Sáng kiến kinh nghiệm Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán

Ph©n tÝch mét ®a thøc thµnh nh©n tư vµ c¸c øng dơng trong gi¶I to¸n
M«n To¸n 8
Mơc lơc
Stt
Néi dung
Tõ trang
®Õn trang
PhÇn thø nhÊt: ®Ỉt vÊn ®Ị
1
Lý do chän ®Ị tµi - mơc ®Ých nghiªn cøu
2 ®Õn 3
PhÇn thø hai: gi¶i quyÕt vÊn ®Ị
1
C¸c hƯ thèng kiÕn thøc c¬ b¶n
3 ®Õn 4
2
Nh÷ng vÊn ®Ị cÇn gi¶i quyÕt
PhÇn I - c¸c bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư vµ khai th¸c c¸c kÕt qu¶ cđa chĩng.
PhÇn II - Mét sè lỵi Ých cđa viƯc ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư.
4 ®Õn 22
22 ®Õn 31
3
KÕt qu¶
31 ®Õn 32
4
Bµi häc kinh nghiƯm
32 ®Õn 33
5
Ph¹m vi ¸p dơng - H­íng ®Ị xuÊt
33 ®Õn 34
PhÇn thø ba: kÕt luËn
1
KÕt luËn 
35
2
Bµi tËp ®Ị nghÞ
36
3
Danh mơc tµi liƯu tham kh¶o 
37
A/ §Ỉt vÊn ®Ị
	ë tr­êng phỉ th«ng häc sinh ®­ỵc häc rÊt nhiỊu bé m«n kh¸c nhau. Mét trong nh÷ng bé m«n ®­ỵc c¸c em yªu thÝch ®ã lµ m«n to¸n bëi lÏ nã lµ bé m«n khoa häc cã t¸c dơng ph¸t triĨn t­ duy, h×nh thµnh kü n¨ng kü x¶o, ph¸t huy tÝnh tÝch cùc trong häc tËp. ViƯc häc tèt m«n to¸n lµ c¬ së ®Ĩ giĩp c¸c em häc tèt nh÷ng m«n kh¸c. Lµ mét gi¸o viªn d¹y to¸n t«i thÊy viƯc h­íng dÉn c¸c em biÕt c¸ch gi¶i ®èi víi tõng lo¹i to¸n lµ rÊt cÇn thiÕt.
	Trong ch­¬ng tr×nh ®¹i sè líp 8 cã mét m¶ng kiÕn thøc hÕt søc quan träng, viƯc n¾m v÷ng ph­¬ng ph¸p gi¶i lo¹i to¸n nµy sÏ giĩp cho c¸c em rÊt nhiỊu trong viƯc gi¶i c¸c bµi to¸n kh¸c ®ã lµ d¹ng to¸n: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư. Bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư ®­ỵc øng dơng rÊt nhiỊu trong c¸c bµi to¸n kh¸c nh­ gi¶i ph­¬ng tr×nh, rĩt gän ph©n thøc, tÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc... Qua nhiỊu n¨m gi¶ng d¹y bé m«n to¸n 8 t«i thÊy rÊt nhiỊu häc sinh lĩng tĩng khi gỈp bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư ®Ỉc biƯt ®èi víi häc sinh trung b×nh, häc sinh yÕu. Ng­ỵc l¹i ®èi víi häc sinh kh¸, giái th× bµi to¸n ph©n tÝch ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư lµm cho c¸c em hÕt søc thÝch thĩ, say mª häc tËp. Trong t«i lĩc nµo cịng ®Ỉt ra mét c©u hái “lµm thÕ nµo ®Ĩ cho c¸c ®èi t­ỵng häc sinh ®Ịu thÝch thĩ, say mª häc ®èi với d¹ng to¸n nµy?". Trong ph¹m vi ®Ị tµi nµy t«i muèn ®­a ra c¸c ph­¬ng ph¸p ®Ĩ giĩp c¸c em häc sinh líp 8 cã mét kÜ n¨ng thµnh th¹o, ph­¬ng ph¸p gi¶i tèt nhÊt ®èi víi d¹ng to¸n nµy. V× vËy viƯc tËp hỵp hƯ thèng c¸c bµi to¸n ë d¹ng nµy lµ rÊt cÇn thiÕt ®èi víi c¸c ®èi t­ỵng häc sinh, ®Ỉc biƯt lµ c¸c em häc sinh kh¸ giái. Qua ®ã giĩp c¸c em biÕt vËn dơng d¹ng to¸n nµy ®Ĩ gi¶i c¸c bµi to¸n kh¸c. Trong ch­¬ng tr×nh ®¹i sè 8 s¸ch gi¸o khoa cã ®­a ra c¸c ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư ®ã lµ:
- §Ỉt nh©n tư chung, 
- Dïng h»ng ®¼ng thøc, 
- Nhãm c¸c h¹ng tư vµ phèi hỵp c¸c ph­¬ng ph¸p trªn ®Ĩ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư. 
