Sáng kiến kinh nghiệm ''Hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán cơ bản bằng phương pháp giải bài tập toán cực trị'' Đại số Lớp 8 - Năm học 2008-2009 - Hoàng Quốc Bình

A. Đặt vấn đề
1. Lí do chọn đề tài.
 Trong quá trình phát triển của xã hội nói chung thì Toán học cũng được hình thành và phát triển. Thông qua lao động và sự phân chia sản phẩm lao động đã sinh ra những bài toán đơn giản đầu tiên của loài người. Ngày nay khi xã hội càng phát triển thì toán học cũng ngày càng đợc phát triển. Đối với mỗi người Toán học có ý nghĩa và vai trò hết sức quan trọng. Toán học giúp chúng ta có cơ sở nhận thức nhanh nhẹn,chính xác, tư duy trừu tượng, khái quát hoá, đặc biệt hoá các vấn đề của sự phát triển tự nhiên và xã hội.
 Các bài toán về cực trị đại số ở THCS có một ý nghĩa rất quan trọng đối với các em học sinh. ở cấp học này, các em phải bằng cách giải thông minh nhất, tìm ra các biện pháp hữu hiệu, và phù hợp với trình độ kiến thức toán học THCS để giải quyết các bài toán loại này. Các bài toán cực trị ở THCS góp phần không nhỏ vào việc rèn luyện trí thông minh cho học sinh ở bậc học này. Để giải các bài toán về cực trị đại số ở THCS học sinh phải biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số, trong quá trình biến đổi phải sử dụng khá nhiều các hằng đẳng thức đáng nhớ từ dạng đơn giản đến phức tạp. Bởi thế có thể nói, các bài toán cực trị đại số ở THCS tạo ra các khả năng giúp học sinh có điều kiện để rèn luyện kĩ năng biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số.
 Các bài toán cực trị đại số ở THCS còn có liên quan mật thiết đến các kiến thức chứng minh bất đẳng thức, phép giải phơng trình, hệ phơng trình, và nhiều lĩnh vực khác về tập hợp, các kiến thức về hàm số và dồ thị
 Về mặt tư tưởng, các bài toán cực trị đại số giúp học sinh thêm gần gũi với các kiến thức thực tế của đời sống xã hội, rèn luyện nếp nghĩ khoa học, luôn mong muốn làm những công việc với hiệu quả cao nhất, tốt nhất.
 Tóm lại những bài toán cực trị đại số ở THCS là những bài toán tổng hợp các kiến thức, kĩ năng biến đổi biểu thức, kĩ năng tính toán, kĩ năng tư duy ở cấp học này.
 Qua thực tế mười năm giảng dạy toán ở trường THCS Thành Công tôi nhận thấy còn nhiều học sinh chưa thực sự yêu thích và coi trọng môn học quan trọng nhất này. Nhất là khi giải các bài tập về cực trị, quỹ tích, dựng hình đối vơi học sinh THCS gặp nhiều khó khăn vì học sinh thường không nắm vững lí thuyết và kĩ năng vận dụng kiến thức vào giải toán còn hạn chế. Vì vậy các em giải bài tập một cách mò mẫm, không có định hớng rõ ràng, vận dụng kiến thức máy móc, nhiều khi không giải được bài tập.
 Trong quá trình dạy toán tôi luôn trăn trở và suy nghĩ mình phải làm ghì để học sinh yêu thích và say mê môn học đặc biệt nâng cao kĩ năng giải bài tập toán học. Chính vì vậy qua thực tế giảng dạy tôi rút ra một số kinh nghiệm về hướng dẫn học sinh giải một số dạng bài tập toán ( trong khuôn khổ đề tài tôi trình bày một số phương pháp giải bài toán cực trị đại số ở THCS) mạnh dạn đưa ra để mọi người cùng tham khảo và góp ý.
