Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp hướng dẫn học sinh giải bài toán hình học THCS - Mã Thị Diệp

Sở giáo dục và đào tạo thanh hoá
Phòng giáo dục hậu lộc
******
 Bản thành tích tập thể
 Đề nghị thủ tướng chính phủ tặng bằng khen
 Đơn vị: Trường THCS Lộc Tân
 Hậu Lộc –Thanh hoá
 Năm học:2005-2006
A. Đặt vấn đề
I – lời mở đầu:
Hình học là môn khoa học dùng lý luận để suy diễn và phải dựa vào quy tắc suy diễn logic để tìm hiểu tính chất chung của các hình.
Phần chứng minh các định lý, hệ quả và bài tập hình học là ghi chép lại các dùng lý luận suy diễn để xác nhận tính chất của các hình học. Nhiệm vụ chủ yếu của phần chứng minh là ở chỗ ta nói rõ tại sao và với những điều kiện nào thì nhất thiết phải rút ra được kết luận gì, tức là phải đưa ra bằng cớ để chứng thực các kết luận là đúng.
Việc dạy học sinh giải bài toán hình học có vai trò quan trọng bởi lẽ qua đó vừa củng cố kiến thức khắc sâu và mở rộng kiến thức cho học sinh, đồng thời rèn luyện được kỹ năng phương pháp toán học, rèn luyện thao tác tư duy, phân tích, tổng hợp, phát hiện và bồi dưỡng các năng lực trí tuệ
Dạy học sinh giải bài toán là phương pháp, phương tiện để kiểm tra việc học của trò, đánh giá được các khả năng độc lập toán học và trình độ phát triển trí tuệ của học sinh.
	Để học sinh có thể học tốt môn hình học thì ngoài việc học giúp học sinh hiểu được tài liệu SGK, người giáo viên phải nghiên cứu các phương pháp giảng dạy, ôn tập, luyện tậpđể hướng dẫn học sinh biết vận dụng các tiên đề, hệ quả, định lý,nắm được phương pháp chứng minh hình học chính xác. Nâng cao hiểu biết về kiến thức cũng như lý luận hình học đó là cả một vấn đề nan giải đòi hỏi người giáo viên phải thường xuyên nghiên cứu trăn trở mới hoàn thành được nhiệm vụ đó.
II- thực trạng của vấn đề nghiên cứu:
	 Trong khi học hình nói chung, đặc biệt khi chứng minh các bài tập hình học học sinh đều cảm thấy có nhiều khó khăn, nhiều em chán nản, bó tay và không muốn học phân môn này.
	Hiện nay việc giải bài toán hình học đối với học sinh còn nhiều lúng túng, nhiều học sinh thụ động chưa biết cách tìm ra lời giải bài toán. Không biết phân tích tìm hiểu đề bài để tìm đường lối chứng minh nên các em không biết chứng minh như thế nào và bắt đầu từ đâu. Trong khi đó sách giáo khoa biên soạn tuần tự theo hệ thống lý luận của các hình hình học không tổng hợp theo từng loại bài tập. Do đó học sinh khó nắm được các giải bài tập. Mặt khác trong sách giáo khoa các bài toán mẫu quá ít. Chủ yếu chỉ là chứng minh định lý, hệ quả. Mà tài liệu tham khảo chỉ trình bày lời giải nên nhiều lúc học sinh bị thụ động, nhiều bài không trả lời được tại sao lại vẽ thêm đường phụ, hình phụ, .Chỉ một số học sinh giỏi mới biết trình bày lời giải bài toán mới, tương tự hoặc đưa ra những bài toán đặc biệt hơn, khái quát hơn và giải những bài toán đó gần như bó tay.
Vì vậy trong quá trình dạy học phương pháp dạy học giải toán nói chung và phương pháp dạy học sinh giải toán hình học nói riêng đóng vai trò đặc biệt quan trọng. Nó giúp cho học sinh trí nhớ và sử dụng các định lý, tính chất, hệ quả có liên quan trong bài toán, phân tích bài toán. Từ đó học sinh tìm đường lối chứng minh và biết trình bày lời giải đầy đủ, chính xác, khoa học. Ngoài việc rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải bài toán hình học học sinh còn phát huy được tính tích cực học tập sáng tạo và ham tìm tòi cái mới.
