Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải bài toán chứng minh bất đẳng thức - Năm học 2005-2006 - Hà Danh Hưng

H−ớng dẫn học sinh lớp 8 giải bài toán chứng minh bất đẳng thức 
1 
Hà Danh H−ng THCS Phú Cát – Quốc Oai – Hà Tây 
Phòng GD-ĐT Quốc Oai Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam 
Tr−ờng THCS Phú Cát Độc lập - tự do - hạnh phúc 
đề tài sáng kiến kinh nghiệm 
Phần I : Sơ yếu lý lịch. 
Phần II : Nội dung đề tài. 
Tên đề tài 
" h−ớng dẫn học sinh lớp 8 
giải bài toán chứng minh bất đẳng thức " 
A. Đặt vấn đề 
1. Lý do chọn đề tài. 
Đại số 8 nói chung và bài toán chứng minh bất đẳng thức nói riêng là 
một nội dung vừa hay, vừa khó và cũng rất phong phú về chủng loại, nó 
rèn kỳ năng tính toán, óc t− duy so sánh linh hoạt, mảng kiến thức này có 
ảnh h−ởng lớn tới nhiều vấn đề quan trọng trong trục ch−ơng trình nói 
riêng và môn đại số nói chung. 
Việc giải bài toán này đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng phân tích tổng 
hợp và cách nhìn bao quát. 
Học sinh nói chung và học sinh Phú Cát nói riêng th−ờng rất ngại khi 
đối mặt với loại toán này vì vậy tháo gỡ những mặc cảm đó là rất cần 
thiết. 
Do yêu cầu đổi mới ph−ơng pháp giảng dạy theo h−ớng phát huy tính 
tích cực của học sinh, vì vậy tổ chức cho học sinh tự học tự tìm tòi cách 
giải các bài toán là rất cần thiết. 
Hơn thế nữa, giải quyết đ−ợc thể loại toán này giúp các em có điều 
kiện học tốt hơn bộ môn toán 8, là mắt xích quan trọng trong trục ch−ơng 
trình, làm nền tảng cho các em học tốt hơn ở các lớp sau. 
Về phía cá nhân, tôi thấy khi thực hiện đề tài này sẽ giúp tôi hiểu sâu 
hơn, rõ hơn và chắc hơn các kiến thức về bất đẳng thức, qua đó tự bồi 
d−ỡng chuyên môn nghiệp vụ. 
H−ớng dẫn học sinh lớp 8 giải bài toán chứng minh bất đẳng thức 
2 
Hà Danh H−ng THCS Phú Cát – Quốc Oai – Hà Tây 
2. Thời gian thực hiện và phạm vi đề tài 
a. Thời gian 
Năm học 2005 - 2006. 
b. Phạm vi thực hiện 
Lớp 8C tr−ờng THCS Phú Cát – Quốc Oai – Hà Tây 
3. Khảo sát tr−ớc khi thực hiện đề tài 
Khi đ−a ra một bài toán chứng minh bất đẳng thức các em có tâm lý 
hoang mang, thiếu tự tin, từ đó không có h−ớng đi cho bài toán. 
Học sinh chỉ hiểu bài toán trên cơ sở một vài phép biến đổi thuần tuý, 
ch−a có khả năng phán đoán, định h−ớng giải cho bài toán. 
Ch−a hình thành ph−ơng pháp, nhóm ph−ơng pháp mà còn ảnh h−ởng 
nặng nề lối so sánh phân số ở lớp d−ới 
Tr−ớc khi thực hiện đề tài này tôi tiến hành khảo sát nh− sau : 
Lần 1: (15’) 
Chứng minh rằng : 
a) yxyxyx ,022 ∀≥++ 
b) baabba ,22 ∀≥+ 
Kết quả nh− sau : 
Điểm Tổng số 
học sinh 0 -> 2 3 -> 4 5 -> 6 7 -> 8 9 -> 10 TB↑ 
36 18 13 4 1 0 5 
Lần 2: (25’) 
a) Cho 2=+ ba , chứng minh rằng : 222 ≥+ ba 
b) Chứng minh rằng với a, b, c > 0 thì : 
21 <
+
+
+
+
+
<
ac
c
cb
b
ba
a
Kết quả nh− sau : 
Tổng số Điểm 
H−ớng dẫn học sinh lớp 8 giải bài toán chứng minh bất đẳng thức 
3 
Hà Danh H−ng THCS Phú Cát – Quốc Oai – Hà Tây 
học sinh 0 -> 2 3 -> 4 5 -> 6 7 -> 8 9 -> 10 TB↑ 
36 14 16 4 2 0 6 
Qua các bài kiểm tra tôi thấy chất l−ợng có đi lên song hiệu quả rất chậm, 
ch−a đáp ứng đ−ợc yêu cầu ngày càng cao về chất l−ợng của môn học thay 
sách, từ thực trạng trên tôi đ−a ra các giải pháp sau : 
B. Giải quyết vấn đề 
I. Kiến thức cơ bản : 
Việc nắm chắc kiến thức cơ bản là khâu then chốt không những giúp 
học sinh giải bài tập mà còn làm cơ sở nền tảng giúp học sinh mở rộng đào 
sâu và đi khai thác các kiến thức mới, giúp các em có cái nhìn toàn diện hơn 
về h−ớng giải toán, từ đó tôi trang bị cho học sinh những kiến thức sau : 
1. Định nghĩa : 
Cho hai số a và b : 

