Sáng kiến kinh nghiệm Khai thác các hẳng đẳng thức Đại số Lớp 8

 PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ LÀO CAI
TRƯỜNG THCS LÊ QUÝ ĐÔN
TỔ TOÁN – LÝ – CÔNG NGHỆ
----------– & —---------
KINH NGHIỆM
“KHAI THÁC CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC”
ĐẠI SỐ LỚP 8
 Năm thực hiện: Từ năm 2003 đến năm 2014
 Tên tác giả: Phạm Thị Khánh Hường
 Số điện thoại: 0976297957
	 Email cá nhân: khanhhuonglqd@gmail.com
MỤC LỤC
STT
Nội dung
Trang
1
1.Lý do chọn đề tài
1
2
2.Giải quyết vấn đề
2
3
2.1.Cơ sở lý luận của vấn đề
2
4
2.2. Thực trạng của vấn đề
2
5
2.3. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề
3
6
2.4. Hiệu quả của áp dụng SKKN
11
7
3. Kết luận
13
DANH MỤC CHỮ CÁI VIẾT TẮT
STT
Chữ cái viết tắt
Nội dung đầy đủ
1
HCV
Huy chương vàng
2
HCB
Huy chương bạc
3
HCĐ
Huy chương đồng
4
KK
Khuyến khích
5
HSG
Học sinh giỏi
6
GTNN
Giá trị nhỏ nhất
7
TP
Thành phố
8
THPT
Trung học phổ thông
KHAI THÁC CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
Lý do chọn đề tài
Trong chương trình Đại số lớp 8, học sinh được học về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ. Đây là nội dung kiến thức quan trọng giúp học sinh có thể vận dụng để giải nhiều dạng toán khác nhau. Tuy nhiên, 7 hằng đẳng thức các em đã học trong sách giáo khoa lớp 8 nếu để nguyên dạng thì khó áp dụng trong một số trường hợp. Từ các hằng đẳng thức đáng nhớ, ta có thể dễ dàng suy ra được nhiều hằng đẳng thức đơn giản khác, các hằng đẳng thức đó thường xuyên được sử dụng trong các biến đổi khi chúng ta làm toán, đặc biệt là trong các bài tập tính toán, chứng minh, phân tích thành nhân tử, giải phương trình,... Trong quá trình giảng dạy tôi thấy rằng: nếu giáo viên chú ý hướng dẫn học sinh cách khai thác các hằng đẳng thức thì học sinh sẽ linh hoạt hơn khi vận dụng, thuận lợi hơn khi giải toán, đặc biệt có tác dụng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi và thi tuyển sinh. Vì vậy tôi xin được trình bày một kinh nghiệm của mình khi bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán 8, kinh nghiệm “Khai thác các hằng đẳng thức đáng nhớ”.
2. Giải quyết vấn đề
2.1. Cơ sở lý luận của vấn đề
Trong chương I – Đại số lớp 8, học sinh được học 7 hằng đẳng thức đáng nhớ: 
	 1) 
 	 2) 
 	 3) 
 	 4) 
 5) 
 	 6) 
 	 7) 
Bảy hằng đẳng thức trên có dạng một vế là tích, một vế là tổng. Chính vì vậy các hằng đẳng thức này thường được vận dụng để phân tích đa thức thành nhân tử, tính giá trị của biểu thức được nhanh hơn. Người ta cũng thường dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để giải phương trình, tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một biểu thức...
Các hằng đẳng thức trên cũng rất dễ biến đổi, viết dưới các dạng khác nhau. Chính vì vậy việc khai thác các dạng của chúng có ứng dụng phong phú trong giải toán.
2.2. Thực trạng của vấn đề
Trong bồi dưỡng học sinh giỏi có nhiều dạng toán đòi hỏi học sinh phải hết sức linh hoạt khi vận dụng kiến thức cũ. Đặc biệt khi dạy chương I – Đại số 8, rất nhiều bài tập cần phải vận dụng các hằng đẳng thức và các dạng biến đổi của nó. Tuy nhiên khi giảng dạy, giáo viên chủ yếu yêu cầu học sinh thuộc 7 hằng đẳng thức đáng nhớ mà ít lưu tâm hướng dẫn học sinh khai thác các dạng đơn giản của nó để vận dụng. Vì vậy học sinh thường gặp khó khăn khi giải các bài toán sử dụng các hằng đẳng thức.