Từ những lý do trên mà bản thân tôi đã chọn đề tài “ Phương pháp hướng dẫn học sinh giải bài toán hình học” . Với mục đích nâng cao hiệu quả dạy học bộ môn hình học nói riêng và môn toán nói chung. Giúp học sinh có phương pháp giải bài toán hình học và có hứng thú học bộ môn này.
B. giải quyết vấn đề
Các bước trong dạy học giải toán:
Trong toán học nói chung và hình học nói riêng có những bài toán có thuật giải, có những bài toán không có thuật giải, do đó khi dạy học sinh giảibài toán hình học giáo viên cần hướng dẫn học sinh the 4 bước sau:
Bước1: Tìm hiểu đầu bài.
Yêu cầu:
- Làm cho học sinh nắm được nội dung, ý nghĩacủa bài toán, giải nghĩa được các từ, các thuật ngữ trong bài toán. Xác định được các yêu cầu cơ bản của bài toán. Có 3 yếu tố:
 + Dữ liệu
 + Mối quan hệ
 + ẩn số ( cái phải tìm,phải chứng minh)
- Học sinh thể hiện được bài toán dưới hình thức ngắn gọn,dễ hiểu, nắm được khái quát nội dung bài toán. Bài toán thuộc loại chứng minh hay tính oán (tìm tòi ). Nếu là loại chứng minh thì nên giả thiết,kết luận. Nếu là loại tính toán phải nêu được cho cái gì ? Tìm cái gì ?
- Đặc biệt đối với bài toán hình học yêu cầu học sinh phải vẽ hình, dùng ký hiệu thích hợp để minh hoạ bài toán. Hình vẽ phải chính xác, có tính trực quan.
Bước2: Xây dựng chương trình giải (lập kế hoạch giải)
Lập kế hoạch giải là xây dựng trình tự cho việc giải quyết những đòi hỏi của bài toán, tức là dạy cách tìm ra hướng giải quyết của bài toán.
- Phân tích nội dung giả thiết, kết luận, phân tích mối quan hệ giữa cái đã cho, cái phải tìm, phải chứng minh từ đó tìm ra sự liên hệ của chúng, biết phân tích bài toán thành những phần hoặc những bài toán đơn giản hơn nếu có thể.
- Xét xem đã gặp những bài toán tương tự chưa.
- Xét bài toán trong những trường hợp đặc biệt, từ đó tìm lời giải cho bài toán tổng quát hoặc ngược lại từ bài toán tổng quát tìm lời giải cho bài toán được biệt.
- Bài toán đã cho có liên uan đến khái niệm, quy tắc, định lý, định nghĩa, công thức nào ? Có cần đưa thêm đường phụ hay không ?
Từ các bước trên giáo viên hướng dẫn cho học sinh xây dựng chương trình giải (học sinh có thể xây dựng được nhiều chương trình giải khác nhau tức là nhiều cách giải khác nhau)
Bước3: Trình bày lời giải bài toán.
Trên cơ sở các bước phân tích tổng hợp và suy luận để xây dựng chương trình giải. Giáo viên hướng dẫn giúp học sinh trình bày lời giải tuần tự theo các bước trong “ chương trình giải” một cách rõ ràng,đầy đủ, chính xác, khoa học và sáng tạo.
Bước4: Đánh giá bài toán.
- Xét tính hợp lí của đáp số ( nếu cần thiết )
- Khai thác và phát triển bài toán theo nhiều hướng khác nhau, từ đó rút ra những kinh nghiệm cần thiết.
- Đề xuất ra những bài toán tương tự hoặc những bài toán có tính chất đặc biệt hoá, khái quát hoá.
Một số ví dụ khi dạy học sinh giải toán hình học:
- Nói chung khi dạy học sinh giải bài toán hình học nếu chỉ đơn thuần là hướng dẫn học sinh là tìm lời giải và trình bày lời giải thì hiệu quả của việc dạy học thấp. Để giúp học sinh củng cố, khắc sâu, mở rộng kiến thức đồng thời rèn luyện được các năng lực trí tuệ thì khi dạy học sinh giải bài toán hình học cần làm theo 4 bước như trên. Tuy nhiên tuỳ từng bài toán cụ thể và đối tượng học sinh mà trong từng bài tầm quan trọng và tính hiệu quả của mỗi bước là khác nhau.
