Sáng kiến kinh nghiệm: ''Một số phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức đại số'' Lớp 8 - Năm học 2006-2007 - Trần Ngọc Duy

Sáng kiến kinh nghiệm :‘ Một số phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu 
thức ñại số ’ 
Ngöôøi vieát: Traàn Ngoïc Duy GV tröôøng THCS – DTNT Ba Tô Trang 1 
MỞ ðẦU 
húng ta biết rằng trong chương trình Toán học ở trường 
THCS hiện nay, có những bài toán tìm giá trị nhỏ nhất hoặc 
giá trị lớn nhất của một biểu thức khi học sinh gặp phải thì 
rất là bỡ ngỡ và lúng túng . Vì trong chương trình Toán THCS SGK chưa 
ñề cập nhiều về cách giải. Do ñó, nhiều học sinh chưa có ñược phương 
pháp giải những bài toán dạng như thế này, mà dạng toán này chúng ta 
ñều thấy ở các ñề thi học kỳ, HSG, ñề thi tuyển sinh vào lớp 10, . 
Vì thế trong quá trình dạy học (dạy học tự chọn, dạy BDHSG,) . 
Chúng ta cần phải trang bị cho học sinh nắm ñược một số phương pháp 
giải thường gặp nhất trong chương trình Toán THCS. ðể từ ñó, mỗi học 
sinh tự mình giải ñược các bài toán dạng này một cách chủ ñộng và sáng 
tạo. 
 ðứng trước thực trạng trên, với tinh thần yêu thích bộ môn, muốn 
ñược ñóng góp phần nào ñể gỡ rối cho học sinh. Tôi xin ñưa ra một số 
phương pháp thường gặp ñể tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một 
biểu thức. 
 C 
Sáng kiến kinh nghiệm :‘ Một số phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu 
thức ñại số ’ 
Ngöôøi vieát: Traàn Ngoïc Duy GV tröôøng THCS – DTNT Ba Tô Trang 2 
NHỮNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ HƯỚNG 
GIẢI QUYẾT 
1. Áp dụng hằng ñẳng thức: A2 ±2AB+ B2 = (A±B)2 ñể biến ñổi biểu thức về 
dạng: 
* A = a + [f(x)]2 ≥ a suy ra minA = a khi f(x) = 0 
* B = b - [f(x)]2 ≤ b suy ra maxB = b khi f(x) = 0 
2. Áp dụng tính chất : | x| + | y | ≥ | x + y | ñể tìm GTNN 
 Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi x.y ≥ 0 
 3. Áp dụng tính chất : | x | - | y | ≤ | x – y | ñể tìm GTLN 
 Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi x ≥ y ≥ 0 hoặc x ≤ y ≤ 0 
4. Áp dụng bất ñẳng thức: baba −≤− (a ≥ b ≥0 ) ñể tìm GTLN. 
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi b(a-b) = 0 ⇔ b = 0 hoặc a = b 
5. Áp dụng bất ñẳng thức: baba +≥+ (a , b ≥0 ) ñể tìm GTNN 
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi a.b = 0 ⇔ a = 0 hoặc b = 0 
6. Áp dụng bất ñẳng thức CôSi: 
+ Với a ≥ 0, b ≥ 0 thì a + b ≥ 2 ab (1) 
 Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi a = b 
 + Với a1, a2, a3, ., an ≥ 0 thì a1+ a2 + a3 + .+ an ≥ n n naaaa ..... 321 ( 2) 
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi a1 = a2 = a3 = ..= an 
Từ ñẳng thức (1) ta suy ra: 
- Nếu a.b =k ( không ñổi) thì min (a +b) = 2 k ⇔ a = b 
