Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh lớp 9 một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên - Hà Danh Hưng

Hướng dẫn học sinh lớp 9 một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên 
1 
Hà Danh Hưng Trường THCS Phú Cát - Quốc Oai - Hà Tây 
Phòng GD-ðT Quốc Oai Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam 
Trường THCS Phú Cát ðộc lập - tự do - hạnh phúc 
ðỀ TÀI 
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
I. Sơ yếu lý lịch. 
Họ và tên: Hà Danh Hưng. 
Sinh năm: 1979 
Năm vào ngành: 2002 
Giáo viên trường THCS Phú Cát - Quốc Oai - Hà Tây 
Chuyên ngành ñào tạo: Toán-Tin 
Hệ ñào tạo: Chính qui 
Bộ môn ñược phân công giảng dạy: Toán 7A + 9B + 9C. 
II. Nội dung ñề tài. 
1. Tên ñề tài: “ Hướng dẫn học sinh lớp 9 một số phương pháp giải 
phương trình nghiệm nguyên ”. 
2. Lý do chọn ñề tài. 
- Phương trình nghiệm nguyên là một dạng toán rất khó ñối với ña phần 
học sinh phổ thông. Tuy nhiên, loại phương trình này lại có một số dạng, 
phương pháp giải rất cơ bản, tương ñối phù hợp ñể hướng dẫn cho các em 
có học lực từ khá trở lên. 
- Trong khi dạy bồi dưỡng cho 20 em học sinh lớp 9B, 9C trường THCS 
Phú Cát, tôi ñã hướng dẫn cho các em một số vần ñề cơ bản về phương 
trình nghiệm nguyên và cũng ñã thu ñược một số kết quả nhất ñịnh. 
Chính vì vậy tôi mạn phép ñưa ra ñây ñể quý vị cùng tham khảo và góp ý 
thêm, hy vọng nó sẽ giúp ñược ít nhiều cho các em học sinh trong việc bổ 
trợ và nâng cao các kiến thức về phương trình nghiệm nguyên, một mảng 
rất hấp dẫn ñối với các em học sinh yêu toán cấp THCS. 
3. Phạm vi và ñối tượng thực hiện của ñề tài. 
- ðề tài này tôi thực hiện với tư cách một chuyên ñề nhỏ, trong thời lượng 
8 tiết khi bồi dưỡng cho các em học sinh khá giỏi lớp 9. 
- Nội dung bao gồm : các dạng, phương pháp giải phương trình nghiệm 
nguyên với kiến thức cơ sở, cách giải tổng quát, các bài tập minh hoạ và 
Hướng dẫn học sinh lớp 9 một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên 
2 
Hà Danh Hưng Trường THCS Phú Cát - Quốc Oai - Hà Tây 
các bài tập áp dụng, cuối cùng là hệ thống các bài tập ñược sắp xếp không 
theo thứ tự ñể các em tự nhận dạng và vận dụng phương pháp giải phù 
hợp. 
- ðối tượng thể nghiệm là 20 em học sinh khá giỏi ñược chọn ra từ hai lớp 
9B, 9C trường THCS Phú Cát. 
III. Quá trình thực hiện. 
1. Tình trạng trước khi thực hiện ñề tài. 
Trong khi dạy bồi dưỡng cho các em, ñể ñánh giá ñược tác dụng của ñề 
tài, tôi ra một ñề kiểm tra như sau nhằm lấy số liệu ñối chứng : 
Giải các phương trình nghiệm nguyên sau : 
1) 2x 3y 5
2) x xy y 3
+ =
− + =
Kết quả như sau: 
ðiểm 0 1-3 4-5 6-7 8-9 10 
Số học 
sinh 0 10 9 1 0 0 
Qua bài làm của các em tôi nhận thấy rằng, ña phần các em không nắm 
ñược các kỹ năng cũng như các phương pháp cơ bản ñể giải các phương 
trình nghiệm nguyên, mặc dù các em ñều là những học sinh có học lực tương 
ñối tốt, trong khi ñó, phương trình nghiệm nguyên lại là một trong những 
dạng toán thường gặp trong các kỳ thi như : thi học sinh giỏi các cấp, thi vào 
các trường chuyên, lớp chọn, ... bởi lẽ nó là dạng toán ñòi hỏi tư duy lôgíc, 
óc sáng tạo và khả năng tổng hợp kiến thức rất cao. 