Trong phạm vi đề tài này tôi chỉ đưa ra một số ví dụ cụ thể trong việc hướng dẫn học sinh giải bài toán hình học.
1. Ví dụ 1: Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ một điểm trong tam giác đều đến các cạnh của tam giác đó là một số không đổi.
Bước 1: Tìm hiểu đầu bài
 Hệ thống câu hỏi:
Bài toán thuộc loại chứng minh hay tính toán ?
Khoảng cách từ một điểm O trong tam giác đến mỗi cạnh của tam giác được xác định như thế nào?
Vẽ hình, viết giả thiết, kết luận một cách chính xác.
 A
 M N
 O
 B H I C
GT
DABC (AB = AC = BC = a)
O miền trong của DABC
OM ^ AB;ON ^ AC;OI ^ BC
OM = x; ON = y; OI = z
KL
 x+y+z không đổi
 Bước 2: Xây dựng chương trình giải
Hệ thống câu hỏi
x + y + z = ?
tổng x + y + z có phụ thuộc vào a hay không ?
 ( học sinh sẽ lúng túng )
Giáo viên hướng dẫn, gợi ý, học sinh phân tích bài toán theo các hướng sau:
Hướng1: Dựa theo tính chất của diện tích đa giác:
1. Có nhận xét gì về diện tích của DABC, và tổng diện tích của DAOB, DAOC, DBOC ?
Gọi độ dài chiều cao AH = h ( AH ^ BC )
2.So sánh x + y + z = h ?
Tính độ dài h theo a.
Từ đó suy ra tổng x + y + z 
Từ các bước phân tích suy luận trên học sinh xây dựng được chương trình giải:
(1) – Biểu diễn diện tích của tam giác: DABC,DAOB, DAOC, DBOC theo a, x, y,z,h.
(2) – Từ biểu thức SDABC = SDAOB + SDAOC + SDBOC
 ị x + y + z = h
(3) Tính h theo a
(4) Từ bước (2) và (3) ị x + y + z không đổi.
 Hoặc học sinh có thể xây dựng “ chương trình giải như sau”
(1) Tính diện tích DABC,DAOB, DAOC, DBOC theo x,y,z,h
(2) – Chứng minh: SDABC = SDAOB + SDAOC + SDBOC
(3) - Từ biểu thức (2) rút gọn 2 vế được x + y + z = h
(4) – Tính h theo a
(5) – Từ (3) và (4) ị x + y + z không đổi
 A
B H C
 A
 N
M≡O E
B I H C
	Hướng 2: Xét bài toán trong trường hợp đặc biệt, từ đó tìm ra lời giải cho bài toán tổng quát.
a. Nếu O ≡ A thì x + y + z = ?
HS trả lời Nếu O ≡ A
Thì x = 0; y = 0; z = h ịx + y + z = h
b. Nếu O AB thì x + y + z = ?
HS trả lời: Nếu O AB thì M ≡ O
 x = 0; y = ON = AK
 ( vì DAOE đều )
z= OI= KH (vì IOKH là hình chữ nhật)
Vậy x + y + z = AK + KH = AH = h
Từ dự đoán trong trương hợp tổng quát:
 x + y + z = h
c. Xét bài toán trong trường hợp tổng quát:
 A
 K L
 M
 N
 E F
 B H I C
Từ O vẽ EF // BC; OK // AC; EL ^ AC
Ta dễ dàng nhận thấy DAEF; DKEO là
 tam giác đều. Trong tam giác đều AEF
 có O EF. Vậy theo trường hợp b ta có:
 x + y = OM + ON = ?
HS: trả lời: x = OM = EP
 y = ON = PL
 ị x + y = EP + PL = EL = AQ
HS: trả lời:
	x + y + z = AQ + QH = AH = h
 Từ các bước phân tích suy luận như trên học sinh xây dựng “ chương trình giải” như sau:
(1) – Vẽ thêm đường phụ: Từ O vẽ EF//BC; OK//AC; EL^AC.