- Nếu a +b = k (không ñổi ) thì max( a.b) = 
4
2k
 ⇔ a = b 
Từ ñẳng thức (2) ta suy ra: 
- Nếu a1.a2.a3 . an = k (không ñổi ) thì min(a1+ a2 + a3 + .+ an ) = n n k 
 ⇔ a1 = a2 = a3 = ..= an 
- Nếu a1+ a2 + a3 + .+ an = k (không ñổi ) thì max(a1.a2.a3 . an ) =
n
n
k






 ⇔ a1 = a2 = a3 = ..= an 
7. Áp dụng ñiều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai là ∆ ≥ 0 (∆’ ≥ 0) 
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi phương trình có nghiệm kép 
a
b
x
2
−= (
a
b
x
'
−= ) 
Sáng kiến kinh nghiệm :‘ Một số phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu 
thức ñại số ’ 
Ngöôøi vieát: Traàn Ngoïc Duy GV tröôøng THCS – DTNT Ba Tô Trang 3 
NỘI DUNG 
 A/ Phương pháp 1: 
Áp dụng hằng ñẳng thức: A2 ±2AB+ B2 = (A±B)2 ñể biến ñổi biểu thức 
về dạng: 
* A = a + [f(x)]2 ≥ a suy ra minA = a khi f(x) = 0 
* B = b - [f(x)]2 ≤ b suy ra maxB = b khi f(x) = 0 
 Thí dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: 
a) A = 4x2 + 4x + 11 
b) B = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) 
c) C = x2 – 2x + y2 – 4y + 7 
Giải: 
a) A = (4x2 + 4x + 1) + 10 = (2x +1)2 + 10 ≥ 10 
Suy ra minA = 10 khi x = 
2
1
− 
b) B = (x – 1)(x + 6)(x + 2)(x + 3) 
 = (x2 + 5x - 6)(x2 + 5x + 6) 
 = (x2 + 5x )2 – 36 ≥ - 36 
 Suy ra minB = -36 khi x = 0 hoặc x = -5 
b) C = (x2 – 2x + 1) +(y2 – 4y + 4) + 2 
 = (x -1)2 + (y -2)2 +2 ≥ 2 
 Suy ra minC = 2 khi x =1 và y = 2 
 Thí dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: 
a) A = 5 - 8x – x2 
b) B = 5 – x2 + 2x - 4y2 – 4y 
Giải: 
a) Ta có A = - (x2 + 8x + 16) + 21 
 = - (x + 4)2 + 21 ≤ 21 
 Suy ra maxA = 21 khi x = -4 
b) Ta có B = - (x2 – 2x + 1) – (4y2 + 4y + 1) + 7 
 = - (x -1)2 - (2y + 1)2 + 7 ≤ 7 
 Suy ra maxB = 7 khi x =1 và y = 
2
1
− 
Sáng kiến kinh nghiệm :‘ Một số phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu 
thức ñại số ’ 
Ngöôøi vieát: Traàn Ngoïc Duy GV tröôøng THCS – DTNT Ba Tô Trang 4 
Bài tập: 
1) Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: 
a) A = 4 – x2 +2x 
b) B = 4x – x2 
Giải: 
a) A = 4 – x2 +2x = 5 – (x2 – 2x +1) = 5 – (x – 1)2 ≤ 5 
Suy ra maxA = 5 khi x = 1 
b) B = 4x – x2 = 4 – (x2 – 4x + 4) = 4 – (x -1)2 ≤ 4 
Suy ra maxB = 4 khi x = 2 
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: 
a) A = x2 + 5y2 -2xy +4y + 3 
b) B = (x2 - 2x)(x2 - 2x + 2) 
c) C = x2 -4xy + 5y2 + 10x - 22y +28 
Giải: 
a) A = (x2 – 2xy +y2) +(4y2 + 4y + 1) +2 
 = (x –y)2 + (2y + 1)2 + 2 ≥ 2 
Suy ra minA =2 khi 




−=
=
⇔



=+
=−
2
1012
0
y
yx
y
yx
Vậy minB =2 khi x = y = 
2
1
− 
b) B = (x2 - 2x)(x2 - 2x + 2) 
 ðặt t = x2 - 2x ⇒ B = t(t +2) = t2 + 2t = (t2 + 2t + 1) – 1 
 = (t +1)2 – 1 ≥ -1 
 ⇒ MinB = -1 ⇔ t = -1 ⇔ x2 - 2x = -1 ⇔ x2 - 2x +1 =0 
 ⇔ (x – 1)2 = 0 
 ⇔ x = 1 