Vì vậy tôi ñã tổng hợp một số dạng phương trình nghiệm nguyên cơ bản 
thường gặp với phương pháp giải tương ứng, nhằm giúp các em tháo gỡ 
những vướng mắc trên, không chỉ giúp các em học sinh khá giỏi bồi dưỡng 
năng lực tư duy toán học mà còn phần nào giúp các em không cảm thấy bối 
rối trước các bài toán dạng này trong các kỳ thi. 
2. Các biện pháp ñã thực hiện. 
a. Mục ñích của ñề tài. 
- Tôi suy nghĩ và thể nghiệm ñề tài này với mong muốn giúp các em học 
sinh khá giỏi trước hết là có ñiều kiện tiếp xúc với một số dạng phương 
trình nghiệm nguyên và phương pháp giải tương ứng, bên cạnh ñó cũng 
góp phần không nhỏ trong việc bồi dưỡng khả năng lập luận, tư duy, linh 
hoạt trong giải một dạng toán. 
Hướng dẫn học sinh lớp 9 một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên 
3 
Hà Danh Hưng Trường THCS Phú Cát - Quốc Oai - Hà Tây 
b. Kiến thức liên quan 
- Một số kiến thức số học cơ bản như : chia hết, số nguyên tố, số 
chính phương, modulo 
- Phương trình bậc hai 
- Hệ phương trình 
- Bất ñẳng thức 
(Các kiến thức này trong từng phần có liên quan, tôi sẽ nhắc lại cho học 
sinh nên tôi không tổng hợp ở ñây) 
c. Các bước tiến hành. 
Trong khi dạy bồi dưỡng, tôi lựa chọn 8 tiết sau khi các em ñã ñược trang 
bị những kiến thức cơ bản về phương trình bậc hai và hệ phương trình, ñể 
tổng hợp một số dạng, phương pháp giải cơ bản các phương trình nghiệm 
nguyên. 
Phương pháp 1 ÁP DỤNG TÍNH CHIA HẾT 
Dạng 1: Phương trình dạng ax by c+ = 
Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm nguyên sau : 
2x 25y 8+ = 
Giải: 
Có thể dễ dàng thấy y chẵn . ðặt y = 2t, phương trình trở thành : 
x 25t 4
x 4 25t
+ =
⇒ = −
Từ ñó ta có nghiệm phương trình này : 
x 4 25t
y 2t
t Z
= −

=
 ∈
Chú ý : Ta còn có cách thứ 2 ñể tìm nghiệm của phương trình trên . ðó là 
phương pháp tìm nghiệm riêng ñể giải phương trình bậc nhất 2 ẩn. Ta dựa 
vào ñịnh lí sau : 
Nếu phương trình ax by c+ = với ( )a; b 1= có 1 nghiệm là ( )0 0x ; y thì mọi 
nghiệm của phương trình nhận từ công thức : 
Hướng dẫn học sinh lớp 9 một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên 
4 
Hà Danh Hưng Trường THCS Phú Cát - Quốc Oai - Hà Tây 
0
0
x x bt
y y at
= +

= −
ðịnh lí này chứng minh không khó ( bằng cách thế trực tiếp vào phương 
trình ) 
Dựa vào ñịnh lý này ; ta chỉ cần tìm 1 nghiệm riêng của phương trình 
ax by c+ = . ðối với các phương trình có hệ số a, b, c nhỏ thì việc tìm 
nghiệm khá ñơn giản nhưng với các phương trình có a, b, c lớn thì không dễ 
dàng chút nào . 
Do ñó ta phải dùng ñến thuật toán Ơcơ lit (các bạn có thể tìm ñọc các sách ; 
tôi sẽ không nói nhiều về thuật toán này). Ngoài ra còn có thêm phương pháp 
hàm Euler. 