Khi học về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, đa số học sinh chỉ thuộc và vận dụng các hằng đẳng thức ở đúng dạng của nó, chưa biết khai thác để có những vận dụng linh hoạt hơn. Chính vì vậy trong quá trình giảng dạy, việc hướng dẫn học sinh khai thác thêm các dạng khác nhau của các hằng đẳng thức để giúp học sinh thuận lợi hơn khi giải toán là việc làm cần thiết.
2.3. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề 
2.3.1. Khai thác các hằng đẳng thức đơn giản từ 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
Từ các hằng đẳng thức đã học, giáo viên cần hướng dẫn học sinh khai thác thành các hằng đẳng thức đơn giản khác, chẳng hạn: 
Ta thấy các hằng đẳng thức trên có mối liên hệ giữa tổng và tích (hay hiệu và tích) với tổng các bình phương, tổng (hiệu) các lập phương của hai số. Một số hằng đẳng thức có một vế là tổng, còn vế kia là tích nên thuận lợi khi giải các bài toán tính giá trị của biểu thức, chứng minh đẳng thức, giải phương trình...
Các hằng đẳng thức trên giúp chúng ta giải quyết khá thuận lợi các dạng bài tập sau: 
2.3.2. Dạng bài tập tính giá trị của biểu thức
Bài 1 ( Bài 23 – SGK Toán 8 - Tập 1)
 a) Tính , biết a + b = 7 và ab = 12
 b) Tính , biết a – b = 20 và ab = 3
	Nhận xét: Đề bài cho biết mối liên hệ giữa tổng, hiệu và tích của hai số a và b nên ta áp dụng hằng đẳng thức (2)
	Giải:
Áp dụng hằng đẳng thức (2) ta có: 
 Vậy = 1
Áp dụng hằng đẳng thức (2) ta có:
 Vậy = 412
Bài 2: Cho a + b = 1. tính giá trị của các biểu thức:
	 Nhận xét: Đề bài có mối liên hệ giữa tổng, tích, tổng hai lập phương và tổng hai bình phương nên ta áp dụng hằng đẳng thức (1) và (5)
 Giải:
Ta có: ( áp dụng (5) 
Ta có: (áp dụng (1) và (5)
Bài 3: Cho x + y = 3; xy = 2. Tính giá trị của biểu thức: 
Giải: (áp dụng (1)
 (áp dụng (1) 
 =
Bài 4: Biết xy = 12 và . Tính 
 Ta có: (áp dụng (6))
 Nên 
Bài 5: Tính giá trị của biểu thức biết a + b + c = 7
 (Đề thi HSG cấp thành phố lớp 8 năm học 2009 – 2010) 
Giải: Vì a + b + c = 7 nên a = 7 – (b + c)
 = 49 – 14(b + c) + 2bc - 2bc – 14a ( áp dụng (3) )
 = 49 – 14(b + c) – 14a = 49 – 14(b + c + a) = 49 – 14.7 = - 49
Bài 6: (Đề thi Toán tuổi thơ Quốc gia năm 2009)
 Cho . Tính 
Giải: 
 Ta có: a + b = 3; ab = 1.
 (áp dụng (1)
 = 
 (áp dụng (5)) 
Suy ra: 
Ta có: 
 = 7.18 – 3 = 123
2.3.3. Dạng bài tập chứng minh đẳng thức
Bài 1: Cho x và y thỏa mãn:
 Chứng minh rằng: 
Giải: Ta có: ( áp dụng (5))
Mặt khác: 2xy ( áp dụng (3))
 Từ (*) và (**) ta có: 
 Vậy đẳng thức được chứng minh
Bài 2 (Đề thi học sinh giỏi cấp trường năm học 2013 – 2014)
Cho x + y = 1 và x y 0 . Chứng minh rằng: 
Giải: 
 Biến đổi 
 = 
 (áp dụng (5)) 
2.3.4. Dạng bài phân tích thành nhân tử
Bài 1: (Đề thi HSG lớp 8 cấp thành phố - Năm học 2009 – 2010)
 Phân tích đa thức thành nhân tử 
Giải: Ta có ( áp dụng (1)
Bài 2: (Đề thi vào chuyên toán năm học 2013 – 2014)
	Tìm các số nguyên dương a, b để M = là số nguyên tố
Nhận xét: Để tìm a, b sao cho M là số nguyên tố, ta cần phân tích M thành tích của hai nhân tử, trong đó có một nhân tử bằng 1. Ta thấy M có thể phân tích nhờ hằng đẳng thức (1).