 Vậy minB = -1 khi x = 1 
b) C = (x – 2y)2 + 10(x – 2y) + (y – 1)2 + 25 + 2 
 = (x – 2y + 5)2 + (y – 1)2 + 2 ≥ 2 
 ⇒ MinC = 2 khi 



−=
=
⇔



=+−
=−
3
1
052
01
x
y
yx
y
 Vậy minC = 2 khi x = -3, y = 1 
3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
A = 
4
32 ++− xx 
Sáng kiến kinh nghiệm :‘ Một số phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu 
thức ñại số ’ 
Ngöôøi vieát: Traàn Ngoïc Duy GV tröôøng THCS – DTNT Ba Tô Trang 5 
 Giải: 
Ta có A = 11
2
11
2
=≤





−− x 
Suy ra maxA =1 khi x = 
2
1
4) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 9)1()1(44 224 ++++− xxxx 
Giải: 
Ta có B = 399)12( 22 =≥+−− xx 
Suy ra minB = 3 khi 2x2 - x – 1 =0 ⇔ (2x + 1)(x – 1) = 0 
 ⇔ x =1 hoặc x = 
2
1
− 
 Vậy minB =3 khi x =1 hoặc x = 
2
1
− 
 B/ Phương pháp 2: 
Áp dụng tính chất : | x| + | y | ≥ | x + y | . ðể tìm GTNN của biểu 
thức Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi x.y ≥ 0 
Thí dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: 
a) A = | 2x – 5 | + | 2x + 1 | 
b) B = | x – 1| + | x – 2 | + | x – 3 | 
c) C = | x - 1| + | x – 2 | + | x – 3 | + | x – 4 | 
d) D = 22 2542025 xxx ++− 
 e) E = 964412 222 +−++−++− xxxxxx 
Giải: 
a) Ta có A = | 2x – 5 | + | 2x - 1 | = | 2x – 5 | + | 1- 2x | ≥ | 2x – 5 + 1- 2x | 
 = | -4 | = 4 
Suy ra minA = 4 khi (2x – 5)(1 – 2x) ≥ 0 ⇔
2
5
2
1 ≤≤ x 
 b) B = | x – 1| + | x – 2 | + | x – 3 | 
 Ta có | x – 1| + | x – 3 | = | x – 1| + | 3 – x | ≥ | x – 1 + 3 – x | = 2 
 Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi (x – 1)(3 – x) ≥ 0 ⇔ 1 3≤≤ x 
 | x – 2| nhỏ nhất khi x =2 
 Vậy min B = 2 khi x =2 
Sáng kiến kinh nghiệm :‘ Một số phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu 
thức ñại số ’ 
Ngöôøi vieát: Traàn Ngoïc Duy GV tröôøng THCS – DTNT Ba Tô Trang 6 
 c) C = | x - 1| + | x – 2 | + | x – 3 | + | x – 4 | = | x - 1| + | x – 4 | + | x – 2 | + | x – 3 | 
 Ta có: | x - 1| + | x – 4 | ≥ | x -1 +4 – x | ≥ 3 
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi (x – 1)(4 – x) ≥ 0 ⇔ 1 4≤≤ x 
 Ta có: | x – 2 | + | x – 3 | ≥ | x -2 +3 – x | ≥ 1 
 Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi (x – 2)(3 – x) ≥ 0 ⇔ 2 3≤≤ x 
Vậy minC = 3 + 1 = 4 khi 2 3≤≤ x 
d)Ta có D = 22 25)25( xx +− 
 = | 5x – 2 | + |5x | ≥ |2 - 5x +5 x | = 2 
 Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi (2- 5x)5x ≥ 0 ⇔ 0
5
2≤≤ x 
Vậy minD = 2 khi 0
5
2≤≤ x 
 e) Ta có E = 222 )3()2()1( −+−+− xxx 
 = | x – 1| + | x – 2 | + | x – 3 | 
Vậy minE = 2 khi x =2 ( làm như câu b ) 
Bài tập: 
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức 
a) A = | x – 1 | + | x – 2 | +  + | x – 2006 | 
b) B = 4129961 22 +−++− xxxx 
Giải: 
 Chú ý 1: y = | x – a | + | x – b | ( a < b ) 
 Min y = b – a khi bxa ≤≤ 