• Bài tập : Giải các phương trình nghiệm nguyên sau : 
1) 3x 7y 9
2) 25x 7y 16
3) 3x 15y 2
+ =
+ =
− =
Dạng 2 : ðưa về phương trình ước số : 
Ví dụ 2: Giải phương trình nghiệm nguyên sau : 
2x 5y 3xy 8+ + = 
Giải 
( )
( )
( ) ( )
( )( )
2x 5y 3xy 8
x 2 3y 5y 8
3x 2 3y 15y 24
3x 2 3y 5 2 3y 34
3x 5 2 3y 34 17.2 34.1
+ + =
⇔ + + =
⇔ + + =
⇔ + + + =
⇔ + + = = =
Lập bảng dễ dàng tìm ñược nghiệm phương trình trên . 
3x + 5 17 2 34 1 -17 -2 -34 -1 
x 4 -1 * * * -13 -2 
2 + 3y 2 17 1 34 -2 -17 -1 -34 
Hướng dẫn học sinh lớp 9 một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên 
5 
Hà Danh Hưng Trường THCS Phú Cát - Quốc Oai - Hà Tây 
y 0 5 * -1 -12 
(x; y) (4; 0) (-1; 5) * * * * (-13; -1) (-2; -12) 
Ví dụ 3: Giải phương trình nghiệm nguyên sau : 
2 2x 2y 3xy 2x y 6+ + − − = 
Giải 
Với a là 1 số chưa biết, ta có : 
( )
2 2
2 2
x 2y 3xy 2x y 6
x x 2 3y 2y y a 6 a
+ + − − =
⇔ + + + − + = +
Trong ñó a sẽ ñược xác ñịnh sao cho phương trình 
( )2 2x x 2 3y 2y y a 0+ + + − + = có nghiệm biểu diễn theo a càng ñơn giản 
cảng tốt, muốn vậy ta cần có biệt thức 2b 4ac∆ = − của phương trình bậc hai 
ẩn x (hoặc y) có dạng bình phương của một tổng ñại số, ta có : 
( ) ( )2 2 22 3y 4 2y y a y 8y 4 4a∆ = + − − + = − + − 
Chọn a = -3 ta ñược : ( )2y 4∆ = − 
Từ ñó ta có phương trình ước số : ( )( )x y 1 x 2y 3 3+ + + − = 
• Bài tập : Giải các phương trình nghiệm nguyên sau : 
2 2
2 2
1) x xy y 1
2) x 3xy 4x 2y 7y 2 0
3) 3xy 2x 5x 2y 5y 4
+ + =
+ − + − − =
− + + + =
• Hướng dẫn : 
( )( )
( )( )
( )( )
1) x 1 y 1 2
2) x 2y 1 x y 3 5
3) 2x y 1 2y x 3 7
+ + =
+ − + − =
+ + − + =
Dạng 3: Phương pháp tách các giá trị nguyên 
Ví dụ 4: Giải phương trình nghiệm nguyên sau : 
xy x y 2− − = 
Giải : 
Hướng dẫn học sinh lớp 9 một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên 
6 
Hà Danh Hưng Trường THCS Phú Cát - Quốc Oai - Hà Tây 
( )
xy x y 2
x y 1 2 y
2 y 3
x 1
y 1 y 1
− − =
⇔ − = +
+
⇔ = = +
− −
Do ñó muốn x nguyên thì y – 1 phải là ước của 3 hay : 
{ }
{ }
y 1 3; 1; 1; 3
y 2; 0; 2; 4
− ∈ − −
⇔ ∈ −
• Bài tập : Giải các phương trình nghiệm nguyên sau : 
2
2
1) xy 2y 3x x 3
2) 2xy 4x y 5
3) xy y x 2x 5 0
− − + =
+ + =
+ − + − =
• Hướng dẫn : 
51) y x 1
x 2
72) y 2
2x 1
83) y x 3
x 1
= − + +
−
= − +
+
= − +
+
Phương pháp 2 : PHƯƠNG PHÁP LỰA CHỌN MODULO 
(hay còn gọi là xét số dư từng vế) 
Trước tiên ta có các tính chất cơ bản sau : 
- Một số chính phương chia cho 3 dư 0 hoặc 1 
- Một số chính phương chia cho 4 dư 0 hoặc 1 
- Một số chính phương chia cho 8 dư 0; 1 hoặc 4 
Ví dụ 5: Giải phương trình nghiệm nguyên sau : 
2 2x y 2007+ = 
Giải: 
Ta có : 
Hướng dẫn học sinh lớp 9 một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên 
7 
Hà Danh Hưng Trường THCS Phú Cát - Quốc Oai - Hà Tây 
( )
( ) ( )
( )
2
2 2
2
x 0; 1 mod 4
x y 0; 2 mod 4
y 0; 1 mod 4
2007 3 mod 4
≡ 
⇒ + ≡
≡ 
≡
Do ñó phương trình trên vô nghiệm. 