 Nếu a – b là số d−ơng thì ta nói a lớn hơn b, ký hiệu là a > b 

 Nếu a – b là số âm thì ta nói a nhỏ hơn b, ký hiệu là a < b 

 Ký hiệu ba ≥ là a > b hoặc a = b, ký hiệu ba ≤ là a < b hoặc a = b 
2. Các tính chất cơ bản : 

 abba 

 cacbba >⇒>> , 

 dbcadcba +>+⇒>> , 

 cbcacba +>+∀⇒> , 

 dbcadcba −>−⇒ , 

 bbaaba >+>⇒>
2

 


<⇒<
>⇒>
⇒>
bcacc
bcacc
ba
0
0

 bdacdcba >⇒>>>> 0,0 

 ( )*12121212 Nnbababa nnnn ∈>⇔>⇔> ++++ 

 ||||22 baba nn >⇔> 
H−ớng dẫn học sinh lớp 8 giải bài toán chứng minh bất đẳng thức 
4 
Hà Danh H−ng THCS Phú Cát – Quốc Oai – Hà Tây 

 
ba
baba 110, ⇒> 

 nmaaa nm >⇔>⇒> 1 

 nmaaa nm ⇒<< 10 

 |||||||| axaax ≤≤−⇔< 

 abbaba 20, ≥+⇒≥ 

 ( )*,01 Nnx
x
x
n
n ∈≠=− 
II. Các dạng bài tập và cách giải 
Dạng 1: Ph−ơng pháp dùng định nghĩa 
1. Cơ sở : 