a) Ta có A = ( | x – 1 | + | x – 2006 | ) + ( | x – 2 | + |x – 2005 | ) +  
+ ( | x – 1002| + | x -1003 | ) 
Suy ra minA = 2005 + 2003 +  + 1 khi 10031002 ≤≤ x 
Vậy minA = 10032 khi 10031002 ≤≤ x 
b) Ta có B = 22 )23()13( −+− xx 
 = | 3x – 1 | + | 3x – 2 | = | 3x – 1 | + | 2 - 3x | ≥ | 3x – 1 + 2 – 3x | = 1 
Vậy minB = 1 khi (3x – 1)(2 – 3x) ≥ 0 ⇔ 
3
2
3
1 ≤≤ x 
Chú ý 2 : y = | ax – b | + | ax – c | ( b < c ) 
 Min y = c – b khi 
a
c
x
a
b ≤≤ 
Sáng kiến kinh nghiệm :‘ Một số phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu 
thức ñại số ’ 
Ngöôøi vieát: Traàn Ngoïc Duy GV tröôøng THCS – DTNT Ba Tô Trang 7 
Thí dụ: Tìm GTNN của biểu thức 
 C = | 2x -5 | + | 2x – 7 | 
 Suy ra min C = 7 -5 = 2 khi 
2
7
2
5 ≤≤ x 
Chú ý 3 : y = | ax + b | + | ax + c | ( b < c ) 
 Min y = c – b khi 
a
b
x
a
c
−≤≤− 
Thí dụ : Tìm GTNN của biểu thức 
 D = | 3x + 5 | + | 3x + 7 | 
 Suy ra min D = 7 - 5 =2 khi 
3
5
3
7
−≤≤− x 
Bài tập: 
1) Tìm GTNN của các biểu thức sau: 
a) A = 222 )2006(...)2()1( −++−+− xxx 
 b) B = 222 )2007(...)2()1( −++−+− xxx 
2) Tìm GTNN của các biểu thức sau: 
 a) C = 9124144 22 +−++− xxxx 
 b) D = 9124484144 222 +−++−++− xxxxxx 
 c) E = 161649124484144 2222 +−++−++−++− xxxxxxxx 
3) Tìm GTNN của các biểu thức sau: 
 a) F = | 2x - 1 | + | 2x – 2 | +  + | 2x – 2006 | 
 b) G = | 2x - 1 | + | 2x – 2 | +  + | 2x – 2007 | 
 c) H = | 2x + 1 | + | 2x + 2 | +  + | 2x + 2006 | 
 d) I = | 2x + 1 | + | 2x + 2 | +  + | 2x + 2007 | 
 e) K = 222 )20062(...)22()12( −++−+− xxx 
 f) L = 222 )20072(...)22()12( −++−+− xxx 
 g) M = 222 )20062(...)22()12( ++++++ xxx 
 h) N = 222 )20072(...)22()12( ++++++ xxx 
 i) O = 222 )74()64()54( +++++ xxx 
 k) P = 2222 )84()74()64()54( +++++++ xxxx 
 l) Q = 222 )20064(...)19464()19454( ++++++ xxx 
 m) X = 222 )20074(...)19764()19754( ++++++ xxx 
Sáng kiến kinh nghiệm :‘ Một số phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu 
thức ñại số ’ 
Ngöôøi vieát: Traàn Ngoïc Duy GV tröôøng THCS – DTNT Ba Tô Trang 8 
C/ Phương pháp3: 
 Áp dụng tính chất : | x | - | y | ≤ | x – y | ñể tìm GTLN 
 Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi x ≥ y ≥ 0 hoặc x ≤ y ≤ 0 
Thí dụ: Tìm GTLN của các biểu thức sau: 
 a) A = | 3x + 5 | - | 3x + 7 | b) B = | 5x + 7| - | 5x – 2 | 
 c) C = | 4x2 - 1975 | - | -4x2 + 2025 | 
Giải: 
 a) Ta có A = | 3x + 5 | - | 3x + 7 | ≤ | (3x + 5) - (3x + 7) | = 2 
 Dấu ‘ = ‘ xảy ra 
3
707353 −≤⇔≤+≤+⇔ xxx 
 Vậy maxA = 2 
3
7−≤⇔ x 
 b) Ta có B = | 5x + 7| - | 5x – 2 | ≤ | (5x + 7) - (5x – 2) | = 9 
 Dấu ‘ = ‘ xảy ra 
5
202575 ≥⇔≥−≥+⇔ xxx 
 Vậy maxB = 9 
5
2≥⇔ x 
 c) Ta có C = | 4x2 - 1975 | - | -4x2 + 2025 | = | 4x2 - 1975 | - | 4x2 - 2025| 
 50|)20254()19754(| 22 =−−−≤ xx 