Chú ý : Có thể mở rộng thêm cho nhiều modulo như 5; 6; ... và mở rộng cho 
số lập phương ; tứ phương ; ngũ phương....... Ta ñến với ví dụ sau : 
Ví dụ 6: Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau : 
x y 3019 5 1890 1975 1993+ + = + 
Giải: 
Dễ thấy ( ) ( )x y x19 5 1890 19 mod 5+ + ≡ 
Mặt khác ( ) ( ) ( )x xx19 20 1 1 mod 5= − ≡ − 
Nếu x chẵn thì ( )x19 1 mod 5≡ , nếu x lẻ thì ( )x19 4 mod 5≡ 
Vì vậy ( ) ( ) ( ) ( )x y 3019 5 1890 1; 4 mod 5 , 1975 1983 3 mod 5+ + ≡ + ≡ nên 
phương trình ñã cho vô nghiệm. 
Chú ý : Nhiều bài toán nghiệm nguyên trong ñề thi vô ñịch toán các nước ñôi 
khi phải xét ñến modulo khá lớn ; ta xét ñến ví dụ sau : 
Ví dụ 7 : (Balkan1998) Giải phương trình nghiệm nguyên sau : 
2 5x y 4= − 
Giải: 
Ta có : 
( ) ( ) ( )2 5x 0; 1; 3; 4; 5; 9 mod 11 , y 4 6; 7; 8 mod 11≡ − ≡ 
Do ñó phương trình này vô nghiệm. 
Chỉ 3 dòng ; thật ngắn gọn và ñẹp phải không nào. Nói chung ñể xét modulo 
hiệu quả còn phải tùy thuộc vào sự nhạy bén của người làm toán. 
Hướng dẫn học sinh lớp 9 một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên 
8 
Hà Danh Hưng Trường THCS Phú Cát - Quốc Oai - Hà Tây 
Nói thêm: ðối với các phương trình nghiệm nguyên có sự tham gia của các 
số lập phương thì modulo thường dùng là modulo 9 vì 
( )3x 0; 1; 8 mod 9≡ (hãy tự chứng minh). Ta xét ví dụ sau : 
Ví dụ 8 : Giải phương trình nghiệm nguyên sau : 
3 3 3x y z 1012+ + = 
Dựa vào nhận xét trên, ta có : ( ) ( )3 3 3x y z 0; 1; 2; 3; 6; 7; 8 mod 9+ + ≡ , còn 
( )1012 4 mod 9≡ . Do ñó phương trình trên vô nghiệm. 
• Bài tập : Giải các phương trình nghiệm nguyên sau : 
3 3
2 3
2 2
1) 19x 17y 50
2) x y 16
3) 19x 28y 2001
− =
= +
+ =
• Hướng dẫn : 
1) Modulo 9
2) Modulo 9
3) Modulo 4
Phương pháp 3 : DÙNG BẤT ðẲNG THỨC 
Dạng 1 : ðối với các phương trình mà các biến có vai trò như nhau thì người 
ta thường dùng phương pháp sắp xếp thứ tự các biến. 
