Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử - Hà Danh Hưng

H−ớng dẫn học sinh lớp 8 giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử 
1 
Hà Danh H−ng THCS Phú Cát – Quốc Oai 
Phòng GD-ĐT Ch−ơng Mỹ Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam 
Tr−ờng THCS Trung Hoà Độc lập - tự do - hạnh phúc 
đề tài sáng kiến kinh nghiệm 
Phần I : Sơ yếu lý lịch. 
Phần II : Nội dung đề tài. 
Tên đề tài 
" h−ớng dẫn học sinh lớp 8 giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử " 
A. Đặt vấn đề 
1. Lý do chọn đề tài. 
a. Lý do chủ quan 
Tôi là một giáo viên mới ra tr−ờng còn hạn chế nhiều về chuyên môn, 
nghiệp vụ nên việc học hỏi trau dồi kinh nghiệm là điều rất cần thiết. 
Trong giai đoạn ch−a ổn định về mặt ph−ơng pháp nh− hiện nay, bản thân 
tôi luôn phải thể nghiệm các ph−ơng pháp, nhóm ph−ơng pháp để đúc rút 
kinh nghiệm cho mình từ đó nâng cao hiệu quả giảng dạy cho bản thân. 
Học sinh tr−ờng THCS Trung Hoà ít có điều kiện và khả năng tự học. 
Các em còn yếu và còn thiếu về kiến thức cơ bản cũng nh− về kỹ năng 
nhìn nhận tìm h−ớng đi cho một bài toán. 
b. Lý do khách quan 
Đại số 8 nói chung và bài toán phân tích thành nhân tử là một nội 
dung rất hay và phong phú, nó rèn kỹ năng tính toán và óc t− duy linh 
hoạt cho học sinh. Đây là những kiến thức cơ bản làm nền móng cho việc 
tiếp thu kiến thức ở các lớp trên. 
Việc giải quyết tốt bài toán phân tích đa thức thành nhân tử sẽ hỗ trợ 
đắc lực cho việc giải ph−ơng trình sau này. 
Do yêu cầu đổi mới SGK, đổi mới ph−ơng pháp giảng dạy đối với bộ 
môn toán 8 theo tinh thần " lấy học sinh làm trung tâm ", nên việc tổ 
chức h−ớng dẫn để các em tìm tòi cách giải toán là yêu cầu cần thiết của 
ng−ời thầy. 
Mặt khác, kiến thức SGK rất cơ bản nên việc phát hiện bổ xung kiến 
thức, tìm tòi các ph−ơng pháp mới trên cơ sở nền tảng kiến thức SGK là 
H−ớng dẫn học sinh lớp 8 giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử 
2 
Hà Danh H−ng THCS Phú Cát – Quốc Oai 
điều cần thiết, nó tạo cho các em tính “tò mò khoa học”, “ tính tự lập” và 
hình thành thói quen tự học. 
Hơn thế nữa, toán 8 là một mắt xích quan trọng trong trục ch−ơng 
trình, không những nó giúp các em học toán tốt hơn ở những năm học sau 
này, mà còn giúp các em học tốt hơn cả những môn học tự nhiên khác. 
Khi giải quyết đ−ợc vấn đề này, đồng thời các em cũng giải quyết 
đ−ợc nhiều mặt khác nh− : 
+ Củng cố kiến thức 
+ Rèn kỹ năng tính toán, phân tích, tổng hợp, ... 
+ Phát triển t− duy 
+ Tạo ra một l−ng vốn kiến thức cho những năm học sau này. 
Từ những tâm huyết và trăn trở nêu trên, tôi đ] xây dựng một đề tài 
mang tên “H−ớng dẫn học sinh lớp 8 giải bài toán phân tích đa thức thành 
nhân tử “. 
2. Thời gian thực hiện và phạm vi đề tài 
a. Thời gian 
Học kỳ I năm học 2002 - 2003. 
b. Phạm vi thực hiện 
Lớp 8D tr−ờng THCS Trung Hoà - Ch−ơng Mỹ - Hà Tây 
3. Khảo sát tr−ớc khi thực hiện đề tài 
Các em chỉ hiểu và làm đ−ợc các bài toán đơn giản trên cơ sở một vài 
phép biến đổi thuần tuý, ch−a có khả năng phán đoán, định h−ớng đúng cho 
việc giải bài toán. 
