B3 =( A - B ).(A2 + AB + B2 )
Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 8x3y6 -1 =(2xy2)3 - 13
Giải
8x3y6 - 1 =(2xy2)3 - 13 = ( 2xy2 - 1 ).(4x2y4 + 2xy2 + 1)
Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
Giải
25x4 + 10x2y + y2 = (5x2)2 + 2.5x2 .y + y2 = ( 5x2 + y)2
3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
	Khi sử dụng phương pháp này ta cần nhận xét đặc điểm của các hạng tử rồi kết hợp các hạng tử thích hợp nhằm làm xuất hiện dạng hằng dẳng thức hoặc xuất hiện nhân tử chung của các nhóm rồi dùng các phương phap đã biết để phân tích đa thức thành nhân tử.
Ví dụ 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 4x2+8xy - 3x - 6y
Giải
4x2+8xy - 3x - 6y = (4x2 + 8xy ) - (3x + 6y) = 4x.(x+2y) - 3(x+2y) 
 = (x+2y)(4x-3)
Ví dụ 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 - y2+ 2xz + z2
Giải
 	x2 - y2+ 2xz + z2=( x2 + 2xz + z2) - y2=(x+z)2 - y2=(x+y+z)(x-y+z)
4. Phối hợp nhiều phương pháp
 Thường được tiến hành theo các trình tự sau :
+ Đặt nhân tử chung (nếu có) để biểu thức còn lại đơn giản hơn dễ nhận xét hơn
+ Nhóm hạng tử 
+ Dùng hằng đẳng thức
 Ví dụ 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 + 2xy + y2- xz – yz
	Giải
x2 + 2xy + y2- xz – yz = (x2 + 2xy + y2) – (xz + yz) = (x+y).(x+y-z)
Ví dụ 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 
 3x3y - 6x2y- 3xy3- 6axy2- 3a2 xy +3xy 
 	Giải
 3x3y - 6x2y-3xy3- 6axy2 -3a2 xy +3xy 
= 3xy(x2-2x-y2-2ay-a2+1)
= 3xy[(x2-2x+1)-(y2+2ay+a2)]
= 3xy[(x-1)2-( y+a)2]
= 3xy(x-1-y-a)(x-1+y+a)
 5 . phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
 Trong một số trường hợp bằng các phương pháp đã học không thể giải được mà ta phải nghĩ tách một hạng tử thành nhiều hạng tử để có thể áp dụng được các phương pháp đã biết.
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2- 6x + 8
	Giải
 	Cách 1 : x2- 6x + 8 = x2 - 2x- 4x+8 =x(x-2)-4(x-2) =(x-2)(x-4)
	Cách 2 : x2- 6x + 8 = x2 - 6x +9-1 = (x-3)2 -12=(x-3+1)(x-3-1)= (x-2)(x-4)
	Cách 3 : 
 x2- 6x + 8 = x2 - 4-6x +12 =(x+2)(x-2)-6(x-2) = (x-2)(x+2-6)= (x-2)(x-4)
	Cách 4 : x2- 6x + 8 = x2 - 4x +4-2x+4=(x-2)2- 2(x-2)= (x-2)(x-4)
	Có nhiều cách tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khảc trong đó có 2 cách thông dụng là :
 Cách 1 : Tách hạng tử bậc nhất thành 2 hạng tử rồi dùng phương pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung.
Cách 2 : Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đưa đa thức về dạng hiệu hai bình phương
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 9x2+6x-8 
Giải
9x2+6x-8 =9x2-6x+12x-8 = 3x(3x -2)+4(3x+4) =(3x -2)(3x+4)
Hoặc =9x2-6x+1 – 9 =(3x+1)2-32 =(3x+1-3)(3x+1+3) =(3x -2)(3x+4)
 *Chú ý : Khi tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử ta có thể dựa vào hằng đẳng thức đáng nhớ: mpx2 + (mq +np)x +nq = (mx +n)(px +q)
Như vậy trong tam thức bậc hai :a x2+bx+c hệ số b = b1+ b2 sao cho b1. b2 = a.c. Trong thực hành ta làm như sau :
Tìm tích a.c
Phân tích a.c ra thành tích hai thừa số nguyên bằng mọi cách
Chọn hai thừa số mà tổng bằng b
Ví dụ 3: Khi phân tích đa thức 9x2+6x-8 thành nhân tử
	Ta có : a = 9 ; b = 6 ; c = -8
	 	+ Tích a.c =9.(-8) =-72
+ Phân tích -72 thành tích hai thừa số khác dấu sao cho thừa số dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn (để tổng hai thừa số bằng 6)
	-72 =(-1).72 =(-2).36 = (-3).24 = (-4).12 = (-6).12 = (-8).9
	+ Chọn hai thừa số có tổng bằng 6, đó là -6 và 12
	Từ đó ta phân tích
	9x2+6x-8 =9x2-6x+12x-8 = 3x(3x -2)+4(3x+4) =(3x -2)(3x+4)
Ví dụ 4 : Khi phân tích đa thức x 2 –x - 6 thành nhân tử
	Ta có : a = 1 ; b = -1 ; c = -6
	+ Tích a.c =1.(-6) = -6
+ Phân tích -6 thành tích hai thừa số khác dấu sao cho thừa số âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn vì b=-1 < 0 (để tổng hai thừa số bằng -1)
- 6 = 1.(-6) = 2.(-3)
+ Chọn hai thừa số có tổng bằng -1, đó là : 2 và -3
	Từ đó ta phân tích
	x2 -x -6 = x2 + 2x -3x -6 = x(x+2) -3(x+2) = (x+2)(x-3)
*Chú ý : Trong trường hợp tam thức bậc hai : ax2 + bx + c có b là số lẻ, hoặc không là bình phương của một số nguyên thì nên giải theo cách một gọn hơn so với cách hai.
