Sáng kiến kinh nghiệm Một vài suy nghĩ về cách phân tích đa thức thành nhân tử Đại số Lớp 8

Một Vài suy nghĩ về cách phân tích đa thức thành nhân tử
I - Đặt vấn đề
Phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình môn toán, được ứng dụng rộng rãi: Phân tích, rút gọn, giải phương trình
Ngoài 3 phương pháp cơ bản trong chương trình (SGK Toán 8). Sự mở rộng kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử bằng ba phương pháp đố đã rất phong phú và đa dạng. Song vẫn còn chưa đáp ứng để học sinh khi giải bài tập gặp một số dạng bài tập mà 3 phương pháp này không thể giải quyết. Do đó cần phải cung cấp cho học sinh các dạng bài tập thường gặp mà việc giải quyết phải dùng đến các phương pháp khác, có tính chất tổng quát với phương pháp giải đặc trưng cho từng dạng. Do đó trong phần này tôi sẽ trình bày một số dạng bài tập cơ bản đó với phương pháp riêng của nó với một vài ví dụ đại diện cho các dạng tương ứng nhằm phần nào phục vụ nâng cao chất lượng trong việc bồi dưỡng học sinh.
II - Nội dung cụ thể :
 Phân tích đa thức thành nhân tử
* Phương pháp 1: Đặt nhân tử chung
* Phương pháp 2: Dùng hằng đẳng thức
* Phương pháp 3: Nhóm nhiều hạng tử
* Phương pháp 4: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.
- Ví dụ 1: Phân tích đa thức x2 - 3x + 2 thành nhân tử.
Cách 1: Tách - 3x = - 2x - x ta có
 x2 - 2x - x +2 = (x - 2) (x - 1)
Cách 2: Tách 2 = 1 + 1 ta có
x2 - 2x + 1 - x + 1 = (x - 1)2 - (x - 1) = (x - 1) (x - 1 - 1) = (x - 1) (x -2)
Cách 3: Tách 2 = - 4 + 6 để ghép - 4 với x2 tạo thành hằng đẳng thức A2 - B2
x2 - 4 - 3x + 6 = (x+2) (x - 2) - 3 (x - 2)
 	 = (x - 2) (x +2 - 3) = (x - 2) (x - 1)
Việc tách các hạng tử còn rất nhiều cách nữa
- Ví dụ 2: Phân tích x3 - 7x - 6 thành nhân tử 
Tách -7x = - x - 6x ta có
x3 - x - 6x - 6 = x(x2 - 1) - 6 (x + 1)
= (x + 1) [x (x - 1) - 6] = (x + 1 (x2 - x - 6)
= ( x + 1) ( x2 - 3x + 2x - 6) = (x + 1) ( x - 3) ( x + 2)
= (x + 1) (x - 2) (x - 3)
* Phương pháp 5: Thêm bớt cùng một hạng tử.
- Ví dụ 1: Phân tích x4 + 4 thành nhân tử 
Thêm 4x2 đẻ trở thành hằng đẳng thức (A + B)2 thì đồng thời bớt 4x2 để trở thành một hằng đẳng thức khác A2 - B2
Ta có: x4 + 4 = (x4 + 4x2 + 4) - 4x2 
= (x2 + 2)2 - (2x)2 = (x2 + 2 + 2x) (x2 + 2 - 2x)
- Ví dụ 2: Phân tích x8 + x +1 thành nhân tử thêm x2 và bớt x2 ta có
(x8 - x2) + (x2 + x + 1) = x2 (x6 - 1) + (x2 + x + 1) 
= x2(x3 - 1) (x3 + 1) + (x2 + x + 1)
= x2 (x3 + 1) (x - 1) ( x2 + x + 1) + ( x2 + x + 1)
Chứa nhân tử chung x2 + x +1
* Phương pháp 6: Đặt ẩn phụ
- Ví dụ 1: Phân tích (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) - 12
Đây là dạng số hạng chứa các thừa số gần giống nhau mà phần biến giống nhau.
Đặt x2 + x + 1 = T ta có
T (T + 1) - 12 - T2 + T - 12
= T2 + 4T - 3T - 12 = (T+ 4) (T - 3)
Thay T = x2 + x + 1 vào ta có kết quả bài toán.