Trong thùc tÕ cã nh÷ng bµi to¸n ë d¹ng nµy rÊt phøc t¹p kh«ng thĨ ¸p dơng c¸c ph­¬ng ph¸p trªn mµ gi¶i ®­ỵc. GỈp c¸c bµi nh­ vËy th× c¸c em l¹i lĩng tĩng kh«ng biÕt lµm thÕ nµo vµ sư dơng ph­¬ng ph¸p nµo ®Ĩ gi¶i.
 	Qua thùc tÕ gi¶ng d¹y t«i thÊy viƯc hƯ thèng c¸c ph­¬ng ph¸p gi¶i ®èi víi tõng lo¹i lµ rÊt cÇn thiÕt nã giĩp c¸c em thÊy ®­ỵc sù ®a d¹ng vµ phong phĩ vỊ néi dung cđa tõng lo¹i to¸n. §ång thêi giĩp cho c¸c em cã mét c¸ch nh×n nhËn d­íi nhiỊu gãc ®é kh¸c nhau cđa mét d¹ng to¸n, tõ ®ã kÝch thÝch c¸c em cã mét sù t×m tßi s¸ng t¹o, kh¸m ph¸ nh÷ng ®iỊu míi l¹ say mª trong häc tËp, cã nhiỊu høng thĩ khi häc bé m«n to¸n. Víi hi väng nhá lµ lµm sao cho c¸c em häc sinh cã thĨ thùc hiƯn ®­ỵc c¸c bµi to¸n ph©n tÝch mét ®a thøc thµnh nh©n tư mét c¸ch say mª vµ høng thĩ ®· giĩp t«i chän chuyªn ®Ị: 
“Ph©n tÝch mét ®a thøc thµnh nh©n tư vµ c¸c øng dơng trong gi¶i to¸n”
B/Gi¶I quyÕt vÊn ®Ị
I-C¸c hƯ thèng kiĨn thøc c¬ b¶n
 Tr­íc hÕt cÇn nh¾c l¹i mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n phơc vơ cho viƯc gi¶i bµi to¸n ”Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư ”.
1- §Þnh nghÜa: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư lµ biÕn ®ỉi ®a thøc ®ã thµnh mét tÝch cđa nh÷ng ®¬n thøc vµ ®a thøc kh¸c. 
2- Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư b»ng c¸c ph­¬ng ph¸p th«ng th­êng 
	a. §Ỉt nh©n tư chung 
	b. Dïng h»ng ®¼ng thøc 
B¶y h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
(A - B)2 = A2 - 2AB + B2
A2 - B2 = ( A - B)(A + B)
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
(A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3
A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2)
A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)
c. Nhãm c¸c h¹ng tư 
	d. Phèi hỵp c¸c ph­¬ng ph¸p trªn 
3. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư b»ng c¸c ph­¬ng ph¸p kh¸c 
	a. T¸ch mét h¹ng tư thµnh nhiỊu h¹ng tư 
	b. Thªm, bít cïng mét h¹ng tư 
	c. §Ỉt Èn phơ 
	d. Dïng ph­¬ng ph¸p hƯ sè bÊt ®Þnh
	e. NhÈm nghiƯm 
f. §ỉi dÊu mét h¹ng tư A=-(-A)
g. Cho ®a thøc f(x), ®a thøc nµy cã nghiƯm x=a khi vµ chØ khi f(a)=0
h. Cho ®a thøc f(x) = anxn + an -1xn-1 + ..... + a1x + a0 
§a thøc nµy nÕu cã nghiƯm lµ sè nguyªn th× nghiƯm ®ã ph¶i lµ ­íc cđa a0.
II- Nh÷ng vÊn ®Ị cÇn gi¶i quyÕt
Nh­ ®· nªu trong phÇn ®Çu c¸c bµi to¸n ph©n tÝch thµnh nh©n tư ®­ỵc s¾p xÕp ë ngay ®Çu ch­¬ng I sau c¸c bµi nh©n ®a thøc vµ h»ng ®¼ng thøc, víi thêi l­ỵng chØ cã 6 tiÕt bao gåm 5 tiÕt lÝ thuyÕt vµ 1tiÕt luyƯn tËp th× c¸c em häc sinh chØ kÞp hoµn thµnh phÇn bµi tËp chø ch­a nãi ®Õn viƯc khai th¸c vµ xem xÐt c¸c øng dơng cđa c¸c ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch ®ã.
§Ĩ rÌn kÜ n¨ng cho häc sinh trong qu¸ tr×nh gi¶i c¸c bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư t«i ®· ph©n d¹ng c¸c bµi to¸n thµnh hai lo¹i:
- Bµi tËp th«ng th­êng vµ c¸c bµi tËp ®­ỵc khai th¸c tõ ®ã.
- C¸c bµi to¸n øng dơng cđa viƯc ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư.
PhÇn I - C¸c bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư vµ khai th¸c c¸c kÕt qu¶ cđa chĩng
I - Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư b»ng c¸c ph­¬ng ph¸p th«ng th­êng
(®Ỉt nh©n tư chung, dïng h»ng ®¼ng thøc, nhãm c¸c h¹ng tư . . .)