6 . Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử
	Khi đa thức đã cho mà các hạng tử trong đa thức đó không chứa thừa số chung, không có dạng của một hằng đẳng thức nào. cũng như không thể nhóm các số hạng thì ta phải biến đổi hạng tử để có thể vận dụng được các phương pháp phân tích đã biết.
a. Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hiệu của hai bình phương
Ví dụ 5 : Phân tích đa thức x4 + 4 thành nhân tử
Ta thấy x4 =(x2)2 ; 4 = 22 Do đó ta có thể thêm bớt vào đa thức đã cho cùng hạng tử 4x2 
x4 + 4 = (x4 + 4 + 4x2)– 4x2= (x2+2)2 – (2x)2 = (x2+ 2x +2)( x2- 2x +2)	
	Ví dụ 6 : Phân tích đa thức 64a2 + b4 thành nhân tử
Ta thấy 64a4 =(8a2)2 ; b4 = (b2)2 Do đó ta có thể thêm bớt vào đa thức đã cho cùng hạng tử 16a2b2
64a2 + b4 = 64a2 + b4 + 16a2b2 - 16a2b2
	 = (8a2 + b2)2 - (4ab)2 = (8a2 + b2-4ab)( 8a2 + b2+4ab)
b. Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung
Ví dụ 7: Phân tích đa thức thành nhân tử: x5 + x – 1
Giải:
Cách 1:
 x5 + x – 1 = x5 – x4 + x3 + x4 – x3 + x2 – x2 + x – 1
 = x3 (x2 – x + 1) + x2 (x2 – x + 1) – (x2 – x + 1)
 = ( x2 – x + 1) (x3 + x2 - 1)
Cách 2: Thêm và bớt x2:
 x5 + x – 1 = x5 + x2 – x2 + x – 1 = x2 (x3 + 1) – (x2 – x + 1)
 = (x2 – x + 1) [ x2 (x + 1 ) – 1 ] = (x2 – x + 1) (x3 + x2 - 1)
7 . Phương pháp đổi biến số ( Đặt ẩn phụ)
	Ví dụ 7 : Phân tích đa thức (x2+x)2 + 4x2 + 4x - 12 thành nhân tử
	Ta có : (x2+x)2 + 4x2 + 4x - 12 = (x2+x)2 + 4(x2 + x) - 12 
Nhận thấy nếu đặt x2 + x = y thì có đa thức đơn giản hơn y2 + 4y -12 là tam thức bậc hai của biến y
Ta có : y2 + 4y -12 = y2 +6y - 2y -12 = (y+6)(y-2)	= (x2 + x+6)( x2 + x -2)
 	=(x2 + x+6)( x2 +2x-x -2)
 	=(x2 + x+6)[x ( x +2)- ( x +2) ]
	 =(x2 + x+6)(x+2)(x-1)
*Chú ý : x2 + x+6 không phân tích được nữa trong phạm vi số hữu tỉ (vì tích a.c = 6 = 1.6 =2.3 không có hai thừa số nào có tổng bằng 1 - cách 1 phần I)
	Ví dụ 8 : Phân tích đa thức (x2+ 3x + 1) (x2+ 3x + 2)- 6 thành nhân tử
 Giải 	Đặt (x2+ 3x + 1) = y 
Ta có : (x2+ 3x + 1) (x2+ 3x + 2)- 6 =y(y + 1 ) - 6 = y2 + y - 6 = y2 + 3y - 2y - 6
	 = (y + 3)(y - 2) = (x2+ 3x + 1 +3)( x2+ 3x + 1 -2)
 = (x2+ 3x + 4)( x2+ 3x -1)
8 . Phương pháp tìm nghiệm của đa thức
 ( phương pháp hạ bậc đa thức )
Tổng quát : cho đa thức f(x); a là nghiệm của f(x) nếu f(a) = 0 như vậy nếu f(x) chứa nhân tử x - a thì a phải là nghiệm của đa thức 
- Trong đa thức với hệ số nguyên, nghiệm nguyên nếu có phải là ước của hạng tử không đổi
- Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức chứa nhân tử x-1
 Nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì đa thức chứa nhân tử x + 1
Ví dụ 9 : Phân tích đa thức x3 + 3x2 -4 thành nhân
Nếu đa thức có nghiệm là a thì nhân tử còn lại có dạng x2 + bx +c. 