 Dấu ‘ = ‘ xảy ra 






≥
−
≤
⇔≥−≥−⇔
2
45
2
45
02025419754 22
x
x
xx 
 Vậy maxC = 50 






≥
−
≤
⇔
2
45
2
45
x
x
Bài tập: Tìm GTLN của các biểu thức sau: 
 a) D = 22 )819()519( −−+ xx b) E = |200719||189019| 5 ...  yx hoặc 
31,31 −−=−= yx 
Vậy minI = 4 ⇔ 31,31 +−=+= yx hoặc 31,31 −−=−= yx 
6) Cho x >0 .Tìm GTNN của các biểu thức sau 
a) K = 
x
xx +−1
 b) P = 
1
8
+
+
x
x
 Giải: 
 a) Ta có K = 11.1.211 =−≥−+ x
x
x
x
Sáng kiến kinh nghiệm :‘ Một số phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu 
thức ñại số ’ 
Ngöôøi vieát: Traàn Ngoïc Duy GV tröôøng THCS – DTNT Ba Tô Trang 15 
 Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi 11 =⇔= xx
x
 Vậy minK = 1 khi x = 1 
b)Ta có 
 P = 42
1
9).1(22
1
91
1
91
1
91
1
8
=−
+
+≥−
+
++=
+
+−=
+
+−
=
+
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi 4
1
91 =⇔
+
=+ x
x
x 
 Vậy minQ = 4 khi x = 4 
7) Cho x > 9 .Tìm GTNN của các biểu thức sau Q = 
3
4
−x
x
Giải: 
Ta có Q = 
3
36124
3
36)3(4
3
36)9(4
3
36364
3
4
−
++=
−
++=
−
+−
=
−
+−
=
− x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
4824
3
36)3(4224
3
36)3(41212
3
36124 =+
−
−≥+
−
+−=++
−
+−=
x
x
x
x
x
x 
 Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi 


=
=
⇔




−=−
=−
⇔
−
=−
0
36
33
33
3
36)3(4
x
x
x
x
x
x 
Kết hợp ðK x > 9 nên x = 0 ( loại ) 
 Vậy minQ =48 khi x =36 
7) Tìm GTLN của biểu thức L = 
1
2
+x
x
 Giải: 
 Ta qui về tìm GTNN của biểu thức 1
4
12
2
1
.
2
2
2
1
22
11
==≥+=+=
x
x
x
x
x
x
L
 Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi 1
2
1
2
=⇔= x
x
x
 Vậy Min 111 =⇔= x
L
Sáng kiến kinh nghiệm :‘ Một số phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu 
thức ñại số ’ 
Ngöôøi vieát: Traàn Ngoïc Duy GV tröôøng THCS – DTNT Ba Tô Trang 16 
 Do ñó maxL =1 khi x = 1 
 8) Tìm giá GTLN của biểu thức y 2)1982( += x
x
Giải: 
 Ta qui về tìm GTNN của biểu thức 
x
x
y
2)1982(1 +
= 
 Ta có 1982.41982.21982.21982.219821982.219821
2222
=+≥++=++=
x
x
x
x
x
xx
y
 Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi 19821982
2
=⇔= x
x
x 
 Vậy min 1982.41 =
y
 khi x = 1982 
 Do ñó max y = 
1982.4
1
 khi x = 1982 
 Dạng 4: Tìm GTLN của biểu thức có dạng : A = f(x).g(x) , bậc f(x) bằng bậc 
g(x) 
 Phương pháp giải: - Biến ñổi f(x) + g(x) = k ( k là hằng số ) 
 - Áp dụng BðT Côsi: a.b 
4
)( 2ba +≤ 
 Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi a = b 
Thí dụ 1 : Tìm GTLN của biểu thức A = x3(16 – x3) 
Giải: 
 Ta có A =x3(16 – x3) [ ] 64
4
16
4
)16( 2233
==
−+≤ xx 
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi x3 = 16 – x3 ⇔ x3 = 8 ⇔ x = 2 
 Vậy maxA = 64 khi x = 2 
 Thí dụ 2 : Tìm GTLN của biểu thức B = (1 –x )(2x – 1) với 1
2
1 ≤≤ x 
 Giải: 
 Ta có B = (1 –x )(2x – 1) = 
2
1 (2 – 2x )(2x – 1) 
8
11.