	§©y lµ c¸c ph­¬ng ph¸p ®­ỵc dïng cho c¸c bµi to¸n ph©n tÝch ë møc ®é ®¬n gi¶n. Tuy nhiªn cã nh÷ng ®a thøc cÇn ph¶i biÕn ®ỉi mét sè b­íc 
VÝ dơ 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư 
	a. x2- 3x 	b. 12x3 - 6x2 + 3x 
	c. x2 + 5x3 + x2y	d. 14x2y - 21xy2 + 28x2y2
Gi¶i
	a. x2- 3x = x(x - 3)
	b. 12x3 - 6x2 + x = 3x(4x2 -2x +3)
	c. x2 + 5x3 + x2y	= x2( + 5x + y)
	d. 14x2y - 21xy2 + 28x2y2 = 7xy(2x - 3y + 4xy)
VÝ dơ 2. Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư
	a. 5x2 (x - 2y) - 15xy(x - 2y)
	b. x(x + y) + 4x + 4y
Gi¶i
 a. 5x2 (x - 2y) - 15xy(x - 2y) 
 	= (x - 2y)(5x2 - 15xy) 
 	= (x - 2y)5x(x - 3y)
 b. x(x + y) + 4x + 4y 
 	= x(x + y) + (4x + 4y) 
 	= x(x + y) + 4(x + y) 
 	= (x+ y)(x + 4)
NhËn xÐt: ë hai vÝ dơ trªn viƯc ph©n tÝch thøc ®a thức thµnh nh©n tư ë møc ®é ®¬n gi¶n. Häc sinh nhËn thÊy ngay ®­ỵc nh©n tư chung. NhiỊu khi ®Ĩ xuÊt hiƯn nh©n tư chung ph¶i ®ỉi dÊu c¸c h¹ng tư cã trong ®a thøc nh­ vÝ dơ sau: 
VÝ dơ 3: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư
	a. 10x(x - y) - 8y(y - x)
	b. 5x(x - 2000) - x + 2000
Gi¶i
	 a.10x(x - y) - 8y(y - x) 
	= 10x(x - y) + 8y(x - y
	= (x - y)(10x + 8y)
	=2(x - y)(5x + 4y)
	b. 5x(x - 2000) - x + 2000
	= 5x(x - 2000) - (x - 2000)
	= (x - 2000)(5x - 1)
Lçi th­êng gỈp cđa c¸c em häc sinh khi gi¶i bµi to¸n ë d¹ng nµy chÝnh lµ kh«ng biÕt nhãm hay ®ỉi dÊu c¸c h¹ng tư ®Ĩ lµm xuÊt hiƯn nh©n tư chung nªn cÇn h­íng dÉn häc sinh chi tiÕt ®Ĩ c¸c em cã thĨ thùc hiƯn ®­ỵc mét c¸ch dƠ dµng.
Tuy nhiªn trong c¸c vÝ dơ ®· nªu c¸c em häc sinh chØ cÇn cã mét chĩt cè g¾ng th× sÏ thùc hiƯn ®­ỵc bµi to¸n nh­ng cịng lµ ph©n tÝch ®a thøc b»ng c¸ch ®Ỉt nh©n tư chung th× bµi to¸n sau ®©y ®ßi hái c¸c em ph¶i cã mét cè g¾ng nhÊt ®Þnh th× míi thùc hiƯn ®­ỵc:
VÝ dơ 4: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư
	a. (a - b)x + (b - a)y - b + a
	b. (a + b - c)x2 - (c - a - b)x
Gi¶i:
	a. (a - b)x + (b - a)y - b + a 
	= (a - b)x - (a - b)y + (a - b) 
	= (a - b)(x - y + 1)
	b.(a + b - c)x2 - (c - a - b)x
	= (a + b - c)x2 + (a + b - c)x 
 	= (a + b - c)x(x + 1)
NhËn xÐt: Trong hai vÝ dơ võa nªu th× trong vÝ dơ 1 häc sinh cã thĨ biÕt ®ỉi dÊu ë h¹ng tư thø hai tõ b - a thµnh a - b ®Ĩ xuÊt hiƯn nh©n tư chung nh­ng ®èi víi h¹ng tư thø ba th× c¸c em dƠ bÞ nhÇm lÉn vµ cho r»ng kh«ng cã nh©n tư chung nh­ng chØ cÇn h­íng dÉn c¸c em ®ỉi vÞ trÝ cđa a vµ b th× sÏ cã nh©n tư chung, cịng b»ng nhËn xÐt t­¬ng tù nh­ vËy ta cã c¸ch lµm t­¬ng tù ®èi víi vÝ dơ thø hai.
