Sáng kiến kinh nghiệm Phương trình quy về phương trình bậc hai

Lời nói đầu
	Việc dạy đúng chuẩn mực kiến thức của chương trình là một nhiệm vụ quan trọng của mỗi người giáo viên đứng lớp. Tuy nhiên, việc bồi dưỡng cho học sinh khá, giỏi cũng là một việc làm rất cần thiết phải được tiến hành thường xuyên ở trong các nhà trường phổ thông trung học cơ sở. Việc bồi dưỡng giúp cho học sinh khá không chỉ nắm vững những kiến thức, kỹ năng cơ bản mà còn có thói quen suy nghĩ, tìm hiểu kỹ vấn đề để rồi suy luận một cách hợp logíc tìm ra được lối giải những bài tập khó, giúp các em rèn trí thông minh sáng tạo, có hứng thú trong khi học môn toán.
Đối với môn toán lớp 9, phần '' Phương trình bậc hai'', ''Phương trình quy về phương trình bậc hai'' là phần kiến thức trọng tâm, là phần kiến thức thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp, thi học sinh giỏi và thi vào trung học phổ thông. Do đó, theo tôi học sinh cần nắm thật chắc chắn mảng kiến thức này, đặc biệt là học sinh khá giỏi cần có cái nhìn thật đầy đủ về " Phương trình quy về phương trình bậc hai". Sau khi nghiên cứu khá nhiều tài liệu tham khảo viết về vấn đề này tôi thấy, các tác giả đã đưa ra các bài toán rất đa dạng và phong phú, tuy nhiên các dạng bài còn tản mạn, nằm trong nhiều tài liệu khác nhau, do đó gây không ít khó khăn cho việc dạy của giáo viên và của học sinh.
Trước tình hình đó, sau khi nghiên cứu kỹ các tài liệu, tôi mạnh dạn đưa ra một hệ thống kiến thức nói về ''Phương trình quy về phương trình bậc hai'' với một mong ước là làm tài liệu ôn tập, nhàm tạo điều kiện thuận lợi hơn cho người dạy và người học trong việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi.
''Một số phương trình đưa về phương trình bậc hai'' là một hệ thống kiến thức có đặc thù riêng, được tích hợp từ nhiều tài liệu khác nhau. Nói về cách giải của một số loại phương trình đưa được về phương trình bậc hai như: Phương trình chứa ẩn ở mẫu; phương trình bậc ba; phương trình bậc bốn; phương trình vô tỷ Với mỗi loại phương trình sau khi trình bày cách giải đều có kèm theo các ví dụ minh hoạ, cuối mỗi dạng còn có các nhận xét và những lưu ý nhằm giúp người đọc dễ dàng tiếp cận với vấn đề cần nghiên cứu.
Tôi mong rằng thông qua các vấn đề mà tôi đã trình bày ở đề tài này phần nào giúp các em học sinh trang bị các kiến thức cũng như các phương pháp giải phương trình ở bậc THCS, chuẩn bị tốt cho kì thi vào trung học phổ thông.
Phần I: Những vấn đề chung
A. Mục tiêu nhiệm vụ của đề tài
Đề tài có nhiệm vụ nghiên cứu và chọn ra một hệ thống kiến thức cơ bản nhất, chung nhất về các dạng phương trình đưa về phương trình bậc hai nhằm:
	+ Giúp cho giáo viên có tài liệu để bồi dưỡng học sinh giỏi 
	+ Giúp cho học sinh có một cái nhìn thật đầy đủ về phương trình đưa được về phương trình bậc hai, từ đó có những thao tác tư duy nhanh nhạy, sáng tạo, có kỹ năng nhuần nhuyễn trong việc giải các dạng phương trình này.
	+ Giúp học sinh tự tin trong khi giải toán hoặc trong thi cử.