 Đặt tên các giao điểm : AH ầ EF = Q; OK ầ EL = P
(2)- Xét trong tam giác đều AEF có O EF nên theo bài toán đặc biệt ở trường hợp b, thì ta có x + y = OM + ON = EL= AQ
(3)- Thay z = OI = QH ta có: x + y +z = AQ + QH = AH = h
(4)- Tính h theo a
(5)- Từ (3) và (4) ị x + y +z không đổi
Bước 3: Trình bày lời giải bài toán
Giáo viên yêu cầu học sinh trình bày lời giải bài toán theo trình tự các bước trong “ chương trình giải”
Kiểm tra tính chính xác, chặt chẽ, hợp lý, khoa học của bài giải để sửa chữa cho phù hợp.
Bước 4: Đánh giá bài toán
Từ bài toán trên giáo viên yêu cầu học sinh ra đề cho bài toán khác theo hướng đặc biệt hoá, tương tự hoá hay khái quát hoá (nếu có thể) bằng cách thay đổi một giả thiết nào đó và giữ nguyên các giả thiết khác.
Chẳng hạn giáo viên hỏi học sinh:
Thay tam giác đều bằng tam giác cân hoặc tam giác thường có được không ?
Thay tam giác đều bằng đa giác đều bất kỳ có được không?
Điểm O thuộc một cạnh của tam giác đều hay đa giác đều có được không ?
theo hướng đó học sinh có thể tự ra đề bài và trình bày lời giải của một số bài toán.
Ví dụ: Bài toán1: Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ) M là một điểm thuộc cạnh BC. Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ điểm M đến hai cạnh AB,AC không đổi khi M chạy trên BC.
 Bài toán2: Cho lục giác đều cạnh bằng a. M là một điểm thuộc miền trong của lục giác. Chứng minh tằng tổng các khoảng cách từ điểm M đến các cạnh của lục giác là một số không đổi. Tìm số đó.
Bài toán3: (ở mức độ tổng quát hơn)
 Cho đa giác đều n cạnh mỗi cạnh bằng a. M là một điểm thuộc miền trong của đa giác. Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ M đến các cạnh của lục giác là một số không đổi. Tìm số đó.
Giáo viên yêu cầu học sinh tự giải bài toán đề xuất.
2- Ví dụ2: Hướng dẫn học sinh giải bài toán sau:
 Cho tam giác ABC. 3 đường cao AA1; BB1; CC1 cắt nhau tại H. 
Tính: 
 Bước1: Tìm hiểu đầu bài.
Hệ thống câu hỏi:
Bài toán thuộc dạng chứng minh hay tính toán ?
 A
 B1
 C1 H
 B A1 C
Vẽ hình chính xác, viết giả thiết kết luận ?
GT
DABC có góc nhọn
AA1^BC; BB1^AC; CC1^ AB
AA1; BB1; CC1 cắt nhau tại H
KL
Tính: 
 Bước 2: Xây dựng chương trình giải
 Hệ thống câu hỏi:
Có nhận xét gì về AA1, BB1; CC1 ? (AA1, BB1; CC1 là 3 đường cao của tam giác ABC)
Có nhận xét gì về HA1;HB1;HC1 ? (HA1;HB1;HC1 lần lượt là 3 đường cao của tam giác BHC;AHC;AHB )
Có nhận xét gì về các tam giác: ABC; BHC; AHC; AHB ?
( DBHC; DAHC; DAHB không có điểm chung trong:
 SDABC = SDBHC + SDAHC + SDAHB)
4.Có nhận xét gì về biểu thức cần tính (là tổng của 3 phân số)
5.Muốn tính tổng ta làm thế nào ? ( quy đồng mẫu)
6. muốn quy đồng mẫu 3 phân số này ta làm như thế nào ?
 (Giáo viên gợi ý: AA1, BB1; CC1 là 3 đường cao của DABC)
Vậy có thể tìm được 3 đoạn thẳng tương ứng x,y,z nào đó để AA1.x = BB1.y = CC1.z được không ? Nếu học sinh vẫn không trả lời được thì giáo viên có thể hỏi: có thể chọn SDABC làm mẫu chung được không ?