2. Phạm vi nghiên cứu của đề tài.
 2.1 Phạm vi: 
Đề tài thực hiện với 10 học sinh lớp 8A trường THCS Thành Công.
2.2Thời gian thực hiện:
Thực hiện trong năm học 2008-2009.
2.3 Phương pháp tiến hành.
-Lập danh sách học sinh được bồi dưỡng, tìm hiểu điều kiện, hoàn cảnh cụ thể của từng học sinh.
- Kiểm tra khảo sát trước khi tiến hành đề tài
- Tiến hành dạy học theo kế hoach đã xây dựng.
- Kiểm tra kết quả sau khi thực hiện đề tài
- Đánh giá kết quả thực hiện đề tài và rút kinh nghiệm.
B. Nội dung nghiên cứu
I. Thực trạng trước khi thực hiện đề tài.
 ở trường THCS Thành Công còn nhiều học sinh chưa thực sự yêu thích và coi trọng môn học quan trọng nhất này. Nhất là khi giải các bài tập về cực trị, quỹ tích, dựng hình đối vơi học sinh THCS gặp nhiều khó khăn vì học sinh thường không nắm vững lí thuyết và kĩ năng vận dụng kiến thức vào giải toán còn hạn chế. Vì vậy các em giải bài tập một cách mò mẫm, không có định hớng rõ ràng, vận dụng kiến thức máy móc, nhiều khi không giải được bài tập, từ đó dẫn tới kết quả học tập môn toán không cao.
Kết quả khảo sát trước khi thực hiện đề tài.
Tổng số
HS
Điểm
0-4
Điểm
5-6
Điểm
7
Điểm
8
Điểm
9
Điểm
10
10
1
4
3
1
1
0
II. Giải pháp thực hiện.
 Với học sinh giải bài tập cực trị đại số là tương đối khó, bởi vì phần này bài tập rất đa dạng, có nhiều bài tập rất phức tạp. Do đó hướng dẫn học sinh giải bài tập phần cực trị trong đại số không đơn giản nhất là đối với học sinh ở Thành Công, điều kiện học tập của các em còn nhiều khó khăn, khả năng nhận thức của các em còn chậm. Điều mà giáo viên cần làm được đó là định hướng, hướng dẫn cho học sinh cách phân tích đề bài, để xây dựng phương án giải bài tập một cách hợp lí nhất. Với đối tượng học sinh như ở trường THCS Thành Công thì giáo viên cần hướng dẫn chậm, rõ ràng, uốn nắn các em từng bước giải, rèn luyện kĩ năng tính toán và điều quan trọng là các em cần nắm được các dạng bài tập cơ bản và phương pháp giải mỗi dạng bài tập đó.
 Với phương pháp hướng dẫn từng chuyên đề, trong mỗi chuyên đề đưa ra các dạng bài tập cơ bản, mỗi dạng bài tập đó hướng dẫn học sinh giải một số các ví dụ, rồi đưa ra các bài tập tương tự để học sinh tự giải. Với phương pháp đó học sinh được tăng cường luyện tập, nắm chắc các dạng bài tập cơ bản, và phương pháp giải mỗi dạng bài tập đó.
III. Nội dung kiến thức
 III.1 Kiến thức và kí hiệu sử dụng:
* Hằng số mR gọi là giá trị nhỏ nhất của biểu thức A nếu:
 m ≤ A
 m = A xảy ra được trong điều kiện của bài toán
* Hằng số n R gọi là giá trị lớn nhất của biểu thức A nếu:
 n ≥ A
 n = A xảy ra được trong điều kiện của bài toán
Kí hiệu:
maxA: giá trị lớn nhất của A
minA: giá trị nhỏ nhất của A
A max B min: A đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi B đạt giá trị nhỏ nhất.
III.2 Các phương pháp giải bài toán cực trị đại số ở THCS.