	Giải: Vận dụng hằng đẳng thức (1), ta có:
Vì a, b nguyên dương nên . Do đó để là số nguyên tố thì , đồng thời là số nguyên tố.
	Ta có: 
	 Giải phương trình này được a = b =1
Bài 3: Phân tích thành nhân tử:
	Nhận xét: ta thấy (x + y – z) – (m – n + p) = x + y – z – m + n – p nên áp dụng hằng đẳng thức (4) ta có:
Bài 4: Phân tích thành nhân tử:
	Nhận xét: Ta thấy 2x + 1 = (3x – 2) - (x – 3). Do đó ta có thể sử dụng hằng đẳng thức (6)
	Giải: Áp dụng hằng đẳng thức (6) ta có; 
	Ta thấy các bài tập trên nếu không vận dụng các hằng đẳng thức đã khai thác thì việc giải chúng trở nên khá khó khăn.
2.3.5. Dạng bài giải phương trình
Bài 1: Giải phương trình: 
Đặt y = x + 4, ta có phương trình: 
Dùng hằng đẳng thức (1) ta có: 
	 Vì nên:
Vậy tập nghiệm của phương trình là: 
Bài 2: Giải phương trình: 
	Nhận xét: Ta thấy 
	Do đó ta có thể vận dụng hằng đẳng thức (8) để đưa phương trình đã cho về phương trình tích
Giải: Ta có:
 (áp dụng ( 8)
Giải 3 phương trình trên được tập nghiệm của phương trình là:
 S = 
Bài 3: Giải phương trình: 
Nhận xét: Ta thấy 
nên ta có thể vận dụng hằng đẳng thức (7) để biến đổi phương trình về phương trình tích.
Giải: 
 (áp dụng (7))
Giải 3 phương trình trên được tập nghiệm của phương trình là:
 S = 
	Trong các phương trình trên, theo những biến đổi thông thường, các em sẽ khai triển các lũy thừa rồi đưa về phương trình bậc 3, bậc 4 sau đó mới tìm cách phân tích thành nhân tử. Rõ ràng cách làm đó biến đổi dài và khó khăn hơn. Việc sử dụng các hằng thức thức sau khi đã biến đổi giúp các em giải phương trình dễ dàng hơn rất nhiều.
2.3.6. Dạng bài tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
Bài 1: Cho a + b = 1. Tìm GTNN của biểu thức A = 
 ( Đề thi HSG cấp thành phố năm học 2012 – 2013)
Giải: Ta có A = (áp dụng (5)
 = 1 – 3ab + ab ( do a + b = 1)
 = 1 – 2ab (*)
Áp dụng bất đẳng thức . Dấu “=” xảy ra ó a = b, ta có:
 (**) ( do a + b = 1)
Từ (*) và (**) suy ra: A 
Dấu “ =” xảy ra khi a = b = 
Vậy min A = ó a = b = 
Bài 2 (Đề thi vào lớp chuyên toán trường THPT Chuyên năm học 2004-2005)
	Giả sử x, y là các số dương thỏa mãn đẳng thức: x + y = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 
Giải: A = 
 = (áp dụng (1)
	 Min A = 45 khi xy = 2 và x + y = .
2.4. Hiệu quả của áp dụng SKKN: 
	 	Những năm đầu khi mới tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi chưa có kinh nghiệm hướng dẫn học sinh khai thác các hằng đẳng thức. Vì vậy học sinh còn gặp khó khăn khi vận dụng các hằng đẳng thức vào giải một số dạng bài tập. Qua một quá trình giảng dạy, bằng kinh nghiệm nhỏ của bản thân, tôi đã hướng dẫn học sinh khai thác và vận dụng các hằng đẳng thức đã học, các em áp dụng rất hiệu quả trong quá trình giải toán. SKKN cũng góp phần đáp ứng yêu cầu về đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ và giải quyết những khó khăn, vướng mắc trong học tập.