Nếu chọn mẫu chung là SDABC thì x = 1/2BC; y = 1/2AC;
 z = 1/2AB
7. Nếu chọn mẫu chung SDABC tính tổng: 
 Từ các bước phân tích suy luận ở trên học sinh xây dựng chương trình giải như sau:
(1)-Chứng minh SDABC = SDBHC + SDAHC + SDAHB
(2)-Tính tổng: bằng cách quy đồng với mẫu chung là SDABC và thừa số phụ tương ứng là: 1/2BC;1/2AC;1/2AB.
(3) Từ (1) và (2) ị = 1
 Có thể xây dựng chương trình giải như sau:
Chứng minh: SDBHC + SDAHC + SDAHB = SDABC
Chia hai vế của (1) cho SDABC được biểu thức:
Rút gọn phân số ở vế trái để được: = 1
Bước3: Trình bày lời giải bài toán.
Giáo viên yêu cầu học sinh trình bày lời giải bài toán theo trình tự các bước trong “chương trình giải”
Kiểm tra đánh giá tính chính xác, chặt cẽ,logic, hợp lý và khoa học của bài giải để sửa chữa cho phù hợp.
Bước4: Đánh giá bài toán.
1. Tại sao DABC phải là tam giác nhọn ? Nếu DABC có 1 góc tù thì bài toán có thể giải được không ?
(Nếu DABC có góc tù thì DBHC; DAHC; DAHB có điểm chung trong khi đó SDBHC + SDAHC + SDAHB ạ SDABC. Do đó bài toán không giải được)
2. Nếu thay trực tâm H bằng trọng tâm của tam giác, hay giao điểm 3 đường phân giác có được không /
3. Nếu H là điểm bất kỳ trong tam giác thì bài toán có giải được không ?
Từ đó học sinh có thể ra một số bài toán như sau:
Bài toán1: Cho DABC có 3 góc nhọn. H là giao điểm của 3 đường trung tuyến AA1, BB1; CC1 của tam giác. Chứng minh rằng:
 = 1
Bài toán2: Cho DABC có 3 góc nhọn. H là giao điểm của 3 đường phân giác AA1, BB1; CC1 của tam giác. Chứng minh rằng:
 = 1
Bài toán3: Cho DABC có 3 góc nhọn. H là điểm bất kỳ trong tam giác. Nối AH;BH;CH kéo dài cắt BC;AC;AB lần lượt tại A1,B1,C1. 
Chứng minh rằng: = 1
Giáo viên yêu cầu học sinh tự giải bài toán đề xuất.
III- Hướng dẫn học sinh khai thác bài toán bằng phương pháp đặc biệt hoá-khái quát hoá-tương tự hoá.
- Trong quá trình dạy học hình học ở phổ thông, số giờ luyện tập là rất ít. Nếu giáo viên không hướng dẫn cho học sinh cách khai thác bài toán: Bằng phương pháp đặc biệt hoá,khái quát hoá hay tương tự hoámà chỉ đơn thuần là học sinh trình bày bài giải thì học sinh sẽ gặp nhiều khó khăn khi giải bài tập khác. Vì các em
 không có đủ khả năng tư duy độc lập sáng tạo trong các bài toán mới. Vì vậy để học sinh có khả năng giải bài tập hình học tốt giáo viên phải hướng dẫn học sinh khai thác phân tích bài toán theo nhiều hướng: Đặc biệt hoá,khái quát hoá, tương tự hoá để các em có thể chủ động sáng tạo khi giải bài tập khác. sau đây là một số ví dụ hướng dẫn học sinh khai thác bài toán.
1- Từ bài toán cụ thể tìm lời giải cho các bài toán tương tự, đặc biệt hơn hay tổng quát hơn.
Ví dụ: Sau khi hướng dẫn học sinh giải bài toán:
“ Cho DABC cân có ; K là điểm nằm trong tam giác sao cho ”
 A
 I
 K
 B H C
Hình1
Theo một số chương trình giải như sau:
Cách 1: (Hình1)
(1)-Vẽ thêm đường phụ AH^CB 
 AHầ CK = 1, Nối I với B
(2)-Tính số đo 
(3)-Chứng minh DABI = DKBI (g.c.g)
(4)-Chứng minh DABIưK cân
(5)- Tính 
 M
 A
 K
 B C
Hình2
Cách2: (Hình2)
 Trên nửa mặt phẳng chứa A
Có bờ BC vẽ DBMC đều.