1 Sử dụng các bất đẳng thức dạng:
a. A2 + b ≥ b
 Dấu “=” xảy ra A = 0
b. – A2 + b ≤ b
 Dấu “=” xảy ra A = 0
 Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 A = x2- 4x + 5
 Giải
Ta có A = x2- 4x + 5 = x2 – 4x + 4 + 1 = ( x – 2)2 + 1
Với mọi gí trị của x, ( x – 2)2 ≥ 0 nên ta có
A = ( x – 2)2 + 1 ≥ 1
A = 1 x – 2 = 0 x = 2
Vậy minA = 1 x = 2
 Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
 B = - 9x2 + 6x 
 Giải
Ta có B = - 9x2 + 6x = - 9x2 + 6x -1 + 1 = -(3x – 1)2 + 1
Với mọi giá trị của x, -(3x – 1)2 ≤ 0 nên ta có 
B = -(3x – 1)2 + 1 ≤ 1
B = 1 3x – 1 = 0 x = 
Vậy maxB = 1 x = 
Bài tập tương tự:
Bài 1. Tìm gí trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
A = 2x2 – 8x + 1 
B = x2 – 10x + 40 
C = 9x2 + 12x + 8
D = x2 + x
E = x(x + 1)( x2 + x – 4)
F = 
G = + 1
H = 
I = x4 – 6x2 + 10
J= x6 – 2x3 + x2 – 2x + 2
K = x4 – 4x3 +6x2 – 4x +5
L = x2 + xy +y2 -3x -3y +1993
M= x2 + y2 +z2 – 2x + 4y – 6z + 27
N = 2x2 +2xy +y2 – 2x – 2y +2
O = 4x2 + y2 + 9z2 – 12x + 2y - 6z +13
P = 
Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
A = - 5x2 – 4x +1
B = -5 + 
C = 
D = - 2x2 – y2 – 2xy +4x + 2y + 2
E = -x2- 4y2- z2 + 2x + 12y + 6z -18
2 Sử dụng các bất dẳng thức dạng:
a. 
 Dấu = xảy ra A.B ≥ 0
b. 
 Dấu = xảy ra A.B ≥ 0
Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức
a. A = 
b. B = 
Giải
A = = ≥ = 1
A= 1 (1-x)(2-x) ≥ 0 1≤ x ≤2
Vậy minA = 11≤ x ≤2
Biến đổi B = 
minB = 4 -1≤ x ≤3
Bài tập tương tự 
Bài tập 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
A = 
B = 
C = 
D = 
E = biết 
F = 
3. Giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của một phân thức.
Ví dụ 1, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
A = với x ≥ 0
Giải
A = = = =≥
A = x = 4
Vậy minA= x = 4
Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau
B = với xR
 B = = 
Vì x2 + 2x + 3 =(x + 1)2+ 2 > 0 với mọi giá trị của xR, nên ta chia cả tử và mẫu thức cho x2 + 2x + 3, ta được
B = 3 + 
Vì (x + 1)2+ 2 ≥ 2 nên ≤ 
Từ đó ta có : B = 3 + ≤ 3 + =
B=(x+1)2=0x=-1
Vậy maxB=x=-1
Bài tập tương tự:
Bài tập 4. Tim giá trị lớn nhất của biểu thức 
A = với x,y R
B = 
C = 
D = 
E = 
F = 
G = 
Bài tập 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức.
F = 
G = 
B = 
C = 
D = 
4 Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của một biểu thức bằng cách áp dụng bất đăng thức Côsi
1. Bât đẳng thức Côsi viết dưới dạng khác nhau dưới đây ( chỉ áp dụng với các số không âm)
1.1 Dưới dạng căn thức
1.2 Dưới dạng luỹ thừa.
1.3 Chú ý:
-Với x > 0, y > 0 và xy = k2 ( không đổi), thì x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y.
-Với x > 0, y > 0 và x + y = k2 ( không đổi), thì x.y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y.