Ví dụ 9 : Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau : 
x y z xyz+ + = 
Giải : 
Không mất tính tổng quát có thể giả sử 1 x y z≤  ...  3 u 1
y 1
=

+ = ⇒ =

=
⋮ 
Vậy nghiệm phương trình là ( ) ( ) ( ){ }x; y 0; 1 ; 2; 1∈ 
Ví dụ 30 : Giải phương trình nghiệm nguyên không âm sau : 
x y z3 4 5+ = 
Bài toán này ñã ñược ñề cập trong phần trước và ñây là lời giải của nó : 
Xét theo modulo , ta có : 
Hướng dẫn học sinh lớp 9 một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên 
30 
Hà Danh Hưng Trường THCS Phú Cát - Quốc Oai - Hà Tây 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
yz x y x
z zz
2 2
x y 2a x a y a y a y
5 3 4 3 3 1 1 mod 3
5 6 1 1 1 mod 3 z 2a
3 4 5 3 5 2 5 2 5 2
= + = + + ≡
⇒ = − ≡ − ≡ ⇒ =
⇒ + = ⇒ = − = − +
Do ñó có 2 trường hợp xảy ra : 
- Trường hợp 1 : 
( )
a y m
a y n
5 2 3
5 2 3 m, n 1
m n x
 − =

− = ≥
 + =

(ñiều này không xảy ra vì ( ) ( )a y a y y 15 2 5 2 2 ++ − − = 
không chia hết cho 3) 
- Trường hợp 2 : 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
a y
a y x
a y a y a x
a aa
5 2 1
5 2 3
5 2 5 2 2.5 3 1 1 mod 3
2.5 2. 6 1 2. 1 1 mod 3
 − =

− =
⇒ − + + = = + ≡
⇒ = − ≡ − ≡
Do ñó a lẻ. Ta có : 
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a y
a y a y
5 2 1 1 mod 3
6 1 3 1 1 1 1 mod 3
− = ≡
⇒ − − − ≡ − − − ≡
Do a lẻ nên rõ ràng y chẵn. 
ðặt a = 2k + 1; y = 2t. Ta có : 2k 1 2t x5 2 3+ + = 
+ Nếu t 1 y 2 x z 2= ⇒ = ⇒ = = 
+ Nếu ( )2tt 2 2 0 mod 8≥ ⇒ ≡ . Ta có : 
( ) ( )
( )
k2k 1 k
2k 1 2t
5 5.25 5. 24 1 5 mod 8
5 2 5 mod 8
+
+
= = + ≡
⇒ + ≡
Tuy nhiên xét modulo 8 cho vế phải. 
Hướng dẫn học sinh lớp 9 một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên 
31 
Hà Danh Hưng Trường THCS Phú Cát - Quốc Oai - Hà Tây 
Nếu x chẵn hay x = 2s thì ( ) ( )sx 2s s3 3 9 8 1 1 mod 8= = = + ≡ 
Nếu x lẻ hay x = 2s + 1 thì ( ) ( )sx s3 3.9 3. 8 1 3 mod 8= = + ≡ 
Từ ñó : 
( )
( )
2k 1 2t
x
5 2 5 mod 8
3 1; 3 mod 8
+ + ≡
≡
 Do ñó phương trình vô nghiệm với t 2≥ 
Vậy nghiệm của phương trình là ( ) ( )x; y; z 2; 2; 2= 
Ví dụ 31 : Giải phương trình nghiệm nguyên dương : 
x y z2 5 19+ = 
Giải: 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
zz
x y x yx y
19 18 1 1 mod 3
2 5 3 1 6 1 1 1 1 mod 3
= + ≡
+ = − + − ≡ − + − ≡
Do ñó x, y lẻ. ðặt x 2k 1= + , ta có : 
( ) ( ) ( )k kx 2k 1 k2 2 2.4 2. 5 1 2. 1 mod 5+= = = − ≡ − 
- Nếu k chẵn thì ( ) ( ) ( )2sx2 2. 1 mod 5 2 mod 5≡ − ≡ 
- Nếu k lẻ thì ( ) ( ) ( )2s 1x2 2. 1 mod 5 3 mod 5+≡ − ≡ . Do ñó : 
( )
( ) ( )
x y
zz
2 5 2; 3 mod 5
19 20 1 1; 4 mod 5
+ ≡
= − ≡
Vậy phương trình trên vô nghiệm. 