	VËn dơng c¸c h»ng ®¼ng thøc ®Ĩ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư ®©y lµ c¸ch lµm th«ng dơng nhÊt ®­ỵc ¸p dơng nhiỊu nhÊt. §Ĩ ¸p dơng ph­¬ng ph¸p nµy yªu cÇu häc sinh ph¶i n¾m ch¾c bÈy h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí 
VÝ dơ 5: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tư 
	a. x2- 6x +9 
	b. x2- 6 
	c. 1- 27x3 
	d. x3 + 
	e. -x3 + 9x2 - 27x + 27
Gi¶i
 a. x2- 6x + 9 = (x-3)2
 b. x2- 6 = (x- ) (x+) 
 c. 1- 27x3 = (1 - 3x)(1 + 3x + 9x2)
 d. x3 + = (x + )(x2 - 1 + )
 e. -x3 + 9x2 - 27x + 27 = -(x3 - 9x2 + 27x - 27) = -(x - 3)3
	ë vÝ dơ trªn lµ c¸c h»ng ®¼ng thøc ®· ®­ỵc khai triĨn. ViƯc ph©n tÝch chØ lµ c¸ch viÕt theo chiỊu ng­ỵc l¹i cđa c¸c h»ng ®¼ng thøc c¸c em häc sinh dƠ dµng thùc hiƯn ®­ỵc nÕu nh­ c¸c em thuéc vµ biÕt c¸ch vËn dơng c¸c h»ng ®¼ng thøc, thÕ nh­ng trong c¸c vÝ dơ sau ®©y th× muèn ¸p dơng ®­ỵc h»ng ®¼ng thøc th× c¸c em ph¶i cã mét sù biÕn ®ỉi th× míi cã h»ng ®¼ng thøc.
VÝ dơ 6: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tư 
 a. (x + y)2 - 6(x + y) + 9
 b. 16a2 - 49(b - c)2
 c. 49(y - 4)2 - 9(y - 2)2 
Gi¶i
 a.(x + y)2 - 6(x + y) + 9 
	= (x + y)2 - 6(x + y) + 32 
	= (x + y - 3)2
 b.16a2 - 49(b - c)2 = (4a)2 - 
 = (4a - 7b + 7c)(4a + 7b - 7c)
 c. 49(y - 4)2 - 9(y - 2)2 
Ta cã thĨ thÊy trong ba vÝ dơ trªn kh«ng khã nh­ng vÊn ®Ị ë chç lµ häc sinh kh«ng nhËn d¹ng ®­ỵc h»ng ®¼ng thøc ngay cho nªn viƯc ph©n tÝch sÏ gỈp khã kh¨n v× thÕ trong nh÷ng vÝ dơ d¹ng nh­ thÕ nªn h­íng dÉn c¸c em nhËn d¹ng sau ®ã th× ph©n tÝch.
Ph­¬ng ph¸p thø ba ®Ĩ ph©n tÝch mét ®a thøc thµnh nh©n tư ®ã lµ ph­¬ng ph¸p nhãm c¸c h¹ng tư. §èi víi ph­¬ng ph¸p nµy cÇn l­u ý cho häc sinh khi nhãm c¸c h¹ng tư ph¶i chĩ ®Õn dÊu tr­íc ngoỈc ®Ỉc biƯt lµ dÊu trõ ë ngoµi ngoỈc.
VÝ dơ 7: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư.
 a. x2 - x - y2 - y b. x2 - 2xy + y2 - z2
 c. x2 - 3x + xy - 3y d. 2xy + 3z + 6y + xz
Gi¶i
 a, x2 - x - y2 - y b, x2 - 2xy + y2 - z2
 =( x2 - y2 ) - (x + y) = (x2 - 2xy + y2) - z2
 = (x + y) (x - y) - (x +y) = (x-y)2 - z2
 =(x + y) (x - y - 1) = (x - y - z)(x - y + z)
 c, x2 - 3x + xy - 3y d, 2xy + 3z + 6y + xz
 =(x2 + xy) - (3x + 3y) =(2xy + 6y) + (3z + xz)
 =x(x + y) - 3(x + y) =2y(x + 3) + z(3 + x)
 =(x + y)(x - 3) =(x + 3)(2y + z)
	ë vÝ dơ nµy khi ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư ta ®· phèi hỵp c¸c ph­¬ng ph¸p nh­ : Nhãm c¸c h¹ng tư ®Ỉt nh©n tư chung vµ dïng h»ng ®¼ng thøc. 
VÝ dơ 8: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư.
	a. bc(b + c) + ca(c - a) - ab(a + b)
	b. a3(b2 - c 2) + b(c2- a2) + c(a2 - b2)
Ph­¬ng ph¸p chung ®Ĩ lµm lo¹i to¸n nµy lµ khai triĨn hai trong sè ba h¹ng tư cßn gi÷ nguyªn h¹ng tư thø ba ®Ĩ tõ ®ã lµm xuÊt hiƯn nh©n tư chung chøa trong sè h¹ng thø ba, trong c©u a ta khai triĨn hai h¹ng tư ®Çu cßn gi÷ nguyªn h¹ng tư thø ba ®Ĩ lµm xuÊt hiƯn nh©n tư chung lµ a + b ... + bc + ca > 0 do ®ã 
(a - b)(c - a)(c - b)(ab + bc + ca) < 0 
VËy a3(b2 - c2) + (c2 - a2) + c2(a2 - b2) < 0 víi a < b < c.