Về mặt ph−ơng pháp các em còn hiểu rất sơ sài mà chủ yếu, các 
ph−ơng pháp đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức và nhóm nhiều hạng 
tử. Việc vận dụng các ph−ơng pháp còn mang tính nhỏ lẻ thiếu đồng bộ và 
không hệ thống. 
Tr−ớc khi thực hiện đề tài này tôi cho các em làm bài kiểm tra khảo 
sát chất l−ợng nh− sau : 
Lần 1: (15’) 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 
1. A = 8x3 + 1 
2. B = x + y + xy + y2 
H−ớng dẫn học sinh lớp 8 giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử 
3 
Hà Danh H−ng THCS Phú Cát – Quốc Oai 
Kết quả nh− sau 
Điểm Tổng số 
học sinh 0 -> 2 3 -> 4 5 -> 6 7 -> 8 9 -> 10 TB↑ 
39 5 27 6 1 0 7 
Lần 2: (20’) 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 
1. A = (x+2)2 - 6(x+2) + 9 
2. B = x3 - 2x2 - x+2 
Kết quả nh− sau 
Điểm Tổng số 
học sinh 0 -> 2 3 -> 4 5 -> 6 7 -> 8 9 -> 10 TB↑ 
39 4 25 8 2 0 10 
Qua hai bài kiểm tra tôi thấy chất l−ợng có đi lên nh−ng rất chậm, 
ch−a đáp ứng đ−ợc yêu cầu ngày càng cao về chất l−ợng của các môn học 
thay sách. Từ thực trạng trên, tôi đ−a ra một số giải pháp sau: 
B. Giải quyết vấn đề 
I. Kiến thức cơ bản : 
Việc nắm vững kiến thức cơ bản là một điều rất cần thiết sẽ giúp các 
em giải quyết bài toán một cách thuận lợi và dễ dàng hơn. Kiến thức cơ bản 
là x−ơng sống để từ đó phát triển mở rộng các ph−ơng pháp giải bài tập. 
Từ những quan điểm trên tôi trang bị cho học sinh những kiến thức 
sau đây. 
1. Các hằng đẳng thức đáng nhớ 
2. Các ph−ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử (SKG toán 8 - tập 1) 
- Ph−ơng pháp đặt nhân tử chung 
- Ph−ơng pháp dùng hằng đẳng thức 
- Ph−ơng pháp nhóm nhiều hạng tử 
3. Nghiệm của đa thức 
Nếu f(a)=0 thì x-a là nhân tử của đa thức f(x) 
Ta có f(x)=(x-a)g(x), trong đó f(x), g(x) là các đa thức 
4. Đồng nhất hệ số 
H−ớng dẫn học sinh lớp 8 giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử 
4 
Hà Danh H−ng THCS Phú Cát – Quốc Oai 
Nếu anx
n + an-1x
n-1 + ...+ a1 = bnx
n + bn-1x
n-1 + ...+ b1 
thì 







=
=
=
−−
11
11
...........
ba
ba
ba
nn
nn
5. Nếu thay x1=a1 hoặc x2=a2 .... mà A(x1,x2,....,xn)=0 thì 
A(x1,x2,....,xn) ),.....(),( 2211 axax −−⋮ 
Vậy A(x1,x2,....,xn) = K(x1-a1)(x2-a2)..... 
6. Tam thức bậc hai 
Tam thức ax2+bx+c phân tích đ−ợc thành nhân tử khi b2-4ac ≥ 0 
(thừa nhận dấu hiệu này) 
II. Các dạng bài tập và cách giải 
Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng ph−ơng pháp “tách 
một số hạng tử thành nhiều hạng tử” 
Cơ sở : 
Nếu f(a) = 0 thì f(x) = (x-a)g(x) với f(x) và g(x) là các đa thức 
Quy tắc: tách một số hạng tử thành một số hạng tử khác làm xuất hiện 
nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức từ đó bài toán đ−ợc giải quyết. 