2. Một số ví dụ
Ví dụ 1. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số
A(x) = với x > 0
Giải:
A(x) = = 8x + 
Ta thấy 8x và là hai đại lượng lấy giá trị dương thay đổi, nhưng tích của chúng 
8x. = 16 luôn luôn không thay đổi. vậy A(x) = 8x + đạt giá trị nhỏ nhất khi :
8x = x = 
Kết hợp với điều kiện x > 0, ta chỉ lấy giá trị x = 
Với x = , minA(x) = 8. + = 8
Vậy minA(x) = 8 x = 
Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức đại số 
B = 16x3 – x6 với x thuộc tập hợp các số thực dương.
Giải
B = 16x3 – x6 = x3( 16 – x3)
Vì x >0 nên x3 > 0, còn 16 – x3> 0 khi x < (*)
Ta thấy x3 và 16 – x3 là hai đại lượng biến đổi nhưng tổng của chúng x3 + 16 – x3 = 16 luôn luôn không thay đổi. Vậy B = x3( 16 – x3) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi 
x3 = 16 – x3 x = 2 . Giá trị x = 2 thoả mãn điều kiện (*).
Vậy B đạt giá trị lớn nhất tại giá trị x = 2.
maxB = 16. 23 – 26 = 64
3. Bài tập tương tự 
Bài tập 6. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau
a. A = 
b. B = 
c, C = x(3 - x) với 
d, y = với x1
Bài tập 7 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau
a, A = x + với x>0
b, B = với x>0
c, C = với 0<x<1
d, D = 3x + với x > -1
e, E = Với x > 0
f, F = 2x + với x > 0
g, y = với 0<x<1
5 Giải các bài toán cực trị đai số bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski
5.1 Bất đẳng thức Bunhiacôpski:
 a. Viết dưới dạng luỹ thừa
* (ax +by)2 (a2+b2)(x2+ y2). Dấu = xảy ra khi 
* (ax +by+ cz)2 (a2+b2+c2)(x2+y2+z2). Dấu = xảy ra khi =
* (a1b1+ a1b1+ a1b1++ a1b1) (a12+a22+a32+...+an2)(b12+b22+b32++bn2
Dấu = xảy ra khi 
b. Viết dưới dạng căn thức
* . Dấu = xảy ra khi 
* Dấu = xảy ra khi =
* 
Dấu = xảy ra khi 
5.2. Các ví dụ 
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau
A = x + 
Giải 
ĐK: 
áp dụng BĐT Bunhiacôpski:
A2 = (x + )2
A2
A = 2 
MaxA =2 x=1
Ví dụ 2. Tìm các giá trị của x,y, z, để biểu thức sau đây đạt giá trị nhỏ nhất 
P = x2+y2+z2. Tìm giá trị đó. Biết x+y+z=1995
Giải 
áp dụng BĐT Bunhiacôpski cho các bộ số 1,1,1 và x,y,z ta có
(x.1+y.1+z.1)2 (12+12+12)(x2+y2+z2)
Hay: (x+y+z)2 3(x2+y2+z2)
Từ đó ta có: P = x2+y2+z2 = 
P =
Ta có x=y=z và x+y+z=1995
=665
Vậy minP = x=y=z=665
6 Phương pháp tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức có điều kiện
6.1. Các ví dụ 
Ví dụ 1: Cho các số x,y 0 thoả mãn x+y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A= x2+y2
Giải
Do 
A=x2+y2x+y=1
Vậy maxA = 1 
áp dụng BĐT Bunhiacôpski ta có 
12=(x+y)2=(x.1+y.1)2
MinA =
Ví dụ 2. Cho các số x, y thoả mãn x + y = 1 . Hãy tìm:
a. Giá trị nhỏ nhất của A = 
b. Giá trị lớn nhất của B = xy
c. Giá trị lớn nhất của C= x.y2
Giải
Ta có x3 + y3 + xy = (x + y)( x2- xy + y2) + xy = x2 + y2( vì x + y =1) nên
Ta có (1.x + 1.y)2=1
Vậy minA = 
b.Ta có : (x – y)2 0
c.Nếu x< 0 
 Nếu x > 0 áp dụng BĐT Cauchy ta có:
1 = x + y = 
6.2. Bài tập tương tự
Bài 8. Cho x, y > 0 thoả mãn x + y =10. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 
Bài 9. Cho x, y > 0 thoả mãn xy = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của B = 6x + 4y
Bài 10. Cho hai số x, y thoả mãn 2x + 5y =7. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
a.A = x2 + y2
 b. B =2x2 + 5y2
Bài 11. Cho x, y, z > 0 thoả mãn x + y + z = 1. 