8
1
4
)1222(
.
2
1 2
==
−+−≤ xx 
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi 2 – 2x = 2x – 1 ⇔ x = 
4
3
Sáng kiến kinh nghiệm :‘ Một số phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu 
thức ñại số ’ 
Ngöôøi vieát: Traàn Ngoïc Duy GV tröôøng THCS – DTNT Ba Tô Trang 17 
 Vậy maxB = 
8
1
 khi x = 
4
3
Bài tập: Tìm GTLN của các biểu thức sau: 
 a) C = (2x2 – 1)(2 – x2) b) D = (3x + 5)(2 – x) 
Dạng 5: Tìm GTNN của biểu thức có dạng: A = f(x) + g(x) 
Phương pháp giải: Biến ñổi biểu thức ñã cho thành một tổng của các biểu 
thức sao cho tích của chúng là một hằng số 
( tách một hạng tử chứa biến thành tổng của một hằng số với một hạng tử này 
là nghịch ñảo của một hạng tử khác có trong biểu thức ñã cho , có thể sai khác một 
hằng số ) 
Thí dụ: Cho 0 < x < 12 . Tìm GTNN của biểu thức A = 
xx
x 2
2
9
+
−
 Giải: 
Ta có A = 713.212.
2
9212
2
92
2
9
=+=+
−
−
≥+−+
−
=+
− x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi 
2
12
2
9
=⇔=
−
x
xx
x
 Vậy minA = 7 khi 
2
1
=x 
Bài tập: 
1) Cho x > 1 , tìm GTNN của các biểu thức sau: 
a) B = 
1
1
−
+
x
x b) C = 
1
254
−
+
x
x 
 Giải: 
a) Ta có B = 31
1
1).1(21
1
11
1
1
=+
−
−≥+
−
+−=
−
+
x
x
x
x
x
x 
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi 


=
=
⇔=−⇔=−⇔
−
=−
0
2
111)1(
1
11 2
x
x
xx
x
x 
Vì x > 1 nên x =0 (loại) 
 Vậy minB = 3 khi x =2 
b) Ta có C = 24410024
1
25).1(424
1
25)1(4
1
254 =+=+
−
−≥+
−
+−=
−
+
x
x
x
x
x
x 
Sáng kiến kinh nghiệm :‘ Một số phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu 
thức ñại số ’ 
Ngöôøi vieát: Traàn Ngoïc Duy GV tröôøng THCS – DTNT Ba Tô Trang 18 
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi 






−
=
=
⇔






−=−
=−
⇔=−⇔
−
=−
2
3
2
7
2
51
2
51
4
25)1(
1
25)1(4 2
x
x
x
x
x
x
x 
Vì x > 1 nên 
2
3−
=x (loại) 
 Vậy minC = 24 khi 
2
7
=x 
2) Cho x, y > 0 và x + y > 6. Tìm GTNN của biểu thức D = 
yx
yx 161235 +++ 
 Giải: 
Ta có D = 328121216.212.326.2)16()123()(2 =++=++≥+++++
y
y
x
x
y
y
x
xyx 
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi 
x
x
123 = và 
y
y 16= ⇔ x = 2 và y = 4 
 Vậy minD = 32 ⇔ x = 2 và y = 4 
3) Cho x, y, z 0≥ thỏa mãn ñiều kiện: x + y + z = 2007 
 a) Tìm GTLN của biểu thức E = xy + yz + zx. 
 b) Tìm GTNN của biểu thức F = x2 + y2 + z2 
Giải: 
 Áp dụng BðT Côsi : a2 + b2 ≥ 2ab 
 a) Ta có 
2
.
22 yxyx +≤ 
2
.
22 zy
zy +≤ 
2
.