B. cơ sở thực tiễn của việc nghiên cứu đề tài
Toán học là một môn khoa học trìu tượng, đóng vai trò quan trọng trong đời sống con người, trong việc nghiên cứu khoa học. Khi học toán các em sẽ nắm bắt được nhiều phương pháp suy luận, chứng minh, nhiều kỹ năng tính toán, phân tích tổng hợp, giải quyết được nhiều bài toán thực trong cuộc sống.
	Việc bồi dưỡng học sinh giỏi là một việc làm rất cần thiết trong các nhà trường THCS. Để là học sinh giỏi, các em cần được rèn luyện, phát triển tư duy sáng tạo, mở rộng, đào sâu kiến thức.
	Sự phân hoá đối tượng trong học sinh hiện nay về năng lực nổi lên rất rõ. số học sinh các lớp chuyên, chọn chiếm một tỷ lệ tương đối lớn, do đó nhu cầu được nâng cao, mở rộng kiến thức của các em học sinh là rất lớn.
	Căn cứ vào thực tế dạy học ta thấy, phần kiến thức về phương trình và phương trình đưa về phương trình bậc hai ở chương trình THCS chưa được đề cập đến nhiều. Đội ngũ giáo viên chưa được chuẩn bị chu đáo để bắt tay vào dạ bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi, do đó đòi hỏi người giáo viên phải tự biên soạn, sưu tầm, lựa chọn tài liệu cho riêng mình. chính vì thế nội dung bồi dưỡng phần kiến thức này chưa có sự thống nhất, gây không ít khó khăn cho người học và người dạy .
	Nghiên cứu sách giáo khoa và chương trình hiện hành ta thấy: SGK đại số 9 đã đưa ra cho học sinh một số loại phương trình quy về phương trình bậc hai như: phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình vô tỷ, phương trình trùng phương, đưa vào ẩn mới song nhìn chung mức độ yêu cầu về loại này chỉ dừng lại ở mức độ nhận dạng, chỉ phù hợp với học sinh đại trà, còn với các em học sinh ở các lớp chuyên, lớp chọn nếu dừng lại ở yêu cầu trên thì chưa đủ, vì vậy cũng cần hệ thống, phân loại và giới thiệu với các em về mảng kiến thức ''Phương trình quy về phương trình bậc hai''.
C. Đối tượng nghiên cứu
	Nghiên cứu về các dạng phương trình, các cách giải phương trình nói chung và phương trình bậc hai nói riêng.
	Nghiên cứu các phương pháp dạy học toán ở trường THCS.
	Nghiên cứu nội dung sách giáo khoa đại số 9, các tài liệu tham khảo và các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán.
Nghiên cứu qua thực tế giảng dạy, qua học hỏi đồng nghiệp.
Phần II: Nội dung
A. Một số kiến thức và kỹ năng cần thiết khi học về giải phương trình:
	Khi học về giải phương trình học sinh cần nắm được một số kiến thức và kỹ năng sau:
+ Các quy tắc tính toán với các biểu thức đại số (các phép tính cộng, trừ, nhân, chia)
+ Các hằng đẳng thức đáng nhớ
+ Kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử
+ Kiến thức về giá trị tuyệt đối của một số, một biểu thức đại số
+ Điều kiện để cho một biểu thức có nghĩa (biết tìm tập xác định của phương trình, tập xác định của một biểu thức
+ Kỹ năng biến đổi các biểu thức.
+ Kỹ năng giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn, phương trình chứa ẩn ở mẫu (dạng cơ bản)
B- Phương trình quy về phương trình bậc hai
I. Nhắc lại về phương trình bậc hai một ẩn số
1. Định nghĩa:
+ Phương trình bậc hai một ẩn số là phương trình có dạng tổng quát: ax2+bx+c=0 (trong đó x là ẩn; a,b,c là các hệ số thuộc tập R; a0)
+ Nghiệm của một phương trình bậc hai là những giá trị của ẩn số mà khi thay vào vế trái của phương trình ta được giá trị của hai vế bằng 0.