 Để chứng minh ( )BABA ≥> ta chứng minh ( )00 ≥−>− BABA 

 Thông th−ờng để chứng minh 0≥− BA ta phân tích BA − thành 
tổng hoặc tích của các số không âm. 
2. Các bài toán : 
 Bài 1 : Chứng minh rằng cabcabcba ++≥++ 222 
Phân tích tìm lời giải 
Ta phải chứng minh 0222 ≥−−−++ cabcabcba 
Lời giải 
Xét hiệu : 
( )
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ] 0
2
1
222
2
1
222222
2
1
222
222222
222
222
≥−+−+−=
+−++−++−=
−−−++=
=−−−++
accbba
cacccbcbbaba
cabcabcba
cabcabcba
Vậy cabcabcba ++≥++ 222 , dấu “ = “ xảy ra khi cba == 
Bài 2 : Chứng minh rằng 234 212 aaa +≥+ 
H−ớng dẫn học sinh lớp 8 giải bài toán chứng minh bất đẳng thức 
5 
Hà Danh H−ng THCS Phú Cát – Quốc Oai – Hà Tây 
Lời giải 
Xét hiệu : 
( ) ( )
( ) ( ) 011
121
212
212
2222
2222
23424
234
≥−+−=
+−+−=
+−++−=
=−−+
aaa
aaaa
aaaaa
aaa
Vậy 234 212 aaa +≥+ 
Nhận xét : Để chứng minh BA ≥ ta phải biến đổi BA − một cách linh 
hoạt thành tổng hoặc tích các số không âm, từ đó đ−a ra các kết luận của 
bài toán. 
Bài tập tự luyện : 
Bài 3 : Chứng minh rằng 3344 abbaba +≥+ 
Bài 4 : Chứng minh rằng 
a
b
b
a
a
b
b
a
+≥+ 2
2
2
2
Dạng 2: Ph−ơng pháp biến đổi t−ơng đ−ơng 
1. Cơ sở : 

 nn BABABA ≥⇔⇔≥⇔≥ ...11 , bất đẳng thức nn BA ≥ đ−ợc chứng 
minh thì ta đs chứng minh đ−ợc BA ≥ 
2. Các bài toán : 
 Bài 5 : Chứng minh rằng ( ) ( )122222 edcbaedcba +++≥++++ 
Lời giải 
Ta có : 
( )
( )
( )20
2222
0
4444
0
2222
2
2
2
2
2
2
2
2
22222
22222
≥





−+





−+





−+





−⇔
≥





+−+





+−+





+−+





+−⇔
≥+++−++++⇔
+++≥++++
e
adacaba
eae
adadacacababa
edcbaedcba
edcbaedcba
H−ớng dẫn học sinh lớp 8 giải bài toán chứng minh bất đẳng thức 
6 
Hà Danh H−ng THCS Phú Cát – Quốc Oai – Hà Tây 
Bất đẳng thức (2) đúng. Vậy ( )edcbaedcba +++≥++++ 22222 , dấu “ 
= “ xảy ra khi edcba ====
2
Bài 6 : Cho 0,0,1 >>=+ baba , chứng minh rằng ( )191111 ≥





+





+
ba
Lời giải 
Ta có : 
( )( )
( )
( ) ( )20
02
4
41
82
91
911
91111
2
22
2
≥−⇔
≥+−⇔
≥+⇔
≥⇔
≥⇔
≥+++⇔
≥++⇔
≥





+





+
ba
baba
abba
ab
ab
abbaab
abba
ba
Bất đẳng thức (2) đúng. Vậy 91111 ≥





+





+
ba
, dấu “ = “ xảy ra khi 
ba = 
Nhận xét : Để chứng minh BA ≥ ta thực hiện các phép biến đổi t−ơng 
đ−ơng về bất đẳng thức để đ−ợc một bất đẳng thức đúng từ đó kết luận 
đ−ợc bất đẳng thức BA ≥ là đúng. 
Bài tập tự luyện : 
Bài 7 : Chứng minh rằng 
( )
3
2
222 cbacba ++≥++ 
Bài 8 : Cho 0>≥≥ zyx 
Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) 





++≤+++
zx
zxzx
y
zx
xz
y 111
Dạng 3: Ph−ơng pháp sử dụng bất đẳng thức đB biết 
1. Cơ sở : 
H−ớng dẫn học sinh lớp 8 giải bài toán chứng minh bất đẳng thức 
7 
Hà Danh H−ng THCS Phú Cát – Quốc Oai – Hà Tây 