- Ví dụ 2: Phân tích 2(x2+ x)2 - 2( x2 + x) - 15
Tương tự có x2 + x giống nhau đặt x2 + x = T
tiếp tục phân tích x4 + 3x2 - 4 hoặc phân tích x2 - 7x2 + 6 ta thấy các số hạng là luỹ thừa bậc chẵn (của biến) hay gọi (trùng phương) ta đặt T = x2 xẽ đưa đa thức từ bậc 4 về bậc 2 để dễ phân tích hơn.
* Phương pháp 7: Xét giá trị riêng
- Ví dụ: Phân tích x3 + 6x2 + 30x - 25 thành phân tử.
Ta thấy x = -1 là nghiệm của đa thức. Do đó đa thức chia hết cho x + 1. Ta thực hiện phép chia thì được đa thức thường đã giảm đi 1 bậc so với đa thức bị chia. Ta cứ tiếp tục xét như vậy đối với những đa thức bậc cao thành tích các đa thức đơn giản.
- Ví dụ 2: Phân tích 3x5 - 6x4 - 2x3 + 4x2 - x - 2
Ta thấy x = ± 1; 2 là nghiệm
- Ví dụ 3: Phân tích 5x3 - 2x - 3 thì x = 1 là nghiệm.
ở dạng này hướng cho học sinh xét các ước của hạng tử tự do.
Đối với phương pháp này lưu ý học sinh rất quan trọng phục vụ đắc lực cho việc phân tích các đa thức bậc cao đối với đa thức một biến. Nhược điểm của phương pháp này là khâu trình bày bài toán ngược trở lại để trình bày bằng phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.
* Phương pháp 8: Dùng đồng nhất đa thức hay là hệ số bất định.
- Ví dụ: Phân tích x3 - 19x - 30
Nhận xét hệ số bậc cao nhất là 1 và nếu phân tích được có dạng (x + a) (x2+ bx +c)
=> x3 + (a + b) x2 + (ab -c) x + ac
Do đó:	 a + b = 0
	 ab - c = -19
	 ac = - 30
Xét tích ac = -30 ta thấy a = 2; b = - 2; c = - 15 là thoả mản
Vậy x3 - 19x - 30 = (x + 2) (x2 - 2x - 15)
Tiếp tục phân tích x2 - 2x - 15
Phương pháp này hạn chế đối với đa thức bậc cao và các đa thức có hệ số của bậc cao nhất lớn hơn 1.
* Phương pháp 9: Dành riêng cho các đa thức có dạng 1 số hạng là tích của nhiều thừa số. Phương pháp giải có tính chất tổng quát dành riêng cho dạng đa thức này.
- Ví dụ: Phân tích (x + 2) ( x +3) (x + 4) ( x+ 5) - 24
Nhóm thành hai tích để làm xuất hiện phần giống nhau của các hạng tử trong hai thừa số rồi dùng phương pháp đặt ẩn phụ.
[(x - 2) ( x + 5)] [(x + 3) (x + 4)] - 24
= (x2 + 7x + 10) (x2 + 7x + 12) - 24
Có chứa phần biến x2 + 7x giống nhau
Đặt x2 + 7x + 11 = T (11 = )
Ta có (T + 1) (T - 1) - 24 = T2 - 1 - 24 
= T2 - 25 = (T + 5) (T - 5) thay 
T = x2 + 7x + 11 vào từng nhân tử và tiếp tục phân tích để đưa ra kết quả.
- Ví dụ 2: Phân tích 4x )x + y) (x - y + z) (x + z) + y2z2
Lựa chọn để gép thành tích như sau
= 4 [(x+ y) x + z)] [ x ( x + y + z)] + y2z2
= 4 (x2+ xy + xz + yz) (x2 + xy + xz) + y2z2
Đã xuất hiện x2 + xy + xz giống nhau
Đặt x2 + xy + xz = T ta có
= 4(T + yz) T + y2z2
= 4T2 + 4yz T + y2z2 = (2T + yz)2
Tiếp tục thay T = x2 + xy + xz vào phân tích tiếp để ra kết quả.
- Ví dụ 3: Phân tích
(4x + 1) (12x - 1) (3x - 2) (x + 1) - 4
Ta ghép như sau
[(4x + 1) ( 3x + 2)] [ (x + 1) ( 12x - 1)] - 4
= 12x2 + 11x + 2) ( 12x2 + 11 x - 1) - 4
Đặt 12x2 + 11x = T ta có
= (T + 2) ( T - 1) - 4 = T2 + T - 6
= (T + 3) (T - 2) tiếp tục thay T - 12x2 + 11x vào và phân tích tìm ra kết quả bài toán.