2. Giải và biện luận hệ phương trình bậc hai
* Khi nghiên cứu về nghiệm số của phương trình bậc hai ax2+bx+c=0 (a0) ta cần quan tâm tới biệt số của phương trình:
=b2 - 4ac
+ Nếu < 0: Phương trình bậc hai vô nghiệm.
+ Nếu = 0: Phương trình bậc hai có nghiệm kép:
x1= x2= 
+ Nếu > 0: Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt
	x1,2=
Khi b chẵn, hay b=2b'(b' ) khi đó ta có:
	=b'2- ac
+ Nếu '< 0: phương trình vô nghiệm
+ Nếu = 0: phương trình có nghiệm kép
+ Nếu >0: phương trình có hai nghiệm phân biệt
 Chú ý: Nếu a và c trái dấu (tức a.c 0).
* Đối với một số phương trình bậc hai đơn giản (với hệ số nguyên) trong trường hợp phương trình có nghiệm ( ³ 0) ta có thể dùng định lý Viet để nhẩm nghiệm của phương trình.
Định lý Vi-et
Nếu phương trình ax2 + bx+c = 0 (a0) có nghiệm số x1;x2 (0)
thì: 
	x1+ x2=
	x1.x2=
 Trường hợp đặc biệt:
+ Nếu a+b+c = 0 thì phương trình có nghiệm là: x1=1; x2=
+ Nếu a- b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là: x1=-1; x2=-
*Nhờ định lý Viet ta có thể khảo sát về tính chất các nghiệm của phương trình bậc hai
+ Phương trình bậc hai có cùng dấu khi:
	0	hay	b2- 4ac0
x1.x2>0	
+ Phương trình bậc hai có hai nghiệm dương khi
0	hay	b2- 4ac0
x1.x2>0	
x1+x2>0 	
+ Phương trình có hai nghiệm cùng âm khi:
0	hay	b2- 4ac0
x1.x2>0	
x1+x2<0 	
+ Phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu khi:	
+ Phương trình có hai nghiệm đối nhau khi: 
x1.x2<0	
x1+x2=0 	hay	
+ Phương trình có hai nghiệm trái dấu nhưng nghiệm số dương có trị tuyệt đối lớn hơn khi:
+ Phương trình có hai nghiệm trái dấu nhưng nghiệm số âm có trị tuyệt đối lớn hơn khi:
* Nhờ định lý Viet, ta có thể tính được tổng (hoặc hiệu) các luỹ thừa bậc n hai nghiệm của phương trình: x (Với n
	Ví dụ:
Phương trình bậc hai ax2+bx+c = 0 có hai nghiệm x1;x2 thì:
x
x
II. Phương trình quy về phương trình bậc hai:
	Trong chương trình Toán ở trường phổ thông ta thường gặp một số dạng phương trình quy về phương trình bậc hai sau:
A. Phương trình chứa ẩn ở mẫu
	Phương trình chứa ẩn ở mẫu là những phương trình có ẩn số nằm ở mẫu thức của phương trình.
a) Cách giải:
	+ Tìm tập xác định của phương trình
	+ Quy đồng, khử mẫu
	+ Biến đổi phương trình, đưa phương trình về dạng ax2+bx+c=0
	+ Giải phương trình dạng ax2+bx+c=0
	+ Nhận định kết quả và trả lời (loại bỏ những giá trị của ẩn vừa tìm được không thuộc tập xác định của phương trình).