 Từ một bất đẳng thức đs biết, áp dụng các tính chất cơ bản và biến 
đổi linh hoạt để suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. 
2. Các bài toán : 
 Bài 9 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh 
rằng ( ) 2222 cbacabcab ++≥++ 
Lời giải 
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên : 
( ) ( )012 >>+⇒>+ adoaacabacb 
T−ơng tự ta có : 
( )
( )3
2
2
2
ccacb
bbabc
>+
>+
Cộng các vế t−ơng ứng của (1), (2), (3) ta đ−ợc : 
( ) 2222 cbacabcab ++≥++ 
Bài 10 : Cho 1>+ ba , chứng minh rằng 
8
144 >+ ba 
Lời giải 
Ta có : 
( )
( )112
101
22
2
>++⇔
>+⇔>>+
baba
baba
Mặt khác : ( ) ( )2020 222 ≥+−⇔≥− bababa 
Cộng theo vế (1) và (2) ta đ−ợc : ( )
2
112 2222 >+⇒>+ baba 
Mặt khác : 
( ) ( )3
4
12
4
10
2
1 422422222 >++⇔>+⇔>>+ bbaababa 
Và ( ) ( )4020 4224222 ≥+−⇔≥− bbaaba 
Cộng theo vế (3) và (4) ta đ−ợc : ( )
8
1
4
12 4444 >+⇒>+ baba 
H−ớng dẫn học sinh lớp 8 giải bài toán chứng minh bất đẳng thức 
8 
Hà Danh H−ng THCS Phú Cát – Quốc Oai – Hà Tây 
Nhận xét : Từ các bất đẳng thức đs biết hoặc các bất đẳng thức đs cho 
trong giả thiết của bài toán ta biến đổi , áp dụng các tính chất cơ bản về 
bất đẳng thức để có điều cần chứng minh. 
Bài tập tự luyện : 
Bài 11 : Chứng minh rằng ( )0,411 >
+
≥+ yx
yxyx
Bài 12 : Cho 0,, >cba và 1<
b
a
Chứng minh rằng 
cb
ca
b
a
+
+
< 
Dạng 4: Ph−ơng pháp chứng minh phản chứng 
1. Cơ sở : 

 Để chứng minh BA ≥ ta đi chứng minh A < B là vô lý. 
2. Các bài toán : 
 Bài 13 : Cho 222 ≤+ ba . Chứng minh rằng 2≤+ ba 
Lời giải 
Giả sử 2>+ ba , khi đó ta có : 
( ) ( )1424 222 >++⇔>+ bababa 
Mặt khác : 
( ) ( )2222 222222 babababaab +≤++⇒+≤ 
Từ (1) và (2) suy ra : 
( ) 242 2222 >+⇔>+ baba ( trái giả thiết ) 
Vậy 2≤+ ba 
Bài 14 : Chứng minh rằng nếu có các bất đẳng thức 
0,0,0 >++>>++ cabcababccba thì a, b, c là các số d−ơng. 
Lời giải 
Do các số a, b, c có vai trò nh− nhau nên ta chỉ cần chứng minh một 
trong ba số này d−ơng là xong, ta chứng minh a > 0. Thật vậy, giả sử 
0≤a 
Nếu a = 0 thì abc = 0 (trái giả thiết) 
H−ớng dẫn học sinh lớp 8 giải bài toán chứng minh bất đẳng thức 
9 
Hà Danh H−ng THCS Phú Cát – Quốc Oai – Hà Tây 
Nếu a +⇒>++ cbcba , từ 00 bcabc 
Do đó : ( ) 00 <++⇔<++ cabcabbccba (trái giả thiết) 
Vậy a > 0, hay a, b, c là các số d−ơng. 
Bài 15 : Cho 233 =+ ba . Chứng minh rằng 2≤+ ba 
Lời giải 
Giả sử 2>+ ba . Đặt 122, >⇒>=+⇒−=+= xxbayxbyxa 
Ta có : ( ) ( ) 233333 62 xyxyxyxba +=−++=+ 
Do 226206,22 332323 >+⇒>+⇒≥> baxyxxyx (trái giả thiết 
233 =+ ba ) 
Vậy 2≤+ ba 
Nhận xét : Để chứng minh bất đẳng thức BA ≥ ta phải giả sử BA < (điều 
ng−ợc lại) rồi sử dụng các tính chất của bất đẳng thức dẫn đến điều vô lý 
sau đó đ−a ra kết luận của bài toán. 
Bài tập tự luyện : 
Bài 16 : Cho a, b, x, y liên hệ với nhau bởi hệ thức xyba 2=+ . Chứng 
minh rằng ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau là đúng : byax ≥≥ 22 , 
Bài 17 : Chứng minh ( )0,411 >
+
≥+ yx
yxyx
 bằng phản chứng 
Dạng 5: Ph−ơng pháp chứng minh dùng quy nạp toán học 
1. Cơ sở : 

 Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với giá trị nhỏ nhất, sau đó giả 
sử bài toán đúng với giá trị k, ta phải chứng minh nó đúng với giá 
trị k+1 
2. Các bài toán : 
 Bài 18 : Cho 1−>a . Chứng minh rằng với số tự nhiên 2≥n ta có : 
( ) ( )111 naa n +≥+ 
Lời giải 
Với n = 2, ( ) ( )012121 222 ≥+≥++=+ adoaaaa 
H−ớng dẫn học sinh lớp 8 giải bài toán chứng minh bất đẳng thức 
10 
Hà Danh H−ng THCS Phú Cát – Quốc Oai – Hà Tây 
Giả sử ( ) naa n +≥+ 11 ta phải chứng minh ( ) ( )ana n 111 1 ++≥+ + . Thật 
vậy : 
( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )01111111
11
221 ≥++≥+++=++≥+⇒
+≥+
+
nadoannaananaa
naa
n
n
Vậy với số tự nhiên 2≥n ta có : ( ) naa n +≥+ 11 
Bài 19 : Chứng minh rằng ++ ∈∀+> Znnn 522 2 
Lời giải 
Với n = 1, 75282 2 =+>=+ nn 
Giả sử 522 2 +>+ nn , ta phải chứng minh ( ) 5122 3 ++>+ nn , thật vậy : 
( ) 51222522.2
22
522 32
2
2
++>⇔++>⇒




>
+> ++
+
+
nn
n
nn
n
n
Vậy ++ ∈∀+> Znnn 522 2 
Nhận xét : Đây là dạng toán mà trong bất đẳng thức có chứa các đại 
l−ợng thay đổi nh− n, m ... Để chứng minh dạng toán này ta phải chứng 
minh bất đẳng thức đúng với giá trị nhỏ nhất của n, m ... Sau đó giả sử bất 
đẳng thức đúng với n, từ đó chứng minh bất đẳng thức đúng với n+1. Nh− 
vậy bất đẳng thức đs đ−ợc chứng minh. 
Bài tập tự luyện : 
Bài 20 : Chứng minh rằng với mọi số n nguyên d−ơng ta có : 
14
13
2
1
....
2
1
1
1
>++
+
+
+ nnn
Bài 21 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên 10≥n ta có : 32 nn > 
Dạng 6: Một số ph−ơng pháp khác 
Bài 22 : Cho tam giác vuông có hai cạnh góc vuông a, b và cạnh huyền c. 
Chứng minh rằng : 
a) 333 cba <+ 
b) nnn cba <+ 
Lời giải 
a) Theo Pitago ta có : ( ) 322322222 ccbcacbaccba =+⇔=+⇒=+ 
H−ớng dẫn học sinh lớp 8 giải bài toán chứng minh bất đẳng thức 
11 
Hà Danh H−ng THCS Phú Cát – Quốc Oai – Hà Tây 
Mặt khác do c là độ dài cạnh huyền nên 
33223
, bacbcacbcac +>+=⇒>> 
Tóm lại : 333 cba <+ 
b) Từ ( ) nnnnn cbcaccbaccba =+⇔=+⇒=+ −−− 2222222222 
Mặt khác cũng do c là độ dài cạnh huyền nên 
nnnnn babcaccbcac +>+=⇒>> −− 2222, 
Vậy nnn cba <+ 
Bài 23 : Chứng minh rằng : 
a) |||||| yxyx +≤+ 
b) |||||| yxyx −≥− 
Lời giải 
a) Ta có : 
( ) ( )
||||||
|||||||||||||,|||
yxyx
yxyxyxyyyxxx
+≤+⇒
+≤+≤+−⇒≤≤−≤≤−
b) Sử dụng kết quả phần a, ta có : 
( ) |||||||||||||| yxyxyyxyyxx −≥−⇒+−≤+−= 
Bài tập tự luyện : 
Bài 24 : Chứng minh rằng với mọi số n nguyên d−ơng ta có : 
2
1
2
1
....
2
1
1
1
>++
+
+
+ nnn
Bài 25 : Chứng minh rằng nếu 1||,1|| ≤< yx thì 1
1
<
−
−
xy
yx
Dạng 7: ứng dụng bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và giải 
ph−ơng trình đặc biệt 
Bài 26 : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức 
( )
1
22
2
2
++
−−
=
xx
xx
xf 
Lời giải 
Ta có : 
H−ớng dẫn học sinh lớp 8 giải bài toán chứng minh bất đẳng thức 
12 
Hà Danh H−ng THCS Phú Cát – Quốc Oai – Hà Tây 
( ) 2
1
3
1
2223
2
2
2
22
−
++
=
++
−−−
=
xx
x
xx
xxx
xf 
Vì 0
1
303,0
4
3
2
11 2
2
2
2
2 ≥
++
⇒≥>+