XÐt hiƯu:
a(b - c)2 + b(c - a)2 + c(a + b)2 - a3 - b3 - c3 
= [a(b - c)2 - a3] + [b(c - a)2 - b3] + [c(a + b)2 - c3]
= a[(b - c)2 - a2] + b[(c - a)2 - b2] + c[(a + b)2 - c2]
= a(b + a - c)(b - c - a) + b(c + b - a)(c - b - a) + c(a + b - c)(a + b + c)
= (a + b - c)(ab - ac - a2 - bc - b2 + ab + ac + bc + c2)
= (a + b - c)(2ab - a2 - b2 + c2)
= (a + b - c)[c2 - (a - b)2]
= (a + b - c)(c + a - b)(b + c - a)
V× a, b, c lµ ®é dµi ba c¹nh cđa tam gi¸c nªn : a + b - c > 0 ; c + a - b > 0 ; 
b + c - a > 0 do ®ã: (a + b - c)(c + a - b)(b + c - a) > 0
VËy a(b - c)2 + b(c - a)2 + c(a + b)2 > a3 + b3 + c3
NhËn xÐt : Trong hai vÝ dơ trªn ta nhËn thÊy vÊn ®Ị quan träng nhÊt chÝnh lµ ph©n tÝch ®­ỵc c¸c ®a thøc thµnh nh©n tư sau ®ã sư dơng c¸c kÕt qu¶ bÊt d¼ng thøc trong tam gi¸c ®Ĩ kÕt luËn.
Tãm l¹i:
Qua viƯc h­íng dÉn häc sinh c¸c ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư, khai th¸c c¸c kÕt qu¶ cđa bµi to¸n tõ ®ã cã h­íng ®Ị xuÊt vµ ¸p dơng trong gi¶i c¸c bµi to¸n t­¬ng tù ®· t¹o ra c¸c bµi tËp phong phĩ vµ ®a d¹ng ®ång thêi cã nh÷ng h­íng ®Ị xuÊt c¸c c¸ch gi¶i hay giĩp cho häc sinh høng thĩ trong häc tËp. ViƯc khai th¸c vµ ®Ị xuÊt ra nh÷ng øng dơng cđa ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư cßn nhiỊu nh­ng v× møc ®é kiÕn thøc to¸n ë THCS cßn h¹n hĐp nªn ch­a thĨ më réng h¬n ®­ỵc.Tuy nhiªn khi ¸p dơng chuyªn ®Ị nµy vµo trong gi¶ng d¹y cho c¸c em häc sinh kh¸ giái líp 8 th× c¸c em ®· tiÕp thu tèt vµ cã høng thĩ suy nghÜ, t×m tßi c¸c bµi to¸n cã néi dung t­¬ng tù vµ tõ chç mỈc c¶m víi d¹ng to¸n nµy th× c¸c em ®· cã høng thĩ häc h¬n.
III./ KÕt qu¶:
Chuyªn ®Ị "Ph©n tÝch mét ®a thøc thµnh nh©n tư vµ c¸c øng dơng trong gi¶i to¸n" nµy t«i ®· sư dơng nhiỊu trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y häc sinh vµ båi d­ìng häc sinh kh¸ giái. KÕt qu¶ thu ®­ỵc lµ 100% c¸c em ®· biÕt khai th¸c , ph©n tÝch kÕt qu¶ cđa c¸c bµi to¸n ®Ĩ tỉng kÕt thµnh c¸c ph­¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư.
§èi víi häc sinh ®¹i trµ, sau khi ®­ỵc h­íng dÉn , ch÷a c¸c bµi tËp cã néi dung ®¬n gi¶n (Bµi tËp trong SGK) th× hÇu hÕt c¸c em ®·:
- N¾m ®­ỵc c¸c c¸ch ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư.
- BiÕt ph©n lo¹i vµ sư dơng c¸c ph­¬ng ph¸p thÝch hỵp
- Tù chän ®­ỵc c¸ch gi¶i vµ biÕt tr×nh bµy bµi lµm.
Th«ng qua b¶ng sè liƯu sau chĩng ta cã kÕt qu¶ (Sè liƯu thèng kª qua c¸c n¨m häc ®èi víi häc sinh kh¸ giái vµ häc sinh ®¹i trµ)
B¶ng sè liƯu thèng kª
N¡M
häc
Sè hS
Ph©n lo¹i häc sinh
Kh¸ - giái
§¹i trµ
Tỉng
Sè
§¹t
Kh«ng®¹t
Tỉng
Sè
§¹t
Kh«ng ®¹t
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
2006-2007
56
26
26
100
0
0
30
23
76,66
7
23,34
2007-2008
50
26
26
100
0
0
24
19
79,16
5
20,84
2008-2009
61
30
30
100
0
0
31
26
83,9
5
16,1
Qua ph©n tÝch b¶ng sè liƯu cã thĨ nhËn thÊy c¸c kÕt qu¶ khi ¸p dơng cho HS kh¸ giái th× tØ lƯ ®¹t rÊt cao, ®ång thêi khi ¸p dơng cho HS ®¹i trµ th× c¸c em ®· vËn dơng tèt c¸c kÕt qu¶ vµ biÕt vËn dơng vµo trong c¸c bµi to¸n mét c¸ch t­¬ng ®èi cã hiƯu qu¶. Song c¸c kÕt qu¶ ®· thu ®­ỵc ch­a ph¶i lµ mÜ m·n, cÇn ph¶i cã mét thêi gian ®Ĩ häc sinh vËn dơng kiÕn thøc c¬ b¶n vµ nhËn d¹ng, ph©n lo¹i bµi to¸n mét c¸ch thµnh th¹o. Trªn c¬ së ®ã c¸c em sÏ t×m ra mét ph­¬ng ph¸p gi¶i thÝch hỵp vµ s¸ng t¹o h¬n.