b) Ví dụ : 
 Ví dụ 1:
Giải và biện luận theo a và b phương trình: 	(1)
Điều kiện để (1) có hai nghiệm phân biệt:
Giải	Điều kiện:	 
Ta có: (1) 
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
* 
*
Vậy với thì (1) có hai nghiệm phân biệt
Ví dụ 2: Giải phương trình:
 (2)
Phân tích mẫu thành nhân tử ta có:
(2) 
TXĐ: 	x-2	
x+2	
2x+3
Mẫu thức chung: (x-2)(x+2)(2x+3)
Khử mẫu ta có: 4 - (2x+3)- 4(x-2) +(x-2)(x+2)
Giải phương trình :	 x2-6x+5=0 ta được 2 nghiệm: x1=1, x2=5
Đối chiếu với TXĐ ta thấy x1 = 1 và x2 = 5 là hai nghiệm của pt (2)
c. Nhận xét:
+ Loại phương trình chứa ẩn ở mẫu là loại thường gặp ở trường phổ thông.
+ Khi giải loại này cần lưu ý: Cần so sánh các giá trị tìm được của ẩn với TXĐ trước khi kết luận về nghiệm của phương trình.
B. Phương trình bậc ba
Phương trình bậc ba (một ẩn số) là phương trình có dạng tổng quát:	ax3+ bx2 + cx+d = 0 Trong đó x là ẩn số; a, b, c, d là các hệ số: a
a) Cách giải
Để giải một phương trình bậc ba ( đối với học sinh THCS) ta thường phải biến đổi đưa về phương trình tích, ở đó vế trái là tích của một nhân tử bậc nhất với một nhân tử bậc hai, còn vế phải bằng 0. Muốn vậy HS cần có kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử.
b) Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình
2x3+7x2+7x+2 = 0 (*)
Giải
(*)	 (2x3+2) +(7x2+7x)=0
	2(x3+1)+7x(x+1) =0
	2(x+1)(x2-x+1)+7x(x+1)=0
 (x+1)(2x2+5x+2) =0
	x+1=0	(1)
	2x2+5x+2 = 0	(2)
Phương trình (1) cho nghiệm x=-1
Phương trình (2) cho nghiệm x=-2 và x=-
Vậy phương trình (*) có tập hợp nghiệm là: S = - 
Ví dụ 2:
Cho phương trình x3- (2a+1)x2+(a2+2a-b) x-(a2- b)=0	(1)
Giải và biện luận theo a, b số nghiệm của phương trình đã cho.
Giải:
 Phương trình (1) Có tổng các hệ số bằng 0 nên có nghiệm x1=1. Do đó (1) có thể viết: (x-1)(x2- 2ax + a2- b) =0.
Xét phương trình bậc hai:
x2-2ax+a2- b=0	(2)
'= b
* Nếu b < 0 (2) vô nghiệm
 (1) có nghiệm duy nhất x =1
* Nếu b = 0 (2) có nghiệm kép: x = a
 (1) có hai nghiệm: x =1; x = a
* Nếu b > 0 (2) có hai nghiệm phân biệt:
 (1) Có ba nghiệm phân biệt: x=1; x= a+; x= a-;
c) Nhận xét:
Giải phương trình bậc ba ở THCS ta chủ yếu dùng phép phân tích đa thức thành nhân tử để đưa phương trình về dạng phương trình tích. Khi ...  biến đưa về phương trình bậc hai trung gian. Giải rồi trả biến tìm nghiệm của phương trình đã cho ban đầu.
	+ Về số nghiệm của phương trình:
- Nếu phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm phương trình đã cho ban đầu vô nghiệm.
- Nếu phương trình bậc hai trung gian có nghiệm t1,t2 nhưng các phương trình ; vô nghiệm phương trình đã cho ban đầu cũng vô
 nghiệm.
- Nếu các phương trình ; có bao nhiêu nghiệm thì 
phương trình đã cho ban đầu có bấy nhiêu nghiệm.