 Tìm giá trị lớn nhất của M = xy +yz + zx
Bài 12. Cho x, y, z > 0 thoả mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
A= 
B =
Bài 13. Cho x, y, z 0 thoả mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
A = 
Bài 14. Cho x, y, z >0 thoả mãn x + y + z = xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của A= xyz
Bài 15. Cho x, y, z, thoả mãn xy + yz + zx = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của
A = x4 + y4 + z4
IV. Hướng dẫn giải, trả lời.
Bài tập1.
 a, A = 2x2 – 8x + 1 = 2(x2- 4x ) +1= 2( x2- 4x + 4 – 4) +1
 = 2= 2(x-2)2 -7≥-7
 minA = -7 x =2
b, B = x2 – 10x + 40 = (x-5)2+15 ≥ 15
minB = 15 x = 5
c, C = 9x2 + 12x + 8 = (3x+2)2+ 4 ≥ 4
minC = 4 x = -2/3
d, D = x2 + x = x2+2..x + - = ( x+)2-≥ -
minD = - x=-
e, E = x(x + 1)( x2 + x – 4) = (x2+x) (x2 + x – 4)= (x2+x)2 – 4(x2+x)
 =(x2+x)2 – 4(x2+x) + 4 – 4
 =(x2 + x - 2)2- 4≥ - 4
minC = -4 x2 + x – 2 = 0 
f, F = 
Ta có 4x2 + 4x + 2 = (2x + 1)2 +1≥ 1
Nên F = =≥ 1
minF = 1 x=-
g, G = + 1
 = + 1 ≥+ 1
minG = + 1x = 1
h, H = 
 = ≥= 2
minH = 2 x2+ 3x +1 = 0 
i, I = x4 – 6x2 + 10 = (x2 – 3)2 +1
j, J= x6 – 2x3 + x2 – 2x + 2 = (x3- 1)2 + ( x-1)2
k, K = x4 – 4x3 + 6x2 – 4x +5 = (x -1)4 + 4
l, L = x2 + xy +y2 -3x -3y +1993
 = x2 -2x + 1 + y2-2y + 1 + xy –x – y + 1 +1990
 = (x-1)2 + (y-1)2 +x(y-1) –(y-1) +1990
 =(x-1)2 + (y-1)2 +(x-1)(y-1) +1990
 = (x-1 + )2 +(y-1)2 +1990≥ 1990
minL = 1990 
m, M= x2 + y2 +z2 – 2x + 4y – 6z + 27
 = (x-1)2 +(y+2)2 + (z-3)2 +13
n, N = 2x2 +2xy +y2 – 2x – 2y +2
 = (x+y-1)2 +x2 + 1
o, O = 4x2 + y2 + 9z2 – 12x + 2y - 6z +13
 = (2x-3)2 +(y+1)2 +(3z-1)2 +2
 p, P = 
 Biến đổi = (x-2y +5)2+ (y-1)2+1
Bài 2. 