- Ví dụ 4: Phân tích
4(x + 5) (x + 6) ( x + 10) ( x + 12) = 3x2
= 4 [(x + 5) ( x + 12)] [(x + 6) ( x + 10)] - 3x2
= 4 (x2 + 17x + 60 (x2 + 16x + 60) - 3x2
Đặt x2 + 16x + 60 = T ta có
= 4(T + x T - 3x2
= (4T2 + 4Tx + x2) - 4x2
= (2T + x)2 - (2x)2 = (2T + x + 2x) (2T + x - 2x) 
= (xT + 3x) (2T - x) thay T = x2 + 6x + 60
Vào và tiếp tục phân tích ta được kết quả. Đối với những đa thức còn ở dạng này, việc giải theo phương pháp này là tối ưu nhất chỉ lưu ý khi lựa chọn phải ghép thừa số nào để cá số hạng gần giống nhau dùng phương pháp đặt ẩn phụ.
* Phương pháp 10: Dành riêng cho những đa thức có hệ số đối xứng (thuận nghịch) bậc chẵn.
- Ví dụ 1: phân tích x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1
Nhận xét: Các hệ số đối xứng nhau là x = 0; x = + 1 không phải là nghiệm của đa thức.
Ngoài các phương pháp trên ta có thể làm theo phương pháp giải tổng quát riêng sau đây:
= x2 (x2 + 6x + 7 + 
= x2 (x2 + 
Đặt x + 
Do đó ta có:
= x2 [(T2 - 2) + 6T + 7]
= x2 (T2 + 6T + 5) = x2 ( T + 1) ( T + 5)
Thay T = x+ vào tiếp tục quy đồng, phân tích cho ta kết quả bài toán.
Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử.
Nhận xét tương tự ta biến đổi như sau:
= 
Đặt: 
Ta có [ 3 (T3 - 3T) - 4 (T2 - 2) + 2T - 8]
Tiếp tục phân tích cho ta kết quả.
	Đối với dạng này nếu đa thức còn bậc lẽ việc áp dụng phương pháp này chưa thể áp dụng được. Do đó hướng cho học sinh dùng phương pháp xét giá trị riêng nhẩm lấy 1 nghiệm của đa thức phân tích để đa thức được giảm đi một bậc ( trở thành bậc chẵn) rồi áp dụng phương pháp riêng này để giải.
III - Kết luận chung
Trên đây là một số dạng đa thức thường gặp ở một số dạng bước đầu phải dùng phương pháp riêng của nó để giải và mỗi dạng bài tôi chỉ đưa ra một vài ví dụ minh họa. Còn trong thực tế các bài toán có đa dạng. Do đó việc giải phải có sự lựa chọn phương pháp thích hợp, phù hợp với mỗi kiểu bài mà việc lựa chọn đó muốn có được học sinh thì đỏi hỏi giáo viên phải có sự chọn lọc, sắp xếp rút ra tổng quát cung cấp cho học sinh. 
Tuy rằng ở một số dạng đều dùng phương pháp đặt ẩn phụ sau khi đã biến đổi dạng các hạng tử của đa thức. Nhưng mỗi loại có mỗi đặc điểm khác nhau. Do đó ở đây tôi tách ra các kiểu bài như thế để giúp học sinh nhận dạng từ đó xác định phương pháp gải thích hợp cho mỗi kiểu bài. Còn việc trình bày bài giải sau khi đã phân tích được có thể trình bày lại theo phương pháp tách, nhóm, đặt hằng cho rõ ràng và khoa học hơn. Đồng thời phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử này còn nhiều dạng khác nhau và phải dùng nhiều phương pháp khác nhau đối với đa thức 1 biến và nhiều biến. Hơn thế nữa việc phân tích đa thức thành nhân tử thành thạo tạo điều kiện thuận lợi cho việc giải phương trình và bất phương trình bậc cao và những phương trình có dạng đặc biệt đó sau này.
Trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng cần cung cấp đầy đủ cho học sinh để khi gặp các dạng bài tập này giúp các em định hướng, lựa chọn được phương pháp thích hợp giải quyết bài toán nhanh gọn.
Mặc dù một số em còn tồn tại trong khâu trình bày chưa chặt chẽ, rõ ràng. Song phương pháp này đã trở thành bài học góp phần mang lại hiệu quả hơn.
Tuy rằng các phương pháp chưa được toàn diện nhưng đối với một số dạng thông thường trên đây đã có tác dụng thực sự nâng cao chất lượng phân tích đa thức thành nhân tử đối với đa thức bậc cao chủ yếu là những đa thức một biến./.