6- Phương trình dạng: 	(1)
Trong đó ; f(x) là đa thức của biến x, x là ẩn của phương trình.
a/Cách giải:
- Tìm tập xác định của phương trình bằng phép đổi biến f(x) =t
- Đưa phương trình về dạng: at2+ bt + c = 0	(2)
- Nếu phương trình (2) có nghiệm t=t0, ta giải tiếp phương trình f(x)=t0	(*)
- Nghiệm của phương trình (*) thoả mãn điều kiện) là nghiệm của phương trình đã cho.
b) Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình:	x6- 9x3+8=0	(1)
Giải:	Đặt x3= y: (1) trở thành y2-9y+8=0 với nghiệm số y1=1 và y2=8. Từ đó ta có hai phương trình: x3=1 và x3=8
Suy ra (1) có hai nghiệm x1=1; x2=2.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
x4+6x3+5x2-12x+3=0	(2)
Giải:
TXĐ: 
Biến đổi vế trái: VT = x4+6x3+5x2-12x+3
	 VT = x4+6x3+9x2-12x+3	
	 VT = (x2+3x)2- 4(x2+3x)+3
Phương trình (2) trở thành: (x2+3x)2-4(x2+3x)+3= 0
Đặt x2+3x=t
Thay vào (x2+3x)2- 4(x2+3x)+3=0
Ta có phương trình bậc hai trung gian: t2- 4t+3=0
Do 1- 4+3 =0	 t1=1;	t2=3
Trả biến:
	+) Với t=1 thì x2+3x =1 x2+3x-1=0
	Giải ra ta được: x1,2=
	+) Với t =3 thì x2 +3x=3 x2+3x-3=0
	Giải ra ta được: x3,4=
Vậy tâp hợp nghiệm của phương trình (2) là: 
	S = (vì đều thoả mãn điều kiện)
Ví dụ 3: Giải phương trình:
	(3)
Giải:
TXĐ:	
Thêm vào 2 vế của (3) biểu thức: 	
Ta được phương trình tương đương:
Hay	
	(3')
Đặt ẩn phụ:	
Thay vào phương trình (3') ta có	
Giải phương trình:	
Ta được	t1=	t2=
+) Với t =	ta có	
Phương trình này vô nghiệm.
	+) Với 	ta có	
Giải phương trình	
Ta được x1=1; x2=- 4 (thuộc TXĐ)
Vậy phương trình (3) có tập hợp nghiệm là: S = 1;	-4
7- Phương trình đối xứng
a/ Phương trình đối xứng bậc chẵn:
	Phương trình có dạng: a2nx2n + a2n-1x2n-1+....+ a1x + a0= 0 (*)
Trong đó x là ẩn số; a2n = a0 ạ 0; a2n-1= a1 ; ......
a) Cách giải: Do x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (*) chia cả hai vế của phương trình (1) cho xn ta được phương trình tương đương: 
a2nxn + a2n-1xn-1+....+ + = 0 (**)
Rồi đặt X = x + ; 
Khi đó: x2 + = X2 - 2; x3 + = X(X2 – 3); x4 + = (X2 – 2)2 - 2; ... 
b) Ví dụ
Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x4 + 3x3 – 16x2 +3x + 2 = 0 (1)
Giải: Do x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Ta chia cả hai vế của (1) cho x2 ta được phương trình tương đương: 
2(x2 +) + 3(x +) - 16 = 0 (1')
y = x + ta được phương trình: 2y2 + 3y – 16 = 0 (1'')
Giải phương trình (1'') ta được hai nghiệm là: y1 = - 4; y2 = .
Giải các phương trình: x + = - 4 và x + = ta được bốn nghiệm:
 x1 = -2 + ; x2 = -2 -; x3 = ; x4 = 2 . 
Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm là: x1 = -2 + ; x2 =-2 -; x3 = ; x4=2 . 
Ví dụ 2: Giải phương trình: 6x4 + 7x3 – 36x2 - 7x + 6 = 0 (2)
Giải: Do x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Ta chia cả hai vế của (2) cho x2 ta được phương trình tương đương: 
6(x2 +) + 7(x -) – 36 = 0 (2')
y = x - ta được phương trình: 6y2 + 7y – 24 = 0 (2'')
Giải phương trình (2'') ta được hai nghiệm là: y1 = -; y2 = .