22 xz
xz
+≤ 
222 zyxzxyzxy ++≤++⇒ 
 )(2)( 2 zxyzxyzyxzxyzxy ++−++≤++⇔ 
2)()(3 zyxzxyzxy ++≤++⇔ 
220073 ≤⇔ E 
 447561669
3
2007 22
==≤⇔ E 
 Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi 669
3
2007
====⇔ zyx 
Sáng kiến kinh nghiệm :‘ Một số phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu 
thức ñại số ’ 
Ngöôøi vieát: Traàn Ngoïc Duy GV tröôøng THCS – DTNT Ba Tô Trang 19 
 Vậy maxE = 447561 khi x = y = z = 669 
b)Ta có F = )(2)( 2222 zxyzxyzyxzyx ++−++=++ 
 )(22007 2 zxyzxy ++−= 
 F min )( zxyzxy ++⇔ max 447561)( =++⇔ zxyzxy (theo câu a ) 
 Khi ñó minF = 2
22
2 669
3
2007
3
2007.22007 ==− khi 669
3
2007
==== zyx 
4) Cho x, y, z 0≥ thỏa mãn ñiều kiện: x + y + z = a ( a là hằng số dương) 
 a) Tìm GTLN của biểu thức E = xy + yz + zx. 
 b) Tìm GTNN của biểu thức F = x2 + y2 + z2 
G/ Phương pháp7: 
Áp dụng ñiều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai là ∆ ≥ 0 (∆’ ≥ 0) 
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi phương trình có nghiệm kép 
a
b
x
2
−= (
a
b
x
'
−= ). ðể 
tìm GTNN, GTLN của biểu thức 
Thí dụ : Tìm GTNN của biểu thức A = 5x2 – 4x + 1 
 Giải: 
Gọi a là một giá trị của biểu thức A . Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ 
khi phương trình 5x2 – 4x + 1 = a có nghiệm 
 ⇔ 5x2 – 4x + 1 – a = 0 (*) có nghiệm 
 ⇔ 
5
1015' ≥⇔≥−=∆ aa 
Vậy minA = ⇔
5
1 phương trình (*) có nghiệm kép x = 
5
2
Bài tập: 
1) Tìm GTNN của biểu thức B = 
12
12
2
2
+−
+−
xx
xx
 Giải: 
ðKXð: x ≠ 1 
Gọi a là một giá trị của B , phương trình a
xx
xx
=
+−
+−
12
12
2
2
 (1) phải có nghiệm 
PT (1) 0)1()12()1( 2 =−+−−−⇔ axaxa (2) 
- Nếu a = 1 thì x =0 
Sáng kiến kinh nghiệm :‘ Một số phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu 
thức ñại số ’ 
Ngöôøi vieát: Traàn Ngoïc Duy GV tröôøng THCS – DTNT Ba Tô Trang 20 
- Nếu a ≠ 1 thì (2) là phương trình bậc hai 
34)1(4)12( 22 −=−−−=∆ aaa 
PT (2) có nghiệm 
4
3034 ≥⇔≥− aa 
Vậy minB = 
4
3
 khi PT (2) có nghiệm kép x = -1 
2) Tìm GTNN của biểu thức P = 
1
1
2
2
++
+−
xx
xx
Giải: 
ðKXð: x ∈ R 
Gọi a là một giá trị của P , phương trình a
xx
xx
=
++
+−
1
1
2
2
 (1) phải có nghiệm 
PT (1) 01)1()1( 2 =−++−−⇔ axaxa (2) 
- Nếu a = 1 thì x =0 
- Nếu a ≠ 1 thì (2) là phương trình bậc hai 
3103)1(4)1( 222 −+−=−−+=∆ aaaa
PT (2) có nghiệm 3
3
103103 2 ≤≤⇔≥−+−=∆⇔ aaaa 
Vậy minP = 
3
1
 khi PT (2) có nghiệm kép x = 1 
3)Tìm GTNN, GTLN của các biểu thức sau: 
a) Q = 
1
34
2 +
−
x
x
 b) K = 
32
12
2
2
+−
−+
xx
xx
Giải: 
a) ðKXð: x ∈ R 
Gọi a là một giá trị của Q , phương trình a
x
x
=
+
−
1
34
2 (1) phải có nghiệm 
PT (1) 0342 =++−⇔ axax (2) 
- Nếu a = 0 thì PT (2) là -4x = -3 có nghiệm x = 
4
3
- Nếu a ≠ 0 thì (2) là phương trình bậc hai 
43)3(4' 2 +−−=+−=∆ aaaa 
PT (2) có nghiệm 14043' 2 −≤≤−⇔≥+−−=∆⇔ aaa 
Vậy: minQ = -4 khi PT (2) có nghiệm kép x = 
2
1−
 maxQ = -1 khi PT (2) có nghiệm kép x = 2 
b) ðKXð: x ∈ R 
Sáng kiến kinh nghiệm :‘ Một số phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu 
thức ñại số ’ 
Ngöôøi vieát: Traàn Ngoïc Duy GV tröôøng THCS – DTNT Ba Tô Trang 21 
Gọi a là một giá trị của K , phương trình a
xx
xx
=
+−
−+
32
12
2
2
 (1) phải có nghiệm 
PT (1) 0)13()1(2)1( 2 =+++−−⇔ axaxa (2) 
- Nếu a = 1 thì PT (2) là -4x = -4 có nghiệm x = 1 
- Nếu a ≠ 1 thì (2) là phương trình bậc hai 
242)13)(1()1(' 22 ++−=+−−+=∆ aaaaa
PT (2) có nghiệm 21210242' 2 +≤≤−⇔≥++−=∆⇔ aaa 
Vậy: minK = 21− khi PT (2) có nghiệm kép x = 21− 
 maxK = 21+ khi PT (2) có nghiệm kép x = 21+ 
4) Tìm cặp số (x,y) thỏa mãn phương trình : 3x2 – 6x +y – 2 = 0 (1) 
sao cho y ñạt giá trị lớn nhất. 