 Suy ra: a.c = -4, tức là a phải là ước của -4 ( 1; 2; 4). Kiểm tra thấy 1 là nghiện của đa thức. Như vậy đa thức chứa nhân tử x – 1. Do đó ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung x-1
Cách 1: x3 + 3x2 -4 = x3 - x2+ 4x2 -4 = x2(x-1) +4(x-1) = (x-1)(x2 +4x+4)
	 = (x-1)(x+2)2
Cách 2: x3 + 3x2 -4 = x3 -1+ 3x2 -3 =(x-1)(x2 + x +1) +3(x-1)(x+1)
	 =(x-1)( x2 + x +1 +3x+3) =(x-1)(x2 +4x+4) = (x-1)(x+2)2
ở ví dụ trên ta càng nhận thấy tổng các hệ số của đa thức là 1+3-4 = 0 nên đa thức chứa nhân tử x-1. Do đó ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung x-1
Ví dụ 10 : Phân tích đa thức 2x3 - 5x2+ 8x - 3 thành nhân tử
Các ước của -3 là : 1 ; 3 mà 1; 3 không là nghiệm của đa thức. Như vậy đa thức không có nghiệm nguyên. Nhưng đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ.
*Chú ý : Trong đa thức với số nguyên, nghiệm hữu tỷ nếu có phải có dạng với p là ước của hạng tử không đổi, q là ước dương của hạng tử cao nhất.
 	 Như vậy trong đa thức trên nghiệm hữu tỉ nếu có chỉ có thể là : -1 ; - ; - 3 ; - 
 Kiểm tra thấy x= là một nghiệm của đa thức nên đa thức chứa nhân tử 
 x- hay 2x-1 
Do đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung 2x-1
Ta có: 2x3 - 5x2+ 8x - 3 =2x3 - x2-4x2+2x+6x-3 
 =x2(2x-1)-2x(2x-1)+3(2x-1) =(2x-1)(x2-2x-3)
9 . Phương pháp hệ số bất định
Ví dụ 11: Phân tích đa thức 2x3-5x2+8x-3 thành nhân tử 
	Giải : 	Nếu đa thức tiện phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng 
	(ax+b)(cx2+dx+ m) = acx3+(ad+bc)x2+(am+bd)x+bm
	Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho 2x3-5x2+8x-3 , ta được:
 	2x3-5x2+8x-3 = acx3+(ad+bc)x2+(am+bd)x+bm
	Suy ra : a.c = 2 ; ad+bc = -5 ; am+bd = 8 ; b.m = -3
	Có thể giả thiết a>0 (vì nếu a <0 thì ta đổi dấu cả hai nhân tử). Do đó a =2 hoặc a =1
Xét a =2 thì c =1 suy ra : 2d+b = -5 ; 2m+bd =8 ; bm = - 3
 => b có thể là 1 hoặc 3
 Xét b = - 1 thì m = 3 => d = - 2 thoả mãn các điều kiện trên.
	 => a = 2 ; b = - 1 ; c = 1 ;d = - 2 ; m = 3
	Vậy 	2x3- 5x2+ 8x - 3 = (2x-1)(x2-2x+3).