Giải các phương trình: x - = -và x - = ta được bốn nghiệm:
x1 = -3 ; x2 =; x3 = -; x4= 2.
Vậy phương trình (2) có 4 nghiệm là: x1 = -3 ; x2 =; x3 = -; x4= 2 
b/ Phương trình đối xứng bậc lẻ:
Phương trình có dạng: a2n+1x2n+1 + a2nx2n+....+ a1x + a0= 0 (***)
Trong đó x là ẩn số; a2n+1 = a0 ạ 0; a2n= a1 ; ......
Cách giải: Phương trình luôn có nghiệm là : x = -1. Khi đó:
(***) Û (x+1). Q(x) = 0 Û 
Trong đó Q(x) là phương trình đối xứng bậc chẵn.
Ví dụ 3: Giải phương trình: 2x5 + 5x4 – 13x3 – 13x2 +5x + 2 = 0 (3)
	Giải: Phương trình (3) tương đương với phương trình: 
	(x +1)( 2x4 + 3x3 – 16x2 +3x + 2) = 0 (3')
	(3') Û 
 Phương trình (I) có nghiệm duy nhất: x1= - 1
 Phương trình (II) có 4 nghiệm: x2 = -2 + ; x3 = -2 -; x4 = ; x5 = 2.
 Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm:
	x1= - 1; x2 = -2 + ; x3 = -2 -; x4 = ; x5 = 2.
8- Vài phương trình bậc cao khác:
a) Ví dụ
Ví dụ 1: Giải phương trình:
	x5 + 2x4 – 5x3- 10x2+ 4x+ 8 = 0	(*)
Giải:
Đây là phương trình bậc 5, ta biến đổi đưa về dạng phương trình tích
Dễ thấy phương trình (*) có nghiệm x=-1. 
Chia vế trái của phương trình (*) cho x+1, ta được:
	(x+1)(x4+x3- 6x2-4x+8)=0	(**)
Đa thức f(x) = x4+x3-6x2+8 có nghiệm x=1 (vì f(1) =0).
Ta chia tiếp f(x) cho (x-1). Khi đó, phương trình (**) có dạng:
	(x+1)(x-1)( x3-2x2- 4x- 8)=0
Hay 	(x+1)(x-1)(x+2)(x2-4)=0
	x+1=0	x=-1
	x-1=0	x =1
	x+2=0	x=-2
	x2- 4 = 0	x=
Vậy phương trình (*) có tập nghiệm là:
	S = -1;	1;	-2;	2
Ví dụ 2:
Giải phương trình
	x4+4x3+3x2+2x-1=0	(*)
Ta nhóm các số hạng lại thì được:	(x4+4x3+4x2)-(x2-2x+1)=0
	(x2+2x)2-(x-1)2=0
	(x2+x+1)(x2+3x-1)=0
	x2+x+1=0	(1)
	x2+3x-1=0	(2)
phương trình (1) vô nghiệm
phương trình (2) có hai nghiệm
x1,2=
Vậy phương trình (*) có hai nghiệm:
x1,2=
Ví dụ 3:
Giải phương trình: 	x4- 4x3-10x2+37x-14 = 0
Giải: 
Giả sử phân tích vế trái của phương trình thành (x2+px+q)(x2+rx+s)
Trong đó p, q, r, s là các hệ số nguyên chưa xác định. Ta có:
x4- 4x3- 10x2 +37x - 14 = (x2+px+q)(x2+rx+s)
Đồng nhất các hệ số của những số hạng cùng bậc ở hai vế của đồng nhất thức ta có hệ phương trình sau:
p + r = - 4
s + q + pr = - 10
ps + qr = 37
qs = - 14
Giải hệ phương trình trên với nghiệm nguyên ta được:
p =-5;	q =2;	r =1;	s =-7
Do đó phương trình đã cho trở thành:
(x2-5x+2)(x2+x-7)=0
Ta chỉ còn phải giải hai phương trình sau:
x2-5x+2=0;	x2+ x -7 = 0 và
được tập nghiệm là:	S = 
 b/Nhận xét:
Qua các ví dụ ta có cách giải các phương trình bậc cao trên:
	+ Biến đổi về dạng tích, vế phải bằng 0
	+ Phân tích thành nhân tử đưa phương trình về hệ thống phương trình bậc nhất và bậc hai (đã biết cách giải)
	+ Số nghiệm của phương trình bậc nhất, bậc hai là nghiệm của phương trình ban đầu).