+=++
xx
x
xxxx nên : 
( ) 22
1
3
2
2
−≥−
++
=
xx
x
xf 
Vậy f(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng – 2 khi x = 0 
 Mặt khác với ( ) 2111
30
2
−
++
=⇒≠
xx
xfx 
Do 4
4
3
3
111
3
4
3
4
3
2
11111
2
2
2 =≤
++
⇒≥+





+=++
xx
xxx
Nên ( ) 2242111
3
2
=−≤−
++
=
xx
xf 
Dấu bằng xảy ra khi 20
2
11
−=⇔=+ x
x
Vậy f(x) đạt giá trị lớn nhất bằng 2 khi x = - 2 
Bài 26 : Giải ph−ơng trình ( )15322 2 xxxx +=+ 
Lời giải 
Dễ thấy x = 0 là nghiệm của ph−ơng trình (1) 
Với x > 0, ta có : 
xxxxxxxxx 5322542,32 22 +<+⇒<=< 
Do đó (1) không có nghiệm x > 0. 
Với x < 0, ta có : 
xxxxxxxxx 5322542,32 22 +>+⇒>=> 
Do đó (1) không có nghiệm x < 0. 
Vậy (1) có nghiệm duy nhất x = 0. 
H−ớng dẫn học sinh lớp 8 giải bài toán chứng minh bất đẳng thức 
13 
Hà Danh H−ng THCS Phú Cát – Quốc Oai – Hà Tây 
Nhận xét : Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức A, ta đi chứng 
minh ( )constMmMAm =≤≤ , , khi đó m là giá trị nhỏ nhất của A, M là giá 
trị lớn nhất của A. 
Bài tập tự luyện : 
Bài 27 : 
a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 
1
32
2
2
+
+
x
x
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 34222 ++−+ yxyx 
Bài 28 : Giải ph−ơng trình : 0112 =++− xx 
Trên đây là hệ thống các bài tập, các dạng bài tập tôi đs cung cấp cho 
học sinh, qua đó tôi thấy học sinh đs tiến bộ lên rất nhiều, đứng tr−ớc một 
bài toán các em đs có định h−ớng và cách nhìn bao quát hơn, đặc biệt đs gợi 
dậy đ−ợc tính cần cù cho một số em có lực học trung bình và yếu. 
Tuy nhiên để xác minh tính chân thực cũng nh− đánh giá đúng đối 
t−ợng học sinh tôi đs tiến hành khảo sát nh− sau : 
III. Khảo sát sau khi thực hiện đề tài 
Đề bài: (25') 
a) Chứng minh rằng : 0333 <−+− aa 
b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n > 0, ta có 
( ) 2
1
1
1
....
25
1
13
1
5
1
22 <++
++++
nn
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 1232 +− xx 
Kết quả 
Điểm Tổng số 
học sinh 0 -> 2 3 -> 4 5 -> 6 7 -> 8 9 -> 10 TB↑ 
36 2 5 11 10 8 29 
Sau khi thực hiện đề tài các em đs vơi đi tâm lý hoang mang khi đứng 
tr−ớc các bài toán chứng minh bất đẳng thức nói chung và các bài toán nói 