1. Các bài toán 
Bài toán 1: Phân tích đa thức thành nhân tử 
A = x2 - 4x+3 
Phân tích tìm lời giải: 
Ta phải tách một trong ba hạng tử thành các hạng tử mới để gộp với 
hai hạng tử còn lại trở thành các nhóm, mỗi nhóm xuất hiện nhân tử 
chung giống nhau, nhờ thế bài toán đ−ợc giải quyết. 
Lời giải 
Cách 1: (Tách hạng tử giữa) 
A = x2 - x - 3x +3 
= x(x-1)-3(x-1) 
=(x-1)(x-3) 
H−ớng dẫn học sinh lớp 8 giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử 
5 
Hà Danh H−ng THCS Phú Cát – Quốc Oai 
Cách 2: (Tách hạng tử cuối) 
A =x2-4x-1+4 
=x2-1-4x+4 
=(x-1)(x+1)-4(x-1) 
=(x-1)(x+1-4) 
=(x-1)(x-3) 
Cách 3: (Tách hạng tử cuối) 
A =x2-4x+4-1 
=(x-2)2-1 
=(x-2+1)(x-2-1) 
=(x-1)(x-3) 
Cách 4: (Tách hạng tử cuối) 
A =x2-4x-9+12 
=x2-9-4x+12 
=(x-3)(x+3)-4(x-3) 
=(x-3)(x+3-4) 
=(x-3)(x-1) 
Cách 5: (Tách hạng tử giữa và hạng tử cuối) 
A =x2-2x-2x+3 
=x2-2x+1-2x+2 
=(x-1)2-2(x-1) 
=(x-1)(x-1-2) 
=(x-1)(x-3) 
Bài toán trên không phức tạp các em có thể dễ dàng tiếp thu. Tôi muốn 
đ−a ra bài toán này để giúp các em có học lực yếu cũng có thể nhận thức 
đ−ợc. Việc giải bài toán theo nhiều cách giúp các em biết xem xét bài 
toán ở nhiều góc cạnh từ đó các em có cái nhìn phong phú hơn. 
Bài toán 2: Phân tích đa thức thành nhân tử 
B = 4x2 - 4x-3 
H−ớng dẫn học sinh lớp 8 giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử 
6 
Hà Danh H−ng THCS Phú Cát – Quốc Oai 
Lời giải 
Cách 1 :(Tách hạng tử thứ hai) 
B =4x2+2x-6x-3 
=2x(2x+1)-3(2x+1) 
=(2x+1)(2x-3) 
Cách 2 :(Tách hạng tử thứ ba) 
B =4x2-4x+1-4 
=(2x-1)2-4 
=(2x-1-2)(2x-1+2) 
= (2x+1)(2x-3) 
Nhận xét : 
Việc tách hạng tử với mục đích tạo ra các hệ số tỷ lệ từ đó xuất hiện 
các thừa số chung, nhân tử chung hoặc các hằng đẳng thức. 
2. Bài tập tự luyện 
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử 
a) x2-6x+8 
b) 9x2+6x-8 
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử 
a) -c2(a-b)+b2(a-c)-a2(b-c) 
Gợi ý: tách a-c=(a-b)+(b-c) 
b) (x-y)-x3(1-y)+y3(1-x) 
Gợi ý: tách 1-y=(x-y)+(1-x) 
Dạng 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng ph−ơng pháp 
“thêm và bớt cùng một số hạng” 
Cơ sở thêm và bớt cùng một hạng tử vào đa thức làm xuất hiện 
nhân tử hoặc hằng đẳng thức từ đó cho ra kết quả. 
1. Các bài toán 
Bài toán 1: Phân tích đa thức thành nhân tử 
H−ớng dẫn học sinh lớp 8 giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử 
7 
Hà Danh H−ng THCS Phú Cát – Quốc Oai 
4x4+81 
Phân tích tìm lời giải: 
ở bài toán này chúng ta ch−a thể sử dụng đ−ợc bất kỳ hằng đẳng thức 
nào, mặt khác cũng ch−a có nhân tử chung vì thế cần thêm bớt nh− thế 
nào đó để có hằng đẳng thức . Đến đây, tôi đặt câu hỏi cho học sinh : 
“Nếu sử dụng hằng đẳng thức a2+2ab+b2 thì thiếu bộ phận nào”. 