IV. Bµi häc kinh nghiƯm
§Ých cuèi cïng cđa d¹y häc to¸n lµ häc sinh cã ph­¬ng ph¸p häc to¸n, t×m ra c¸ch gi¶i to¸n vµ vËn dơng vµo thùc tÕ. §Ĩ ®¹t ®­ỵc ®iỊu Êy ng­êi gi¸o viªn cÇn chĩ träng ®Õn ph­¬ng ph¸p tỉ chøc ho¹t ®éng cho häc sinh ë mçi d¹ng to¸n, lo¹i to¸n. Tõ chuyªn ®Ị nµy bµi häc kinh nghiƯm s©u s¾c lµ:
* §èi víi gi¸o viªn:
Tr­íc hÕt gi¸o viªn ph¶i chuÈn bÞ chu ®¸o phơc vơ cho bµi d¹y. Khi h­íng dÉn häc sinh gi¶i lo¹i to¸n: "Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư" gi¸o viªn ph¶i ®­a ra cho häc sinh c¸c ph­¬ng ph¸p gi¶i ®Ĩ tõ ®ã häc sinh cã thĨ lùa chän c¸ch gi¶i thÝch hỵp nhÊt. 
§Çu tiªn gi¸o viªn ®­a ra hƯ thèng bµi tËp cã tÝnh chÊt ®¬n gi¶n sau ®ã míi n©ng cao dÇn lªn ®Ĩ häc sinh t­ duy mét c¸ch cã hƯ thèng. Trong bÊt kú d¹ng to¸n nµo häc sinh ph¶i t×m cho m×nh mét c¸ch gi¶i thÝch hỵp nhÊt phï hỵp víi kh¶ n¨ng cđa m×nh. Gi¸o viªn ph¶i n¨ng ®éng biÕt phèi hỵp c¸c ph­¬ng ph¸p vµo tõng phÇn tõng bµi cơ thĨ ®Ĩ häc sinh chđ ®éng gi¶i to¸n cã hiƯu qu¶.
* §èi víi häc sinh:
§èi víi häc sinh th× häc sinh lµ ng­êi chđ ®éng tÝch cùc lµm viƯc. BiÕt ph©n tÝch bµi to¸n ®Ĩ t×m h­íng gi¶i tõ ®ã cã thĨ kÕt luËn ®­ỵc bµi to¸n. Bªn c¹nh ®ã häc sinh ph¶i lu«n cã ý thøc tù gi¸c häc tËp trªn líp, lµm bµi tËp ë nhµ, ph©n tÝch, ®¸nh gÝa, t×m tßi ®Ĩ ®i ®Õn kÕt qu¶ ®ĩng vµ chÝnh x¸c. Ph¶i cã kiÕn thøc c¬ b¶n lu«n t×m ra h­íng gi¶i quyÕt thÝch hỵp.
*Bµi häc chung:
- Thµy ph¶i trang bÞ cho häc sinh vèn kiÕn thøc tỉng hỵp phong phĩ ®Ĩ lµm ph­¬ng tiƯn gi¶i to¸n. Trong mçi tr­êng hỵp, mçi bµi to¸n ®Ịu cã ®iỊu kiƯn râ rµng vµ d÷ kiƯn ch­a râ nªn gi¸o viªn cÇn giĩp cho häc sinh ph©n tÝch c¸c mèi quan hƯ gi÷a c¸c yÕu tè ®ã ®Ĩ biÕn c¸i ch­a râ thµnh c¸i ®· râ.
-Cuèi cïng mçi ng­êi gi¸o viªn cÇn ph¶i hiĨu t©m lÝ ®èi t­ỵng häc sinh ®Ĩ chuyĨn t¶i nh÷ng néi dung kiÕn thøc cho phï hỵp, võa søc t¹o ra bÇu kh«ng khÝ tho¶ m¸i trong líp häc, tr¸nh sù gß bã ¸p ®Ỉt ®èi víi häc sinh.
V- Ph¹m vi ¸p dơng - H­íng ®Ị xuÊt
1. Ph¹m vi ¸p dơng:
Bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư chØ chiÕm mét thêi l­ỵng kh¸ khiªm tèn song nã chøa ®ùng nhiỊu kiÕn thøc c¬ b¶n, träng t©m vµ kh¸ quan träng. Tuy nhiªn ®èi víi häc sinh kh¸, giái th× ¸p dơng chuyªn ®Ị nµy hoµn toµn h÷u Ých, víi häc sinh ®¹i trµ th× khi h­íng dÉn c¸c em ë c¸c d¹ng tõ 1 - 4 th× c¸c em dƠ hiĨu h¬n cßn c¸ d¹ng 5 - 7 th× c¸c em gỈp rÊt nhiỊu khã kh¨n nªn gi¸o viªn gi¶ng d¹y cÇn chĩ ý.