10 . Phương pháp xét giá trị riêng
	Ví dụ 12 : Phân tích đa thức P= ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a) thành nhân tử 
	Giải 
Sử dụng phương pháp xét giá trị riêng ta có. Nếu ta thay a bởi b thì P= 0+ bc(b-c) + bc(c-b) =0 , nên p chia hết cho ( a-b). vai trò của a,b,c như nhau trong đa thức nên p chia hết cho (a-b)(b-c)(c-a)
Trong phép chia đó, đa thức bị chia P có bậc 3 đối với tập hợp các biến và đa thức chia (a-b)(b-c)(c-a) cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến số nên thương là hằng số k
ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a)=k(a-b)(b-c)(c-a)
Trong đẳng thức trên cho ta các biến nhận giá trị riêng a=2 ; b=1 ; c=0, ta được : 
 2.1.1+0 +0 =k.1.1.(-2)
	2 = -2k => k=-1
 Vậy P = (a-b)(b-c)(c-a)	 
Ví dụ 13 : Phân tích đa thức Q = (a+b+c)3-a3-b3-c3 thành nhân tử 
 Giải Sử dụng phương pháp xét giá trị riêng ta có. Nếu ta thay a bởi -b thì 
Q= (0+c)3+b3-b3-c3=0. Vậy Q chia hết cho (a+b). vai trò của a,b,c như nhau trong đa thức nên Q chia hết cho (a+b)(b+c)(c+a)
Trong phép chia đó, đa thức bị chia Q có bậc 3 đối với tập hợp các biến và đa thức chia (a+b)(b+c)(c+a) cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến số nên thương là hằng số k 
(a+b+c)3-a3-b3-c3 = k(a+b)(b+c)(c+a)
	Cho biến nhận các giá trị riêng a=0; b=1; c=2 . ta có :
(0+1+2)3-0 -13-23 = k(0+1)(1+2)(2+0	18 = 6 k => k=3
 Vậy : (a+b+c)3-a3-b3-c3 = 3(a+b)(b+c)(c+a)
 II.Kết quả :
Áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy ở trường THCS Vân Đồn trong năm học 2011 – 2012 đã thu được các kết quả khả quan.
Kết quả học tập của học sinh được nâng lên qua các giờ học, đặc biệt là các em hứng thú học toán hơn, sử dụng thành thạo các thủ thuật phân tích đa thức thành nhân tử để làm các dạng toán có liên quan đến việc phân tích đa thức đạt kết quả tốt. Một số em học sinh đã biết sử dụng các phương pháp phân tích thông thường một cách thành thạo, một số em học sinh có kỹ năng nắm vững thủ thuật phân tích đa thức dựa vào các phương pháp phân tích đã được nêu trong sáng kiến kinh nghiệm. Bên cạnh đó các phương pháp này các em dễ dàng tiếp cận với các dạng toán khó và các kiến thức mới cũng như việc hình thành một số thủ thuật trong quá trình học tập và giải toán khi học bộ môn toán.
Khảo sát chất lượng qua 3 bài 15 phút cho thấy
Số học sinh tham
gia KS
Điểm
từ 0 - 4
Điểm
từ 5 - 6
Điểm
từ 7 - 8
Điểm
từ 9 -10
T/S
%
T/S
%
T/S
%
T/S
%
Lần 1
36
13
36
16
44,5
7
19,5
0
0
Lần 2
36
10
27,7
16
44,4
8
22
2
5,9
Lần 3
36
8
22
14
39
10
27,7
4
11,3
III. Kết luận :
 Trải qua thực tế giảng dạy vận dụng sáng kiến kinh nghiệm trên đây có kết quả hữu hiệu cho việc học tập và giải toán. Rất nhiều học sinh chủ động tìm tòi và định hướng phương pháp làm bài khi chưa có sự gợi ý của giáo viên, mang lại nhiều sáng tạo và kết quả tốt từ việc giải toán rút ra các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
Vì lẽ đó mỗi giáo viên cần hiểu rõ khả năng tiếp thu bài của các đối tượng học sinh để từ đó đưa ra những bài tập và phương pháp giải toán cho phù hợp giúp học sinh làm được các bài tập, gây hứng thú học tập, say sưa giải toán, yêu thích học toán. Một vài phương pháp phân tích đa thức ở trên đây rất có hữu hiệu giúp học sinh trong quá trình giải toán có sử dụng phân tích đa thức mà tôi đã viết trên đây có lẽ sẽ còn rất nhiều hạn chế. Mong tổ chuyên môn trong trường, đồng nghiệp góp ý chân thành để tôi có nhiều sáng kiến kinh nghiệm tốt hơn phục vụ cho việc giảng dạy học sinh .
 Vân Đồn, ngày 10 tháng 3 năm 2012
 Người thực hiện
Tài liệu tham khảo
	- Sách giáo khoa Đaị số 8 
	- Sách giáo viên Đại số 8 
	- Sách bài tập đại số 8
	- Sách toán bồi dưỡng học sinh lớp 8
 - Các dạng toán đại số 8 .
 - Nâng cao và phát triển toán 8 - Tập 1