Lời giải: 
4x4+81 =4x4+36x2+81-36x2 
=(2x2+9)2-(6x)2 
=(2x2+9-6x)(2x2+9+6x) 
=(2x2-6x+9)(2x2+6x+9). 
Việc giải bài toán là một phép thêm bớt đơn giản và dễ dàng cho kết 
quả nh−ng ch−a đ−ợc h−ớng dẫn thì quả là một vấn đề khó đối với các 
em. Qua bài toán này các em sẽ có những kiến thức và kinh nghiệm mới 
cho việc giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử . 
Bài toán 2: Phân tích đa thức thành nhân tử 
x6-1 
Phân tích tìm lời giải : 
Ta thấy x6-1 có thể phân tích thành (x3)2 - 1 hoặc (x2)3-1 để sử 
dụng ngay hằng đẳng thức mặt khác ta cũng có thể thêm bớt để 
xuất hiện các hằng đẳng thức hoặc để nhóm. 
Lời giải : 
Cách 1: (Nối từ x6 đến 1) 
x6-1 =x6-x5+x5-x4+x4-x3+x3-x2+x2-x+x-1 
=x5(x-1)+ x4(x-1)+ x3(x-1)+ x2(x-1)+ x(x-1)+(x-1) 
=(x-1)(x5+ x4+ x3+ x2+ x+1) 
=(x-1)[x4(x+1)+x2(x+1)+(x+1)] 
=(x-1)(x+1)(x4+x2+1) 
=(x-1)(x+1)[x4+2x2+1-x2] 
= (x-1)(x+1)[(x2+1)2-x2] 
= (x-1)(x+1)(x2+1-x)(x2+1+x) 
H−ớng dẫn học sinh lớp 8 giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử 
8 
Hà Danh H−ng THCS Phú Cát – Quốc Oai 
= (x-1)(x+1)(x2-x+1)(x2+x+1) 
Cách 2: 
x6-1 =x6+x3-x3-1 
=x3(x3+1)-(x3+1) 
=(x3+1)(x3-1) 
=(x+1)(x2-x+1) (x-1)(x2+x+1) 
Cách 3: 
x6-1 =x6+x4+x2-x4-x2-1 
=x2(x4+x2+1)-(x4+x2+1) 
=(x4+x2+1)(x2-1) 
=( x4+2x2+1-x2)(x-1)(x+1) 
= (x2-x+1) (x2+x+1) (x-1) (x+1) 
Cách 4: 
x6-1 =(x3)2-1 
=(x3-1)(x3+1) 
= (x+1)(x2-x+1) (x-1)(x2+x+1) 
Cách 5: 
x6-1 =(x2)3-1 
=(x2-1)(x4+x2+1) 
= (x-1)(x+1)(x2-x+1)(x2+x+1) 
Cách 6: 
x6-1 =x6-3x4+3x2-1+3x4-3x2 
=(x2-1)3+3x2(x2-1) 
=(x2-1)[(x2-1)2+3x2] 
=(x2-1)(x4+x2+1) 
= (x-1)(x+1)(x2-x+1)(x2+x+1) 
Cách 7: 
x6-1 =x6-x2+x2-1 
=[(x3)2-x2]+(x2-1) 
H−ớng dẫn học sinh lớp 8 giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử 
9 
Hà Danh H−ng THCS Phú Cát – Quốc Oai 
=(x3-x)(x3+x)+(x2-1) 
=(x2-1)(x4+x2+1) 
= (x-1)(x+1)(x2-x+1)(x2+x+1) 
Cách 8: 
x6-1 =x6-x2+x2-1 
=x2(x4-1)+(x2-1) 
=x2(x2-1)(x2+1)+(x2-1) 
=(x2-1)[x2(x2+1)+1] 
= (x2-1)(x4+x2+1) 
= (x-1)(x+1)(x2-x+1)(x2+x+1) 
Cách 9: 
x6-1 =x6-x4+x4-1 
=x4(x2-1)+(x2-1)(x2+1) 
=(x2-1)(x4+x2+1) 
= (x-1)(x+1)(x2-x+1)(x2+x+1) 
Các cách làm trên có những cách rất đơn giản nh−ng cũng có những 
cách phức tạp song tôi muốn dẫn dắt các em theo nhiều h−ớng khác nhau 
với mục đích để các em sẽ có cái nhìn phong phú hơn, khi đứng tr−ớc một 
bài toán các em có kỹ năng nh ... 