(2)-Chứng minh DBMA = DCMA (c.c.c)
 ị 
(3)-Chứng minh DBMA = DBCK (g.c.g)
(4)-chứng minh DABK cân đỉnh B.
(5)- Tính 
Cách 3:
(1) Vẽ tai Bx sao cho 
 Vẽ AH^BC; BC ầ AH = I
(2) Tính 
(3) Chứng minh BI = BC
 x
 I
 A
 K
 B H C
Hình3
(4) Chứng minh DBIA = DBCK
(5) Chứng minh DABK câm
(6) Tính góc 
Từ bài toán trên bằng phương pháp tương tự hoá, đặc biệt hoá, khái quát hoá giáo viên có thể gợi ý giúp học sinh giải được các bài tập sau:
 Bài tập 1: Cho tam giác vuông cân đỉnh A. E là một điểm thuộc miền trong của tam giác sao cho tam giác EAC cân đỉnh E có góc ở đáy bằng 150. Tính góc AEB.
 Tương tự bài toán trên học sinh có thể đưa ra các cách giải sau:
 B
 I
 E
 A C 
 Cách 1:
(1)-ở miền trong của DBAE dựng DAIE
(2)- Chứng minh DAIB = DACE
(3)- Tính góc AIB và góc BIE
(4)-Chứng minh DABI = DEBI
(5)- Chứng minh DABE cân
 B
 E
 A C
 I
Cách 2:
(1) Trên nửa mặt phẳng có bờ AC 
không chứa điểm B. Vẽ tam giác đều AIC.
(2) Chứng minh DAEC = DAEI
(3) Chứng minh DAEI = DCEI
(4) Tính góc AEI
(5) Tính 
 B
 I
 E
 A C
Cách 3:
Vẽ ra phía ngoài DAEC tam 
giác đều EIC.
(2) Chứng minh DAEC = DAEI
(3) Chứng minh DABI đều
(4)-Chứng minh DABE = DIBE
(5) Tính 
Bài tập 2:
“ Cho DABC cân có góc đỉnh A = 200. Trên AB lấy điểm D sao cho AD = BC. Tính góc ACD”
 A
 E
 D
 B 
 Hình1 C
Tương tự bài toán trên song ở bài này điểm D không nằm ở miền trong của tam giác mà nằm trên một cạnh của tam giác. Bằng phương pháp tương tự hoá và đặc biệt hoá học sinh có thể đưa ra một số cách giải sau:
Cách 1: (Hình 1)
(1) Vẽ ra phía ngoài DABC tam giác đều ADE
(2) Chứng minh DCAE = DACB
(3) Tính góc ACE
(4) Chứng minh DACD = DECD
(5) Tính 
Cách 2: ( Hình 2)
 A
 D E
B C Hình 2
(1) Vẽ ra phía ngoài DABC tam giác đều ACE
(2) Chứng minh DBAC = DDEA
(3) Tính góc DEC
(4) Chứng minh DDEC cân.
(5) Tính góc DCE
(6) Tính góc ACD ( = 100)
Cách 3: ( Hình 3) 
(1) Vẽ miền trong của DABC tam giác BEC đều
(2) Chứng minh DBEA = DCEA
 A
 D
 E
 B C
 Hình 3
(3) Tính góc CAE và góc ECA
(4) Chứng minh DCEA = DADC
(5) Tính góc DCA (= 100 )
Cách 4: ( Hình 4)
 A
 D
 E
B C Hình 4 
(1).Trên nửa mặt phẳng có bờ AB 
chưa điểm C vẽ tam giác đều ABE.
(2) Tính góc EBC và góc CAE
(3) Tính góc EAC và góc BEC
(4) Chứng minh DADC = DBCE
(5) Chứng minh 
2- Bằng phương pháp đặc biệt hoá hướng dẫn học sinh tìm tòi lời giải bài toán:
Ví dụ: Xét bài toán “ Cho tam giác ABC có AC > AB. Các điểm P, Q theo thứ tự nằm trên các cạnh AB, AC sao cho BP = CQ. Chứng minh rằng P,Q thay đổi vị trí nhưng vẫn thảo mãn điều kiện trên thì đường trung trực của BQ luôn luôn đi qua một điểm cố định.
 d1 d2
 A
 K
 E
 P 
 Q
 B C
 I
- Để tìm được điểm cố định mà đường trung trực của PQ luôn luôn đi qua ta xét hai vị trí đặc biệt của P và Q:
+ Nếu P º B thì Q º C
 	ị đường trung trực của PQ là đường
trung trực d1 của BC.