riêng. Các em đs đ−ợc mở mang kiến thức từ đó tự tin hơn trong học tập vì 
thế mà tôi đs lôi cuốn đ−ợc các em vào guồng học tập và cũng từ đó mà tôi 
củng cố đ−ợc lòng tin của học sinh. 
H−ớng dẫn học sinh lớp 8 giải bài toán chứng minh bất đẳng thức 
14 
Hà Danh H−ng THCS Phú Cát – Quốc Oai – Hà Tây 
Về phía bản thân tôi cũng thấy mình đ−ợc “cải thiện chuyên môn, bổ 
túc nghiệp vụ”, từ đó làm tốt hơn nhiệm vụ giảng dạy và giáo dục học sinh. 
C. Kết thúc vấn đề 
 I. Bài học kinh nghiệm 
Sau khi thực hiện đề tài này, tôi thấy không chỉ có lợi cho học sinh mà 
còn hữu ích đối với ng−ời thầy, không phải chỉ phục vụ cho công tác giảng 
dạy mà còn hỗ trợ đắc lực cho công tác giáo dục học sinh. 
Đặc biệt với tôi, một giáo viên mới ra tr−ờng còn hạn chế cả về kiến 
thức và kinh nghiệm thì đây là dịp để tự bồi d−ỡng nâng cao trình độ chuyên 
môn nghiệp vụ 
- Đối với ng−ời thầy phải biết lắng nghe để tìm ra những v−ớng mắc của 
học sinh từ đó có h−ớng tháo gỡ cho các em. 
- Biết phát huy óc sáng tạo, khả năng tự học của học sinh 
- Tránh chữa bài tập một cách tràn lan mà cần hệ thống, phân dạng, đặc 
biệt cần chú trọng h−ớng dẫn học sinh về mặt ph−ơng pháp 
- Ng−ời thầy tránh làm thay học sinh mà phải biết tổ chức cho học sinh 
tự làm, từ đó tạo dựng ý thức tự học của học sinh. 
II. Tài liệu tham khảo 
1. Toán bồi d−ỡng học sinh lớp 8 đại số và hình học 
(Vũ Hữu Bình - Tôn Thân - Đỗ Quang Thiều) 
2. Một số vấn đề phát triển toán 8 
(Vũ Hữu Bình ) 
3. Tuyển tập các bài toán chọn lọc 
(Vũ D−ơng Thuỵ - Tr−ơng Công Thành - Nguyễn Ngọc Đạm) 
4. Giáo trình thực hành giải toán 
(Đặng Đình Lăng – Nguyễn Hữu Túc) 
III. Lời kết 
Tôi làm đề tài này với mong muốn tự bồi d−ỡng chuyên môn nghiệp 
vụ song vì còn nhiều hạn chế nên chắc chắn đề tài này còn nhiều thiếu sót vì 
thế kính mong các đồng chí đóng góp ý kiến để tôi làm tốt hơn ở các đề tài 
sau. 
H−ớng dẫn học sinh lớp 8 giải bài toán chứng minh bất đẳng thức 
15 
Hà Danh H−ng THCS Phú Cát – Quốc Oai – Hà Tây 
Phú Cát, ngày 24 tháng 04 năm 2006 
Ng−ời viết 
 Kiều Đình Phúc