=(x2+3x-1)2 
Nếu làm phép so sánh giữa cách 2 và cách 1 thì rõ ràng cách 2 đơn giản 
hơn rất nhiều. Vậy phải chăng cách tôi đ] làm phức tạp hoá vấn đề một cách 
không cần thiết ? 
Tôi muốn đ−a ra bài toán trên cho học sinh không phải chỉ để làm phong 
phú cách làm toán mà nhằm mục đích trang bị cho các em kiến thức để sau 
này khi giải ph−ơng trình bậc 4 dạng đối xứng các em có thể giải quyết 
nhanh gọn. 
2. Bài tập tự luyện 
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử 
H−ớng dẫn học sinh lớp 8 giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử 
12 
Hà Danh H−ng THCS Phú Cát – Quốc Oai 
x(x+1)(x+2)(x+3)+1 
Gợi ý: 
x(x+1)(x+2)(x+3) = x(x+3)(x+1)(x+2) 
=(x2+3x)(x2+3x+2) 
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử 
(x2+y2+z2)-(x+y+z)2+(xy+yz+zx)2 
Gợi ý: 
Đặt x2+y2+z2=a 
xy+yz+zx=b 
Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng ph−ơng pháp “hệ số 
bất định” 
Cơ sở 
Nếu anx
n + an-1x
n-1 + ...+ a1 = bnx
n + bn-1x
n-1 + ...+ b1 
thì 







=
=
=
−−
11
11
...........
ba
ba
ba
nn
nn
1. Các bài toán 
Bài toán 1: Phân tích đa thức thành nhân tử 
x4-6x3+12x2-14x+3 (1) 
Phân tích tìm lời giải: 
Ta thấy, 3 có các −ớc ±1, ±3 nh−ng không là nghiệm của 1, vậy 
việc tìm ra nghiệm rất khó khăn và cũng có thể không có nghiệm, vì 
thế việc định h−ớng để phân tích ra nhân tử bậc 1 rất khó khăn. Nếu 
(1) phân tích đ−ợc thì sẽ có dạng (x2+ax+b)(x2+cx+d) 
Lời giải 
Giả sử (1) phân tích đ−ợc thành nhân tử, ta có 
H−ớng dẫn học sinh lớp 8 giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử 
13 
Hà Danh H−ng THCS Phú Cát – Quốc Oai 
x4-6x3+12x2-14x+3 = (x2+ax+b)(x2+cx+d) 







=
−=+
=++
−=+
⇒
3
14
12
6
bd
bcad
dbac
ca
Cho b=3 -> d=1 ->a=-2;c=-4. 
Vậy ta có dạng đã phân tích của (1) là 
(x2-2x+3)(x2-4x+1) 
Đây là bài toán khó, dạng toán phức tạp chỉ có một số ít các em làm 
đ−ợc. Mục đích tôi đ−a ra bài toán này là giúp học sinh khá giỏi giải quyết 
các bài toán t−ơng tự, từ đó mở ra một định h−ớng mới cho việc phân tích đa 
thức thành nhân tử. bài toán có ý nghĩa nh− một chìa khoá cho việc giải các 
bài toán khó phân tích. Mặt khác việc làm tốt ph−ơng pháp này, tạo thuận lợi 
cho các em học tốt hơn ở các lớp học tiếp theo. 
Vì đây là dạng toán khó, nên đại bộ phận học sinh trong lớp không 
làm đ−ợc, nếu tiếp tục đ−a vào các bài tập dạng này sẽ gây tâm lý hoang 
mang, choáng váng cho học sinh có lực học trung bình và yếu. Vì thế tôi 
nhanh chóng chuyển sang dạng toán khác. 