+ Gọi E là điểm thuộc AC sao cho
 AB = CE
Nếu P º A thì Q º E
ị đường trung trực của PQ là đường
trung trực d2 của AE mà d1ầ d2 =O.
+ Nếu đường trung trực của PQ luôn đi qua một điểm cố định thì điểm đó phải là điểm O ( vì d1,d2 cố định nên điểm O là điểm cố định )
+ Chứng minh trong trường hợp tổng quát thì O cũng nằm trên đường trung trực của PQ tức là chứng minh OP = OQ.
Ta dễ dàng chứng minh được DABO = DECO (c.c.c)
Từ đó hay 
ị DPBO = DQCO (c.g.c) ị OP = OQ
O nằm trên đường trung trực của PQ mà O là điểm cố định nêm: suy ra đường trung trực của OQ luôn luôn đi qua điểm cố định O.
Vấn đề khó khăn nhất đối với học sinh khi giải bài toán này là tìm ra điểm O. Điểm O được xác định bằng phương pháp đặc biệt hoá.
Kết luận
1. Kết quả nghiên cứu
Những năm đầu khi dạy hình học, bản thân nhận thấy học sinh rất sợ học hình học, vì khi làm bài tập hình các em thấy khó khăn, không biết phân tích bài toán nên không xây dựng được chương trình giải, không biết chứng minh bắt đầu từ đâu. Hoặc khi chứng minh thì thường đưa ra những kết luận thiếu lý do,hoặc lý do không xác đáng. Khi làm bài kiểm tra cũng như khi thi vào cấp III số học sinh làm được bài tập hình rất ít. Do đó kết quả không cao.
Thấy rõ thực trạng và nguyên nhân,bản thân đã ra nhiều biện pháp thực hiện và khắc phục. Kết quả gần đây cho thấy số lượng có hứng thú học môn hình tăng. Các em đã biết khai thác bài toán theo nhiều hướng khác nhau, biết tìm ra những cách giải hay. Giải được nhiều bài tập khó. Kết quả trong các kỳ thi cũng được cao hơn.
Để học sinh học tốt môn hình học, giải được bài tập hình học là quả một quá trình nan giải vì môn hình học này là môn học sinh suy diễn bằng lý luận hết sức chặt chẽ. Khi chứng minh bài toán hình học mỗi khẳng định phải có lý do xác đáng, song lý do không phải chỉ là giải thiết của bài toán mà còn được chọn lọc từ hệ thống định nghĩa, định lý, hệ quảtừ lớp 6 đến lớp 9. Muốn trình bày một bài toán hình học chặt chẽ,chính xác, khoa học thì học sinh phải biết phân tích, so sánh, tổng hợp từ giải thiết của bài toán, mối liên quan giữa giả thiết với điều phải chứng minh, phải tìm. Liên hệ giữa bài toán cần giải với những bài toán tương tự đã gặp
Tuy nhiên nếu thực hiện tốt phương pháp giảng dạy của bộ môn. Rèn luyện uốn nắn từng bước, theo từng mức độ tiếp thu từ lớp 6 đến lớp 9 một cách chặt chẽ, liên tục thì cũng thu được kết quả khả quan.
Trên đây là những kinh nghiệm ít ỏi của bản thân tôi, chắc chắn sẽ còn nhiều khiếm khuyết. Xin chân thành được lắng nghe ý kiến góp ý phê bình.
2. Kiến nghị đề xuất:
 -Đề nghị phòng giáo dục thường xuyên mở các chuyên đề để bồi dưỡng phương pháp dạy môn toán nói chung môn hình học nói riêng để nâng cao tay nghề cho giáo viên dạy toán.
 -PGD tham mưu với UBND huyện trang bị cho các trường cơ sở có đầy đ ủ phương tiện dạy học như máy chiếu đa năng ,tài liệu tham khảo.
 -Đề nghị PGD nên bảo lưu kết quả SKKN 2 năm.
Người viết
Mã Thị Diệp