§Ĩ kinh nghiƯm nµy ®­ỵc ¸p dơng réng r·i theo t«i cÇn cã c¸c ®iỊu kiƯn sau:
- Nhµ tr­êng cÇn th­êng xuyªn më c¸c chuyªn ®Ị ¸p dơng ®Ị tµi kinh nghiƯm ®Ĩ gi¸o viªn cã ®iỊu kiƯn tham gia hoỈc trao ®ỉi lÉn nhau. Ph¶i cã sù phèi hỵp chỈt chÏ trao ®ỉi, bµn b¹c tËp thĨ gi÷a c¸c gi¸o viªn gi¶ng d¹y cđa tỉ, cđa khèi líp 8. 
Gi¸o viªn ph¶i kiªn tr× biÕt sư dơng c¸c ph­¬ng ph¸p d¹y häc mét c¸ch linh ho¹t. Th­êng xuyªn kiĨm tra häc sinh theo ph­¬ng ph¸p míi. Gi¸o viªn cÇn ph¶i ®Çu t­ thêi gian nghiªn cøu bµi d¹y ®Ĩ ®¹t ®­ỵc hiƯu qu¶ cao.
-Bªn c¹nh ®ã ®èi víi häc sinh ph¶i cã ®Çy ®đ ph­¬ng tiƯn häc ®Ỉc biƯt lµ s¸ch gi¸o khoa. CÇn chĩ ý theo dâi sù h­íng dÉn cđa gi¸o viªn vµ h¨ng h¸i tham gia nªu nh÷ng ý kiÕn ®¸nh gÝa cđa m×nh. N¾m ch¾c kiÕn thøc tõng phÇn cã liªn quan ®Õn d¹ng to¸n "Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư" nh­ quy t¾c dÊu ngoỈc, h»ng ®¼ng thøc, chia ®a thøc...
2. H­íng ®Ị xuÊt
Gi¶ng d¹y m«n to¸n nãi chung vµ gi¶ng d¹y c¸c bµi to¸n khã nãi riªng lµ mét vÊn ®Ị ®ang ®­ỵc quan t©m nhiỊu cđa phơ huynh, cđa gi¸o viªn d¹y ...Trong t×nh h×nh hiƯn nayviƯc häc tËp cđa häc sinh cßn gỈp nhiỊu khã kh¨n, do vËy viƯc kÝch thÝch häc sinh chÞu khã häc tËp, phÊn ®Êu v­¬n lªn ®ang cßn lµ vÊn ®Ị mµ nhµ tr­êng vµ x· héi quan t©m nÕu chØ nh÷ng gi¸o viªn d¹y th× kh«ng thĨ ®¹t ®­ỵc nh÷ng kÕt qu¶ cao. Song mét yÕu tè chđ quan hÕt søc quan träng quyÕt ®Þnh nhÊt lµ ng­êi gi¸o viªn d¹y to¸n.
* §èi víi gi¸o viªn d¹y to¸n:
- Ph¶i nhËn thøc ®ĩng vÞ trÝ, vai trß quan träng cđa bé m«n To¸n trong toµn bé hƯ thèng kiÕn thøc. Ng­êi gi¸o viªn trùc tiÕp gi¶ng d¹y ph¶i n¾m v÷ng néi dung, ph­¬ng ph¸p gi¶ng d¹y s¸t ®èi t­ỵng häc sinh ®Ĩ sư dơng hp­¬ng ph¸p thÝch hỵp.
- Ph¶i th­êng xuyªn trao ®ỉi chuyªn m«n nghiƯp vơ, tÝch luü kinh nghiƯm gi¶ng d¹y, biÕt tỉ chøc cho häc sinh häc tËp cã nỊ nÕp... vµ ®Ỉc biƯt ph¶i biÕt lùa chän ph­¬ng ph¸p gi¶ng d¹y mét c¸ch thÝch hỵp.
* §èi víi nhµ tr­êng:
- Tr­íc hÕt tỉ chuyªn m«n ph¶i lµ chç dùa v÷ng ch¾c, tin cËy cho gi¸o viªn trong viƯc c¶i tiÕn ph­¬ng ph¸p gi¶ng d¹y, trau dåi chuyªn m«n nghiƯp vơ.
- Nhµ tr­êng cÇn cung cÊp ®đ tµi liƯu tham kh¶o. Th­êng xuyªn tỉ chøc chuyªn ®Ị ®Ĩ gi¸o viªn cã ®iỊu kiƯn trau dåi chuyªn m«n nghiƯp vơ, tÝch luü kinh nghiƯm, n©ng cao chuyªn m«n nghiƯp vơ.