2. Bài tập tự luyện 
Dùng ph−ơng pháp hệ số bất định, phân tích đa thức thành nhân tử 
a) 4x4+4x3+5x2+2x+1 
b) 3x2+22xy+11x+37y+7y2+10 
Dạng 5: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng ph−ơng pháp “xét giá 
trị riêng” 
Cơ sở: 
Nếu thay x1=a1 hoặc x2=a2 .... mà A(x1,x2,....,xn)=0 thì A(x1,x2,....,xn) 
),.....(),( 2211 axax −−⋮ 
Vậy A(x1,x2,....,xn) = K(x1-a1)(x2-a2)..... 
1. Các bài toán 
Phân tích đa thức thành nhân tử 
H−ớng dẫn học sinh lớp 8 giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử 
14 
Hà Danh H−ng THCS Phú Cát – Quốc Oai 
P = ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a) (1) 
Lời giải 
Nếu thay 





=
=
=
ac
cb
ba
 vào (1) thì P = 0 -> a-b, b-c, c-a là những nhân tử của 
P. Mặt khác P có bậc 3. Vậy P = K(a-b)(b-c)(c-a) (2) 
với K là hằng số 
Nếu thay a = 1, b = 2, c = 0 và biểu thức ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-
a)= K(a-b)(b-c)(c-a), ta có K = 1. 
Đây là dạng toán phức tạp nh−ng tôi cố gắng chọn ra bài toán thật đơn 
giản vì đặc thù học sinh ở tr−ờng tôi, các em nhận thức chậm, nếu đ−a bài 
toán phức tạp thì vừa mất thời gian lại không hiệu quả. 
2. Bài tập tự luyện 
Phân tích đa thức thành nhân tử 
a) M = x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y) 
b) a(b+c-a)2+b(c+a-b)2+c(a+b-c)2+(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) 
Dạng 6: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng ph−ơng pháp “tìm 
nghiệm của đa thức” 
Cơ sở: 
- Nếu f(a)=0 thì x-a là nhân tử của đa thức f(x) 
Ta có f(x)=(x-a)g(x), trong đó f(x), g(x) là các đa thức 
- Nếu tam thức ax2+bx+c có hai nghiệm a', b' thì phân tích đ−ợc 
thành a(x-a')(x-b'). 
1. Các bài toán 
Bài toán 1: Phân tích đa thức thành nhân tử 
x3+3x2-4 
Phân tích tìm lời giải: 
Dễ nhẩm thấy x=1 là nghiệm của đa thức -> đa thức chứa nhân 
tử x-1, vậy ta phải biến đổi đa thức làm xuất hiện nhân tử x-1. 
H−ớng dẫn học sinh lớp 8 giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử 
15 
Hà Danh H−ng THCS Phú Cát – Quốc Oai 
Lời giải 
x3+3x2-4 =x3-1+3x2-3 
=(x-1)(x2+x+1)+3(x2-1) 
=(x-1)[x2+x+1+3(x+1)] 
=(x-1)(x2+4x+4) 
=(x-1)(x+2)2 
Bài toán 2: Phân tích đa thức thành nhân tử 
a) x2+3x+2 (1) 
b) x2-x+12 (2) 
Gợi ý: Hãy tìm nghiệm của đa thức 
Lời giải 
a) Dễ thấy x=-1 và x=-2 là nghiệm của đa thức (1). Vậy 
x2+3x+2=(x+1)(x+2) 
Trên cơ sở các em hiểu thật kỹ phần a, tôi cho các em về nhà tự làm 
phần b. 
Bài toán trên rất đơn giản, nh−ng lại mở ra một h−ớng mới cho việc 
suy luận tìm lời giải, nó có tác dụng định h−ớng cho việc phân tích làm xuất 
hiện nhân tử chung. 
Mặt khác, tôi muốn đ−a ra dạng toán này để các em sớm tiếp cận và 
làm quen với nghiệm của ph−ơng trình đặc biệt là ph−ơng trình bậc hai mà 
các em sẽ học rất nhiều ở lớp 9 và các năm học sau này. Vấn đề của bài toán 
tuy không “to tát” song bài toán đ] hé mở cho các em một ý t−ởng mới. 