D- Phương trình vô tỷ:
Dạng thường gặp:	*) 
	*) af(x)+b
	(M là hằng số hoặc đa thức)
a) Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình:
	x=	(1)
Giải:
Điều kiện: 	:	(1) 	(1')
Phương trình (1') Û 
	 Û x =2
Vậy nghiệm của phương trình (1) là x=2.
Ví dụ 2: Giải phương trình
	2x +	(2)
Giải: Điều kiện: 
Đặt	 (*)	
	 t
 2t2+6+t =16
 (2) t
	2t2 + t - 10 = 0	 t1=2
 t	 	 t2=	ị t = 2
	 t
Thay giá trị của t = 2 vào (*) ta có:	
 x =7	(Thoả mãn điều kiện)
Vậy nghiệm của phương trình (2) là x = 7
b) Nhận xét:
+ Khi giải phương trình vô tỷ ta cần chú ý tìm TXĐ của phương trình
+ Tiến hành giải (3 cách)
* Cô lập căn thức, rồi bình phương hai vế để khử căn bậc hai
 (ĐK: Hai vế của phương trình không âm)
Sử dụng định nghĩa căn thức bậc n (n chẵn)
	f(x)=	(1)
	g(x)	(2)
Dùng phương pháp đặt ẩn phụ:
+ Nhận định số nghiệm của phương trình:
	Phương trình vô nghiệm nếu phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm
	Phương trình vô nghiệm nếu nghiệm của phương trình bậc hai trung gian không thoả mãn điều kiện của phương trình đầu.
	Phương trình có nghiệm nếu nghiệm của phương trình bậc hai trung gian thuộc TXĐ của phương trình đầu.
E- Một số phương trình đặc biệt:
 a) Ví dụ
Ví dụ 1: Giải phương trình:
	(x2+3x- 4)3+(2x2- 5x+3)3=(3x2-2x-1)3
Ta thấy (x2+3x- 4)+(2x2-5x+3)=(3x2-2x-1)
Tư đó đặt a =x2+3x-4;	b =2x2-5x+3 thì phương trình đã cho có dạng
	a3+b3=(a+b)3
mà (a+b)3= a3+3ab(a+b)+b3 	suy ra 3ab(a+b)=0 từ đó suy ra:
	- Hoặc	a =x2+3x- 4=0	(có hai nghiệm là 1 và - 4)
	- Hoặc	b =2x2-5x+3=0	(có hai nghiệm là 1 và )
	- Hoặc	a+b=3x2-2x-1=0	(có hai nghiệm là 1 và )
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S = 
Ví dụ 2:
	Giải phương trình: x4+y4+=4
Giải: 	Do 	nên vế trái 	. 
Dấu bằng xảy ra khi x
Từ đó suy ra phương trình đã cho có nghiệm là: x=
Ví dụ 3:	Giải phương trình:	 (1+t2)2 = 4t(1- t2)
Giải:	Ta có (1+t2)2 =(1- t2)2+ 4t2 phương trình đã cho trở thành:
	(1- t2)2 – 4t(1-t2) + 4t2 = 0 hay 
hay có nghiệm là 
 	b)Nhận xét:
	Với các phương trình đặc biệt, mỗi phương trình có một cách giải riêng nó đòi hỏi tư duy rất cao, đòi hỏi khả năng vận dụng kiến thức tổng hợp một cách hết sức linh hoạt.