C - KÕt luËn
Qua nghiªn cøu thùc nghiƯm chuyªn ®Ị b¶n th©n t«i thÊy kÕt qu¶ häc tËp cđa c¸c em ®­ỵc n©ng lªn râ rƯt c¶ vỊ chÊt l­ỵng lÉn kü n¨ng gi¶i to¸n. T«i thÊy ®©y lµ viƯc lµm thiÕt thùc vµ quan träng ®Ĩ n©ng cao chÊt l­ỵng häc tËp toµn diƯn cho häc sinh. Häc sinh ph¸t huy ®­ỵc tÝnh tÝch cùc chđ ®éng s¸ng t¹o trong häc tËp. 
Cã ®­ỵc kÕt qu¶ cao trong viƯc d¹y vµ häc m«n to¸n ®Ỉc biƯt lµ d¹ng to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư tõ ®ã vËn dơng bµi to¸n nµy ®Ĩ gi¶i c¸c bµi to¸n kh¸c th× mét trong c¸c biƯn ph¸p thùc hiƯn ®ã lµ x©y dùng hƯ thèng bµi tËp vỊ d¹ng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư. Trong mçi ph­¬ng ph¸p gi¶i t«i lu«n ®­a ra hƯ thèng bµi tËp tõ dƠ ®Õn khã . §èi víi bµi dƠ dïng cho ®èi t­ỵng häc sinh trung b×nh, yÕu cßn ®èi víi bµi tËp khã n©ng cao dïng cho häc sinh kh¸ giái ®Ĩ c¸c ®èi t­ỵng häc sinh kh«ng c¶m thÊy ch¸n. Tuy nhiªn trong mçi bµi to¸n ®­a ra cÇn l­u ý cho häc sinh kh«ng chØ cã mét c¸ch gi¶i trong mçi bµi to¸n ®­a ra cÇn t×m tßi nh÷ng lêi gi¶i kh¸c nhau ®Ĩ t×m ra lêi gi¶i thÝch hỵp nhÊt. Mçi ph­¬ng ph¸p gi¶i t«i ®Ịu ®­a ra c¸c bµi tËp kh¸c nhau nh»m mơc ®Ých ph¸t triĨn bµi to¸n .
	Víi kinh nghiƯm cđa b¶n th©n cßn nhiỊu h¹n chÕ ch¾c ch¾n kh«ng thĨ tr¸nh khái nh÷ng khiÕm khuyÕt trong qu¸ tr×nh vËn dơng. T«i rÊt mong nhËn ®­ỵc ý kiÕn ®ãng gãp cđa c¸c b¹n ®ång nghiƯp vµ b¹n ®äc ®Ĩ x©y dùng vµ hoµn thiƯn h¬n n÷a c¸c ph­¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n "Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư"
T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n!
Thay cho lêi kÕt t«i xin ®­a ra mét vµi bµi to¸n ®Ĩ c¸c thµy c« chĩng ta cïng tham kh¶o. Mong ®­ỵc sù gãp ý trao ®ỉi cđa c¸c thµy c«.
Bµi tËp ®Ị nghÞ
1- Chøng tá r»ng ®a thøc :
A = (x2 + 1)4 + 9(x2 + 1)3 + 21(x2 + 1)2 - x2 - 31. Lu«n lu«n kh«ng ©m víi mäi gi¸ trÞ cđa biÕn x.
2 - Cho x lµ sè nguyªn. Chøng minh r»ng:
B = x4 - 4x3 - 2x2 + 12x + 9 lµ b×nh ph­¬ng cđa mét sè nguyªn.
3 - Cho x, y, z lµ c¸c sè tù nhiªn. Chøng minh r»ng:
C = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 lµ mét sè chÝnh ph­¬ng.
4 - Chøng minh r»ng 5n3 + 15n2 + 10n lu«n lu«n chia hÕt cho 30 víi mäi n lµ sè nguyªn.
5- T×m sè tù nhiªn n ®Ỵ gi¸ trÞ cđa biĨu thøc sau lµ sè nguyªn tè:
P = n3 - n2 - n - 2
6- Cho ®a thøc:
A = (x + y)(y + z)(z + x) + xyz.
a- Ph©n tÝch A thµnh nh©n tư.
b- Chøng minh r»ng nÕu x, y, z lµ c¸c sè nguyªn vµ x + y + z chia hÕt cho 6 th× A - 3xyz chia hÕt cho 6.
7- Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn n th× sè:
B = n3(n2 - 7)2 - 36n chia hÕt cho 105
danh mơc tµi liƯu tham kh¶o
Stt
Tªn tµi liƯu tham kh¶o
1
- ChuÈn kiÕn thøc, kÜ n¨ng m«n to¸n THCS 	
2
- S¸ch gi¸o viªn líp 8 m«n To¸n - Nhµ xuÊt b¶n GD 2008
3
- S¸ch gi¸o khoa m«n To¸n líp 8 - Nhµ xuÊt b¶n GD 2008
4
- To¸n n©ng cao vµ c¸c chuyªn ®Ị §¹i sè líp 8 - Nhµ xuÊt b¶n GD 2004
5
- Nh÷ng bµi to¸n c¬ b¶n, n©ng cao chän läc líp 8 - Nhµ xuÊt b¶n §¹i häc s­ ph¹m 2004