Một số ví dụ với các nghiệm nguyên tố 
Ví dụ 32 : Tìm n N∈ ñể : 
a) 4 2n n 1+ + là số nguyên tố 
b) 5n n 1+ + là số nguyên tố 
c) 4 nn 4+ là số nguyên tố 
Hướng dẫn học sinh lớp 9 một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên 
32 
Hà Danh Hưng Trường THCS Phú Cát - Quốc Oai - Hà Tây 
Giải: 
a) Ta có : 
( )
( )
( )( )
4 2 4 2 2
22 2
2 2
n n 1 n 2n 1 n
n 1 n
n n 1 n n 1
+ + = + + −
= + −
= − + + +
Do ñó nếu 4 2n n 1+ + là số nguyên tố thì do 2 2n n 1 n n 1− + < + + : 
2
2
n n 1 1 n 1
p 3n n 1 p
 − + = =
⇒ 
=+ + = 
b) Ta có : ( )( )5 2 3 2n n 1 n n 1 n n 1+ + = + + − + 
 Làm như trên ta cũng ñược n 1= 
c) Chú ý là n lẻ, do ñó : n 1 2+ ⋮ . Ta có : 
n 1 n 1
4 n 2 n 2 n2 2n 4 n 2 2 .n n 2 2
+ +  
+ = + + + −  
  
 ðáp số : n 1; p 5= = 
Ví dụ 33 : Tìm số nguyên tố p ñể 25p 1+ là số nguyên tố 
Giải: 
Nếu p chẵn, ta có : 2p 2 5p 1 5.4 1 21= ⇒ + = + = (không thỏa mãn) 
Nếu p lẻ thì 25p 1+ chẵn nên 25p 1+ là hợp số. 
Vậy không tồn tại số p thoả ñiều kiện trên. 
Ví dụ 34 : Tìm các số nguyên tố x; y; z thoả mãn : 
y 2x 1 z+ = 
Giải 
Xét x lẻ y 2x 1 z⇒ + = chẵn yz 2 x 3⇒ = ⇒ = (không có x; y thỏa mãn) 
Nếu y lẻ. ðặt y 2k 1= + , ta có : 
Hướng dẫn học sinh lớp 9 một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên 
33 
Hà Danh Hưng Trường THCS Phú Cát - Quốc Oai - Hà Tây 
( ) ( )
( ) ( )
ky 2k 1 k
y 2
2
2 2 2.4 2. 3 1 2 mod 3
2 1 0 mod 3 z 0 mod 3
z 3
z 3
z 3
y 3
+
= = = + =
⇒ + ≡ ⇒ ≡
⇒
⇒
⇒ =
⇒ =
⋮
⋮
Từ bài toán trên hẳn chúng ta dễ dàng hình dung là lời giải bài toán sau: 
Tìm các số nguyên tố x; y; z thoả : yx 1 z+ = 
• Bài tập 1 : Giải các phương trình nghiệm nguyên dương sau : 
x y z
x y
x y z
x y z
x y z
1) 3 4 7
2) 5 1 2
3) 3 3 6
4) 2x y z
5) 28 19 87
+ =
= +
+ =
= +
= +
• Bài tập 2 : Giải các phương trình nghiệm nguyên sau với p, q, n là các 
số nguyên tố : 
( ) ( ) ( )
2
1 1 21)
x y p
2) p p 1 q q 1 n n 1
3) p 8q 1
+ =
+ + + = +
= +
Các phương trình chứng minh vô số nghiệm : 
Ví dụ 35 : Chứng minh rằng phương trình 3 3 4x y z+ = có vô số nghiệm. 
Giải: 
Ta xây dựng nghiệm của phương trình này. 
3 3
3 3 4 x yx y z z
z z
   
+ = ⇔ + =   
   
ðặt 
x y
a; b x az; b bz
z z
= = ⇒ = = . Thế vào phương trình ban ñầu ta ñược : 
Hướng dẫn học sinh lớp 9 một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên 
34 
Hà Danh Hưng Trường THCS Phú Cát - Quốc Oai - Hà Tây 
( )
( ) ( )
3 3 3 4 3 3
3 3 3 3
z a b z z a b
x az a a b ; y bz b a b
+ = ⇒ = +
⇒ = = + = = +
Phương trình có vô số nghiệm có dạng : 
( ) ( )( )3 3 3 3 3 3a a b ; b a b ; a b+ + + 
Tổng quát hoá bài toán với phương trình n n n 1x y z ++ = 
Với cách giải trên, phương trình có vô số nghiệm có dạng : 
( ) ( )( )n n n n n na a b ; b a b ; a b+ + + 
Chú ý: Công thức trên chưa chắc ñã lấy hết tất cả các nghiệm của bài toán 
nhưng chúng ta chỉ cần có như vậy ñể hoàn thành bài toán. 