2. Bài tập tự luyện 
Phân tích đa thức thành nhân tử 
c) x3-x2+1 
d) 2x3-2x2-x+1 
e) x2-4x+3 
f) 2x2+3x-2 
Dạng 7: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều 
ph−ơng pháp 
H−ớng dẫn học sinh lớp 8 giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử 
16 
Hà Danh H−ng THCS Phú Cát – Quốc Oai 
1. Các bài toán 
Bài toán 1: Phân tích đa thức thành nhân tử 
A = bc(b+c)+ac(c-a)-ab(a+b) 
Lời giải 
A = b2c+bc2+ac2-a2c-a2b-ab2 
=(abc- a2b)+(ac2-a2c)+(b2c-ab2)+(bc2-abc) 
(thêm bớt abc) 
= ab(c-a)+ac(c-a)+b2(c-a)+bc(c-a) 
=(c-a)(ab+ac+b2+bc) 
=(c-a)[a(b+c)+b(b+c)] 
=(c-a)(b+c)(a+b) 
Bài toán trên có vai trò củng cố các ph−ơng pháp phân tích đa thức 
thành nhân tử, mặt khác nó là sự tổng hợp các kiến thức giúp các em có sự 
nhìn nhận thấu đáo hơn khi làm toán. 
Bài toán 2: Chứng minh rằng 
623
32
nnnA ++= là số nguyên 
Phân tích tìm lời giải: 
Ta quy đồng biểu thức thành một phân thức nếu phân thức là 
số nguyên thì tử chi a hết cho mẫu. Vậy bài toán trở về việc chứng 
minh tử chia hết cho mẫu sau khi đã quy đồng. 
Lời giải: 
6
32
623
3232 nnnnnn ++
=++ .Ta có 
2n+3n2+n3 =n(2+3n+n2) 
=n[(n2+n)+(2n+2)] 
=n[n(n+1)+2(n+1)] 
=n(n+1)(n+2). 
Vì n∈Z nên n(n+1)(n+2) là tích của ba sô nguyên liên tiếp -> có 
một thừa số chia hết cho 2, một thừa số chia hết cho 3 -> n(n+1)(n+2) 
chia hết cho 6. 
H−ớng dẫn học sinh lớp 8 giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử 
17 
Hà Danh H−ng THCS Phú Cát – Quốc Oai 
Vậy ∈++
6
32 32 nnn Z hay A ∈ Z (đpcm). 
Bài toán giải quyết đ−ợc vấn đề mới đồng thời có sự liên hệ với kiến 
thức cũ qua đó các em đ−ợc củng cố kiến thức thấy đ−ợc sự liên hệ, tính hệ 
thống, móc xích và thống nhất của ch−ơng trình. 
Chắc chắn rằng qua các bài tập trên, các em sẽ hiểu sâu sắc hơn, có 
cái nhìn toàn diện và đặc biệt có hệ thống ph−ơng pháp tốt để làm bài tập, từ 
đó tôi cho các em làm các bài tập sau: 
2. Bài tập tự luyện 
Bài 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử 
a4+5a3+15a-9 
Bài 2 : Tính nhanh 
a3-a2b-ab2+b3 với a=5,75; b=4,25 
Bài 3 : Tìm x biết 
a) x2+x=6 
b) 6x3+x2=2x 
Trên đây là hệ thống các bài tập từ dẽ đến khó mà tôi đ] cung cấp cho 
học sinh. Qua đó, tôi thấy trình độ tiếp thu kiến thức của các em khá lên rất 
nhiều, việc giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử nói riêng và giải các 
bài toán nói chung các em đ] tiến hành có hệ thống, có định h−ớng đúng và 
đặc biệt đối t−ợng học sinh có học lực yếu đ] biết làm các bài tập dạng t−ơng 
tự. 