 a, A = - 5x2 – 4x +1
 =-5(x+)2 +
 maxA = x = -
b, B = -5 + 
Điều kiện 
 B = -5 + -5+
maxB =-5+ x = 
c, C = 
 =
d, D = - 2x2 – y2 – 2xy +4x + 2y + 2=-(x+y-1)2 –(x-1)2 +4
e, E = -x2- 4y2- z2 + 2x + 12y + 6z -18= -(x-1)2 –(2y-3)2 –(z-3)2 +1
Bài tập 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a, A = 
 = 
Vậy minA=1 1993 x1994
b, B = = 
c, C = = 
d, D = 
 D nhỏ nhất khi D1= và D2= đồng thời nhỏ nhất
D1≥ 2, min D1=22x4
D2≥2, min D2=2 3x5
minD = 43x4
e, E = biết 
áp dụng 
Ta có E = .
 Dấu = đạt được khi x = y = z = 
f, F = 
ĐK: a 1
Biến đổi F = 2 
minF = 2 5a17
Bài tập 4. Tim giá trị lớn nhất của biểu thức 
a, A = với x,y R
 = 
Vì 0 với mọi y nên ta chia cả tử thức và mẫu thức cho được 
A = Vì 2 với mọi x , do đó A = 
Vậy maxA = x = 0
b, 4B = = 1 - = 1 - 
maxB = 
c, C = 
Chứng minh (x+1)2 để suy ra C 
d, D = Gợi ý x+1 x2 + x+1
e, E = chứng minh E 
f, F = = 3 - 
g, G = 
Ta có = > 0
G = = 2 - 
Bài tập 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức.
a, F = = 1 + 
b, G = 
Ta có = > 0
G = = 
c, B = = Vì x2+1
d, C = =1 +
e, D = minD = -2 x = 0
Bài tập 6. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau
a. A = 
Trong điều kiện xác định thì A 0
Ta có A2 =2 +2
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm
A2 =2 +2
Dấu = xảy ra x-2 = 4-xx=3(TMĐK)
Từ đó 
Vậy maxA = 2 x = 3
b, B = 
ĐK: . áp dụng bất đẳng thức Côsi
B = = 
Vậy maxB = 
c, C = x(3 - x) với 
Do nên x 0 và3 - x 0
áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có 
maxC= x=
d, y = với x1
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm 1 và x-1 
Bài tập 7 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau
a, A= x + với x>0
Do x>0>0. áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
A= x +
A= 2 
Vậy minA = 2x=1
b, B = với x>0 B = x +2+
Do x>0 >0. Theo Côsi ta có : x + 
Dấu = xảy ra 
Vậy min B =6 x=2
c, C = với 0<x<1
 = 
Do 0<x<1. áp dung bất đẳng thức Côsi ta có
min C= 2 với x=
d, D = 3x + với x > -1
 = 3(x+1) +-3
áp dung bất đẳng thức Côsi ta có: 3(x+1) +
e, E = Với x > 0
 = x+10+
áp dung bất đẳng thức Côsi ta có:x+
f, F = 2x + với x > 0
áp dung bất đẳng thức Côsi ta có:
F = 2x + 
g, y = với 0<x<1
 = 
áp dung bất đẳng thức Côsi ta có:
Bài 8. Cho x, y > 0 thoả mãn x + y =10. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 
Giải
A = = 
Vì x, y > 0. áp dụng BĐT Cauchy ta có 
Bài 9. Cho x, y > 0 thoả mãn xy = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của B = 6x + 4y
Do x, y >0 nên 6x, 4y >0, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
B = 6x + 4y
Bài 10. Cho hai số x, y thoả mãn 2x + 5y =7. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
a.A = x2 + y2
 b. B =2x2 + 5y2
áp dụng BĐT Bunhiacôpski ta có:
72 =(2x + 5y)2 
72 =(2x + 5y)2 
minB = 7 khi x= y = 1
Bài 11. Cho x, y, z > 0 thoả mãn x + y + z = 1. 