Ví dụ 36 : Chứng minh rằng phương trình 4 3 7x y z+ = có vô số nghiệm. 
Giải : 
Dựa vào hằng ñẳng thức sau : a a a 12 2 2 ++ = 
ðặt 
aa
34x 2 ; y 2= = , ta có : 4 3 a a a 1x y 2 2 2 ++ = + = 
Chọn 
a 1
7 a 17z 2 z 2
+
+
= ⇒ = 
Do x; y; z nguyên nên ( )
a 3
a 4 a 84t 48 t Z
a 1 7


⇔ = + ∈
 +
⋮
⋮
⋮
Vậy phương trình có vô số nghiệm có dạng : 
( ) ( )21t 12 28t 16 12t 7x; y; z 2 ; 2 ; 2+ + += 
Ví dụ 37 : Chứng minh rằng phương trình 2 7 117x 3y z+ = có vô số nghiệm 
Giải 
ðặt a 2.7 14= = . Rõ ràng tồn tại vô số số n ñể an 11⋮ vì phương trình 
14n 1 11k+ = (rõ ràng có vô số nghiệm). 
Do 10 = 7 + 3 nên phương trình có vô số nghiệm có dạng : 
Hướng dẫn học sinh lớp 9 một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên 
35 
Hà Danh Hưng Trường THCS Phú Cát - Quốc Oai - Hà Tây 
anan an 1
72 11x 10 ; y 10 ; z 10
+
= = = 
Do an 2; an 7;an 1 11+⋮ ⋮ ⋮ nên nguyên x; y; z nguyên. 
Còn với phương trình này thì sao : 
2 2 117x 3y 6.z+ = 
Rất ñơn giản. Ta ñưa về phương trình ở ví dụ trên : 
( )1110 2 10 27.6 x 3.6 y 6.z+ = 
• Bài tập : Chứng minh các phương trình sau có vô số nghiệm nguyên : 
2 2 2 2 2 2 2
5 1980 19
3 3 4
1) a b b c c a x
2) a b c
3) a 1990b c
+ + =
+ =
+ =
• Các bài tập tổng hợp : 
Bài 1 : Giải các phương trình nghiệm nguyên sau : 
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
4 4 4 2 2
1 2 14
3 3 3 2 2 2 2
2 2 3 3
4 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 3 2 3
4 2
1) x x ... x 1599 2) x y 16z 16
3) x! y! x y ! 4) x! y! z!
5) 5x 11y 13z 0 6) x y 6 z t
7) 5 x xy y 7 x 2y 8) x y xy 15
9) x x 4 y y 10) 6 6x 3y z 5t
11) x y z z x y 12) y z y 2xy z x x y 0
13) x x
+ + + = + = +
+ = + + =
+ + = + = +
+ + = + − − =
+ + = − + + =
= − − + − + − =
+ 2 4 2y y 10 0 14) x 2y 1− + + = − =
Bài 2 : Giải các phương trình nghiệm nguyên dương sau : 
( )
( ) ( )
4
n 2n 2n
1 2 12 1 2 12
3 3 2 2 2
n 2 2 3 3 3 2 2 2
m n2 2 x 2x 1 2
2 2 2 30
1) x x ... x x x ...x 2) x x y
3) x n y 4) x y 2011 10 z
5) 2 12 z 9 6) x y z nx y z
7) a b ab 8) 1 2 2 y
9) x y z 1975 x y z 10) x y 1 y 1
+
+ + + = + =
+ = + = −
+ = − + + =
+ = + + =
+ + = − − − = + + −
Bài 3 : Tìm n nguyên dương ñể các phương trình sau có nghiệm : 
Hướng dẫn học sinh lớp 9 một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên 
36 
Hà Danh Hưng Trường THCS Phú Cát - Quốc Oai - Hà Tây 
( ) ( )
( )
n nn
2 2
1) x 2 x 2 x 0
2) x y u v n xyuv
+ + + − =
+ + + =
IV. Kết quả thực hiện ñề tài có so sánh ñối chứng. 
Sau khi cung cấp cho học sinh một số dạng, phương pháp cơ bản ñể giải 
các phương trình nghiệm nguyên như trên, qua việc hướng dẫn của tôi trong 
bài tập mẫu và hệ thống các bài tập minh củng cố, rèn kỹ năng vận dụng, các 
em ñã có những tiến bộ vượt bậc trong giải các phương trình thuộc dạng này. 