Để xác minh tính chân thực và kiểm định lại suy nghĩ của mình tôi đ] 
tiến hành khảo sát nh− sau : 
III. Khảo sát sau khi thực hiện đề tài 
Đề bài: (25') 
Phân tích đa thức thành nhân tử 
a) 6x2-11x+3 
b) x3-7x+6 
c) a6+a4+a2b2+b4-b6 
Kết quả 
Tổng số Điểm 
H−ớng dẫn học sinh lớp 8 giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử 
18 
Hà Danh H−ng THCS Phú Cát – Quốc Oai 
học sinh 0 -> 2 3 -> 4 5 -> 6 7 -> 8 9 -> 10 TB↑ 
39 1 4 13 16 5 34 
Sau khi thực hiện đề tài này, tôi thấy các em đ−ợc mở mang kiến thức. 
Việc tiếp thu kiến thức đ−ợc cải thiện, vì thế mà các em học khá hơn, thích 
học môn toán hơn và từ đó các em có phần quý tôi hơn, tin t−ởng tôi hơn 
tr−ớc. Từ chỗ các em ham học hơn, nên các em đ] có ý thức hơn. Tôi thấy 
chuyên đề này không chỉ giúp các em tháo gỡ khó khăn khi học bài mà còn 
mang ý nghĩa giáo dục lớn. 
Về phía bản thân, tôi thấy các em quý tôi hơn, từ đó tôi thêm yêu 
nghề, thêm tin vào sự nghiệp giáo dục và “lý t−ởng trồng ng−ời”. Đây là lời 
động viên thiết thực, là món quà phấn khích tôi làm tốt hơn nữa. 
C. Kết thúc vấn đề 
 I. Bài học kinh nghiệm 
Sau khi thực hiện đề tài này, tôi thấy việc thực hiện các chuyên đề là 
rất cần thiết. Không phải chỉ cần thiết đối với trò mà còn rất có ý nghĩa đối 
với thầy, đây là một trong những hình thức tự bồi d−ỡng chuyên môn nghiệp 
vụ, đặc biệt với tôi - một giáo viên mới ra tr−ờng, thì điều này lại càng có ý 
nghĩa. 
Kiến thức SGK rất cơ bản và bao quát, song không thể “lột tả” hết các 
ngõ ngách kiến thức, vì thế ng−ời thầy cần phải biết khai thác “các mắt” kiến 
thức tạo chiều sâu trong bài giảng. 
Trong giảng dạy, ng−ời thầy tránh chữa bài tập một cách tràn lan, mà 
cần có sự hệ thống, phân dạng bài tập và đặc biệt h−ớng dẫn cho các em về 
mặt ph−ơng pháp. 
Ng−ời thầy tránh làm thay các em mà phải tổ chức cho các em tìm tòi 
phát hiện kiến thức, từ đó tạo dựng ý thức tự học cho học sinh. 
Để có chuyên đề hay, ph−ơng pháp dạy học tốt ng−ời thầy cần có sự 
đầu t− thời gian công sức và tâm huyết. 
II. Tài liệu tham khảo 
1. Toán bồi d−ỡng học sinh lớp 8 đại số và hình học 
(Vũ Hữu Bình - Tôn Thân - Đỗ Quang Thiều) 
2. 255 bài toán chọn lọc 
(Vũ D−ơng Thuỵ - Tr−ơng Công Thành - Nguyễn Ngọc Đạm) 
3. Ôn tập đại số 8 
H−ớng dẫn học sinh lớp 8 giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử 
19 
Hà Danh H−ng THCS Phú Cát – Quốc Oai 
(Vũ Hữu Bình - Tôn Thân) 
4. Toán cơ bản và nâng cao đại số 8 
(Vũ Hữu Bình ) 
5. Toán bồi d−ỡng học sinh đai số 8 
(Vũ Hữu Bình - Tôn Thân - Đỗ Quang Thiều) 
III. Lời kết 
Tôi làm đề tài này với mong muốn cải thiện chuyên môn bổ túc 
nghiệp vụ, bản thân tôi là một giáo viên mới ra tr−ờng, tuổi đời và tuổi nghề 
còn ít, năng lực lại hạn chế, chắc chắn đề tài này còn nhiều sai sót. Với quan 
điểm học hỏi và cầu thị tiến bộ, tôi tha thiết mong các đồng chí, chỉ giáo để 
tôi làm tốt hơn các đề tài sau này. 
Trung Hoà, ngày 24 tháng 04 năm 2005 
Ng−ời viết 
 Nguyễn Thị Mùi