G- Một số bài tập tự giải:
Giải các phương trình:
1) x4 - 4x3 - 6x2 - 4x + 1 = 0
2) 3x5- x4 - 2x3 + 2x2 - x + 3 = 0
3) (x + 2) (x + 3) (x - 7) (x - 8) = 144
4) x8 - x4 - 2 = 0
5) (x +6)4 +(x +4)4 = 32
6) (2 - x2)2 + 3(2 - x2) + 2 = 0
7) 2x3 - 11x2 + 2x +15 = 0
8) 
9) 2(x2 +x +1)2 - 7(x- 1)2 = 13(x3- 1)
10) ( 2x2 -3x +1) ( 2x2 + 5x +1) = 9x2
11) x3- 7x + 36 = 0
12) x2 + = 1
13) x2 + x - 
14) 
15) x7 - 2x6 + 3x5- x4 - x3 + 3x2 - 2x + 1 = 0
Kết luận
	Phát triển tư duy toán học và nhận thức sáng tạo cho các em học sinh là một việc làm khó. Để làm được điều này người giáo viên phải là người có kiến thức, có phương pháp sư phạm tốt, hết lòng thương yêu học sinh và hơn nữa là cần phải kỳ công với các bài giảng của mình.
	Qua thời gian giảng dạy và bồi dưỡng, qua việc nghiên cứu kết quả học tập của học sinh ở các lớp bồi dưỡng học sinh khá giỏi, qua việc trao đổi với các đồng nghiệp tôi nhận thấy khi bồi dưỡng cho học sinh khá, giỏi; Mảng kiến thức: "Giải các phương trình quy về phương trình bậc hai" có tác dụng thiết thực, nó góp phần bổ sung kiến thức giải phương trình, đặc biết là các phương trình qui về phương trình bậc hai mà tôi đã trình bày trong nội dung của đề tài này; Các em đều có sự tiến bộ rõ rệt, thể hiện, các có cái nhìn toàn diện hơn về mảng kiến thức này, không còn lúng túng trong khi giải các dạng phương trình đã học.
	Đối với giáo viên, việc thực hiện giảng dạy các kiến thức này trở nên dễ dàng hơn rất nhiều, các đồng nghiệp của tôi đều đánh giá rất cao hệ thống kiến thức này và coi đó là tài liệu chính cho việc bồi dưỡng cho học sinh khá, giỏi lớp 9 (Mảng kiến thức về phương trình).
	Với những thành công đó, tôi mạnh dạn viết lại hệ thống kiến thức này mong phổ biến rộng rãi hơn, góp phần vào việc bồi dưỡng kiến thức cho học sinh khá giỏi. Tuy nhiên, do thời gian hạn hẹp cũng như kinh nghiệm bản thân còn hạn chế, trong quá trình thực hiện đề tài chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong sự chỉ bảo tận tình của thầy cô và các bạn đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Tài liệu tham khảo
1. Đại số 9 - NXB Giáo dục
2. Bài tập Đại số 9- NXB Giáo dục
3. Một số vấn đề phát triển đại số 9 - NXB Giáo dục
4. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS Đại số - NXB Giáo dục
5. Toán bồi dưỡng học sinh giỏi THCS-NXB ĐHSP Hà Nội
6. Phương pháp dạy học môn toán - NXB Giáo dục
7. Tuyển tập 250 bài toán bồi dưỡng học sinh giỏi toán cấp hai-NXB trẻ TPHCM
8. Đại số sơ cấp tập II-NXB Giáo dục 1978
9. 162 bài toán chọn lọc cấp II-NXB trẻ 1997
úúúúúúú