Giải: 
 Xét phương trình bậc hai , ẩn x tham số y. 
Nếu tồn tại cặp số (x,y) thỏa mãn phương trình (1) thì PT (1) phải có 
nghiệm. 
Do ñó 50)2(390' ≤⇔≥−−⇔≥∆ yy 
Vậy max y = 5 khi PT(1) có nghiệm kép x =1 
 Nên cặp số cần tìm là (1;5) 
5) Tìm GTNN của các biểu thức sau: 
 a) E = 
12
1
2
2
++
++
xx
xx
 b) F = 
x
x 2)2007( +
6) Tìm GTLN của biểu thức G = 2)2000( +x
x
Sáng kiến kinh nghiệm :‘ Một số phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu 
thức ñại số ’ 
Ngöôøi vieát: Traàn Ngoïc Duy GV tröôøng THCS – DTNT Ba Tô Trang 22 
KẾT LUẬN 
 Trên ñây là những phương pháp, những dạng bài tập mà qua quá trình 
giảng dạy, tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi, dạy học tự chọn mà bản thân tôi 
ñã tổng hợp ñược. Thật ra ñây là những bài toán mà ta có thể bắt gặp ở các 
sách, ñề thi, . 
 Việc phân chia các dạng bài tập trong tài liệu này chỉ có tính tương ñối 
ñể cho dễ tìm. Trong mỗi bài toán , tuỳ theo cách nhìn mà ta sẽ có hướng giải 
tương ứng. ðể học sinh có ñược cách giải tương ứng của mỗi bài toán thì 
phải dạy cho học sinh nắm thật chắc các kiến thức cơ bản, nắm ñược các 
phương pháp giải các dạng bài tập và thường xuyên rèn luyện kỹ năng giải 
bài tập cho học sinh. 
 Với suy nghĩ như vậy. Tôi tin tưởng mỗi chúng ta có thể làm cho học 
sinh không còn bỡ ngỡ và lúng túng khi gặp dạng toán như thế này.Vì khả 
năng và thời gian có hạn nên sáng kiến này xin tạm dừng tại ñây. 
 Rất mong sự góp ý của các ñồng chí, ñồng nghiệp ñể sáng kiến này 
ñược phát huy và ñược mở rộng hơn nữa. 
 Ba Tơ, ngày 20 tháng 11 năm 2006 
 Người viết 
 Traàn Ngoïc ïïï Duy 
Sáng kiến kinh nghiệm :‘ Một số phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu 
thức ñại số ’ 
Ngöôøi vieát: Traàn Ngoïc Duy GV tröôøng THCS – DTNT Ba Tô Trang 23 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Toán nâng cao ðại số 8 của Nguyễn Vũ Thanh – NXB Giáo dục -1997 
2. Toán nâng cao ðại số 9 của Nguyễn Vũ Thanh – NXB ðà Nẵng -1996 
3. Bài tập nâng cao và một số chuyên ñề Toán 9 của Bùi Văn Tuyên - NXB 
Giáo dục – 2005 
 4. Một số ñề thi HSG các cấp và thi tuyển sinh vào lớp 10,