 Tìm giá trị lớn nhất của M = xy +yz + zx
áp dụng BĐT Cauchy ta có: 
Bài 12. Cho x, y, z > 0 thoả mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
A= 
B =
Giải
a. A= = (x + y+ x)2 – 2(xy + yz + zx) =1 - 2(xy + yz + zx)
theo bài 11, 
minA =
b. B =
Vì x, y, z > 0, áp dụng BĐT Cauchy ta có:
Bài 13. Cho x, y, z 0 thoả mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
A = 
A2 = ()2 = 
Bài 14. Cho x, y, z >0 thoả mãn x + y + z = xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của A= xyz
Ta có A = xyz = x + y + z
Bài 15. Cho x, y, z, thoả mãn xy + yz + zx = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của
A = x4 + y4 + z4
Ta có 42 =( xy + yz + zx)2 (x2+y2+z2)(y2+z2+x2)
(y2+z2+x2)2 
x4+y4+z4 minA = 
V. Kết quả sau khi thực hiện
Tổng số
HS
Điểm
0-4
Điểm
5-6
Điểm
7
Điểm
8
Điểm
9
Điểm
10
10
0
2
2
3
2
1
C. Kết luận và đề xuất
I. Kết luận.
 Với học sinh giải bài tập cực trị đại số là tương đối khó, bởi vì phần này bài tập rất đa dạng, có nhiều bài tập rất phức tạp. Do đó hướng dẫn học sinh giải bài tập phần cực trị trong đại số không đơn giản nhất là đối với học sinh ở Thành Công, điều kiện học tập của các em còn nhiều khó khăn, khả năng nhận thức của các em còn chậm. Điều mà giáo viên cần làm được đó là định hướng, hướng dẫn cho học sinh cách phân tích đề bài, để xây dựng phương án giải bài tập một cách hợp lí nhất. Với đối tượng học sinh như ở trường THCS Thành Công thì giáo viên cần hướng dẫn chậm, rõ ràng, uốn nắn các em từng bước giải, rèn luyện kĩ năng tính toán và điều quan trọng là các em cần nắm được các dạng bài tập cơ bản và phương pháp giải mỗi dạng bài tập đó.
 Qua một số năm giảng dạy toán ở trường THCS Thành Công, với phương pháp hướng dẫn từng chuyên đề, trong mỗi chuyên đề đưa ra các dạng bài tập cơ bản, mỗi dạng bài tập đó hướng dẫn học sinh giải một số các ví dụ, rồi đưa ra các bài tập tương tự để học sinh tự giải. Với phương pháp đó đã thu được những kết quả nhất định, đã có nhiều học sinh yêu thích môn học, các em tích cực làm bài tập hơn, kiên trì khi gặp những bài tập khó, bằng thực lực của mình nhiều em đã giải được những bài tập tương đối khó, chất lượng giảng dạy môn toán dần được nâng cao,
II. Những đề xuất.
 Để nâng cao chất lượng giáo dục nói chung và chất lượng môn Toán nói riêng, tôi mong muốn được sự giúp đỡ, tạo điều kiện của BGH nhà trường về cơ sở vật chất, phương tiện dạy học, mua thêm các trang thiết bị hiện đại đưa vào phục vụ cho giảng dạy.
 Tạo điều kiện cho giáo viên tham gia các chuyên đề, hội thảo chuyên môn, tập huấn thay đổi phương pháp dạy học, tập huấn bồi dưỡng học sinh giỏi, dự giờ của các đồng chí giáo viên giỏi có nhiều kinh nghiệm để nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ của mình.
 Với phương pháp giảng dạy như trên, tôi hi vọng mình sẽ góp một phần nhỏ vào việc nâng cao chất lượng dạy toán ở trường THCS Thành Công. Rất mong các đồng chí giáo viên tham khảo và đóng góp ý kiến.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
 Thành Công, ngày 20 tháng 3 năm 2009
 Hoàng Quốc Bình