Tôi có ñược nhận ñịnh trên sau khi ra một ñề kiểm tra cho các em : 
Giải các phương trình sau: 
1) x xy y 3
2) xy yz zx xyz
− + =
+ + =
Kết quả : 
ðiểm 0 1-3 4-5 6-7 8-9 10 
Số học 
sinh 0 0 4 6 7 3 
Kết quả trên cho thấy, việc tổng hợp các dạng, phương pháp giải phương 
trình nghiệm nguyên và hướng dẫn cho học sinh khá giỏi là rất cần thiết và 
hữu ích. ðối với tôi, bước ñầu nó ñã có những kết quả tốt, góp phần khích lệ 
bản thân trong việc tìm tòi ñể tự bồi dưỡng chuyên môn nghiệp vụ vì học 
sinh thân yêu. 
V. Bài học kinh nghiệm. 
Qua ñây tôi nhận thấy, việc lựa chọn và giới thiệu cho ñối tượng học sinh 
khá giỏi những mảng kiến thức nâng cao, trên cơ sở tổng hợp và chắt lọc của 
người thầy nhằm giúp học sinh tiếp cận với những kiến thức mới và bồi 
dưỡng năng lực tư duy sáng tạo của mình là rất cần thiết. 
Ngoài ra, việc giúp học sinh làm quen với hệ thống các các bài toán vừa 
sức còn có tác dụng thúc ñẩy mạnh mẽ khả năng tìm tòi, học hỏi của học 
sinh, có tác dụng rất tích cực cho các em trong việc hình thành một ñộng cơ 
học tập ñúng ñắn. 
VI. Phạm vi áp dụng. 
Từ những kết quả ban ñầu trong thực hiện ñề tài nhỏ của mình, tôi cho 
rằng, trong ñiều kiện học sinh lớp 9 ñã có những những kiến thức nền tảng 
khá toàn diện - giáo viên có thể xây dựng một chuyên ñề như trên, nhằm bồi 
Hướng dẫn học sinh lớp 9 một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên 
37 
Hà Danh Hưng Trường THCS Phú Cát - Quốc Oai - Hà Tây 
dưỡng thêm kỹ năng về giải phương trình nghiệm nguyên cho học sinh ở các 
trường THCS và cũng là ñể giúp các em tiếp cận với hệ thống các bài toán 
trong các ñề thi học sinh giỏi, ñề thi vào các trường chuyên, vừa nâng cao 
kiến thức vừa kích thích hứng thú học tập của học sinh, là hành trang cần 
thiết trên con ñường học tập sau này của các em. 
VII. Kiến nghị. 
Phương trình nghiệm nguyên là một dạng toán phức tạp trong chương 
trình toán học phổ thông, trong phạm vi kiến thức còn hạn hẹp của mình tôi 
mới chỉ ñúc rút ra một vài phương pháp giải cơ bản ñể hướng dẫn cho học 
sinh, vì vậy những gì tôi ñưa ra ở ñây còn rất nhiều hạn chế và thiếu sót. 
Tôi rất mong nhận ñược ý kiến góp ý chân tình của Hội ñồng khoa học và 
các bạn ñồng nghiệp, giúp tôi có thêm những kiến thức quý báu, phục vụ 
ngày một tốt hơn sự nghiệp giáo dục ñào tạo của ñịa phương. 
Tôi xin trân trọng cảm ơn! 
Tài liệu tham khảo: 
1. Phương trình và bài toán nghiệm nguyên – Tác giả Vũ Hữu Bình 
2. Một số bài viết trên diễn ñàn 3T 
3. Một số tài liệu khác 
Quốc Oai, ngày 30 tháng 04 năm 2008 
 Hà Danh Hưng.