 	 Sáng kiến kinh nghiệm được áp dụng khi giảng dạy chương I - Đại số 8. Giáo viên có thể áp dụng khi giảng dạy học sinh đại trà và bồi dưỡng học sinh giỏi. Đối với học sinh trung bình, các em có thể sử dụng các hằng đẳng thức đã khai thác để dễ dàng giải quyết các bài tập ở sách giáo khoa, sách bài tập. Đối với học sinh giỏi, các em đã có kỹ năng vận dụng, giải quyết thành thạo nhiều dạng bài tập trong chương I – Đại số 8. SKKN còn được ứng dụng trong việc giải một số dạng bài tập về nghiệm của phương trình bậc hai ở chương IV – Đại số 9. Thực tế, học sinh của tôi luôn đạt kết quả cao trong kì thi học sinh giỏi các cấp
 Kết quả bồi dưỡng HSG trong 5 năm học vừa qua: 
Tổng số: 226 giải, trong đó:
HSG cấp Thành phố: 136 giải: Nhất: 15; Nhì: 30; Ba: 43; KK: 48
HSG cấp Tỉnh: 70 giải; Nhất: 8; Nhì: 26; Ba: 24; KK: 12
HSG cấp Quốc gia (Thi giải Toán qua Interrnet + Toán tuổi thơ): đạt 20 huy chương: HCV: 2; HCB: 6; HCĐ: 10; KK: 2
	Kết quả bồi dưỡng HSG năm học 2013 – 2014: 
 	 89 giải cấp TP (Nhất: 6; Nhì: 14; Ba: 33; KK: 36 
48 giải cấp tỉnh (Nhất:2; Nhì: 17; Ba: 12; KK: 17)
 13 giải (Nhất: 3; Nhì: 4; Ba: 2; KK: 4)
3. Kết luận
 Qua các ví dụ trên chúng ta có thể thấy nếu không hướng dẫn học sinh cách khai thác các hằng đẳng thức thành những dạng khác nhau để vận dụng thì trong nhiều trường hợp học sinh sẽ khó khăn khi giải một số dạng toán. Trong quá trình giảng dạy, tôi thấy nếu được hướng dẫn cách khai thác các hằng đẳng thức, học sinh sẽ linh hoạt hơn khi giải toán. 
 Như tôi đã trình bày qua các ví dụ, dạng toán này xuất hiện nhiều trong các đề thi học sinh giỏi và thi tuyển sinh. Vì vậy việc cung cấp cho học sinh một kĩ năng để giải dạng toán này là vô cùng cần thiết. Việc khai thác các hằng đẳng thức còn giúp học sinh hình thành tư duy toán học, linh hoạt, sáng tạo khi giải toán.
 Nội dung bài viết này tôi muốn trao đổi cùng các bạn một kinh nghiệm nhỏ của bản thân khi dạy các hằng đẳng thức đáng nhớ. Rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp.
 Lào Cai, ngày 29 tháng 3 năm 2014
 Người viết
 Phạm Thị Khánh Hường
DANH MỤC THAM KHẢO 
Sách giáo khoa Toán 8 – Tập 1
Sách bài tập Toán 8 – Tập 1
Các đề thi học sinh giỏi lớp 8, 9 và đề thi vào THPT Chuyên
Sách bồi dưỡng Toán lớp 8
Sách một số vấn đề nâng cao và phát triển toán 8
Ý KIẾN ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA TỔ CHUYÊN MÔN
................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
XÁC NHẬN CỦA NHÀ TRƯỜNG
...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
CÔNG ĐOÀN GIÁO DỤC CHIÊM HOÁ
 CÔNG ĐOÀN TRƯỜNG THCS MINH QUANG
CÔNG ĐOÀN GIÁO DỤC CHIÊM HOÁ
 CÔNG ĐOÀN TRƯỜNG THCS MINH QUANG